opora

KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 39
iii. A.10: 1 + aa ∗ + a ∗ = 1 + aa ∗
iv. A.3: 1 + 1 + aa ∗ + a ∗ = 1 + aa ∗ , neboli 1 + a ∗ + 1 + aa ∗ = 1 + aa ∗
v. def. ≤: 1 + a ∗ ≤ 1 + aa ∗
vi. A.10: 1 + a ∗ ≤ a ∗
(b) a ∗ ≤ 1 + a ∗ :
i. 1 + a ∗ = 1 + a ∗
ii. A.3: 1 + a ∗ + a ∗ = 1 + a ∗
iii. def. ≤: a ∗ ≤ 1 + a ∗
(c) antisymetrie ≤.
Příklad 3.17 Nechť p, resp. q, označují regulární množiny P , resp. Q. Pak p + q
označuje P ∪Q a q +p označuje Q∪P . P ∪Q = Q∪P (komutativita množinového
sjednocení) ⇒ p + q = q + p.
Různé vlastnosti Kleeneho algeber se někdy snáze dokazují pro jednotlivé
konkrétní příklady těchto algeber, např. pro Kleeneho algebru regulárních výrazů,
kde lze např. využít vazby na teorii množin.
3.3.3 Rovnice nad regulárními výrazy
Definice 3.12 Rovnice, jejímiž složkami jsou koeficienty a neznámé, které reprezentují
(dané a hledané) regulární výrazy, nazýváme rovnicemi nad regulárními výrazy.
Příklad 3.18 Uvažujme rovnici nad regulárními výrazy nad abecedou {a, b}
X = aX + b
Jejím řešením je regulární výraz X = a ∗ b.
Důkaz: LS = a ∗ b, PS = a(a ∗ b) + b = a + b + b = (a + + ɛ)b = a ∗ b. Ne vždy však
existuje jediné řešení rovnice nad regulárními výrazy.
✷
Příklad 3.19 Nechť X = pX +q je rovnice nad regulárními výrazy, kde p, q jsou
regulární výrazy a p označuje regulární množinu P takovou, že ɛ ∈ P . Pak
X = p ∗ (q + r)
je řešením této rovnice pro libovolné r (kterému nemusí ani odpovídat regulární
množina, ale případně i obecnější jazyk).
Důkaz: LS = p ∗ (q + r), PS = p(p ∗ (q + r)) + q = pp ∗ (q + r) + q = p ∗ (q + r) + q =
p ∗ (q + r). Je třeba si uvědomit, že ɛ ∈ P .
✷
Obvykle ale hledáme „nejmenší řešení“, tzv. nejmenší pevný bod, dané rovnice.
Věta 3.14 Nejmenším pevným bodem rovnice X = pX + q je:
X = p ∗ q
✷
Důkaz: LS = p ∗ q, PS = pp ∗ q + q = (pp ∗ + ɛ)q = p ∗ q
✷