opora

KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A ZÁSOBNÍKOVÉ AUTOMATY86
Řešení:
kde δ je zobrazení
P = ({q}, {+, ∗, (, ), i}, {+, ∗, (, ), i, E, T, F }, δ, q, E, ∅)
δ(q, ɛ, E) = {(q, E + T ), (q, T )}
δ(q, ɛ, T ) = {(q, T ∗ F ), (q, F )}
δ(q, ɛ, F ) = {(q, (E)), (q, i)}
δ(q, a, a) = {(q, ɛ)} pro všechna a ∈ {+, ∗, (, ), i}
Pro vstupní řetězec i + i ∗ i může zásobníkový automat P realizovat tuto posloupnost
přechodů:
(q, i + i ∗ i, E) ⊢ (q, i + i ∗ i, E + T )
⊢ (q, i + i ∗ i, T + T )
⊢ (q, i + i ∗ i, F + T )
⊢ (q, i + i ∗ i, i + T )
⊢ (q, +i ∗ i, +T )
⊢ (q, i ∗ i, T )
⊢ (q, i ∗ i, T ∗ F )
⊢ (q, i ∗ i, F ∗ F )
⊢ (q, i ∗ i, i ∗ F )
⊢ (q, ∗i, ∗F )
⊢ (q, i, F )
⊢ (q, i, i)
⊢ (q, ɛ, ɛ)
Nyní ukážeme, jakým způsobem lze k bezkontextové gramatice G definovat rozšířený
zásobníkový automat reprezentující syntaktický analyzátor zdola–nahoru.
Věta 4.15 Nechť G = (N, Σ, P, S) je bezkontextová gramatika. Rozšířený zásobníkový
automat R = ({q, r}, Σ, N ∪ Σ ∪ {/S}, δ, q, /S, {r}), kde zobrazení δ je
definováno takto:
(1) δ(q, a, ɛ) = {(q, a)} pro všechna a ∈ Σ.
(2) Je-li A → α pravidlo z P , pak δ(q, ɛ, α) obsahuje (q, A).
(3) δ(q, ɛ, S /S) = {(r, ɛ)},
přijímá jazyk L(G), tj. L(R) = L(G).
Důkaz: Ukážeme, že automat R pracuje tak, že vytváří pravou derivaci postupnými
redukcemi l-fráze počínaje terminálním řetězcem (umístěným na vstupní
pásce) a konče výchozím symbolem S. Jinými slovy automat R realizuje syntaktickou
analýzu zdola–nahoru.
Změna konvence: Vrchol zásobníku budeme nyní uvádět vpravo. Induktivní
hypotéza, kterou dokážeme indukcí pro n má tvar:
S ⇒
rm ∗ αAy ⇒
rm n xy implikuje (q, xy, /S) ∗ ⊢(q, y, /SαA), ⇒
rm
značí pravou derivaci.
Pro n = 0 tato hypotéza platí, protože αA = x a tudíž automat R provádí
přechody podle δ(q, a, ɛ) = {(q, a)}, a ∈ Σ, přesouvající řetězec x do zásobníku.