opora

KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 51
Důkaz: K jazyku L ∈ L 3 sestrojíme deterministický konečný automat M, L =
L(M):
M = (Q, Σ, δ, q 0 , F )
neprázdnost: L(M) ≠ ∅ ⇐⇒ ∃q ∈ Q : (q ∈ F ∧ q je dostupný z q 0 )
náležitost: w ∈ L ⇔ (q 0 , w) ⊢ ∗ (q, ε) ∧ q ∈ F
✷
Věta 3.26 Nechť L 1 = L(G 1 ) a L 2 = L(G 2 ) jsou dva jazyky generované regulárními
gramatikami G 1 a G 2 . Pak je rozhodnutelný problém ekvivalence, tj.
L(G 1 ) = L(G 2 ) nebo L(G 1 ) ≠ L(G 2 ).
Důkaz: Nechť M 1 = (Q 1 , Σ 1 , δ 1 , q 1 0, F 1 ), resp. M 2 = (Q 2 , Σ 2 , δ 2 , q 2 0, F 2 ) jsou KA
přijímající jazyky L 1 , resp. L 2 takové, že Q 1 ∩ Q 2 = ∅.
Vytvoříme konečný automat M takto:
M = (Q 1 ∪ Q 2 , Σ 1 ∪ Σ 2 , δ 1 ∪ δ 2 , q 1 0, F 1 ∪ F 2 )
a vypočítáme relaci ≡ nerozlišitelnosti stavů z Q 1 ∪ Q 2 pro automat M.
Pak L(G 1 ) = L(G 2 ) ⇐⇒ q 1 0 ≡ q 2 0
✷
Regulární jazyky, zahrnující všechny konečné jazyky, představují třídu formálních
jazyků s velmi výrazným počtem aplikací zvláště pak pro jejich mimořádnou
rozhodovací sílu. K nejrozšířenějším prostředkům jejich specifikace
patří, vedle gramatik typu 3 a nedeterministických a deterministických konečných
jazyků také regulární výrazy. Regulární jazyky tvoří jednu z instancí Kleenovy
algebry, která umožňuje řešit standardizované soustavy rovnic nad regulárními
výrazy. Algoritmy převodů mezi ekvivalentními specifikačními prostředky jsou
základem speciálních jazykových procesorů, např konstruktorů lexikálních analyzátorů
překladačů.
3.6 Cvičení
Cvičení 3.6.1 Ke konečnému nedeterministickému automatu
M = ({q 0 , q 1 , q 2 , q 3 , q F }, {1, 2, 3}, δ, q 0 , {q F }),
kde zobrazení δ je definováno touto tabulkou .
Σ
Q 1 2 3
q 0 {q 0 , q 1 } {q 0 , q 2 } {q 0 , q 3 }
q 1 {q 1 , q F } {q 1 } {q 1 }
q 2 {q 2 } {q 2 , q F } {q 1 }
q 3 {q 3 } {q 3 } {q 3 , q F }
q F ∅ ∅ ∅
sestrojte deterministický automat M ′ , pro který platí L(M ′ ) = L(M).
Cvičení 3.6.2 Nechť L 1 = L(M 1 ) a L 2 = L(M 2 ) jsou jazyky přijímané konečnými
automaty M 1 = (Q 1 , Σ 1 , δ 1 , q 1 0, F 1 ) a M 2 = (Q 2 , Σ 2 , δ 2 , q 2 0, F 2 ). Analogicky větě
3.13 ukažte konstrukci automatů M 3 , M 4 a M 5 , pro které platí:
L(M 3 ) = L 1 ∪ L 2 , L(M 4 ) = L 1 · L 2 a L(M 5 ) = L ∗ 1.