opora
Kapitola 3 Regulární jazyky Cílem této kapitoly je důkladné pochopení alternativních prostředků specifikace regulárních jazyků, důkazových technik, které verifikují jejich ekvivalenci a formálních algoritmů zápisů jejich vzájemných převodů. Vede dále k pochopení základních vlastností regulárních jazyků, jež činí tuto třídu nejvíce aplikovatelnou v řadě technických i netechnických oblastí. Kapitola stanovuje rámce teorie, které jsou využívány i v následujících částech učebního textu. 3.1 Jazyky přijímané konečnými automaty a deterministický konečný automat 3.1.1 Konečný automat Definice 3.1 Konečný automat (KA) je 5-tice M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ), kde (1) Q je konečná množina stavů, (2) Σ je konečná vstupní abeceda, (3) δ je zobrazení Q × Σ → 2 Q , které nazýváme funkcí přechodu (2 Q je množina podmnožin množiny Q), (4) q 0 ∈ Q je počáteční stav, (5) F ⊆ Q je množina koncových stavů. Je-li ∀q ∈ Q ∀a ∈ Σ : |δ(q, a)| ≤ 1, pak M nazýváme deterministickým konečným automatem (zkráceně DKA), v případě, že ∃q ∈ Q ∃a ∈ Σ : |δ(q, a)| > 1 pak nedeterministickým konečným automatem (zkráceně NKA). Deterministický konečný automat často také definujeme jako 5-tici M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ), kde δ je parciální přechodová funkce tvaru δ : Q × Σ → Q. Je-li přechodová funkce δ totální, pak M nazýváme úplně definovaným deterministickým konečným automatem. Lemma 3.1.1 Ke každému DKA M existuje „ekvivalentní“ úplně definovaný DKA M ′ . Důkaz. (idea) Množinu stavů automatu M ′ rozšíříme o nový, nekoncový stav (anglicky označovaný jako SINK stav) a s využitím tohoto stavu doplníme prvky přechodové funkce δ ′ automatu M ′ tak, aby byla totální. ✷ Činnost konečného automatu M je dána posloupností přechodů; přechod z jednoho stavu do druhého je řízen funkcí přechodu δ, která na základě přítomného stavu q i a právě přečteného symbolu a ∈ Σ vstupního řetězce předepisuje budoucí stav q j automatu. Je-li M deterministický konečný automat, δ předepisuje vždy jediný budoucí stav q j ∈ Q (pokud funkce δ není definována, tak přechod není možný). V případě nedeterministického konečného automatu δ předepisuje množinu budoucích stavů Q j , Q j ∈ 2 Q . 21
KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 22 δ z c · e ♯ q 0 q 8 q 7 q 6 q 4 q 1 q 2 q 2 q 1 q 3 q 2 q 4 q 3 q 2 q 5 q 5 q 4 q 1 q 6 q 5 q 7 q 7 q 6 q 4 q 1 q 8 q 7 q 6 q 4 Tabulka 3.1: Funkce přechodů automatu M Definice 3.2 Je-li M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ) konečný automat, pak dvojici C = (q, w) z Q×Σ ∗ nazýváme konfigurací automatu M. Konfigurace tvaru (q 0 , w) je počáteční konfigurace, konfigurace tvaru (q, ɛ), q ∈ F je koncová konfigurace. Přechod automatu M je reprezentován binární relací ⊢ M na množině konfigurací C. Pro všechna q, q ′ ∈ Q a w, w ′ ∈ Σ ∗ definujeme, že platí (q, w) ⊢ M (q ′ , w ′ ), tehdy a jen tehdy, když w = aw ′ pro nějaké a ∈ Σ a q ′ ∈ δ(q, a) (tj. δ(q, a) = Q j , Q j ∈ 2 Q , q ′ ∈ Q j ). Označíme symbolem ⊢ k M, k ≥ 0, k-tou mocninu (C ⊢ 0 C ′ právě když C = C ′ ), symbolem ⊢ + M tranzitivní uzávěr a symbolem ⊢ ∗ M tranzitivní a reflexivní uzávěr relace ⊢ M . Bude-li zřejmé, že jde o automat M, pak uvedené relace zapíšeme pouze ve tvaru ⊢, ⊢ k , ⊢ + , ⊢ ∗ . Definice 3.3 Říkáme, že vstupní řetězec w je přijímán konečným automatem M, jestliže (q 0 , w) ⊢ ∗ (q, ɛ), q ∈ F . Jazyk přijímaný konečným automatem M označujeme symbolem L(M) a definujeme ho jako množinu všech řetězců přijímaných automatem M: L(M) = {w | (q 0 , w) ∗ ⊢(q, ɛ) ∧ q ∈ F } Příklad 3.1 Konečný deterministický automat M = ({g 0 , q 1 , q 3 , q 4 , q 5 , q 6 , q 7 , q 8 }, {c, z, 10 , ·, ♯}, δ, q 0 , {q 1 }), jehož funkce přechodu δ je definována tabulkou 3.1, přijímá jazyk zápisů čísel, jak ho známe z některých programovacích jazyků. Symbolem c značíme prvek množiny {0, 1, . . . , 9}, symbolem z prvek množiny {+, −}; znak ♯ ukončuje zápis čísla. Např. vstupnímu řetězci zc.cezc♯ (např. číslu +3.1e − 5) bude odpovídat tato posloupnost konfigurací: (q 0 , zc.cezc♯) ⊢ (q 8 , c.cezc♯) (q 7 , .cezc♯) (q 6 , cezc♯) (q 5 , ezc♯) (q 4 , zc♯) (q 3 , c♯) (q 2 , ♯) (q 1 , ɛ)
- Page 1 and 2: Teoretická informatika TIN Studijn
- Page 3 and 4: OBSAH 2 4 Bezkontextové jazyky a z
- Page 5 and 6: OBSAH 4 7.2 Třídy složitosti . .
