opora

KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 40
3.3.4 Soustavy rovnic nad regulárními výrazy
Příklad 3.20
Budiž dána soustava rovnic
X = a 1 X + a 2 Y + a 3
Y = b 1 X + b 2 Y + b 3
Její řešení je:
X = (a 1 + a 2 b ∗ 2b 1 ) ∗ (a 3 + a 2 b ∗ 2b 3 )
Y = (b 2 + b 1 a ∗ 1a 2 ) ∗ (b 3 + b 1 a ∗ 1a 3 )
Důkaz: Cvičení.
✷
Definice 3.13 Soustava rovnic nad regulárními výrazy je ve standardním tvaru
vzhledem k neznámým ∆ = {X 1 , X 2 , ..., X n }, má-li soustava tvar
∧
X i = α i0 + α i1 X 1 + α i2 X 2 + ... + α in X n
i∈{1,...,n}
kde α ij jsou regulární výrazy nad nějakou abecedou Σ, Σ ∩ ∆ = ∅.
Věta 3.15 Je-li soustava rovnic nad regulárními výrazy ve standardním tvaru,
pak existuje její minimální pevný bod a algoritmus jeho nalezení.
Důkaz: Vyjadřujeme hodnotu jednotlivých proměnných pomocí řešení rovnice
X = pX +q jako regulární výraz s proměnnými, jejichž počet se postupně snižuje:
Z rovnice pro X n vyjádříme např. X n jako regulární výraz nad Σ a X 1 , ..., X n−1 .
Dosadíme za X n do rovnice pro X n−1 a postup opakujeme. Jsou přitom možné
(ale ne nutné) různé optimalizace tohoto pořadí.
✷
Příklad 3.21 Vyřešte soustavu rovnic nad regulárními výrazy:
(1) X 1 = (01 ∗ + 1)X 1 + X 2
(2) X 2 = 11 + 1X 1 + 00X 3
(3) X 3 = ε + X 1 + X 2
Řešení:
1. Výraz pro X 3 dosadíme z (3) do (2). Dostaneme soustavu:
(4) X 1 = (01 ∗ + 1)X 1 + X 2
(5) X 2 = 11 + 1X 1 + 00(ε + X 1 + X 2 ) = 00 + 11 + (1 + 00)X 1 + 00X 2
2. Ze (4) vyjádříme X 1 s využitím řešení rovnice X = pX + q (věta 3.14):
(6) X 1 = (01 ∗ + 1) ∗ X 2 = (0 + 1) ∗ X 2
3. Dosazením do (5):
(7) X 2 = 00 + 11 + (1 + 00)(0 + 1) ∗ X 2 + 00X 2 =
= 00 + 11 + (1 + 00)(0 + 1) ∗ X 2
4. Vypočtením X 2 jako řešení rovnice X = pX + q dostaneme:
(8) X 2 = ((1 + 00)(0 + 1) ∗ ) ∗ (00 + 11)