Karadzic_MFPg.pdf

UTICAJ NESTACIONARNOG TRENJA KOD HIDRAULIČKIH
PRELAZNIH PROCESA NA PRIMJERU INDUSTRIJSKOG
HIDROPOSTROJENJA
INFLUENCE OF UNSTEADY FRICTION ON HYDRAULIC
TRANSIENTS IN CASE OF INDUSTRIAL HYDROPOWER SYSTEM
Uroš Karadžić * , Anton Bergant ** , Petar Vukoslavčević *
Univerzitet Crne Gore, Mašinski fakultet, Cetinjski put bb, 81000 Podgorica, Crna Gora,
Telefon: +382 81 206 131 , Fax: +382 81 206 131, E-mail: urosk@cg.ac.yu ,
petarv@cg.ac.yu *
Litostroj EI, Litostrojska 50, 1000 Ljubljana, Slovenija, Telefon: +386 1 5824 284, Fax: +386
1 5824 174, E-mail: anton.bergant@litostroj-ei.si **
ABSTRACT: The value of the friction factor during unsteady flow in pipelines is different
from the value in steady flow conditions. For evaluating unsteady friction factor several
methods have been developed. An advanced Zielke’s model is presented and used in this
paper. A brief description of the method of characteristics as numerical tool for solving fluid
transient equations is given. Numerical results using unsteady friction model are compared
with results of measurements performed in industrial hydropower system as well as
numerical results using standard quasi-steady friction model. Effects of unsteady friction on
the shape and timing of pressure waves are investigated.
Key words: fluid transients, unsteady friction, the method of characteristics, hydropower
system
1.UVOD
U hidrauličkim sistemima sa raznim vrstama radnih fluida dešavaju se različite vrste prelaznih
procesa, tokom kojih dolazi do značajnih promjena projektovanih radnih parametara sistema.
U najgorem slučaju može doći i do havarije sistema (npr. prskanje cjevovoda). Izraz
hidraulički udar predstavlja sinonim za nestacionarno strujanje u cjevovodima pumpnih
postrojenja i hidroelektrana i dobio je ime zbog karakterističnog zvuka koji se javlja tokom
trajanja prelaznog procesa a koji liči na udare čekića. Hidraulički udar izaziva formiranje
talasa nadpritiska ili podpritiska koji se kroz protočni trakt hidrauličkog sistema prenosi
brzinom koja je bliska brzini zvuka. U hidroelektranama hidraulički udar može biti izazvan
ispadom turbine, njenim opterećivanjem ili promjenom opterećenja, pobjegom turbinskog
agregata, otvaranjem i zatvaranjem sigurnosnih preturbinskih zatvarača a u elektranama koje
su opremljene sa Peltonovim turbinama otvaranjem i zatvaranjem igala turbinskih mlaznica.
Usled promenljive brzine strujanja, koeficijent trenja u cjevovodima nema konstantnu
vrijednost već se mijenja tokom hidrauličkog udara i zahtijeva uvođenje posebnog modela za
njegovo izračunavanje. Planiranje novih ili obnova i modernizacija postojećih hidroelektrana
zahtijeva detaljnu analizu hidrauličkog udara u cilju dobijanja maksimalnih i minimalnih
pritisaka koji se mogu javiti u sistemu tokom njegove eksploatacije. Na taj način rezultati
istraživanja prelaznih procesa predstavljaju podlogu za projektovanje hidrauličkih sistema,
1

kao i mjera zaštite od neželjenog dejstva hidrauličkog udara i izbora optimalnih režima rada
tokom eksploatacije [1].
Ovaj članak se bavi uticajem hidrauličkog udara na rad visokopritisne hidroelektrane
Perućica, Crna Gora. U prvom dijelu rada dat je teorijski model prelaznih procesa u
hidrauličkim cijevnim sistemima sa osnovnim jednačinama koje ih opisuju a za njihovo
rešavanje korišćena je metoda karakteristika. Za određivanje nestacionarnog člana u izrazu za
koeficijent trenja korišćen je jedan od najnovijih pristupa [2] baziran na Zielke-ovom
konvolucijskom modelu [3]. Predstavljeni su različiti modeli zatvaranja mlaznica Peltonovih
turbine. Data je šema HE Perućica i navedena mjesta na kojima je vršeno mjerenje pritiska
tokom trajanja hidrauličkog udara. U drugom dijelu rada dato je poređenje numeričkih i
eksperimentalnih rezultata za slučajeve rasterećenja agregata sa dvije različite vrijednosti
snage. Pokazano je da se numerički model sa uključenim efektom nestacionarnosti trenja i
dvostepenim zatvaranjem turbinske mlaznice bolje slaže sa rezultatima mjerenja u poređenju
sa ostalim numeričkim modelima.
