opora

KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A ZÁSOBNÍKOVÉ AUTOMATY68
Definice 4.10 Přepisovací pravidlo tvaru A → B, A, B ∈ N se nazývá jednoduché
pravidlo.
Algoritmus 4.5 Odstranění jednoduchých pravidel.
Vstup: Gramatika G bez ɛ-pravidel.
Výstup: Ekvivalentní gramatika G ′ bez jednoduchých pravidel.
Metoda:
(1) Pro každé A ∈ N sestroj množinu N A = {B | A ⇒ ∗ B} takto:
a) N 0 = {A}, i = 1
b) N i = {C | B → C je v P a B ∈ N i−1 } ∪ N i−1
c) Jestliže N i ≠ N i−1 , polož i = i + 1 a opakuj krok b). V opačném
případě je N A = N i .
(2) Sestroj P ′ takto: Jestliže B → α je v P a není jednoduchým pravidlem,
pak pro všechna A, pro něž B ∈ N A , přidej k P ′ pravidla A → α
(3) Výsledná gramatika je G = (N, Σ, P ′ , S)
Příklad 4.14 Uvažujme gramatiku s přepisovacími pravidly:
E → E + T | T
T → T ∗ F | F
F → (E) | i
Tato gramatika se liší od gramatiky z příkladu 4.3 pouze jiným značením nonterminálu
a generuje tudíž stejný jazyk aritmetických výrazů
Po aplikování algoritmu 4.5 bude
N E = {E, T, F }
N T = {T, F }
N F = {F }
a výsledná množina přepisovacích pravidel, neobsahující jednoduchá pravidla,
bude:
E → E + T | T ∗ F | (E) | i
T → T ∗ F | (E) | i
F → (E) | i
Věta 4.4 Algoritmus 4.4 převádí vstupní gramatiku G na ekvivalentní gramatiku
G ′ bez jednoduchých pravidel. Důkaz: Gramatika G ′ zřejmě neobsahuje jednoduchá
pravidla. Abychom ukázali, že L(G) = L(G ′ ), dokážeme že platí L(G ′ ) ⊆ L(G) a
také L(G) ⊆ L(G ′ ).
1. L(G ′ ) ⊆ L(G)
Nechť w ∈ L(G ′ ). Pak existuje v G ′ derivace S = α 0 ⇒ α 1 ⇒ . . . ⇒ α n = w.
Jestliže k derivaci α i ⇒ α
G ′ i+1 bylo použito pravidla A → β, pak existuje
nonterminál B (A = B případně) takový, že A ⇒ ∗ B a B ⇒ β a tedy
G G
A ⇒
G ∗ β a α i ⇒
G ∗ α i+1 . Z toho plyne, že platí S ⇒
G ∗ w a w je tudíž v L(G).