opora

KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A ZÁSOBNÍKOVÉ AUTOMATY69
2. L(G) ⊆ L(G ′ )
Nechť w ∈ L(G) a S = α 0 ⇒ α 1 ⇒ . . . ⇒ α n = w je levá derivace řetězce
w v gramatice G. Nechť i 1 , i 2 , . . . i k je posloupnost indexů tvořená pouze
těmi j, pro které v levé derivaci α j−1 ⇒ α j nebylo použito jednoduchého
pravidla. Speciálně i k = n, protože poslední aplikované pravidlo v derivaci
řetězce w nemůže být jednoduché. Derivace řetězce w v G je levou derivací,
a proto aplikací jednoduchých pravidel nahrazujeme pouze nejlevější nonterminál
jiným nonterminálem (reprezentuje levou stranu pravidla v G ′ ). Platí
tedy S ⇒ α i G ′ 1
⇒ . . . ⇒ α
G ′ G ′ i 1
= w a tudíž w ∈ L(G ′ ).
Dokázali jsme tak ekvivalenci gramatik G a G ′ .
✷
Definice 4.11 Říkáme, že G je gramatika bez cyklu, jestliže v ní neexistuje derivace
tvaru A ⇒ + A pro žádné A z N. Jestliže G je gramatika bez cyklu a bez ɛ-pravidel
a nemá žádné zbytečné symboly, pak říkáme, že G je vlastní gramatika.
Věta 4.5 Je-li L bezkontextový jazyk, pak existuje vlastní gramatika G taková,
že L = L(G).
Důkaz: Vyplývá z algoritmů 4.1–4.5. Gramatika, jež neobsahuje ɛ-pravidla a
jednoduchá pravidla, je zřejmě gramatikou bez cyklu.
✷
Poznámka 4.4 Gramatika, která obsahuje cykly, je víceznačná a nemůže být
např. použita pro konstrukci deterministického syntaktického analyzátoru. Existence
ɛ-pravidel a jednoduchých pravidel, na druhé straně, neimplikuje existenci
cyklu (tj. derivace tvaru A ⇒ + A pro nějaké A ∈ N).
Další transformací, kterou uvedeme, je odstranění levé rekurze. Tato transformace
je důležitá pro použití analýzy typu shora-dolů.
Definice 4.12 Nechť G = (N, Σ, P, S). Přepisovací pravidlo z P se nazývá rekurzivní
zleva (rekurzivní zprava), jestliže je tvaru A → Aα(A → αA), A ∈ N, α ∈ (N∪Σ) ∗ .
Jestliže v G existuje derivace A ⇒ + αAβ, pro nějaké A ∈ N, říkáme, že gramatika
G je rekurzivní. Je-li α = ɛ, pak mluvíme o gramatice rekurzivní zleva, je-li β = ɛ,
pak říkáme, že G je rekurzivní zprava.
Poznamenejme, že je-li jazyk L(G) nekonečný, pak G musí být rekurzivní.
Dříve, než zformujeme algoritmus eliminující levou rekurzi, ukážeme, jakým
způsobem lze odstranit přepisovací pravidla rekurzivní zleva.
Definice 4.13 Pravidlo A → α , s levou stranou tvořenou nonterminálem A,
budeme nazývat A-pravidlo (Neplést s ɛ-pravidlem.)
Věta 4.6 Nechť G = (N, Σ, P, S) je gramatika a nechť A → Aα 1 | Aα 2 | . . . |
Aα m | β 1 | β 2 | . . . | β n jsou všechna A-pravidla. Žádný z řetězců β i nezačíná
nonterminálem A. Gramatika G ′ = (N ∪{A ′ }, Σ, P ′ , S), kde P ′ obsahující namísto
uvedených pravidel pravidla
A → β 1 | β 2 | . . . | β n | β 1 A ′ | β 2 A ′ | . . . | β n A ′
A ′ → α 1 | α 2 | . . . | α m | α 1 A ′ | α 2 A ′ | . . . | α m A ′
je ekvivalentní s gramatikou G, tj. L(G) = L(G ′ ).