2. TEORIJSKI MODEL
Hidraulički udar predstavlja prostiranje talasa pritiska duž cjevovoda i izazvan je promjenom
strujnih uslova odnosno promjenom brzine strujanja fluida. Hidraulički udar je u potpunosti
opisan sa dvije parcijalne diferencijalne jednačine hiperboličkog tipa i to jednačinom
kontinuiteta i jednačinom promjene količine kretanja [4]:
2
∂H
a ∂Q
+ = 0 , (1)
∂t
gA ∂x
1
2
+
∂H
∂Q
Q Q
+ f
∂x
gA ∂t
gDA
2 =
0.
(2)
Detaljno izvođenje jedn. (3) i (4) kao i pretpostavke i uprošćenja pod kojim su
izvedene je moguće pronaći u literaturi [4], [5].
Jednačine (1) i (2) formiraju sistem kvazilinearnih parcijalnih diferencijalnih jednačina
hiperboličkog tipa. U ovim jednačinama zavisne promenljive su protok Q i pijezometarski
pritisak ili napor H a nezavisno promenljive su vrijeme t i prostorna koordinata
jednodimenzionog strujnog polja x. Za rešavanje ovih jednačina koristi se numerička metoda
poznata kao metoda karakteristika. Primjenom ove metode jednačine (1) i (2) se prevode u
obične diferencijalne jednačine uz istovremeno određivanje familija krivih u prostornovremenskoj
ravni duž kojih važi izvedena transformacija, (tzv. karakteristične linije ili
karakteristike). Primjenom konačnih razlika na kraju se dobijaju dvije algebarske jednačine,
pogodne za numeričko rešavanje koje za i-ti numerički čvor imaju sledeći oblik [4]:
duž C + karakteristične linije (Δx/Δt = a)
fΔx
( Q ) − ( Q ) ) + ( Q ) ( Q ) = 0
a
H i,
t − Hi
−1, t −Δt
+ u i,
t d i−1,
t −Δt
2 u i,
t d , i−1,
t −Δt
(3)
gA
2gDA
duž C - karakteristične linije (Δx/Δt = -a)
2

fΔx
( Q ) − ( Q ) ) − ( Q ) ( Q ) = 0
a
H i,
t − Hi
+ 1,
t −Δt
− d i,
t u i+
1,
t −Δt
2 d i,
t u i+
1,
t −Δt
. (4)
gA
2gDA
Vrijednost protoka uzvodno od numeričkog čvora i ((Qu)i) je jednaka vrijednosti
protoka nizvodno od numeričkog čvora ((Qd)i) sve dok je pritisak u sistemu veći od pritiska
isparavanja vodene pare za datu vrijednost temperature. U cilju potpune postavke problema
sistem jednačina se dopunjuje početnim i graničnim uslovima. Početni uslovi definišu strujne
parametre fluida u početnom vremenskom trenutku, prije djelovanja poremećaja. Granični
uslovi definišu promjenu parametara fluida na granicama sistema tokom vremena i oni u
graničnim tačkama dodaju karakterističnim jednačinama ili mijenjaju jednu od njih. Prilikom
numeričkog rešavanja u radu je korišćena tzv. dijamantska mreža metode karakteristika [4].
Uobičajeno je da se gubici usled trenja prilikom proračuna prelaznih procesa izražavaju
preko stacionarnog ili kvazistacionarnog koeficijenta trenja. Ova pretpostavka daje
zadovoljavajuće rezultate za spore prelazne procese kada se tangencijalni napon na zidu cijevi
ponaša kvazistacionarno. Prethodna istraživanja brzih prelaznih procesa pokazala su da
kvazistacionarna aproksimacija koeficijenta trenja daje rezultate koji značajno odstupaju od
eksperimentalnih rezultata [6]. Za brze prelazne procese se koeficijent trenja može izraziti kao
zbir dva člana, kvazistacionarnog i nestacionarnog [7]:
f = f + f . (5)
q
u
Kvazistacionarni član u prethodnoj jednačini fq se određuje na konvencionalan način u
funkciji Rejnoldsovog broja i relativne hrapavosti cjevovoda. Za određivanje nestacionarnog
člana u izrazu za koeficijent trenja tokom hidrauličkog udara u hidrauličkim cijevnim
sistemima u literaturi je moguće pronaći više metoda koji uključuju jednodimenzione (1D) i
dvodimenzione (2D) modele. Detaljnu klasifikaciju modela za određivanje nestacionarnog
koeficijenta trenja moguće je pronaći u [8].
