opora

KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A ZÁSOBNÍKOVÉ AUTOMATY82
Pro vstupní řetězec aabbaa realizuje automat P tyto přechody:
(q, aabbaa, Z) ⊢ (q, abbaa, aZ)
⊢
⊢
⊢
⊢
⊢
⊢
⊢
⊢
⊢
(q, bbaa, aaZ)
(q, baa, baaZ)
(q, baa, SbaaZ)
(q, aa, bSbaaZ)
(q, aa, SaaZ)
(q, a, aSaaZ)
(q, a, SaZ)
(q, ɛ, aSaZ)
(q, ɛ, SZ)
⊢ (q, ɛ, ɛ)
Vidíme, že automat P pracuje tak, že nejdříve ukládá do zásobníku prefix vstupního
řetězce, pak na vrchol zásobníku uloží znak S značící střed; pak vrcholový
řetězec aSa nebo bSb nahrazuje symbolem S. Tento příklad ilustruje
také nedeterministickou povahu zásobníkového automatu, protože zobrazením
není určeno, zda má být přečten vstupní symbol a uložen na vrchol zásobníku
(δ(q, x, ɛ) = (q, x), x ∈ {a, b}), nebo zda má být proveden ɛ-přechod, který uloží
na vrchol zásobníku středový symbol S, (δ(q, ɛ, ɛ) = (q, S)).
Z definice rozšířeného zásobníkového automatu vyplývá, že je-li jazyk L přijímán
zásobníkovým automatem, pak je také přijímán rozšířeným zásobníkovým
automatem. Ukažme nyní, že platí i opačná implikace.
Věta 4.11 Nechť P = (Q, Σ, Γ, δ, q 0 , Z 0 , F ) je rozšířený zásobníkový automat.
Pak existuje zásobníkový automat P 1 takový, že L(P 1 ) = L(P ).
Důkaz: Položme m = max{|α| | δ(q, a, α) ≠ ∅ pro nějaké q ∈ Q, a ∈ Σ∪{ɛ} a α ∈
Γ ∗ }.
Zásobníkový automat P 1 budeme konstruovat tak, aby simuloval automat
P . Protože automat P neurčuje přechody podle vrcholu zásobníku, ale podle
vrcholového řetězce zásobníku, bude automat P 1 ukládat m vrcholových symbolů
v jakési „vyrovnávací paměti“ řídící jednotky tak, aby na počátku každého
přechodu věděl, jakých m vrcholových symbolů je v zásobníku automatu P .
Nahrazuje-li automat P k vrcholových symbolů řetězcem délky l, pak se totéž
provede ve vyrovnávací paměti automatu P 1 . Jestliže l < k, pak P 1 realizuje
k − l ɛ-přechodů, které přesouvají k − l symbolů z vrcholu zásobníku do vyrovnávací
paměti. Automat P 1 pak může simulovat další přechod automatu P . Je-li
l ≥ k, pak se symboly přesouvají z vyrovnávací paměti do zásobníku.
Formálně můžeme konstrukci zásobníkového automatu P 1 popsat takto:
Ekvivalence
RZA a ZA
P 1 = (Q 1 , Σ 1 , Γ 1 , δ 1 , q 1 , Z 1 , F 1 )
kde
(1) Q 1 = {[q, α] | q ∈ Q, α ∈ Γ ∗ 1 a 0 ≤ |α| ≤ m}
(2) Γ 1 = Γ ∪ {Z 1 }
(3) Zobrazení δ 1 je definováno takto:
a) Předpokládejme, že δ(q, a, X 1 . . . X k ) obsahuje (r, Y 1 . . . Y l ).