Deterministický chaos v prostředí Mathematica - DSpace UTB

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 45
7.1 Lyapunovy exponenty
První metoda, kterou jsme použili pro potvrzení chaosu v souboru naměřených dat, byla
metoda výpočtu Lyapunových exponentů. Vzorce byly použity z knihy [3] Chaos and
Nonlinear Dynamics.
V prvním kroku se spočítají hodnoty podle (7) jako rozdíl hodnot a x , kdy odstup
d x j i
mezi těmito hodnotami v číselné řadě je 30 hodnot, tj. j-i = 30.
d
d
d
0
1
2
n
= x
= x
= x
j
j+
1
− x
j+
2
.
.
i
− x
− x
j+
n −
i+
1
i+
2
d = x x +
Výsledky by měly vykazovat exponenciální charakter. U semilogaritmického grafu by
hodnoty měly spadat do přímky, jejíž směrnice určuje hodnotu Lyapunova exponentu [3].
Jako druhý krok následuje výpočet Lyapunova exponentu dle vzorce (8).
λ =
(7)
1 d
ln
n d
Jestliže hodnota λ je kladná, data vykazují chaotické chování. Jsou směrodatná pouze za
předpokladu, že je splněna podmínka exponenciálního růstu u d .
Správnost naprogramovaných vzorců byla ověřena na logistické rovnici (9) generující cha-
otické chovaní.
(9)
(8)
x = Ax ( 1−
x
n+ 1 n n
Exponenciální průběh hodnot d
, resp. hodnoty v přímce v semilogaritmickém grafu, a
správnou funkci výpočtu lze vidět na následujícím obrázku (Obr. 36).
n
0
i
n
)