U ovom radu je za izračunavanje nestacionarnog koeficijenta trenja korišćen tzv.
konvolucijski model (CBM). Konvolucijski model je razvio Zielke za prelazno laminarno
strujanje [3]. On je nestacionarni član u izrazu za koeficijent trenja iz jednačine (5), u
vremenskom domenu, izrazio kao konvoluciju lokalnog ubrzanja i težinske funkcije koja
uzima u obzir promjenu protoka u posmatranom presjeku tokom vremena:
32νA
⎛ ∂Q
⎞
⎜ * W ⎟
DQ Q ⎝ ∂t
⎠
fu = 0
() t
, (6)
gdje je W0 težinska funkcija zasnovana na početnim uslovima prije početka prelaznog
procesa.
Zielke je jednačinu (6) izveo koristeći potpunu konvolucijsku šemu koja je veoma
zahtjevna za korišćenje i primjenu, pogotovu kada je vremenski korak mali i vrijeme
simulacije veliko, jer je potrebno pamtiti kompletnu istoriju promjene protoka u posmatranom
presjeku [2], [9].
Jedan od najnovijih modela [2] za određivanje nestacionarnog koeficijenta trenja
aproksimira težinsku funkciju kao sumu N eksponencijalnih članova:
W
N
−nkτ
app(
τ ) = ∑ mke
. (7)
k = 1
3

Nestacionarni član u izrazu za koeficijent trenja može se sada predstaviti sledećom
jednačinom:
f
u
=
gdje je:
y
k
32νA
DQ Q
N
∑
k=
1
y
k
() t
t
∂Q
*
−nk
K
() ( t−t
t = m e )
∫
0
∂t
*
k
, (8)
dt
*
. (9)
Konstanta K (= 4ν/D 2 ) konvertuje vrijeme t u njegov bezdimenzijski oblik τ = 4νt/D 2 .
U trenutku t + 2Δt komponenta yk je:
y
k
t + 2Δt
∂Q
*
−nk
K
( ) ( t + 2Δt
−t
t + Δt
= m e
)
∫
*
2 k dt . *
(10)
∂t
0
Rešavanjem jednačine (10) i uvođenjem bezdimenzijskog vremenskog koraka
Δτ(=KΔt) dobija se izraz za yk i konačno za fu [1], [2]
{ }
−nk
KΔt
−nk
KΔt
( t + Δt)
= e e y ( t)
+ m [ Q(
t + 2Δt)
− Q(
t)
]
yk k k
2 . (11)
U trenutku t + 2Δt član yk(t) je poznat jer je izračunat u prethodnom vremenskom
trenutku pa sada u jednačini (11) više ne egzistira konvolucija što znatno olakšava
izračunavanje nestacionarnog koeficijenta trenja a takođe nije potrebno poznavanje ukupne
istorije promjene protoka tokom vremena. Jedina otežavajuća okolnost je što je sada u
svakom numeričkom čvoru potrebno pamtiti vrijednosti N dodatnih promenljivih yi tokom
vremena. Koeficijenti mk i nk su određeni za Zielke-ovu [3] i Vardy-Brown-ovu težinsku
funkciju [10], [11]. Vrijednosti koeficijenata mk i nk su date u [2]. Prilikom numeričkog
modeliranja CBM modela momentni korekcioni faktor β 0 je uključen u jednačine (1) i (2)
[12]. Momentni korekcioni faktor β 0 definisan za početne uslove prije početka prelaznog
procesa dat je sledećom jednačinom,
∫
2 2
β AV = v dA.
(12)
A
a izrazi za njegovo određivanje u zavisnosti od početne brzine strujanja dati su u [13].
Mlaznice turbina služe za regulaciju protoka a samim tim i za regulaciju snage jer je
kod visokopritisnih hidroelektrana sa Peltonovim turbinama neto pad približno konstantan.
Regulacija protoka se vrši pomjeranjem igle u mlaznici i odgovarajućim položajem odrezača
mlaza. Kako je neto pad približno konstantan, protok kroz mlaznicu uglavnom zavisi od
položaja igle mlaznice s a ne zavisi od brzine obrtanja turbine n i oblika lopatica [14].
