1fs081

Zadatak 081 (Kety, srednja škola)

Kolika je brzina čamca s obzirom na obalu ako se čamac kreće uz tok rijeke? Brzina je toka

rijeke v 1 = 2 m/s, a brzina čamca s obzirom na mirnu vodu v 2 = 4 m/s.

Rješenje 081

v 1 = 2 m/s, v 2 = 4 m/s, v = ?

Relativna brzina v čamca s obzirom na obalu, ako se čamac kreće uz tok rijeke, jednaka je razlici

brzina v 2 i v 1 :

m m m

v = v

2

− v

1

= 4 − 2 = 2 .

s s s

v 1

v 2

Vježba 081

Kolika je brzina čamca s obzirom na obalu ako se čamac kreće uz tok rijeke? Brzina je toka

rijeke v 1 = 2 m/s, a brzina čamca s obzirom na mirnu vodu v 2 = 5 m/s.

Rezultat:

3 m/s.

Zadatak 082 (Kety, srednja škola)

Kolika je brzina čamca s obzirom na obalu ako se čamac kreće okomito na tok rijeke?

Brzina je toka rijeke v 1 = 2 m/s, a brzina čamca s obzirom na mirnu vodu v 2 = 4 m/s.

Rješenje 082

v 1 = 2m/s, v 2 = 4 m/s, v = ?

Relativna brzina v čamca s obzirom na obalu, ako se čamac kreće okomito na tok rijeke dobije se

pomoću Pitagorina poučka gdje je v hipotenuza pravokutnog trokuta, a brzine v 1 i v 2 su njegove katete.

v 1

v

v 2

v 1

2 2

2 2 2 2 2 m m m

v = v

1 + v

2 ⇒ v = v

1 + v

2

= ⎛ ⎞

2 4 4.47 .

s + ⎛ ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ s ⎠

=

s

Vježba 082

Kolika je brzina čamca s obzirom na obalu ako se čamac kreće okomito na tok rijeke?

Brzina je toka rijeke v 1 = 3 m/s, a brzina čamca s obzirom na mirnu vodu v 2 = 4 m/s.

Rezultat:

5 m/s.

Zadatak 083 (Mario, gimnazija)

Automobil se giba niz brijeg i u jednom trenutku ima brzinu 17 m/s. Kolika je horizontalna i

vertikalna komponenta njegove brzine u tom trenutku ako brijeg ima nagib 30°?

Rješenje 083

v = 17 m/s, α = 30°, v 1 = ?, v 2 = ?

Na slici uočimo pravokutan trokut (v je hipotenuza, a v 1 i v 2 su njegove katete) i pomoću sinusa i

kosinusa dobijemo tražene komponente brzine:

• horizontalna komponenta brzine v 1 :

1

v

1

m 0 m

cosα

= ⇒ v

1

= v ⋅ cosα

= 17 ⋅ cos30 = 14.72 .

v s s

• vertikalna komponenta brzine v 2 :

v

2

m 0 m

sinα

= ⇒ v

2

= v ⋅ sin α = 17 ⋅ sin 30 = 8.50 .

v s s

v 1

v

α

F

v 2

α

α

Vježba 083

Automobil se giba niz brijeg i u jednom trenutku ima brzinu 34 m/s. Kolika je horizontalna i

vertikalna komponenta njegove brzine u tom trenutku ako brijeg ima nagib 30°?

m

m

Rezultat: v

1

= 29.44 , v

2

= 17 .

s

s

Zadatak 084 (Dado, maturant)

Čamac prelazi rijeku okomito na njezin tok brzinom 7.2 km/h. Kad je stigao na suprotnu

obalu, tok ga je rijeke odnio 150 m nizvodno. Treba naći brzinu toka rijeke ako je ona široka 500 m.

Koliko je vremena trebalo da čamac prijeñe rijeku?

Rješenje 084

v č = 7.2 km/h = [7.2 : 3.6] = 2 m/s, s = 150 m, d = 500 m, v r = ?, t = ?

To je složeno gibanje. Tijelo se složeno giba kad istodobno obavlja dva ili više gibanja. Pri takvom

gibanju vrijedi načelo neovisnosti gibanja koje glasi:

Kad tijelo istodobno obavlja dva gibanja, giba se tako da se u svakom trenutku nalazi u točki do

koje bi stiglo kad bi obavilo samo jedno gibanje u odreñenom vremenskom razmaku, a neovisno

o tom gibanju istodobno i drugo gibanje u istom vremenskom razmaku.

s

d

v č

v r

Zbog načela neovisnosti gibanja za prijelaz preko rijeke čamac je trebao:

d 500 m

d = v

č

⋅t ⇒ t = = = 250 s.

v m č 2

s

Brzina v r toka rijeke iznosi:

s = vr

⋅t ⎫⎪

⎡podijelimo⎤

s vr ⋅t s vr ⋅t

s vr s ⋅v

/ v

č

⎬ ⇒ ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⋅ v

d v t r

jednadžbe d v

č

t d v d v č

⇒ = =

=

č

⋅ ⎢ ⎥

⎪⎭

⎣ ⎦

⋅

č

⋅t

č

d

2

m

150 m ⋅ 2

m

=

s

= 0.60 .