- Page 7 and 8: KAPITOLA 1. ÚVOD 6 1.1 Obsahové a
- Page 9 and 10: Kapitola 2 Jazyky, gramatiky a jeji
- Page 11 and 12: KAPITOLA 2. JAZYKY, GRAMATIKY A JEJ
- Page 13 and 14: KAPITOLA 2. JAZYKY, GRAMATIKY A JEJ
- Page 15 and 16: KAPITOLA 2. JAZYKY, GRAMATIKY A JEJ
- Page 17 and 18: KAPITOLA 2. JAZYKY, GRAMATIKY A JEJ
- Page 19 and 20: KAPITOLA 2. JAZYKY, GRAMATIKY A JEJ
- Page 21: KAPITOLA 2. JAZYKY, GRAMATIKY A JEJ
- Page 25 and 26: KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 24 3
- Page 27 and 28: KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 26 D
- Page 29 and 30: KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 28 2
- Page 31 and 32: KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 30 D
- Page 33 and 34: KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 32 V
- Page 35 and 36: KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 34 D
- Page 37 and 38: KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 36 V
- Page 39 and 40: KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 38 D
- Page 41 and 42: KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 40 3
- Page 43 and 44: KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 42 3
- Page 45 and 46: KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 44 V
- Page 47 and 48: KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 46 3
- Page 49 and 50: KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 48 P
- Page 51 and 52: KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 50 3
- Page 53 and 54: KAPITOLA 3. REGULÁRNÍ JAZYKY 52 C
- Page 55 and 56: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 57 and 58: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 59 and 60: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 61 and 62: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 63 and 64: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 65 and 66: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 67 and 68: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 69 and 70: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 71 and 72: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
Kapitola 3<br />
Regulární jazyky<br />
Cílem této kapitoly je důkladné pochopení alternativních prostředků specifikace<br />
regulárních jazyků, důkazových technik, které verifikují jejich ekvivalenci a formálních<br />
algoritmů zápisů jejich vzájemných převodů. Vede dále k pochopení základních<br />
vlastností regulárních jazyků, jež činí tuto třídu nejvíce aplikovatelnou v<br />
řadě technických i netechnických oblastí. Kapitola stanovuje rámce teorie, které<br />
jsou využívány i v následujících částech učebního textu.<br />
3.1 Jazyky přijímané konečnými automaty a deterministický<br />
konečný automat<br />
3.1.1 Konečný automat<br />
Definice 3.1<br />
Konečný automat (KA) je 5-tice M = (Q, Σ, δ, q 0 , F ), kde<br />
(1) Q je konečná množina stavů,<br />
(2) Σ je konečná vstupní abeceda,<br />
(3) δ je zobrazení Q × Σ → 2 Q , které nazýváme funkcí přechodu (2 Q je množina<br />
podmnožin množiny Q),<br />
(4) q 0 ∈ Q je počáteční stav,<br />
(5) F ⊆ Q je množina koncových stavů.<br />
Je-li ∀q ∈ Q ∀a ∈ Σ : |δ(q, a)| ≤ 1, pak M nazýváme deterministickým<br />
konečným automatem (zkráceně DKA), v případě, že ∃q ∈ Q ∃a ∈ Σ : |δ(q, a)| > 1<br />
pak nedeterministickým konečným automatem (zkráceně NKA).<br />
Deterministický konečný automat často také definujeme jako 5-tici M =<br />
(Q, Σ, δ, q 0 , F ), kde δ je parciální přechodová funkce tvaru δ : Q × Σ → Q.<br />
Je-li přechodová funkce δ totální, pak M nazýváme úplně definovaným deterministickým<br />
konečným automatem.<br />
Lemma 3.1.1 Ke každému DKA M existuje „ekvivalentní“ úplně definovaný<br />
DKA M ′ .<br />
Důkaz. (idea) Množinu stavů automatu M ′ rozšíříme o nový, nekoncový stav<br />
(anglicky označovaný jako SINK stav) a s využitím tohoto stavu doplníme prvky<br />
přechodové funkce δ ′ automatu M ′ tak, aby byla totální.<br />
✷<br />
Činnost konečného automatu M je dána posloupností přechodů; přechod z jednoho<br />
stavu do druhého je řízen funkcí přechodu δ, která na základě přítomného<br />
stavu q i a právě přečteného symbolu a ∈ Σ vstupního řetězce předepisuje budoucí<br />
stav q j automatu. Je-li M deterministický konečný automat, δ předepisuje<br />
vždy jediný budoucí stav q j ∈ Q (pokud funkce δ není definována, tak přechod<br />
není možný). V případě nedeterministického konečného automatu δ předepisuje<br />
množinu budoucích stavů Q j , Q j ∈ 2 Q .<br />
21
Change language