Prilikom proračuna prelaznih procesa pravilno modeliranje zatvaranja mlaznica Peltonovih
turbina je od izuzetnog značaja jer je promjena protoka kroz mlaznicu jedan od osnovnih i
najčešćih uzroka pojave prelaznih procesa u sistemu. Protok kroz mlaznicu se može odrediti
na osnovu sledeće formule:
4

( Q ) K A g(
H − H )
u = Q m 2 i,
t
i,
t d , (13)
gdje je, KQ = koeficijent protoka mlaznice definisan za čitavi poprečni presjek mlaznice,
Am=dm 2 π/4 = površina poprečnog presjeka mlaznice, Hd = napor nizvodno od mlaznice (Hd
=65.8 [m] =const. za HE “Perućica”).
Na Sl.1. je prikazana funkcionalna zavisnost koeficijenta protoka mlaznice KQ i odnosa
koraka igle mlaznice s i prečnika mlaznice dm.
Slika 1. Koeficijent protoka mlaznice Peltonove turbine
Da bi se odredila promjena koeficijenta protoka tokom zatvaranja i otvaranja mlaznice
potrebno je poznavati zakon promjene hoda igle mlaznice koji je određen sledećim izrazom:
s =τ ⋅ s , (14)
0
gdje je, s0 = maksimalni hod igle mlaznice, τ = stepen otvorenosti mlaznice. Mlaznica može
da se zatvori u jednom koraku na osnovu sledeće relacije:
( τ − )
Em
⎛ t ⎞
τ = τ i − i τ f ⎜
t ⎟ , (15)
⎝ m ⎠
ili u dva koraka, prvi korak na osnovu formule (16) a drugi korak na osnovu formule (17):
( τ − )
Em1
⎛ t ⎞
τ = τ i − i τ f ⎜
t ⎟ , (16)
⎝ c1
⎠
Em
2
⎛ t − t ⎞ p
τ = τ p − ( τ p −τ
f ) ⎜ ⎟ . (17)
⎜ tc
− t ⎟
p
⎝
⎠
Jedn. (16) važi do trenutka t=tp a zatim se primjenjuje izraz (17). Vremena tp i tc1 su određena
iterativno i najbolji rezultati se dobijaju sa sledećim njihovim vrijednostima tp=0.98125tc,
5

tc1=0.995tc. Zatvaranje mlaznice u dva koraka predstavlja njeno stvarno zatvaranje što znači
da se mlaznica pri samom kraju zatvaranja kreće malo sporije.
3. ŠEMA INDUSTRIJSKOG HIDROPOSTROJENJA HE “PERUĆICA”
Visokopritisna hidroelektrana HE “Perućica” je složeni hidroenergetski sistem (Sl.2)
koji se nalazi u sklopu EPCG. Sistem pod pritiskom HE “Perućica” čini betonski tunel dužine
3335m, vodostan sa proširenjem i prelivom i tri čelična cjevovoda sa ugrađenim Peltonovim
turbinama sa horizontalnim vratilom na nizvodnom kraju. Cjevovodi su dužine oko 2 km pri
čemu cjevovod I napaja dva agregata (A1 i A2) snage po 40MVA kao i dva kućna agregata
(K1 i K2) snage po 1 MVA, cjevovod II napaja tri agregata (A3, A4 i A5) snage po 40MVA i
cjevovod III napaja dva agregata (A6 i A7) snage po 65MVA sa planiranim dodavanjem još
jednog agregata (A8) čija je snaga takođe 65MVA. Maksimalni radni nivo na ulaznoj
građevini je 613 mnm (mnm = metara nad morem) a minimalni radni nivo je 602.5 mnm.
Sl.2. Šema HE “Perućica”
Vodostan na HE “Perućica” je cilindrični sa promenljivom površinom poprečnog presjeka i
prelivom na koti 628 mnm čija je širina bpr=7.98 m a koeficijent preliva μ=0.4. Na ulazu u
vodostan, čiji je prečnik Dul=2.82m se nalazi asimetrični prigušivač. Koeficijenti lokalnih
gubitaka su prilikom uticanja vode u vodostan ζu=1.65 a prilikom isticanja ζi=2.48.