500 m s

Vježba 084

Čamac prelazi rijeku okomito na njezin tok brzinom 7.2 km/h. Kad je stigao na suprotnu

obalu, tok ga je rijeke odnio 300 m nizvodno. Treba naći brzinu toka rijeke ako je ona široka 1000 m.

Rezultat: 0.6 m/s.

Zadatak 085 (Marijana, srednja škola)

Saonice klize niz brijeg koji ima nagib 30°. Koliku brzinu imaju saonice pošto su se spustile

niz brijeg za 16 m ako pretpostavimo da su se počele gibati iz stanja mirovanja i bez trenja?

(g = 9.81 m/s 2 )

Rješenje 085

α = 30°, s = 16 m, g = 9.81 m/s 2 , v = ?

Jednoliko ubrzano gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

2

v = 2 ⋅ a ⋅ s,

gdje su v i s brzina, odnosno put za tijelo pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo jednoliko ubrzano

akceleracijom a za vrijeme t.

a

30°

30°

g

Sa slike vidi se da je akceleracija a gibanja niz kosinu dana izrazom:

0 a

0 1 g

sin 30 = ⇒ a = g ⋅sin 30 ⇒ a = g ⋅ ⇒ a = .

g

2 2

Brzina saonica v, pošto su se spustile niz brijeg, iznosi:

2 2 g 2 g 2

v = 2⋅ a ⋅ s ⇒ v = 2⋅ ⋅ s ⇒ v = 2 ⋅ ⋅ s ⇒ v = g ⋅ s / ⇒ v = g ⋅ s =

2 2

m

m

⇒ v = 9.81 ⋅ 16 m = 12.53 .

2

s

s

Vježba 085

Saonice klize niz brijeg koji ima nagib 30°. Koliku brzinu imaju saonice pošto su se spustile

niz brijeg za 64 m ako pretpostavimo da su se počele gibati iz stanja mirovanja i bez trenja?

(g = 9.81 m/s 2 )

Rezultat:

25.06 m/s.

Zadatak 086 (Danijel, gimnazija)

Želimo čamcem prijeći rijeku točno pod pravim kutom na smjer toka rijeke. Pod kojim kutom

2

β prema obali bismo morali usmjeriti čamac? Brzina čamca je brzine rijeke.

3

3

Rješenje 086

Složena gibanja

v r – brzina rijeke,

v č – brzina čamca,

R

2

v

č = v r ,

3

⋅ β = ?

r 2

r

v

v 2

v 1

A

r 1

Tijelo se složeno giba kad istodobno obavlja dva ili više gibanja. Pri takvom gibanju vrijedi načelo

neovisnosti gibanja koje glasi: Kad tijelo istodobno obavlja dva gibanja, giba se tako da se u svakom

trenutku nalazi u točki do koje bi stiglo kad bi obavilo samo jedno gibanje u odreñenome vremenskom

razmaku, a neovisno o tom gibanju istodobno i drugo gibanje u istom vremenskom razmaku.

Rezultantni položaj R tijela početnog položaja A nalazit će se u vrhu paralelograma što ćemo ga dobiti

→ →

kad vektorski zbrojimo vektore pomaka r

1 odnosno r 2 koji su nastali zbog prvog ili drugog gibanja

(komponenata gibanja). Na isti ćemo način slagati brzine u jednom trenutku složenog gibanja.

β

v č

β

v

β

Sa slike vidi se:

v

v

v 1

cos β =

r

⇒ cos β =

r

⇒ cos β = r

⇒ cos β = ⇒

v 2 2 2

č ⋅ v r

⋅ v r

3 3 3

3 1 3 0

cos β β cos

− ⎛ ⎞

⇒ = ⇒ = ⇒ β = 30 .

2 ⎜

2 ⎟

⎝ ⎠

Vježba 086

Želimo čamcem prijeći rijeku točno pod pravim kutom na smjer toka rijeke. Pod kojim kutom

β prema obali bismo morali usmjeriti čamac? Brzina čamca je 2 puta veća od brzine rijeke.

Rezultat: 60°.

Zadatak 087 (Vicko, grañevinska škola)

Mjesta A i B udaljena su 400 km. Iz mjesta A prema mjestu B krene prvi vozač vozeći

brzinom 70 km/h. Istodobno iz mjesta B prema A krene drugi vozač vozeći brzinom 90 km/h. Na

kojoj će se udaljenosti od mjesta A sresti?

Rješenje 087

s = 400 km, v 1 = 70 km/h, v 2 = 90 km(h, s 1 = ?

