opora

KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A ZÁSOBNÍKOVÉ AUTOMATY66
Vstup: Gramatika G = (N, Σ, P, S) generující neprázdný jazyk.
Výstup: Gramatika G ′ = (N ′ , Σ ′ , P ′ , S), pro kterou platí:
(i) L(G) = L(G ′ )
(ii) Žádný symbol v N ′ ∪ Σ’ není zbytečný
Metoda:
(1) Na gramatiku G aplikuj algoritmus 4.1 s cílem získat množinu N t . Polož
G = (N t ∪ {S}, Σ, P 1 , S), kde P 1 obsahuje pravidla tvořená pouze symboly
z N t ∪ Σ.
(2) Algoritmus 4.2 aplikuj na gramatiku G. Výsledkem je gramatika G ′ =
(N ′ , Σ ′ , P ′ , S), která neobsahuje zbytečné symboly.
V kroku (1) algoritmu 4.3 jsou z G odstraněny všechny nonterminály, které
nemohou generovat terminální řetězce. V kroku (2) jsou pak odstraněny všechny
symboly, které jsou nedostupné. Pořadí použití algoritmů 4.1 a 4.2 je podstatné,
obrácené pořadí nemusí vždy vést ke gramatice bez zbytečných symbolů.
Věta 4.2 Gramatika G ′
zbytečné symboly.
z algoritmu 4.3 je ekvivalentní gramatice G a nemá
Důkaz: Dokážeme sporem, že gramatika G ′ nemá zbytečné symboly. Předpokládejme,
že A ∈ N ′ je zbytečný symbol. Podle definice zbytečných symbolů musíme
uvažovat dva případy:
1. Neplatí S ⇒
G ′ ∗ αAβ pro všechna α a β. V tomto případě se však dostáváme
do sporu s krokem (2) algoritmu 4.3.
2. Platí S ⇒ ∗ αAβ pro nějaká α a β, avšak neplatí A ⇒ ∗ w, w ∈ Σ ′∗ . Pak
G ′
G ′
A nebude odstraněn v kroku (2) algoritmu 4.3 a navíc, platí-li A ⇒ ∗ γBδ,
G
pak ani B nebude odstraněn v kroku (2). Platí-li však A ⇒
G ∗ w, pak také
platí A ⇒ ∗ w a tedy neplatí-li A ⇒ ∗ w, pak neplatí ani A ⇒ ∗ w, což je spor
G ′
G ′
G
s krokem (1) algoritmu 4.3.
Důkaz, že G ′ neobsahuje ani zbytečný terminál se provede obdobně.
Příklad 4.12 Uvažujme gramatiku G = ({S, A, B}, {a, b}, P, S), kde P obsahuje
pravidla:
S → a | A
A → AB
B → b
Aplikujeme-li na G algoritmus 4.3, pak v kroku 1 získáme N t = {S, B}, takže
G = ({S, B}, {a, b}, {S → a, B → b}, S}). Po aplikování algoritmu 4.2 na G
obdržíme V 2 = V 1 = {S, a}. Výsledkem je tedy ekvivalentní gramatika
G ′ = ({S}, {a}, {S → a}, S).
Kdybychom jako první aplikovali algoritmus 4.2, zjistíme, že všechny symboly
v G jsou dostupné a algoritmus 4.2 tedy gramatiku G nezmění. Po aplikování
algoritmu 4.1 získáme N t = {S, B}, takže výsledná gramatika bude G a ne G ′ .
✷