Koeficijent trenja u cjevovodima za stacionarno strujanje je fq=0.0125. Ispred agregata A1 do
A5 nalaze se predturbinski kuglasti zatvarači nominalnog prečnika Dz=1000mm. Svakom
agregatu pripadaju po dva kuglasta zatvarača tako da ih na ovom dijelu ima ukupno 10. Ispred
agregata A6 i A7 nalaze se kuglasti zatvarači nominalnog prečnika Dz=1200mm. Zatvarači
istih karakteristika su planirani i ispred budućeg agregata A8. U tabeli T.1. su date osnovne
karakteristike Pelton turbina ugrađenih u HE “Perućica”.
Agregat
Tabela T.1. Osnovne karakteristike turbinskih agregata
Broj radnih kola po
agregatu
Nominalni neto pad Hn
[m]
Maksimalni protok po
agregatu Q[m 3 /s]
Kućni 1 505 0.2
A1,A2,A3,A4 2 526 8.5
A5 2 526 8.5
A6,A7,A8 2 526 12.75
Agregat
Broj obrtaja turbine
n[min -1 ]
Broj obrtaja turbine pri
pobjegu n[min -1 ]
Nominalna snaga
agregata P[MW]
Kućni 1000 1800 0.858
6

A1,A2,A3,A4 375 675 39
A5 375 675 39
A6,A7,A8 428 790 59
Agregat
Zamajna masa turbine i
generatora GD 2 [tm 2 ]
Hod igle s[mm] Broj igala po turbini
Kućni - 42 1
A1,A2,A3,A4 675 150 1
A5 675 195 1
A6,A7,A8 800 166 2
Agregat Prečnik mlaznika dm[mm]
Minimalno vrijeme
zatvaranja igle za Qmax
tc[s]
Minimalno vrijeme
otvaranja igle za Qmax
to[s]
Kućni 65 15 (3 mjerenje) 5 (4 mjerenje)
A1,A2,A3,A4 315 80 30
A5 300 80 30
A6,A7,A8 255 80 50
Prečnik radnog kola Pelton turbina je Dk=2400m za agregate A1 do A5 i Dk=2100m
za agregate A6 do A8. Za vrijeme modernizacije i revitalizacije HE “Perućica” je u toku 2006
godine, između ostalog, izvršena i ugradnja novih mlaznica Peltonovih turbina na agregatima
A1 i A2. Prilikom probnog rada obnovljenih agregata A1 i A2, na HE “Perućica”, vršena su i
mjerenja raznih veličina kako bi se izabrali odgovarajući optimalni režimi rada pojedinih
elemenata sistema. Neke od mjerenih veličine su: pritisak ispred mlaznice turbine, hod igle
mlaznice, hod skretača mlaza, promjena broja obrtaja turbine, pritisak ispred kuglastog
zatvarača, pritisak iza kuglastog zatvarača. Sva mjerenja na agregatima A1 i A2 vršila su se
tokom primopredajnih ispitivanja opreme. Pritisci su mjereni pomoću davača za pritisak
Cerabar T PMP 131-A1101A70 firme Endress+Hauser koji mjere apsolutni pritisak u rasponu
0-100 bar sa tačnošću 0.5%. Za mjerenje hoda igle mlaznice i hoda skretača mlaza korišćeni
su davači firme Balluff BTL5-S112-M0175-B-532 za iglu i BTL5-S112-M0275-B-532 za
skretač. Tačnost ovih davača je 0.005mm. Za mjerenje broja obrtaja turbine korišćena je
zupčasta letva BES M18MI-PSC50B-S04K firme Balluff sa tačnošću mjerenja 0.005%.
4. POREĐENJE EKSPERIMENTALNIH I NUMERIČKIH REZULTATA
U ovom radu su predstavljeni rezultati dobijeni prilikom rasterećenja agregata A2 sa
dvije različite početne snage tj. rezultati dobijeni prilikom zatvaranja turbinskih mlaznica za
različite početne otvore mlaznice. Numerički rezultati dobijeni standardnim
kvazistacionarnim modelom trenja (QSF) i konvolucijskim modelom za određivanje
nestacionarnog koeficijenta trenja (CBM) dobijeni za zatvaranje mlaznice u jednom i u dva
koraka su upoređeni sa rezultatima mjerenja. Predstavljeni su eksperimentalni i numerički
rezultati za sledeće slučajeve: rasterećenje A2 sa početne snage od 10MW (0.25Pn) i
rasterećenje A2 sa početne snage od 30MW (0.75Pn). U sledećim tabelama se nalaze glavni
početni parametri za sve eksperimente i numeričke proračune. Strujanje u cjevovodu I je
turbulentno sa velikim vrijednostima Rejnoldsovog broja. Rezultati mjerenja i numeričkih
proračuna su upoređeni između mlaznice i kuglastog zatvarača.
