opora

KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 30
Důkaz: Nechť M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ). Protože každý nedeterministický automat
může být převeden na deterministický automat přijímající stejný jazyk, předpokládejme,
že M je deterministický automat. Nechť G je gramatika typu 3,
G = (Q, Σ, P, q 0 ), jejíž množina P přepisovacích pravidel je definována takto:
(1) je-li δ(q, a) = r, pak P obsahuje pravidlo q → ar
(2) je-li p ∈ F , pak P obsahuje pravidlo p → ɛ
V další části probíhá důkaz zcela analogicky důkazu věty 3.6.
Příklad 3.10 Na základě příkladu 3.1 sestrojíme gramatiku typu 3, která generuje
jazyk zápisů čísel. Přechodová funkce deterministického konečného automatu,
který přijímá tento jazyk, je v tabulce 3.1. Výsledná gramatika bude tvaru:
P obsahuje pravidla
G = ({q 0 , q 1 , q 2 , q 3 , q 4 , q 5 , q 6 , q 7 , q 8 }, {c, z, e, ., ♯}, P, q 0 )
q 0 → zq 8 | cq 7 | ·q 6 | e q4
q 1 → ɛ
q 2 → cq 2 | ♯q 1
q 3 → cq 2
q 4 → zq 3 | cq 2
q 5 → cq 5 | e q4 | ♯q 1
q 6 → cq 5
q 7 → cq 7 | ·q 6 | e q4 | ♯q 1
q 8 → cq 7 | ·q 6 | e q4
Poznamenejme, že převod této gramatiky na gramatiku regulární je velice
snadný, stačí dosadit za q 1 prázdný řetězec a odstranit pravidlo q 1 → ɛ.
Věta 3.8 Třída jazyků, jež jsou přijímány konečnými automaty, je totožná s třídou
jazyků typu 3 Chomského hierarchie.
✷
Důkaz: Tvrzení bezprostředně plyne z vět 3.6 a 3.7.
✷
Algoritmus konstrukce nedeterministického konečného automatu z důkazu věty
3.6 může být snadno modifikován pro převod pravé regulární gramatiky na ekvivalentní
nedeterministický konečný automat.
Algoritmus 3.2 Konstrukce nedeterministického konečného automatu k pravé
regulární gramatice.
Vstup: Pravá regulární gramatika G = (N, Σ, P, S), jejíž pravidla mají tvar A →
aB a A → a, kde A, B ∈ N a a ∈ Σ, případně S → ɛ za předpokladu, že S
se nevyskytuje na pravé straně žádného pravidla.
Výstup: Nedeterministický konečný automat M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ), pro který je
L(M) = L(G).
Metoda:
(1) Položíme Q = N ∪ {q F }, kde q F reprezentuje koncový stav.