opora

KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A ZÁSOBNÍKOVÉ AUTOMATY87
Nyní předpokládejme, že induktivní hypotéza platí pro všechny derivace, kratší
než n. Můžeme psát
αAγ ⇒
rm
αβy ⇒
rm n−1 xy
Je-li řetězec αβ tvořen pouze terminálními symboly, pak αβ = x a (q, xy, /S) ⊢ ∗
(q, y, /Sαβ) ⊢(q, y, /SαA). Není-li αβ ∈ Σ ∗ , pak můžeme psát αβ = γBz, kde B je
nejpravější nonterminál a podle induktivní hypotézy
S ⇒
rm ∗ γBzy ⇒
rm n−1 xy
implikuje (q, xy, /S) ⊢ ∗ (q, zy, /SγB). Platí tedy (q, zy, /SγB) ⊢ ∗ (q, y, /SγBz) ⊢ (q, y,
/SαA) a tudíž jsme dokázali induktivní hypotézu. Protože (q, ɛ, /SS) ⊢(r, ɛ, ɛ) dostáváme
L(G) ⊆ L(R).
Abychom dokázali, že L(R) ⊆ L(G), ukažme, že platí implikace:
Jestliže (q, xy, /S) n ⊢(q, y, /SαA), pak αAy ⇒ ∗ xy
Pro n = 0 tato implikace platí. Předpokládejme, že platí také pro všechny posloupnosti
přechodů kratší než n. Protože vrchol zásobníku je nonterminální symbol,
prováděl se poslední přechod podle předpisu (2) v zobrazení δ a můžeme psát:
(q, xy, /S) n−1
⊢ (q, y, /Sαβ) ⊢(q, y, /SαA)
kde A → β je pravidlo z P . Existuje tedy derivace αAy ⇒ αβy ⇒ ∗ xy.
Jako speciální případ uvažujme implikaci:
je-li (q, w, /S) ∗ ⊢(q, ɛ, /SS), pak S ⇒ ∗ w
Protože však platí (q, w, /S) ⊢ ∗ (q, ɛ, /SS) ⊢(r, ɛ, ɛ) je L(R) ⊆ L(G) a společně s první
částí důkazu dostáváme L(G) = L(R).
✷
Poznamenejme, že automat R skutečně představuje model syntaktického analyzátoru,
který vytváří pravou derivaci vstupního řetězce postupnými redukcemi
l-fráze větných forem (počáteční větná forma je vstupní řetězec, koncová větná
forma je výchozí symbol gramatiky). Bezprostředně po přechodu automatu je
pravá větná forma αAx reprezentována obsahem zásobníku (řetězec αA) a nezpracovanou
částí vstupního řetězce (řetězec x). Následující činností automatu je přesunutí
prefixu řetězce x na vrchol zásobníku a redukce l-fráze dané vrcholovým
řetězcem zásobníku. Tento typ syntaktické analýzy se, jak již víme, nazývá syntaktická
analýza zdola–nahoru.
Příklad 4.23 Sestrojme syntaktický analyzátor R zdola–nahoru pro gramatiku
s pravidly
E → E + T | T
T → T ∗ F | F
F → (E) | i
Nechť R je rozšířený zásobníkový automat
kde δ je zobrazení
R = ({q, r}, {+, ∗, (, ), i}, {/S, E, T, F, +, ∗, (, ), i}, δ, q, /S, {r})