Tabela T.2. Početne vrijednosti protoka kroz tunel i cjevovode
Test QI [m 3 /s] ReI / 10 6
QII [m 3 /s] QIII [m 3 /s] Qt [m 3 /s]
RA2P10MW 2.727 1.7679
0 3.3 6.027
RA2P30MW 7.0 4.538 0 3.3 10.3
7

Tabela T.3. Kvazistacionarni koeficijenti trenja i momentni korekcioni faktori
Test
Cjevovod I Cjevovod II Cjevovod III Tunel
fq β fq β fq β fq β
RA2P10MW 0.013 1.0128 0.0125 1.0122 0.01319 1.0129 0.0149 1.0146
RA2P30MW 0.0127 1.0124 0.0125 1.0122 0.01319 1.0129 0.0147 1.0144
Tabela T.4. Brzina prostiranja poremećajnog talasa za CBM model a[m/s]
Test Cjevovod I Cjevovod II Cjevovod III Tunel
RA2P10MW 1006.1 989.1 1013.01 1354.2
RA2P30MW 1005.9 989.1 1013.01 1354.4
Tabela T.5. Vrijeme zatvaranja mlaznice, nivoi na ulaznoj građevini, početna otvorenost
mlaznice i eksponenti zakona zatvaranja mlaznice
Test HR [mnm] tc [s] s0 [mm] Em Em1 Em2 Yi0 [%]
RA2P10MW 608.0 14.33 25.5 0.9 0.9 0.9 17.0
RA2P30MW 607.5 42.2 82.5 1.0 1.0 0.9 55.0
Različit broj podjela cjevovoda je uziman prilikom numeričkih proračuna (Tabela T.6)
kako bi se ispitala numerička stabilnost modela [15].
Tabela T.5. Vremenski korak integracije i broj podjela cjevovoda i betonskog tunela
Verzija N1
Δt=0.04 [s]
Verzija N2
Δt=0.02 [s]
Verzija N3
Δt=0.01 [s]
Verzija N4
Δt=0.005 [s]
Tunel 62 124 248 496
Cjevovod I 48 96 192 384
Cjevovod II 50 100 200 400
Cjevovod III 50 100 200 400
Brzine prostiranja poremećajnog talasa za QSF model su: at=1344.758 [m/s],
aI=999.74 [m/s], aII=983.15 [m/s], aIII=1006.55 [m/s]. Na Sl.3 je dato poređenje numeričkih i
rezultata mjerenja za slučaj rasterećenja agregata A2 sa snage P=10MW (RA2P10MW).
8

Sl.3. Promjena napora na mlaznici za RA2P10MW, Verzija N1
Maksimalni napor na mlaznici se dobija kada talas pritiska dođe nazad do mlaznice u
trenutku t=3.53s i mjerenjem je dobijena vrijednost Hmax=626.77m. Maksimalni porast
napora u sistemu iznosi ΔH= 19.1m. Numerički modeli daju veće vrijednosti maksimalnih
napora u trenutku t=3.31s i to Hmax=632.86m (QSF 1K –jedan korak), Hmax=633.23m (CBM
1K), Hmax=632.94m (QSF 2K –dva koraka), Hmax=633.81m (CBM 2K). Svi numerički modeli
imaju odličan tajming sa rezultatima mjerenja sve do trenutka potpunog zatvaranja mlaznice.
Nakon toga dolazi do odstupanja u fazi napora. CBM model nakon zatvaranja mlaznice daje
približnije vrijednosti amplituda u poređenju sa kvazistacionarnim modelom. Zatvaranje u
jednom i dva koraka daje približno iste rezultate napora i kod CBM i kod QSF modela. Bitno
je primijetiti da maksimalni napori koji se javljaju u sistemu imaju vrijednost koja je manja od
maksimalno dozvoljenog napora a koji iznosi Hdoz=667.72m. Može se zaključiti da CBM
model ipak daje rezultate približnije eksperimentalnim i prilikom zatvaranja mlaznice u
jednom i u dva koraka.
Na Sl.4 je dato poređenje numeričkih i rezultata mjerenja za slučaj rasterećenja
agregata A2 sa snage P=30MW (RA2P30MW).