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje za koje vrijedi izraz

s = v ⋅ t,

gdje je s put tijela pošto se pokrenulo iz mirovanja i gibalo stalnom, konstantnom brzinom v za

vrijeme t.

1.inačica

4

v r

Neka je t vrijeme koje je prošlo do susreta automobila. Za to vrijeme je:

Tada je:

• prvi automobil prešao put

• drugi automobil prešao put

s

1

= v

1

⋅ t

s

2

= v

2

⋅ t.

1

s

( ) / ⋅

.

s

1

+ s

2

= s ⇒ v

1

⋅ t + v

2

⋅ t = s ⇒ t ⋅ v

1

+ v

2

= s ⇒ t =

v

1

+ v

2

v

1

+ v

2

Put s 1 od mjesta A do susreta automobila iznosi:

s

1

= v

1

⋅t

⎫

km

70

⎪

s

v

s

1 h

⎬ ⇒ s

1

= v

1

⋅ ⇒ s

1

= ⋅ s = ⋅ 400 km = 175 km.

t = v km km

1

+ v

2

v

1

+ v

v

2 70 90

1

+ v ⎪

+

2 ⎭

h h

A

v 1

s

v 2

B

s 1

s 2

A

s

2.inačica

Budući da su brzine automobila v 1 = 70 km/h i v 2 = 90 km/h, svakog sata automobili su bliži jedan

drugome za

70 + 90 = 160 km

pa će se sastati nakon

400 : 160 = 2.5 h.

Pri tome se prvi automobil prijeći put dug

3.inačica

Grafički prikažimo mjesto susreta

70 · 2.5 = 175 km.

Vježba 087

Mjesta A i B udaljena su 400 km. Iz mjesta A prema mjestu B krene prvi vozač vozeći

brzinom 140 km/h. Istodobno iz mjesta B prema A krene drugi vozač vozeći brzinom 180 km/h. Na

kojoj će se udaljenosti od mjesta A sresti?

Rezultat:

s / km

400

175 km.

375

350

325

300

275

250

225

200

175

150

125

100

75

50

25

B

A

1

90 km

70 km

2

5

susret

2.5 3 4

5

t / h

B

Zadatak 088 (Valentina, gimnazija)

U 17 h 37 min prvi vlak krene iz postaje A prema postaji B brzinom 100 km/h, a u 18 h 0 min

krene drugi vlak iz postaje B prema postaji A brzinom 92 km/h. Udaljenost od A do B je 193 km.

Odredi kada će se vlakovi sresti.

Rješenje 088

t 1 = 17 h 37 min vrijeme polaska prvog vlaka, v 1 = 100 km/h, t 2 = 18 h 0 min vrijeme

polaska drugog vlaka, v 2 = 92 km/h, s = 193 km, t = ?

Pretpostavimo da će se vlakovi susresti u vrijeme t na udaljenosti s 1 od postaje A. Do trenutka susreta

prvi vlak prevalit će put

s

1

= v

1

⋅( t − t

1),

a drugi će vlak prevaliti put

s

2

= v

2

⋅( t − t

2 ).

Budući da je

s

1

+ s

2

= s,

slijedi:

( ) ( )

( ) ( )

s

1

+ s

2

= s ⇒ v

1

⋅ t − t

1

+ v

2

⋅ t − t

2

= s ⇒ v

1

⋅t − v

1

⋅ t

1

+ v

2

⋅t − v

2

⋅ t

2

= s ⇒

⇒ v

1

⋅ t + v

2

⋅t − v

1

⋅t 1

− v

2

⋅ t

2

= s ⇒ t ⋅ v

1

+ v

2

− v

1

⋅t 1

− v

2

⋅ t

2

= s ⇒

1 s + v

( )

/

1

⋅ t

1

+ v

2

⋅t

⇒ t ⋅ v 2

1

+ v

2

= s + v

1

⋅ t

1

+ v

2

⋅t 2

⋅ ⇒ t = ⇒

v

1

+ v

2

v

1

+ v

2

⎡budući da t

1

i t

2

nisu vremena gibanja vlakova, ⎤ s + v

1

⋅ t

1

+ v

2

⋅t

2

+ v

2

⋅t 1

− v

t

2

⋅t

⇒ 1

⎢

⎥ ⇒ = ⇒

⎣nego vremena polazaka, moramo prepraviti jednadžbu ⎦

v

1

+ v

2

( ) ( )

s + v ⋅t − v ⋅ t + v ⋅ t + v ⋅t

s + v

2 2 2 1 1 1 2 1

2

⋅ t

2

− t

1

+ t

1

⋅ v

1

+ v

⇒ t = ⇒ t =

2

⇒

v + v v + v

1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( v + v ) ( )

s + v

2

⋅ t

2

− t

1

t

1

⋅ v

1

+ v

2

s + v

2

⋅ t

2

− t

1

t

1

⋅

1 2

s + v

2

⋅ t

2

− t

⇒ t = + ⇒ t = + ⇒ t =

1

+ t ⇒

v + v v + v v + v v + v

v + v 1

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

km

s + v ( )

