opora

KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 32
Věta 3.10 Nechť G je levá lineární gramatika a M konečný automat z algoritmu
3.3. Pak L(M) = L(G).
Důkaz: Nejprve dokážeme, že ɛ ∈ L(G), právě když ɛ ∈ L(M). Podle konstrukce
automatu M, q 0 ∈ F právě když v P je pravidlo S → ɛ a tedy
S ⇒ ɛ, právě když (q 0 , ɛ) 0 ⊢(q 0 , ɛ), q 0 ∈ F
Nyní dokážeme, že pro libovolné w ∈ Σ + platí
S ⇒ + w, právě když (q 0 , w) + ⊢(S, ɛ), S ∈ F
Položme w = ax, a ∈ Σ, x ∈ Σ ∗ . Induktivní hypotéza nechť má tvar:
S ⇒ i Ax ⇒ ax, právě když (q 0 , ax) ⊢ (A, x) i ⊢(S, ɛ), A ∈ N, S ∈ F, |x| = i
Pro i = 0 dostaneme:
S ⇒ a, právě když (q 0 , a) ⊢ (S, ɛ),
což plyne přímo z definice funkce přechodů automatu M (δ(q 0 , a) obsahuje S,
právě když S → a je v P ).
Pro i ≥ 1 je třeba dokázat:
(a) Ax ⇒ ax, právě když (q 0 , ax) ⊢ (A, x)
(b) S ⇒ i Ax právě když (A, x) ⊢ i (S, ɛ)
Důkaz tvrzení (a) a (b) ponecháme jako cvičení.
✷
Příklad 3.12 Uvažujme gramatiku G = ({S, I, N}, {c, p, ♯}, P, S) s pravidly:
S → I♯ | N♯
I → p | Ip | Ic
N → c | Nc
Značí-li c arabskou číslici a p písmeno, pak L(G) je jazyk identifikátorů (nonterminál
I) a celých čísel bez znaménka (nonterminál N). Každá věta jazyka L(G)
končí koncovým znakem ♯.
Diagram přechodů automatu, který přijímá jazyk L(G), má na základě algoritmu
3.3 tvar:
3.2 Minimalizace deterministického konečného automatu
Postup převodu deterministického konečného automatu na minimální deterministický
konečný automat se skládá z několika kroků, ve kterých eliminujeme nedosažitelné
stavy, automat převedeme na úplně definovaný DKA, následně na
redukovaný DKA a pokud se v tomto redukovaném DKA vyskytuje tzv. „SINK“
stav, tj. nekoncový stav, z něhož lze pokračovat jen do něj samého, pak ho
odstraníme.
Definice 3.5 Deterministický konečný automat M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ) nazýváme
úplný deterministický konečný automat, pokud pro všechna q ∈ Q a všechna a ∈ Σ
platí, že δ(q, a) ∈ Q, tj. δ je totální funkcí na Q × Σ.