9

Sl.4. Promjena napora na mlaznici za RA2P30MW, Verzija N1
Za ovaj slučaj maksimalni napor na mlaznici se dobija u trenutku potpunog zatvaranja
mlaznice i rezultat dobijen mjerenjem je Hmax=622.62m u trenutku t=41.41s. Maksimalni
porast napora u sistemu iznosi ΔH= 18.58m. Svi numerički modeli pokazuju odlično slaganje
sa rezultatima mjerenja do trenutka zatvaranja mlaznice. Maksimalni napor za QSF 1K od
Hmax=622.27m se javlja u trenutku t=42.15s, Hmax=622.68m (CBM 1K) u trenutku t=42.14s,
Hmax=622.15m (QSF 2K) u trenutku t=41.38s, Hmax=622.58m (CBM 2K) u trenutku
t=41.35s. Nakon zatvaranja mlaznice svi modeli daju nešto veće vrijednosti napora na
mlaznici pri čemu zatvaranja mlaznice u dva koraka i QSF i CBM model daju nešto bolje
rezultate. I u ovom slučaju maksimalni napor u sistemu je manji od maksimalno dozvoljenog.
Na Sl.5. je prikazana promjena napora na mlaznici za različit broj podjela cjevovoda i
betonskog tunela za prethodno navedene primjere rasterećenja agregata. Promjene su date za
CBM 2K model.
10

Sl.5. Promjena napora na mlaznici za RA2P10MW i RA2P30MW za različit broj podjela
cjevovoda
Sa sl.5 se vidi da CBM model daje približno iste rezultate za različit broj podjela
cjevovoda za slučajeve rasterećenja agregata A2 sa P=10MW i P=30MW. Verzije N2, N3 i
N4 daju skoro iste rezultate, jedino se verzija N1 malo razlikuje. Usled toga se može
preporučiti da se za numeričke proračune koriste verzije sa većim brojem podjela cjevovoda.
Bitan zaključak je i da se model ponaša numerički stabilno.
5. ZAKLJUČAK
Rezultati dobijeni numeričkim modelom koji u sebe uključuje kvazistacionarni model za
određivanje koeficijenta trenja (QSF) i numeričkim modelom koji nestacionarni član u izrazu
za koeficijent trenja određuje pomoću konvolucijskog modela (CBM) dobijeni za zatvaranje
mlaznice u jednom i u dva koraka su upoređeni sa rezultatima mjerenja. Rezultati mjerenja su
dobijeni na industrijskom postrojenju HE “Perućica” za slučajeve rasterećenja agregata A2 sa
dvije različite početne vrijednosti snage. Na osnovu dobijenih rezultata može se zaključiti da
se numerički model sa uključenim efektom nestacionarnosti trenja bolje slaže sa rezultatima
mjerenja u odnosu na model sa kvazistacionarnim trenjem. Uticaj različitog broja podjela
cjevovoda i tunela je takođe razmatran i zaključeno je da se sa povećanjem broja podjela
cjevovoda model ponaša numerički stabilno. Usled dobrog slaganja sa rezultatima mjerenja
CBM numerički model sa zatvaranjem turbinske mlaznice u dva koraka se preporučuje za
inženjersku praksu.
6. OZNAKE
U radu su korišćene sledeće oznake
A = površina poprečnog presjeka
Am = površina poprečnog presjeka mlaznice
a = brzina prostiranja poremećajnog talasa
bpr = širina preliva vodostana
D = prečnik cjevovoda
Dk = prečnik radnog kola turbine
Dul = prečnik na ulazu u vodostan
Dz = prečnik kuglastog zatvarača
dm = prečnik mlaznice
= eksponent zakona zatvaranja mlaznice
Em
11

f = Darcy-Weisbach-ov koeficijent trenja
g = gravitaciono ubrzanje
H = pijezometrijski pritisak (napor)
Hd = napor nizvodno od mlaznice
K =4ν/D 2 = konstanta koja konvertuje vrijeme u njegov bezdimenzijski oblik
KQ = koeficijent protoka mlaznice
L = dužina cjevovoda
mk, nk
= koeficijenti sume
N = broj podjela cjevovoda
n = broj obrtaja turbine
P = snaga agregata
Q = zapreminski protok
Qd = protok nizvodno od numeričkog čvora
Qu = protok uzvodno od numeričkog čvora
Re = Reynolds-ov broj = VD/ν
s = hod igle mlaznice
t, t *
= vrijeme
tc
= vrijeme zatvaranja ventila
V = brzina strujanja fluida
W = težinska funkcija
x = prostorna koordinata
= stepen otvorenosti mlaznice
Yi
yk
= komponenta težinske funkcije
β = momentni korekcioni faktor
Δt = vremenski korak integracije
Δx = prostorni korak integracije
Δτ = bezdimenzijski vremenski korak
μ = koeficijent preliva vodostana
ν = kinematska viskoznost
τ = bezdimenzijsko vrijeme, bezdimenzijski stepen otvorenosti mlaznice
ζu = koeficijent gubitaka prilikom uticanja u vodostan
= koeficijent gubitaka prilikom isticanja iz vodostana
ζi
Subskripti:
app = približan
doz = dozvoljeni
i = broj numeričkog čvora
max = maksimalni
n = nominalni
q = kvazistacionarni dio
t = vrijeme
u = nestacionarni dio
0 = početno ili referentno stanje
I, II, III = cjevovodi I, II, III
Skraćenice:
QSF = numerički model sa kvazistacionarnim trenjem
CBM = numerički model sa konvolucijskim modelom nestacionarnog trenja
K1 = zatvaranje mlaznice u jednom koraku
K2 = zatvaranje mlaznice u dva koraka
12

7. ZAHVALNICA
Autori izražavaju zahvalnost ARRS-u (Agencija za istraživačku djelatnost Republike
Slovenije) i ZAMTES-u (Zavod za međunarodnu naučnu, prosvjetno kulturnu i tehničku
saradnju Republike Crne Gore) na finansijskoj podršci za navedena istraživanja.
