opora

KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A ZÁSOBNÍKOVÉ AUTOMATY80
Definice 4.19 Platí-li pro řetězec w ∈ Σ ∗ relace (q 0 , w, Z 0 ) ⊢ ∗ (q, ɛ, α) pro nějaké
q ∈ F a α ∈ Γ ∗ , pak říkáme, že řetězec w je přijímán zásobníkovým automatem
P . Množinu L(P ) všech řetězců přijímaných zásobníkovým automatem P , který
nazýváme jazykem přijímaným zásobníkovým automatem.
Příklad 4.20 Uvažujme jazyk L = {0 n 1 n | n ≥ 0}. Zásobníkový automat P ,
který přijímá jazyk L, má tvar
kde
P = ({q 0 , q 1 , q 2 }, {0, 1}, {Z, 0}, δ, q 0 , Z, {q 0 })
δ(q 0 , 0, Z) = {(q 1 , 0Z)}
δ(q 1 , 0, 0) = {(q 1 , 00)}
δ(q 1 , 1, 0) = {(q 2 , ɛ)}
δ(q 2 , 1, 0) = {(q 2 , ɛ)}
δ(q 2 , ɛ, Z) = {(q 0 , ɛ)}
a pracuje tak, že kopíruje všechny nuly ze vstupního řetězce do zásobníku. Objevíli
se na vstupu symbol 1, pak odstraňuje jednu nulu ze zásobníku. Kromě toho
požaduje, aby všechny nuly předcházely všechny jedničky. Například pro vstupní
řetězec 0011 realizuje automat P tyto přechody:
(q 0 , 0011, Z) ⊢ (q 1 , 011, 0Z)
⊢ (q 1 , 11, 00Z)
⊢ (q 2 , 1, 0Z)
⊢ (q 2 , ɛ, Z)
⊢ (q 0 , ɛ, ɛ)
Ukažme, že skutečně platí L(P ) = L. Z definice funkce přechodů δ a relace ⊢
plyne (q 0 , ɛ, Z) ⊢ 0 (q 0 , ɛ, Z) a tedy ɛ ∈ L(P ). Dále platí
což dohromady implikuje
(q 0 , 0, Z) ⊢ (q 1 , ɛ, 0Z)
(q 1 , 0 i , 0Z) ⊢ i (q 1 , ɛ, 0 i+1 Z)
(q 1 , 1, 0 i+1 Z) ⊢ (q 2 , ɛ, 0 i Z)
(q 2 , 1 i , 0 i Z) ⊢ i (q 2 , ɛ, Z)
(q 2 , ɛ, Z) ⊢ (q 0 , ɛ, ɛ)
(q 0 , 0 n 1 n , Z) 2n+1
⊢ (q 0 , ɛ, ɛ) pro n ≥ 1
a tedy L ⊆ L(P ).
Dokázat opačnou inkluzi L(P ) ⊆ L, tj. dokázat, že zásobníkový automat nepřijímá
jiné řetězce, než 0 n 1 n , n ≥ 1, je obtížnější. Příjme-li zásobníkový automat P
vstupní řetězec, pak musí projít posloupností stavů q 0 , q 1 , q 2 , q 0 .
Jestliže platí (q 0 , w, Z) ⊢ i (q 1 , ɛ, α), pak w = 0 i a α = 0 i Z. Podobně, jestliže
(q 2 , w, α) ⊢ i (q 2 , ɛ, β) pak w = 1 i a α = 0 i β. To však znamená, že relace (q 1 , w, α) ⊢
(q 2 , ɛ, β) platí, právě když w = 1 a α = 0β a relace (q 2 , w, Z) ⊢ ∗ (q 0 , ɛ, ɛ) platí,
právě když w = ɛ. Tedy, jestliže platí (q 0 , w, Z) ⊢ i (q 0 , ɛ, α) pro nějaké i > 0, pak
w = 0 n 1 n , i = 2n + 1 a α = ɛ, tj. L(P ) ⊆ L.