opora

KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 33
Obrázek 3.3: Diagram přechodů
Definice 3.6 Nechť M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ) je konečný automat. Stav q ∈ Q nazveme
dosažitelný, pokud existuje w ∈ Σ ∗ takové, že (q 0 , w)
(q, ε). Stav je nedosažitelný,
pokud není dosažitelný.
Algoritmus 3.4
Eliminace nedosažitelných stavů
Vstup: Deterministický konečný automat M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ).
∗
⊢
M
Výstup: Deterministický konečný automat M ′ bez nedosažitelných stavů, L(M) =
L(M ′ ).
Metoda:
1. i := 0
2. S i := {q 0 }
3. repeat
4. S i+1 := S i ∪ {q | ∃p ∈ S i ∃a ∈ Σ : δ(p, a) = q}
5. i := i + 1
6. until S i = S i−1
7. M ′ := (S i , Σ, δ |Si , q 0 , F ∩ S i )
Základem algoritmu minimalizace deterministického konečného automatu je
koncept nerozlišitelných stavů.
Definice 3.7 Nechť M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ) je úplný DKA. Říkáme, že řetězec w ∈
Σ ∗ rozlišuje stavy z Q, jestliže (q 1 , w) ∗ ⊢
M
(q 3 , ε) ∧ (q 2 , w) ∗ ⊢
M
(q 4 , ε) pro nějaké
q 3 , q 4 a právě jeden ze stavů q 3 , q 4 je v F . Říkáme, že stavy q 1 , q 2 ∈ Q jsou
k
k-nerozlišitelné a píšeme q 1 ≡ q2 , právě když neexistuje w ∈ Σ ∗ , |w| ≤ k, který
rozlišuje q 1 a q 2 . Stavy q 1 , q 2 jsou nerozlišitelné, značíme q 1 ≡ q 2 , jsou-li pro každé
k ≥ 0 k-nerozlišitelné.
Dá se snadno dokázat, že ≡ je relací ekvivalence na Q, tj. relací, která je
reflexivní, symetrická a tranzitivní.
Definice 3.8 Úplně definovaný DKA M nazýváme redukovaný, jestliže žádný
stav Q není nedostupný a žádné dva stavy nejsou nerozlišitelné.
Věta 3.11 Nechť M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ) je úplný DKA a |Q| = n, n ≥ 2. Platí
n−2
∀q 1 , q 2 ∈ Q : q 1 ≡ q 2 ⇔ q 1 ≡ q 2 .