Prawo przenoszenia się błędów

M
P = a * b
Prawo przenoszenia się błędów
Dla a = 100 m. ±3 cm
b = 200 m. ±3 cm
P = a*b =100 m.* 200 m. = 20 000 m 2
Obliczamy możliwe maksymalne odchyłki wyniku:
Pmin = 99.97 m. * 199.97 m. = 19 991.0009 m 2
Pmax =100.03 m. * 200.03 m. = 20 009.0009 m 2
czyli P = ±9 m 2
19 991 m 2 < P < 20 009 m 2
Prawo przenoszenia się błędów ukazuje sposób
gromadzenia się błędów średnich spostrzeżeń
bezpośrednich i niezależnych występujących w
danej funkcji.
Dla funkcji:
F = f (x, y, z)
F
F
x
Przykłady typowych funkcji:
2
* m
Błąd średni wielokrotności f = a*x mf = ± a*mx
Błąd średni sumy f = x + y
m
Błąd średni funkcji liniowej f = ax + by
2
x
F
y
m
f
f
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel 1/7 Prawo przenoszenia się błędów
2
* m
a
m
2
2
y
2
x
* m
2
x
m
2
y
b
2
F
z
* m
2
2
y
* m
2
z
.....

Pole powierzchni prostokąta
Przykłady liczbowe
Błąd funkcji P = a * b
Liczymy pochodne cząstkowe:
P
a
P
b
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel 2/7 Prawo przenoszenia się błędów
b
przy założeniu błędów (odpowiednio) ma i mb otrzymamy
M
Przykład – wariant 1
Dla a = 100 m. ±3 cm
M
p
p
b = 200 m. ±3 cm
b
40000*
0.
0009
– wariant 2
2
* m
2
a
a
2
* m
10000*
0.
0009
2
b
a
36
Zmiana dokładności ma = ±1 cm, mb = ±3 cm
M
p
40000*
0.
0001
P = a*b
b
10000*
0.
0009
a
4
9
9
45
13
6,
7
3,
3

– wariant 3
Zmiana dokładności ma = ±3 cm, mb = ±1 cm
M
p
40000*
0.
0009
– wariant 4
10000*
0.
0001
Zmiana dokładności ma = ±1 cm, mb = ±1 cm
M p
40000*
0.
0001
ma ma ma
mb mb mb
P=a*b
b
10000*
0.
0001
a
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel 3/7 Prawo przenoszenia się błędów
36
4
1
1
5
37
2,
2
6,
1

Pomiar: niwelacja trygonometryczna:
H=D*tg(alfa)
D
Błąd funkcji H = D * Tg( )
Liczymy pochodne cząstkowe:
H
D
H
α
H
Tg(
D
2
cos (
)
)
przy założeniu błędów (odpowiednio) mD i m otrzymamy
M
H
Tg(
)
2
* m
2
D
D
2
cos (
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel 4/7 Prawo przenoszenia się błędów
)
2
* m
Musimy doprowadzić do jednorodności wymiarów (wprowadzić miarę
łukowa kąta)
M
H
Tg(
)
2
* m
2
D
D
2
cos (
)
2
*
2
α
m
ρ
α
''
2

Dla D = 200 m. ± 3 cm
M
p
M p
= 30 0 . ± 60”
Wariant 1
gdzie tg( )= /3 czyli 0,577,
a cos( )= 3/2 czyli 0,866
natomiast
’
w przybliżeniu = 200 000
3
9
M p 3
M p 3
M
p
* 9
3
3
2
* 3
2
20
000
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel 5/7 Prawo przenoszenia się błędów
3
2
2
2
*
60
200 000
400 000 000 3 600
*
9 40 000 000 000
16
16 * 400 000 000 3 6
*
9 400 000 000
16 * 1
*
9
3
3 6
1
16*
36
9
3
576
9
3
64
67
2
8,
2

Dla D = 200 m. ± 3 cm
= 30 0 . ± 30”
M
M p
p
3
9
M p 3
M p
3
Zmiana dokładności – wariant 1A
* 9
3
3
2
* 3
2
20
000
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel 6/7 Prawo przenoszenia się błędów
3
2
2
2
*
30
200 000
400 000 000 900
*
9 40 000 000 000
16
16 * 400 000 000 9
*
9 400 000 000
16
19
4,
4
Zmiana dokładności - wariant 1B:
Dla D = 200 m. ± 1 cm
= 30 0 . ± 60”
M
M p
p
3
9
3
3
2
* 1
2
20
000
3
2
16 * 400 000 000 36
*
9 400 000 000
2
2
*
60
200 000
2
2

M p
1
3
64
64,
3
8,
0
Zmiana dokładności - wariant 1C:
Dla D = 200 m. ± 1 cm
= 30 0 . ± 30”
M
M p
M
p
p
3
9
1
3
3
3
2
* 1
2
20
000
3
2
16 * 400 000 000 9
*
9 400 000 000
16
16,
3
4,
0
RW 1.9 dr inż. Jan Ruchel 7/7 Prawo przenoszenia się błędów
2
2
*
30
200 000
2