opora

KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A ZÁSOBNÍKOVÉ AUTOMATY67
Další důležitou transformací, kterou nyní popíšeme, je transformace odstraňující
z gramatiky pravidla tvaru A → ɛ (ɛ je prázdný řetězec), tzv. ɛ-pravidla.
Jestliže ovšem L(G) má obsahovat také prázdný řetězec, pak není možné aby
G neobsahovala žádné ɛ-pravidlo. Následující definice gramatiky bez ɛ-pravidla
respektuje tuto skutečnost.
Definice 4.9
Říkáme, že gramatika G = (N, Σ, P, S) je gramatikou bez ɛ-pravidel, jestliže
buď P neobsahuje žádné ɛ-pravidlo, nebo, v případě ɛ ∈ L(G), existuje jediné
ɛ-pravidlo tvaru S → ɛ a výchozí symbol S se nevyskytuje na pravé straně žádného
pravidla z P .
Algoritmus 4.4 Transformace na gramatiku bez ɛ-pravidel.
Vstup: Gramatika G = (N, Σ, P, S)
Výstup: Ekvivalentní gramatika G ′ = (N ′ , Σ ′ , P ′ , S ′ ) bez ɛ-pravidel.
Metoda:
(1) Sestroj N ɛ = {A | A ∈ N a A ⇒ ∗ ɛ}. Konstrukce množiny N ɛ je analogická
konstrukci N t z 4.1.
(2) Nechť P ′ je množina pravidel, kterou konstruujeme takto:
a) Jestliže A → α 0 B 1 α 1 B 2 . . . B k α k je v P, k ≥ 0 a každé B i je v N ɛ , 1 ≤
i ≤ k, avšak žádný ze symbolů řetězců α j není v N ɛ , 0 ≤ j ≤ k, pak
k P ′ přidej všechna nová pravidla tvaru
A → α 0 X 1 α 1 X 2 . . . X k α k
kde X i je buď B i nebo ɛ. Nepřidávej ɛ-pravidlo A → ɛ, které se
objeví, jsou-li všechna α i = ɛ.
b) Jestliže S ∈ N ɛ pak k P ′ přidej pravidla
S ′ → ɛ | S
S ′ je nový výchozí symbol. Polož N ′ = N ∪ {S ′ } Jestliže S /∈ N ɛ ,
pak N ′ = N a S ′ = S
(3) Výsledná gramatika má tvar G ′ = (N ′ , Σ ′ , P ′ , S ′ )
Příklad 4.13 Uvažujme gramatiku G = ({S}, {a, b}, P, S), kde P obsahuje pravidla
S → aSbS | bSaS | ɛ. Po aplikování algoritmu 4.4 získáme gramatiku G ′
bez ɛ-pravidel. G ′ = ({S ′ , S}, {a, b}, P ′ , S ′ ), kde P ′ obsahuje pravidla
S ′ → S | ɛ
S → aSbS | abS | aSb | ab | bSaS | baS | bSa | ba
Věta 4.3 Algoritmus 4.3 převádí vstupní gramatiku G na ekvivalentní gramatiku
G ′ bez ɛ-pravidel Důkaz: G ′ zřejmě neobsahuje ɛ-pravidla kromě případného
pravidla S → ɛ, je-li ɛ ∈ L(G). Důkaz, že L(G) = L(G ′ ) se provede indukcí pro
délku řetězce w v ekvivalenci
A ⇒
G ′ ∗ w právě když w ≠ ɛ ∧ A ⇒
G ∗ w
Jinou užitečnou transformací je odstranění pravidel tvaru A → B.
✷