Deterministický chaos v prostředí Mathematica - DSpace UTB

UTB ve Zlíně, Fakulta aplikované informatiky 25
v intervalu , kde každý bod křivky představuje ustálený stav systému s různou hod-
notou. Soubor těchto hodnot pak v závislosti na parametru A vytváří onu hladkou křivku.
Při dalším nárůstu však dochází k zajímavému jevu, a to je tzv. zdvojení periody (xstart =
0.54278, A = 3.13), což znamená, že se stav populace vrací do původního stavu až po dal-
ším stavu (0.5, 0.3, 0.5, 0.3,…). Při dalším nárůstu pak dochází dalšímu zdvojení již zdvo-
jené periody (xstart = 0.381, A = 3.51) až vývoj přejde do chaotického průběhu. Zajímavos-
tí je, že daný průběh vykazuje fraktální charakter (Feigenbaumova konstanta) - daná zdvo-
jení se „de facto“ v přesném měřítku opakují. A to i u jiných rovnic, než je tato.
Z Obr. 16 c) a d) je rovněž vidět, že v bifurkačních diagramech jsou oblasti, které ukazují,
kdy se systém chová ustáleně , kdy dochází ke zdvojování periody , ale ta-
ké, kdy o ustáleném stavu či periodě nemůže být ani řeči. To je dobře vidět např. v místech
(Obr. 16 d) cca A = 3.7, 3.8, či 3.9 a více. Toto „zrnění“, můžeme-li to tak nazvat, je de-
terministický chaos, který se v časovém rozvoji projeví jako křivka, která se nikdy přesně
neopakuje.
Dalším způsobem, jak znázornit chování takového systému je tzv. WEB diagram (Obr. 17)
[9, 14]. V tomto grafu představuje přímka jdoucí z počátku množinu tzv. pevných bodů,
které mají charakter odpuzování či přitahování. Pokud by takový např. přitahující bod byl
dosazen do logistické rovnice, pak by funkční hodnota byla stejná jako argument. Vlastní
křivka (Obr. 17 a) parabola, b) křivka připomínající hradní cimbuří) znázorňuje samotnou
logistickou rovnici s tím, že směrnice jejího průniku s přímkou (množinou pevných bodů)
udává charakter příslušného bodu, ale také i chování systému - rovnice v jeho okolí.
1
0.8
0.6
0.4
0.2
20 40 60 80
a)
0.6
0.5
0.4
0.3
10 20 30 40
b)