193 92 ( 18 0 min 17 37 min)

2

⋅ t

2

− t

km + ⋅ h − h

⇒ t = t

1

1

+ ⇒ t = 17 h 37 min+ h

⇒

v

km km

1

+ v

2 100 + 92

h h

km

193 km + 92 ⋅( 17 h 60 min−17 h 37 min)

⇒ t = 17 h 37 min+ h

⇒

km

192

h

km

193 km + 92 ⋅( 17 h 60 min−17 h 37 min)

⇒ t = 17 h 37 min+ h

⇒

km

192

h

6

km

km 23

193 km + 92 ⋅ 23 min 193 km + 92 ⋅ h

⇒ t = 17 h 37 min+ h

⇒ t = 17 h 37 min+ h 60

⇒

km

km

192

192

h

h

km 23

193 km + 92 ⋅ h

⇒ t = 17 h 37 min+ h 60

⇒ t = 17 h 37 min+ 1.188888889 h ⇒

km

192

h

⇒ t = 17 h 37 min+ 1 h + 0.188888889 h ⇒ t = 17 h 37 min+ 1 h + 0.188888889 ⋅60 min

⇒

⇒ t = 17 h 37 min+ 1 h + 0.188888889⋅60 min ⇒ t = 17 h 37 min+ 1 h + 11 min ⇒

A

⇒ t = 17 h 37 min+ 1 h 11 min ⇒ t = 18 h 48 min.

B

s 1

s

Vježba 088

U 17 h 37 min prvi vlak krene iz postaje A prema postaji B brzinom 100 km/h, a u 18 h

10 min krene drugi vlak iz postaje B prema postaji A brzinom 92 km/h. Udaljenost od A do B je 193

km. Odredi kada će se vlakovi sresti.

Rezultat:

18 h 53 min.

s 2

Zadatak 089 (Davor, srednja škola)

Od trenutka kada se vidi munja do trenutka kada se čuje udar groma proñe 7 s. Koliko je

udaljeno mjesto udara groma od slušatelja? (brzina zvuka u vakuumu, i zraku, v = 330 m/s, brzina

zvuka mnogo je manja od brzine svjetlosti)

Rješenje 089

t = 7 s, v = 330 m/s, s = ?

Munja je naglo pražnjenje atmosferskog elektriciteta koncentriranog u olujnim oblacima, bljesak od

tog pražnjenja.

Grom je prasak uz sijevanje munje.

s

Budući da je udaljenost mjesta udara groma od slušatelja jednaka prijeñenom putu s zvuka za vrijeme

t, slijedi:

m

s = v ⋅ t = 330 ⋅ 7 s = 2310 m = 2.31 km.

s

Vježba 089

Od trenutka kada se vidi munja do trenutka kada se čuje udar groma proñe 5 s. Koliko je

udaljeno mjesto udara groma od slušatelja? (brzina zvuka u vakuumu, i zraku, v = 330 m/s, brzina

zvuka mnogo je manja od brzine svjetlosti)

Rezultat:

1.65 km.

Zadatak 090 (Iva, srednja škola)

Brzina Zemljina satelita je 8 km/s. Izrazi brzinu u m/s i cm/s.

v

7

Rješenje 090

v = 8 km/s, v = ?

Zadanu brzinu pretvaramo u m/s.

3

1 km = 1000 m ⇒ 1 km = 10

m.

3

km 10 m 3 m

v = 8 ⇒ v = 8⋅ ⇒ v = 8⋅

10 .

s s s

Zadanu brzinu pretvaramo u cm/s.

1 km = 1000 m

1 m = 100

cm

⎫

⎬

⎭

5

⇒ 1 km = 1000 ⋅100 cm ⇒ 1 km = 100 000 cm ⇒ 1 km = 10 cm.

5

km 10 m 5 m

v = 8 ⇒ v = 8⋅ ⇒ v = 8⋅

10 .

s s s

Vježba 090

Brzina Zemljina satelita je 3 km/s. Izrazi brzinu u m/s i cm/s.

Rezultat:

3 · 10 3 m/s , 3 · 10 5 cm/s.


Brzina zvuka u zraku iznosi oko 330 m/s. Izrazi brzinu u km/h i km/s.

Rješenje 091

v = 330 m/s, v = ?

Zadanu brzinu pretvaramo u km/h.

1 1

1 km = 1000 m ⇒ 1 m = km , 1 h = 3600 s ⇒ 1 s = h.

1000 3600

1

km

m 1000

3600 km 3600

km

v = 330 ⇒ v = 330 ⇒ v = 330 ⋅ ⇒ v = 330

⋅ ⇒

s 1 1000 h 1000

h

h

3600

km

km

⇒ v = 33⋅36 ⇒ v = 1188 .

h

h

Zadanu brzinu pretvaramo u km/s.

1

1 km

= 1000 m ⇒ 1 m = km.

