opora

KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 47
✷
To ovšem znamená, že xy i z ∈ L(M), a to nejen pro i > 0, ale i pro případ
i = 0: (q 0 , xz) ∗ ⊢ (r, z) ∗ ⊢ (q F , ɛ), q F ∈ F .
Věty 3.18 se často používá k důkazu, že daný jazyk není regulární.
Příklad 3.30 Dokažte, že jazyk L = {0 n 1 n | n ≥ 1} není regulární.
Důkaz: Předpokládejme, že L je regulární. Pak podle věty 3.18 existuje p > 0
takové, že každá věta 0 k 1 k , kde 2k ≥ p, může být zapsána ve tvaru xyz = 0 k 1 k ,
y ≠ ε ∧ |xy| ≤ p, a platí xy i z ∈ L pro i ≥ 0.
Při hledání podřetězce y mohou nastat 3 možnosti:
0 0 0 . .
} {{ }
y
. 0 1 1
} {{ }
y
1
} {{
. . .
}
1
y
y ∈ {0} + pak ale xy i z /∈ L — nesouhlasí počet 0 a 1
y ∈ {1} + pak ale xy i z /∈ L — nesouhlasí počet 0 a 1
y ∈ {0} + · {1} + pak ale xy i z /∈ L (všechny 0 nepředcházejí všechny 1)
Řetězec tudíž nelze vybrat, a proto L /∈ L 3 .
✷
Nyní ukážeme, že vhodná volba slova může důkaz výrazně zjednodušit.
Důkaz: (alternativní) Předpokládejme, že L je regulární. Pak podle věty 3.18
existuje p > 0 takové, že věta 0 p 1 p může být zapsána ve tvaru xyz = 0 p 1 p ,
y ≠ ε ∧ |xy| ≤ p, a platí xy i z ∈ L pro i ≥ 0.
Při hledání podřetězce y může díky podmínce |xy| ≤ p nastat pouze jedna
možnost:
0
}
0
{{
0 .
}
. . 0 1 1 1 . . . 1
y
y ∈ {0} + pak ale xy i z /∈ L — nesouhlasí počet 0 a 1
Řetězec tudíž nelze vybrat, a proto L /∈ L 3 .
✷
Příklad 3.31 Dokažte, že jazyk L = {a q | q je prvočíslo } není regulární.
Důkaz: Předpokládejme, že L je regulární. Pak podle věty 3.18 existuje p > 0
takové, že každá věta a q ∈ L, kde q ≥ p, může být zapsána ve tvaru a q = xyz,
y ≠ ε, |xy| ≤ p, a platí xy i z ∈ L pro i ≥ 0.
Zvolme r prvočíslo větší než p.
a r ∈ L a |a r | = r ≥ p, což implikuje a r = xyz, 0 < |y| ≤ p, a platí xy i z ∈ L
pro i ≥ 0.
Nechť |y| = k a zvolme i = r + 1.
Pak ale |xy r+1 z| = |xyz| + |y r | = r + r.k = r.(k + 1), což však není prvočíslo,
a tedy xy i z ∉ L. Spor.
✷
3.5.2 Myhill-Nerodova věta
Myhill-Nerodova věta charakterizuje některé zásadní vztahy mezi konečnými automaty
nad abecedou Σ a jistými ekvivalenčními relacemi nad řetězci ze Σ ∗ . Dále
slouží k popisu některých z nutných a postačujících podmínek pro to, aby daný
jazyk byl jazykem regulárním (používá se často k důkazu neregularity jazyka).
Poskytuje také formální bázi pro elegantní důkaz existence unikátního (až na
isomorfismus) minimálního DKA k danému regulárnímu jazyku.