Algorithms and Data Structures With Applications to Graphics and Geometry, 2011a

χ

∧ ∨ ∈ ∉ ∩ ∪
=
⊃ ⊇ ⊄ ⊂ ⊆
∞

±
∑∏
⎡⎤
⎣⎦
√
∧ ∨
∧ ∨
∧
∨

**************** k blanks followed by k stars
******** ******** twice (k/2 blanks followed by k/2 stars)
**** **** **** **** …
** ** ** ** ** ** ** ** continue doubling and halving
* * * * * * * * * * * * * * * * down to runs length of 1.

E
T
T
F F F
# á # + #

⇒

⇐

⊃
⊃

⇔

∪
∩
¬

∈
∩
∩
∩
∩
∩
∩
∩

∩
∩

∧∀

∀∧∧ ∧
∀

A[m] < x
If
x < A[m]
m
x cannot lie in
∧∀∧∀
∧∀∧∀
m

∀∀
⇒∧⇒∗)
∧∧
∨
∨) ⇒ ∀ ∀
Θ

⇒

⇒
∃⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
∃⇒

λ⊆
∈
∈
→
⊆
→
⊆
∈

0
1
2
3
4
5
6
7
8
( ) : , ; L D !
0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 2 0 0 0 0 0 0 0
2 0 0 0 0 0 3 0 0
4
4
5
7
7
8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
8
8
0
5
5
0
0
0
0
2
2
0
0
0
0
0
0
0
2
2
0
3
0
6
6
0
0
3
0
0
6
0
0
0
0
0
0
0
0
error state
skip blank
left parenthesis read
reading variable identifier
skip blank
colon read
reading type identifier
skip blank
right parenthesis read

⊆ ξ
→
ξ
→
⇒
⇒
→ → → →⇒
⇒∗

⇒
∗
1
2
3
4
⊆ ξ
5
ξ
1
2
3
4
5
A
T
T
T T
T
T
1 2 3 4 5
1
2
3
4
5
C
T T T T T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
T
1 2 3 4 5
∗
∗∗

∗ =
ξ
Θ
Θ Θ
→
⇒
⇒
⇒

Θ Θ
ξ

→

∅
∪
∉
∉∉∉
∪
∉
∉
∉ ∈
∪
∉
∉
∈ ∈
∈
⊆
∈
∈
∈

∗∗∗

⎣⎦
⎣⎦⎣⎦
⎡⎤
π

√
√
√

⇔
⇔
⇔

∈

→

→
x
f(x i )
x i+1
x i

p
L
×
∪∪

∩
∈
∈
∈
∈

Δ ΔΔ Δ

Δ
ΔΔ
∗
∗
Δ ΔΔ Δ
Δ ΔΔ Δ
ΔΔ
ΔΔ

Δ
ΔΔ
ΔΔ

∈
∈
∈
∈

∈
∈

y
g 1
>
g 2
g g g 1 2 1
= g g 2 1
< g 2
x
31
29
27
25
23
21
19
17
15
13
11
9
y
(3x + 40) div 5
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 30 32 34 36 38
(2x + 20) div 3
x

y
0.47
0.45
0.43
0.41
0.39
0.37
4. 3 ×ξ
8. 3
1. 4 ×ξ
2. 7
0.73 0.77 0.81 0.85 0.89 0.93
x

∗

⇔

program counter
Executing instruction 13 sets
cell 0 to 0, and increments
the program counter.
14
13
.
.
.
2
1
0
STJ 0, 0, 14
1
0

∗ ∗
∗
→
→

1 2 3 4
f 1
f 1
(1) f 1
(2) f 1
(3) f 1
(4)
. . .
f 2
f 2
(1) f 2
(2) f 2
(3) f 2
(4)
f 3
f 3
(1) f 3
(2) f 3
(3) f 3
(4)
f 4
f 4
(1) f 4
(2) f 4
(3) f 4
(4)
.
→
→

×
Θ
×
×
×
× ×
×
×
× ×
×
×

×
Θ
≈
α(
ααα→
→

×
×
×
Θ

Ω∴Θ

Ω Θ
Θ
Θ
Θ Θ

→ →
→
→
ΩΘ ∈
ΩΘ
∃∃
∃> ∃
∈ ∀
→
→| ∃> 0, ∃ ∈∀≥
∈→
Ω
Ω→⎟∃ ∈,∀
∈→
Θ
Θ∩ Ω
∈ Θ→
∈→
∈

y
f(x)
−1 ξ ν
x

∗
∗∗)
∗∗)
∈

ε
∈ ∈

∈

∈ Θ
∈ Θ
√

Ω
∀∀∈
∀∀∈∧⇒
∀∀∈∧⇒
∀∀∈⇒∨

∃∧
Ω
Ω
Θ

Θ Θ

Θ
Θ
Ω

ΘΘ

Θ
Ω
Ω

Ω
∗ (∗)

⇒
⇒⇒

Θ
∗
Θ

Θ
⎡ ⎤

∗

Θ
Θ
Ω
Θ
ΘΘ
Ω
ΘΘ
Ω

c 1
c 2
c 3
c 4
c 5

Θ

∈
Θ

∗
∗

∈ λ
∈
×
∀∈∀∈
⇒
∈
∀∈∀∈

∈
→→
→
→
→
∈×→
→
→
→
∀∈∀∈
⇒

⇒
⇒
⇒
→
→
→
×→
→
→
∀∈∀∈
⇒

∈
→
→
×→
→
→
∀∈∀∈
⇒
⇒

∈
∈
→
→
×→
→
→
∈

∀∈∀∈
⇒
⇒
∈
∈
→
×→
×→
×→

∀∈∀∈
⇒
⇒
∈
⇒
⇒
∈

×→
×→
×→
×→∪
×→∪
∀∈∀∈
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
∈
→
×→
→
→
→
×→

× →
× →
× →
→
∀∈∀∈
⇒
⇒
⇒
⇒
⇒
∀∈∀∈
⇒
⇒
⇒
∀∈
⇒
∀∈

⇒
νε

×

×

1
2
5
9
3
6
7
19 10 8 4 13

×
×

∀ ∀ ∈∀ ∈

[ ]
[ [

∃∀ ∀
∈ ∉
∈

otation
b
a
a
b
X
Y
Z
X
Y
Z
rotation
b
a
a
b
X
Y
Z
X Y Z
double rotation
c
b
a
a c
b
W
Z W X Y Z
X Y

⎣ ⎦

Θ (ν •λογ ν)

∈

λ
λ λ

∈

δ
δ
δ

λ

λ
λ λ
λ
λ λ
λ
λμμ
λμλ

λ
λ
λ
λ

⇔ ∈
∉

Γ
∈ Γ∈
∈ Γ
Γ

∈ Γ ∈

∉

αα
π

∈
∈

∈
∈ Θαα
α

≤
≤ ≤ ≤
≤ ≤
≤ ≤
≥

α
α
α
Ω
π
Θ

Ω
Θ

Θ

∈ Θ
∈

∈

Θ
∈

δ
Ω
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δ
δ.
δ
δ
δ
δ
δ
δ

δ

δ
δ δ
δ
δ
δ

δ δδ
δ
δ
Ω
δ
δ
δδ
δ
δ
δ

δ
δ
δ
δδ δ
δ
δ
δ
δδ