ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΤΟΥ ΚΟΣΜΟΥ - ΑΛΕΞΗΣ ΚΑΡΠΟΥΖΟΣ

έπεται ότι ο ανθρώπινος νους δεν είναι ηλεκτρονικός
υπολογιστής. Ο Βρετανός φιλόσοφος John Lucas επεσήμανε τη
σύνδεση του πρώτου θεωρήματος της μη πληρότητας του Güdel
με τη φύση του ανθρώπινου νου. Συγκεκριμένα, ο Λούκας
υποστηρίζει ότι, όσο πολύπλοκες μηχανές “σκέψης” και εάν κατασκευάσουμε,
πάντα η λειτουργία τους θα δομείται σε προκαθορισμένους
κανόνες που μπορούν να διατυπωθούν σε ένα τυπικό
σύστημα. Έτσι, όταν για παράδειγμα θα ζητάμε από μια μηχανή να
εντοπίσει ποιές προτάσεις είναι αληθείς, για να εκτελέσει την
εντολή μας, θα ελέγχει ποιες προτάσεις συμφωνούν με τους
κανόνες του συστήματος. Επομένως, θα υπάρχει κάποια πρόταση,
που η μηχανή δεν θα μπορεί να κατατάξει ως αληθή, δηλαδή ως
αποδείξιμη, βάσει των κανόνων - την ίδια πρόταση, όμως, ο
ανθρώπινος νους θα μπορεί να τη συλλάβει ως αληθή. Όσο και
εάν βελτιώσουμε τη μηχανή, προσθέτοντας υπό μορφή αξιωμάτων
τις προτάσεις που προηγουμένως της διέφευγαν, πάντα θα
υπάρχει κάποια πρόταση που θα της διαφεύγει... Ενώ σ΄εμάς όχι.
Να διευκρινίσουμε το επιχείρημα για να γίνει πιο κατανοητό: Ο
τυπικός χαρακτήρας ενός συστήματος συνίσταται στο ότι τίποτε
δεν υπάρχει που να υπονοείται, όλες οι πράξεις γίνονται
συναρτήσει κανόνων που είναι εξαρχής δεδομένοι: η διαίσθηση,
θεμελιώδες ψυχο-νοητικό στοιχείο, δεν λαμβάνεται υπόψη σ΄ένα
τυπικό σύστημα που δομείται σε τυπικούς συντακτικούς κανόνες,
το μόνο που χρειάζεται για να λειτουργήσει αποδοτικά ένα τυπικό
σύστημα είναι η μηχανική εφαρμογή των κανόνων. Ας μιλήσουμε
για τα γενικά χαρακτηριστικά ενός τυπικού συστήματος. Τα δύο
δομικά στοιχεία του είναι η συνέπεια και η πληρότητα.
Αποκαλούμε ένα τυπικό σύστημα συνεπές, αναφορικά με την
άρνηση (= μη αντιφατικό), αν για κάθε καλώς σχηματισμένη
έκφραση Ε είναι αδύνατο να αποδείξουμε ότι ισχύει και η Ε και η –
Ε. Λέμε ότι ένα συνεπές σύστημα είναι πλήρες, αν για κάθε καλώς
σχηματισμένη πρόταση Ε του συστήματος, μπορούμε να
αποδείξουμε είτε την Ε είτε την –Ε.
Αυτές οι ιδιότητες είναι μετα-λογικές σε σχέση με το λογικό
σύστημα. Όμως τα θεωρήματα του Güdel αποδεικνύουν ότι: α)
σ΄ένα συνεπές σύστημα, που περιλαμβάνει τη στοιχειώδη
αριθμητική, υπάρχει τουλάχιστον ένα θεώρημα της θεωρίας των
147