opora

KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 27
Příklad 3.6 Gramatiku z příkladu 3.5 převedeme na pravou regulární odstraněním
pravidla W → ɛ (vznikne pravidlo V → c) a pravidla X → ɛ (vznikne pravidlo
Z → b). Protože ɛ ∈ L(G) a X je na pravé straně pravidla Z → bX, musíme zavést
nový výchozí symbol X ′ a odstranit jednoduché pravidlo X ′ → X. Výsledná
gramatika bude mít tvar:
P ′′ obsahuje pravidla:
G ′′ = ({X ′ , X, Y, Z, U, V }, {a, b, c}, P ′′ , X ′ ),
X ′ → ɛ | aY | cZ | aU
Y → aY | cZ
Z → bX | b
X → aY | cZ | aU
U → bV
V → c
Věta 3.4 Každý jazyk typu 3 může být generován levou lineární gramatikou.
Důkaz: Úplný důkaz ponecháme na cvičení. Lze postupovat tak, že nejprve
z definice regulární množiny dokážeme tvrzení: je-li L regulární množina, pak
L R je také regulární množina. Dále ukážeme: je-li G = (N, Σ, P, S) pravá lineární
gramatika, pak levá lineární gramatika G ′ , jejíž množina pravidel má tvar P ′ =
{A → α R | A → α je v P }, generuje jazyk (L(G)) R . ✷
Příklad 3.7 Gramatika G ′ = ({X, Y }, {a, b, c}, P ′ , X), kde P ′ obsahuje pravidla
X → cba | Y | ɛ
Y → Y a | Xbc
je levá lineární gramatika, pro kterou L(G ′ ) = (L(G)) R a G je pravá lineární
gramatika z příkladu 3.5.
Věta 3.5
Každý jazyk typu 3 lze generovat levou regulární gramatikou.
Důkaz: Konstrukce levé regulární gramatiky k dané levé lineární gramatice je
zcela analogická konstrukci pravé regulární gramatiky k dané pravé lineární gramatice,
a je proto ponechána na čtenáři (ilustraci poskytuje následující příklad).
✷
Příklad 3.8 Uvažujme gramatiku z příkladu 3.7, jež má pravidla:
X → cba | Y | ɛ
Y → Y a | Xbc
1. krok zavádí pouze pravidla typu A → Ba nebo A → ɛ:
X → Ua | Y a | Zc | ɛ
Y → Y a | Zc
U → V b
V → W c
W → ɛ
Z → Xb