1000

1

km

m 1000

1 km km

v = 330 ⇒ v = 330 ⇒ v = 330 ⋅ ⇒ v = 0.330 .

s s 1000 s s

Vježba 091

Brzina zvuka u zraku iznosi oko 330 m/s. Izrazi brzinu u km/min.

Rezultat:

19.8 km/min.


Brzina zrakoplova prema zraku iznosi 500 km/h. Kolika je brzina zrakoplova s obzirom na tlo

ako vjetar brzine 30 km/h puše:

a) u susret zrakoplovu,

b) u leña zrakoplovu?

8

Rješenje 092

v 1 = 500 km/h, v 2 = 30 km/h, v = ?

a) Budući da vjetar brzine v 2 puše u susret zrakoplovu, brzina zrakoplova v obzirom na tlo jednaka je

razlici njegove brzine prema zraku v 1 i brzine vjetra v 2 (vjetar usporava zrakoplov!):

km km km

v = v

1

− v

2

= 500 − 30 = 470 .

h h h

v 1

v 2

b) Budući da vjetar brzine v 2 puše u leña zrakoplovu, brzina zrakoplova v s obzirom na tlo jednaka je

zbroju njegove brzine prema zraku v 1 i brzine vjetra v 2 (vjetar ubrzava zrakoplov!):

km km km

v = v

1

+ v

2

= 500 + 30 = 530 .

h h h

v 2

v 1

Vježba 092

Brzina zrakoplova prema zraku iznosi 600 km/h. Kolika je brzina zrakoplova s obzirom na tlo

ako vjetar brzine 70 km/h puše u susret zrakoplovu?

Rezultat:

530 km/h.


Parobrod plovi niz rijeku brzinom 19 km/h s obzirom na obalu, a u suprotnom smjeru brzinom

11 km/h.

a) Kolika je brzina toka rijeke ako stroj radi uvijek istom snagom?

b) Kolika je brzina broda s obzirom na vodu?

Rješenje 093

v 1 = 19 km/h, v 2 = 11 km/h, v r = ?, v b = ?

Neka je v r brzina rijeke, a v b brzina parobroda s obzirom na vodu.

Kada parobrod plovi niz rijeku rezultantna brzina v 1 (brzina s obzirom na obalu) jednaka je zbroju

brzine parobroda s obzirom na vodu v b i brzine rijeke v r (brzina rijeke ubrzava parobrod!):

v b + v r = v 1

.

v b

v r

v b

v r

v 1

Kada parobrod plovi uz rijeku rezultantna brzina v 2 (brzina s obzirom na obalu) jednaka je razlici

brzine parobroda s obzirom na vodu v b i brzine rijeke v r (brzina rijeke usporava parobrod!):

v b − v r = v 2

.

v r

v 2

v b

v b

Riješimo sustav jednadžbi:

v r

9

v + vr

= v

b 1 ⎫⎪

⎡metoda suprotnih⎤

v

2 2

/: 2

1 + v

⎬ ⇒ ⎢ ⎥ ⇒ ⋅ v v 2

koeficijenat

1

v

2

v v

1

v

2

v

v v v

2

a

b

= + ⇒ ⋅

b

= + ⇒

b

= ⇒

b

− r = ⎣

⎦

2

⎪⎭

v + vr

= v

1

v v

1

v

b ⎫ r = −

b ⎫

v + v

1 2

⎪

⎪

⇒ v = brzina broda s obzirom na vodu

⇒

b

v + v ⎬ ⇒ v + v ⎬ ⇒

2

v =

1 2

v =

1 2

b ⎪

2 b ⎪

⎭

2 ⎭

v

1

+ v

2

2⋅ v

1

− v

1

− v

2

v

1

− v

⇒ v v

2

r =

1

− ⇒ vr = ⇒ vr

=

2 2 2

a) Brzina toka rijeke, ako stroj radi uvijek istom snagom, iznosi:

brzina rijeke.

km km

v 19 11

1

− v −

2

km

v

h h

r = = = 4 .

2 2

h

b) Brzina broda s obzirom na vodu je:

km km

v 19 11

1

+ v +

2

km

v = =

h h

= 15 .

b 2 2

h

Ili:

km km km

v = v

2

+ v r = 11 + 4 = 15 .

b h h h

Vježba 093

Parobrod plovi niz rijeku brzinom 12 km/h s obzirom na obalu, a u suprotnom smjeru brzinom

8 km/h. Kolika je brzina toka rijeke ako stroj radi uvijek istom snagom?

Rezultat:

10 km/h.

Zadatak 094 (Kiki, gimnazija)

Vlak se giba brzinom 60 km/h. Putnik u njemu primijetio je da vlak koji se giba u suprotnom

smjeru proñe kraj njega za 5 sekundi. Kolika je brzina drugog vlaka ako je njegova duljina 175 m?

Rješenje 094

v 1 = 60 km/h = [60 : 3.6] = 16.667 m/s, t = 5 s, l 2 = 175 m, v 2 = ?

