opora

KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A ZÁSOBNÍKOVÉ AUTOMATY85
(2) δ(q, a, a) = {(q, ɛ)} pro všechna a ∈ Σ.
Nyní ukážeme, že A ⇒ m w, právě když a jen když (q, w, ɛ) ⊢ n (q, ɛ, ɛ) pro nějaké
m, n ≥ 1.
Část „jen když“ dokážeme indukcí pro m. Předpokládejme, že A ⇒ m w. Je-li
m = 1 a w = a 1 . . . a k , k ≥ 0 pak
(q, a 1 . . . a k , A) ⊢ (q, a 1 . . . a k )
⊢ k (q, ɛ, ɛ)
Předpokládejme nyní, že platí A ⇒ m w pro m > 1. První krok této derivace
musí mít tvar A ⇒ X 1 X 2 . . . X k , přičemž X i ⇒ mi
x 1 x 2 . . . x k = w. Tedy
(q, w, A) ⊢ (q, w, X 1 . . . X k )
Je-li X i ∈ N, pak podle induktivního předpokladu
(q, x i , X i ) ∗ ⊢(q, ɛ, ɛ)
x i pro m i < m, 1 ≤ i ≤ k a
Je-li X i = x i , x i ∈ Σ, pak
(q, x i , X i ) ⊢ (q, ɛ, ɛ)
Nyní již vidíme, že levé derivaci
A ⇒ X 1 . . . X k ⇒ m1 x 1 X 2 . . . X k ⇒ m2 . . . ⇒ m k
x 1 x 2 . . . x k = w
odpovídá tato posloupnost přechodů:
(q, x 1 . . . x k , A) ⊢(q, x 1 . . . x k , X 1 . . . X k ) ⊢(q, ∗ x 2 . . . x k , X 2 . . . X k ) . . . ⊢(q, ∗ ɛ, ɛ)
Část „když“, tj. je-li (q, w, A) ⊢ n (q, ɛ, ɛ), pak ⇒ + w dokážeme indukcí pro n.
Pro n = 1, w = ɛ a A → ɛ je pravidlo v P . Předpokládejme, že dokazovaná relace
platí pro všechna n ′ < n. Pak první přechod automatu R musí mít tvar
(q, w, A) ⊢ (q, w, X 1 . . . X k )
a (q, x i , X i ) ⊢ n i (q, ɛ, ɛ) pro 1 ≤ i ≤ k, kde w = x1 . . . x k . Pak A → X 1 . . . X k je
pravidlo z P a derivace X i ⇒ + x i plyne z induktivního předpokladu. Je-li X i ∈ Σ
pak X i ⇒ 0 x i .
Tedy A ⇒ X 1 . . . X k ⇒ ∗ x 1 X 2 . . . X k ⇒ ∗ . . . ⇒ ∗ x 1 . . . x k−1 X k ⇒ ∗
x 1 . . . x k−1 x k = w je levá derivace řetězce w z A.
Vezmeme-li S = A jako speciální případ, dostaneme S ⇒ +
(q, w, s) ⊢ + (q, ɛ, ɛ) a tedy L ɛ (R) = L(G).
Příklad 4.22 Ke gramatice G s pravidly
E → E + T | T
T → T ∗ F | F
F → (E) | i
sestrojme zásobníkový automat P takový, že L ɛ (P ) = L(G)
w, právě když
✷