LITERATURA
[1] Karadžić, U. (2004). Analiza fenomena prelaznih procesa u hidrauličkim sistemima.
Magistarski rad, Mašinski fakultet, Univerzitet Crne Gore, Podgorica, Srbija i Crna
Gora.
[2] Vítkovský, J., Stephens, M., Bergant, A., Lambert, M., Simpson, A.R. (2004). Efficient
and accurate calculation of Zielke and Vardy-Brown unsteady friction in pipe transients.
Proceedings of the 9 th International Conference on Pressure Surges, BHR Group, Chester,
UK, 15 pp.
[3] Zielke, W. (1968). Frequency-dependent friction in transient pipe flow. Journal of Basic
Engineering, ASME, 90(1), 109 - 115.
[4] Wylie, E.B., Streeter, V.L. (1993). Fluid transients in systems. Prentice Hall, Englewood
Cliffs, USA.
[5] Bergant, A., and Simpson, A.R. (1997). Development of a generalised set of pipeline
water hammer and column separation equations. Research Report No. R149. Department
of Civil and Environmental Engineering, University of Adelaide, Adelaide, Australia.
[6] Bergant A., Simpson, A.R. (1994). Estimating unsteady friction in transient cavitating pipe
flow. Proceedings of the 2 nd International Conference on Water Pipeline Systems, BHR
Group, Edinburgh, UK, 333 - 342.
[7] Vardy, A.E. (1980). Unsteady flow: fact and friction. Proceedings of the 3 rd International
Conference on Pressure Surges, BHRA, Cantenbury, UK, 15 - 26.
[8] Bergant, A., Simpson, A.R., and Vitkovsky, J. (2001). Developments in unsteady pipe
flow friction modelling. Journal of Hydraulic Research, IAHR, 39(3), 249-257.
[9] Zhao, M., Ghidaoui, M.S. (2004). Review and analysis of 1-D and 2-D energy dissipation
models for transient flows. Proceedings of the 9 th International Conference on Presure
Surges, BHR Group, Chester, UK, 477-492.
[10] Vardy, A.E., Brown, J.M.B. (2003). Transient turbulent friction in smooth pipe flows.
Journal of Sound and Vibration, 259(5), 1011 - 1036.
[11] Vardy, A.E., Brown, J.M.B. (2004). Transient turbulent friction in fully rough pipe flows.
Journal of Sound and Vibration, 270, 233 - 257.
[12] Bergant, A., Karadžić, U., Vítkovský, J., Vušanović, I., Simpson, A.R. (2005). A Disrete
Gas-Cavity Model that Considers the Frictional Effects of Unsteady Pipe Flow. Strojniški
Vestnik – Journal of Mechanical Engineering, 51(11), 692-710.
[13] Chen, C.L. (1992). Momentum and energy coefficients based on power-law velocity
profile. Journal of Hydraulic Engineering, ASCE, 118(11), 1571 - 1584.
[14] Benišek, M. (1998). Hidraulične turbine. Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu, SR
Jugoslavija.
[15] Maudsley, D. (1984). Errors in simulation of pressure transients in a hydraulic system.
Proceedings of the Institute of Measurement and Control, 6(1), 7 – 12.
13