opora

KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 36
Věta 3.12 Nechť Σ je konečná abeceda. Pak
∅ (1)
{ɛ} (2)
{a} pro všechna a ∈ Σ (3)
jsou jazyky typu 3 nad abecedou Σ.
Důkaz:
(1) G = ({S}, Σ, ∅, S) je gramatika typu 3 pro kterou L(G) = ∅
(2) G = ({S}, Σ, {S → ɛ}, S) je gramatika typu 3 pro kterou L(G) = {ɛ}
(3) G a = ({S}, Σ, {S → a}, S) je gramatika typu 3, pro kterou L(G a ) = {a}
✷
Věta 3.13 Nechť L 1 a L 2 jsou jazyky typu 3 nad abecedou Σ. Pak
jsou jazyky typu 3 nad abecedou Σ.
L 1 ∪ L 2 (1)
L 1 · L 2 (2)
L ∗ 1 (3)
Důkaz: Protože L 1 a L 2 jsou jazyky typu 3, můžeme předpokládat existenci
gramatik G 1 = (N 1 , Σ, P 1 , S 1 ) a G 2 = (N 2 , Σ, P 2 , S 2 ) typu 3 takových, že L(G 1 ) =
L 1 a L(G 2 ) = L 2 . Bez újmy na obecnosti dále předpokládejme, že množiny N 1 a
N 2 jsou disjunktní.
(1) Nechť G 3 = (N 1 ∪ N 2 ∪ {S 3 }, Σ, P 1 ∪ P 2 ∪ {S 3 → S 1 , S 3 → S 2 }, S 3 ) je
gramatika typu 3, kde S 3 je nový nonterminál, S 3 /∈ N 1 , S 3 /∈ N 2 . Zřejmě
L(G 3 ) = L(G 1 ) ∪ L(G 2 ), poněvadž pro každou derivaci S 3 ⇒
G3 + w existuje
buď derivace S 1 ⇒
G1 + w, nebo S 2 ⇒
G2 + w a naopak. Protože G 3 je gramatika
typu 3, je L(G 3 ) jazyk typu 3.
(2) Nechť G 4 = (N 1 ∪ N 2 , Σ, P 4 , S 1 ) je gramatika typu 3, jejíž množina přepisovacích
pravidel P 4 je definována takto:
(a) je-li A → xB v P 1 , pak A → xB je v P 4
(b) je-li A → x v P 1 , pak A → xS 2 je v P 4
(c) všechna pravidla z P 2 jsou v P 4 .
Nyní, jestliže S 1 ⇒
G1 + w, pak S 1 ⇒
G4 + wS 2 . Je-li dále S 2 ⇒
G2 + x, pak S 2 ⇒
G4 + x
a tedy S 1 ⇒
G4 + wx pro libovolné w a x. Z toho plyne L(G 1 ) · L(G 2 ) ⊆ L(G 4 ).
Předpokládejme, že platí S 1 ⇒
G4 + w. Protože v P 4 nejsou žádná pravidla
tvaru A → x z množiny P 1 , můžeme tuto derivaci zapsat ve tvaru S 1 ⇒
G4
+
x S 2 ⇒
G4 + xy, kde w = xy, přičemž všechna pravidla použitá v derivaci
S 1 ⇒
G4 + xS 2 byla odvozena podle (a) a (b). Pak ale musí existovat derivace
S 1 ⇒
G1 + x a S 2 ⇒
G2 + y a tudíž L(G 4 ) ⊆ L(G 1 ) · L(G 2 ). Z toho však plyne
L(G 4 ) = L(G 1 ) · L(G 2 ).
(3) Nechť G 5 = {N 1 ∪ {S 5 }, Σ, P 5 , S 5 }, S 5 /∈ N 1 a množina P 5 je konstruována
takto: