Osnove elektrotehnike II, udžbenik - Ljubomir Malešević

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II 77
Dokaz za gornje tvrdnje
Fazor struje je:
Efektivna vrijednost struje:
Srednja snaga isporučena trošilu:
U
U
I
. (4-107)
Z Z
P
u
t
R
R
jX
X
u
t
2
R
R X
X 2
u
t
u
u
t
t
U
U
I
. (4-108)
Z
U
R
2
2
t
I Rt
. (4-109)
2
R
2
u
Rt
X
u
X
t
Snaga je funkcija dviju varijabla, Rt i Xt, jer Ru i Xu imaju unaprijed definiranu fiksnu vrijednost. Za
određivanje uvjeta maksimalne snage potrebno je izjednačiti parcijalne derivacije P Rt
i P Xt
s
nulom te iz dobivenih dviju jednadžba izraziti Rt i Xt.
P
R
t
U
2
2
2 2
Ru
Rt
Xu
Xt
2U Rt
Ru
Rt
2
2 2
R
R X
X
u
t
u
t
0
(4-110)
P
X
t
2
2U Rt
X
u
X
t
2
R
R X
X
Jedino rješenje druge jednadžbe koje ima fizikalnog smisla jest:
Uvrštenjem u prvu jednadžbu slijedi:
Fizikalno značenje ima samo rješenje: R
t
Ru
.
Oba rješenja opisana su jedinstvenim izrazom:
Uvrštavanjem u relaciju za snagu dobije se:
U
2
u
R
u
R
u
t
R
R
t
3
t
u
*
Zt Z u .
2
U
Pmax
.
4R
t
2
2
X
0
t
X
.
u
(4-111)
0 . (4-112)
Dobivena maksimalna snaga koja se može isporučiti trošilu naziva se dostupna snaga (engl. available
power) fiksnog izvora.
Korisnost je omjer snage na trošilu Pt i snage koju razvija generator Pg:
u
2
Pt
I Rt
0,5 %
50%
. (4-113)
2
P I R R
g
u
t
Do teorema o maksimalnoj snazi može se doći i bez formalnog dokazivanja. Naime, za bilo koji Z
t
spojen na izvor i ukupnu reaktanciju kruga X X različitu od nule, iznos struje, pa stoga i snaga
u
t