Jednoliko pravocrtno gibanje duž puta s jest gibanje pri kojem vrijedi izraz

s = v ⋅ t,

gdje je v stalna, konstantna brzina kojom se tijelo giba.

Gibanje je svuda oko nas. Nema apsolutnog mirovanja. To je jedno od osnovnih svojstava materije.

Gibanje je neprekidno mijenjanje položaja tijela (ili njegovih čestica) prema okolišu. Gibanje tijela

uvijek promatramo u odnosu prema okolišu. S različitih stajališta isto gibanje pokazuje nam se

različito pa gdjekad čak i kao mirovanje. Referentni sustav je koordinatni sustav u kojem promatramo

gibanje. Referentni sustav je vezan uz ono tijelo za koje se uvjetno dogovorimo da miruje i spram

kojeg se promatra gibanje nekih drugih tijela.

Budući da se vlakovi gibaju u suprotnim smjerovima, relativna brzina v kojom se gibaju jedan u

odnosu na drugog, jednaka je zbroju njihovih brzina v 1 i v 2 u odnosu na tlo:

Brzina drugog vlaka iznosi:

v = v

1

+ v

2

l

2

l

2

l

2 175 m m m

l

2

= v ⋅t ⇒ v = ⇒ v

1

+ v

2

= ⇒ v

2

= − v

1

= − 16.667 = 18.333 =

t t t 5 s s s

[ ⋅ ] 65.

= 18.333 3. 6 = 9988 ≈ 66

km .

h

.

10

Vježba 094

Vlak se giba brzinom 60 km/h. Putnik u njemu primijetio je da vlak koji se giba u suprotnom

smjeru proñe kraj njega za 10 sekundi. Kolika je brzina drugog vlaka ako je njegova duljina 350 m?

Rezultat: 66 km/h.

Zadatak 095 (Kiki, gimnazija)

Vlak, duljine 50 m, giba se brzinom 80 km/h. U susret mu dolazi vlak, duljine 40 m, brzinom

30 km/h. Koliko vremena vlakovi prolaze jedan pored drugog?

Rješenje 095

l 1 = 50 m, v 1 = 80 km/h = [80 : 3.6] = 22.22 m/s, l 2 = 40 m,

v 2 = 30 km/h = [30 : 3.6] = 8.33 m/s, t = ?


s = v ⋅ t,








Budući da se vlakovi gibaju u suprotnim smjerovima, relativna brzina v kojom se gibaju jedan u

odnosu na drugog, jednaka je zbroju njihovih brzina v 1 i v 2 u odnosu na tlo:

v = v

1

+ v

2

.

U početku mimoilaženja vlakovi imaju meñusobni položaj kao na slici:

l 1

l 2

Na kraju mimoilaženja vlakovi imaju meñusobni položaj kao na slici:

s

l 1

l 2

Sa slika vidi se da su vlakovi tijekom mimoilaženja prešli put

s = l + l

gibajući se jedan u odnosu na drugi relativnom brzinom

s

1 2 ,

v = v

1

+ v

2

pa je vrijeme mimoilaženja jednako:

s l

1

+ l

2 50 m + 40 m

t = ⇒ t = = = 2.95 s.

v v m m

1

+ v

2 22.22 + 8.33

s s

11

Vježba 095

Vlak, duljine 100 m, giba se brzinom 160 km/h. U susret mu dolazi vlak, duljine 80 m,

brzinom 60 km/h. Koliko vremena vlakovi prolaze jedan pored drugog?

Rezultat: 2.95 s.

Zadatak 096 (Cazim, srednja škola)

Iz mjesta A u mjesto B krenula su dva vlaka istom brzinom 30 km/h, u vremenskom intervalu

od 10 min. Kolikom brzinom se giba treći vlak u suprotnom smjeru ako susreće prva dva vlaka u

vremenskom intervalu od 4 min?

Rješenje 096

v 1 = v 2 = v = 30 km/h, t 1 = 10 min, t 2 = 4 min, v 3 = ?


s = v ⋅ t,








Iz mjesta A krenula su dva vlaka istom brzinom v u vremenskom intervalu t 1 pa je razmak izmeñu njih

s = v ⋅ t

1

.

Budući da se treći vlak giba brzinom v 3 u smjeru suprotnom od prva dva vlaka, njegova relativna

brzina v r u odnosu na njih iznosi:

vr = v + v

3

.

Udaljenost s izmeñu prva dva vlaka treći vlak prevali u vremenskom intervalu t 2 pa vrijedi:

( ) .

s = vr

⋅t 2

⇒ s = v + v

3

⋅ t

2

Iz sustava jednadžbi dobije se brzina v 3 :

s = v ⋅t

1 ⎫

⎪ ⎡metoda ⎤

1

⎬ ⇒ ⎢ ( v v ) ( ) /

( ) komparacije

⎥ ⇒ +

3

⋅ t

2

= v ⋅t 1

⇒ v + v

3

⋅ t

2

= v ⋅t

s v v

1

⋅ ⇒

= + t

3

⋅t

2 ⎪⎭

⎣ ⎦

2

t

1

t ⎛

1

t ⎞

1 km ⎛10 min ⎞ km

⇒ v + v

3

= v ⋅ ⇒ v

3

= v ⋅ − v ⇒ v

3

= v ⋅ − 1 = 30 ⋅ − 1 = 45 .

t

2

t ⎜

2

t ⎟ ⎜ ⎟

⎝ 2 ⎠

h ⎝ 4 min ⎠ h

v

v 3

Vježba 096

Iz mjesta A u mjesto B krenula su dva vlaka istom brzinom 30 km/h, u vremenskom intervalu

od 20 min. Kolikom brzinom se giba treći vlak u suprotnom smjeru ako susreće prva dva vlaka u

vremenskom intervalu od 8 min?

Rezultat: 2.95 s.

Zadatak 097 (Vlado, tehnička škola)

Dva vlaka voze jedan drugome u susret brzinama v 1 i v 2 . Duljina svakog vagona prvog vlaka

je d 1 , a njihov broj je n 1 . Duljina svakog vagona drugog vlaka je d 2 , a njihov broj je n 2 .

a) Koliko vremena putnik iz prvog vlaka vidi vagone drugog vlaka?

12

v

b) Koliko vremena putnik iz drugog vlaka vidi vagone prvog vlaka?

Rješenje 097

v 1 – brzina prvog vlaka, v 2 – brzina drugog vlaka, d 1 – duljina vagona prvog vlaka,

n 1 – broj vagona prvog vlaka, d 2 – duljina vagona drugog vlaka, n 2 – broj vagona drugog vlaka,

t 1 = ?, t 2 = ?


s = v ⋅ t,








v 2

v 1

l 2

l 1

Duljina prvog vlaka je:

Duljina drugog vlaka je:

l

1

= n

1

⋅ d

1

.

l

2

= n

2

⋅ d

2

.

Budući da se vlakovi mimoilaze (kreću se u suprotnim smjerovima), putnici u njima gibaju se jedan u

odnosu na drugog relativnom brzinom v r koja je jednaka zbroju brzina vlakova v 1 i v 2 u odnosu na tlo:

vr = v

1 + v

2

.

a) Vrijeme t 1 za koje putnik iz prvog vlaka vidi vagone drugog vlaka, čija je duljina l 2 , iznosi:

l ⎡ l

2

= n

2 2

⋅ d

2⎤

n

2

⋅ d

l

2

2

= vr

⋅t 1

⇒ t

1

= ⇒ ⎢ ⎥ ⇒ t

1

= .

vr

⎢⎣

vr

= v

1

+ v

2 ⎥⎦

v

1

+ v

2

b) Vrijeme t 2 za koje putnik iz drugog vlaka vidi vagone prvog vlaka, čija je duljina l 1 , iznosi:

l ⎡ l

1

= n

1 1

⋅ d

1 ⎤ n

1

⋅ d

l 1

1

= vr

⋅t 2

⇒ t

2

= ⇒ ⎢ ⎥ ⇒ t

2

= .

vr

⎢⎣

vr

= v + v

1 2⎥⎦

v

1

+ v

2

Vježba 097

Dva vlaka voze jedan drugome u susret brzinama 10 m/s i 20 m/s. Duljina svakog vagona

prvog vlaka je 18 m, a njihov broj je 10. Duljina svakog vagona drugog vlaka je 15 m, a njihov broj je

8.

a) Koliko vremena putnik iz prvog vlaka vidi vagone drugog vlaka?

b) Koliko vremena putnik iz drugog vlaka vidi vagone prvog vlaka?

Rezultat: a) 4 s, b) 6 s.

Zadatak 098 (Cazim, srednja škola)

Putnik vlaka koji se giba brzinom 36 km/h vidi 60 s prolazak drugog vlaka duljine 600 m, koji

se giba paralelno prvom vlaku u istom smjeru.

a) Kolika je brzina drugog vlaka?

b) Koliko dugo vremena putnik drugog vlaka vidi prvi vlak duljine 900 m?

Ako se vlakovi gibaju u susret jedan drugome, koliko vremena će svaki putnik vidjeti susjedni

vlak?

13

Rješenje 098

v 1 = 36 km/h = [36 : 3.6] = 10 m/s, t 1 = 60 s, l 2 = 600 m, l 1 = 900 m, v 2 = ?,

t 2 = ?, t 1 ' = ?, t 2 ' = ?


s = v ⋅ t,








Neka je v 2 brzina drugog vlaka u odnosu na tlo. On pretječe prvi vlak brzine v 1 pa je

v

2

> v

1

.

G

V

I

2

V 1

Budući da se vlakovi kreću usporedno u istom smjeru, relativna brzina v r kojom se drugi vlak (brži

vlak) giba u odnosu na prvi vlak (sporiji vlak) iznosi

vr = v

2 − v

1

,

a relativna brzina v r kojom se prvi vlak (sporiji vlak) giba u odnosu na drugi vlak (brži vlak) iznosi

vr = v

1 − v

2

.

Njihove relativne brzine imaju isti iznos, ali suprotne smjerove (predznake).

a) Brzina drugog vlaka je:

l 2 l 2 l 2 600 m 10 m

2 1 2 1 2 1 20 m

[ 20 3.6 ]

60

72 km

l = vr

⋅ t ⇒ vr

= v v v v

t ⇒ − = .

1

t ⇒ = 1

t + = + = = ⋅

1

s s s =

h

b) Vrijeme za koje putnik drugog vlaka vidi prvi vlak duljine l 1 iznosi:

l 1 l 1 900 m

l

1

= vr

⋅t 2

⇒ t

2

= ⇒ t

2

= = = 90 s = [ 60 s + 30 s]

= 1 min 30 s

v v m m

.

r 2

− v

1 20 −10

s s

V 2

H

V 1

Kada se vlakovi kreću u susret jedan drugome, putnici u njima gibaju se jedan u odnosu na drugog

relativnom brzinom v r koja je jednaka zbroju brzina vlakova v 1 i v 2 u odnosu na tlo:

vr = v

1 + v

2

.

Relativna brzina v r iznosi:

m m ⎫

v

1

= 10 , v

2

= 20 ⎪

m m m

s s ⎬ ⇒ v r = 10 + 20 = 30 .

s s s

vr

= v

1

+ v

⎪

2 ⎭

Kada se vlakovi gibaju u susret jedan drugome:

• vrijeme t 1 ' za koje putnik iz prvog vlaka vidi drugi vlak duljine l 2 iznosi:

14

' '

l

2 ' 600 m

l

2

= vr

⋅t 1

⇒ t

1

= ⇒ t

1

= = 20 s.

v r

m

30

s

• vrijeme t 2 ' za koje putnik iz drugog vlaka vidi prvi vlak duljine l 1 iznosi:

' '

l

1 ' 900 m

l

1

= vr

⋅t 2

⇒ t

2

= ⇒ t

2

= = 30 s.

v r

m

30

s

Vježba 098

Putnik vlaka koji se giba brzinom 36 km/h vidi 120 s prolazak drugog vlaka duljine 1200 m,

koji se giba paralelno prvom vlaku u istom smjeru. Kolika je brzina drugog vlaka?

Rezultat:

v 2 = 20 m/s.

Zadatak 099 (Dragan, srednja škola)

Lokomotiva se giba brzinom 54 km/h. U susret joj dolazi vlak, duljine 150 m, brzinom 36

km/h. Koliko će vremena kompozicija vlaka prolaziti pored strojovoñe lokomotive?

Rješenje 099

v 1 = 54 km/h = [54 : 3.6] = 15 m/s, l = 150 m, v 2 = 36 km/h = [36 : 3.6] = 10 m/s,

t = ?


s = v ⋅ t,








Budući da se lokomotiva i vlak gibaju u suprotnim smjerovima, relativna brzina v kojom se gibaju

jedan u odnosu na drugog, jednaka je zbroju njihovih brzina v 1 i v 2 u odnosu na tlo:

v = v + v

1 2

.

v 2

v 1

Vrijeme za koje će vlak, duljine l, prolaziti pored strojovoñe lokomotive iznosi:

l l 150 m

l = v ⋅t ⇒ t = ⇒ t = = = 6 s.

v v m m

1

+ v

2 15 + 10

s s

Vježba 099

Lokomotiva se giba brzinom 108 km/h. U susret joj dolazi vlak, duljine 300 m, brzinom 72

km/h. Koliko će vremena kompozicija vlaka prolaziti pored strojovoñe lokomotive?

Rezultat: 6 s.

Zadatak 100 (Nina, medicinska škola)

U dijagramu zavisnosti brzine o vremenu v = f(t) za gibanje nekog tijela, predočeno je

površinom ispod krivulje brzine:

A. srednje ubrzanje tijela u vremenu ∆t B. srednja brzina tijela C. put prijeñen u vremenu ∆t

D. rad tijela izvršen u vremenu ∆t E. kinetička energija tijela.

15

Rješenje 100

Na v, t – grafikonu put s se prikazuje veličinom površine koju zatvara dio krivulje koji

odgovara pripadnom vremenu.

v

v

v

s

s

s

Odgovor je pod C.

t

Vježba 100

U dijagramu zavisnosti puta o vremenu s = f(t) za jednoliko pravocrtno gibanje nekog tijela,

nagib pravca puta prema vremenskoj osi t odreñuje:

A. brzinu B. akceleraciju C. silu D. rad E. kinetičku energiju tijela

Rezultat: A.

t

t

16

1fs081

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?