opora

KAPITOLA 7. SLOŽITOST 163
Funkce f vytvoří z formule φ v CNF graf G a číslo k takové, že formule φ
je splnitelná, právě tehdy když graf G obsahuje úplný podgraf tvořený k vrcholy.
Číslo k odpovídá počtu klauzulí ve formuli. Vrcholy grafu G odpovídají
literálům vyskytujícím se ve formuli. Hrana v G mezi dvěma vrcholy, které
odpovídají dvěma literálům, existuje právě tehdy, když tyto literály nejsou
komplementární a nacházejí se ve dvou různých klauzulích.
⇐:
Předpokládejme, že formule φ je splnitelná a funkce H : {x1, . . . , x n } →
{0, 1} je přiřazení, které splňuje φ. Při tomto přiřazení existuje v každé
klauzuli aspoň jeden literál, který má po tomto přiřazení hodnotu 1. Mezi
každými dvěma vrcholy odpovídajícími těmto literálům existuje hrana, jelikož
nejsou komplementární a nacházejí se v různých klauzulích. Tudíž vzniklý
graf patří do KLIKY .
⇒:
Předpokládejme že vrcholy k1, . . . , k k jsou vrcholy grafu, které tvoří úplný
podgraf. Jelikož mezi každými dvěma vrcholy je hrana, musí být odpovídající
literály v navzájem různých klauzulích a zároveň nemohou být komplementární.
Tudíž těmto literálům můžeme přiřadit hodnotu 1 a dostaneme
splňující přiřazení pro φ.
Turingovy stroje jsou často používány také pro popis a klasifikaci časové a
paměťové složitosti složitosti problémů (algoritmů). K nejdůležitějším složitostním
třídám problémů (jazyků) patří třídy P, NP a NPC, avšak i ostatní třídy
mají význam pro charakterizaci obtížnosti výpočtu. Reprezentativním problémem
třídy NPC je SAT problém.
7.6 Cvičení
Příklad 7.6.1
1. Dokažte, že problém DoubleSat = {φ| formule φ v CNF která má dvě splnitelné
přiřazení } je NP-úplný.
2. Dokažte, že problém rozhodnout, zda existuje obarvení neorientovaného grafu
třemi barvami, tak aby každé dva sousední vrcholy měly různou barvu je NPúplný.
3. Uvažme problém 2SAT. Rozhodněte, zda je NP úplný nebo leží v P.
Příklad 7.6.2
1. Definujte časovou a prostorovou složitost výpočtu Turingova stroje nad daným
jazykem.
2. Proč se zavádí asymptotické omezení složitosti? Pro danou funkci f definujte
množinu funkcí O(f(n)), Ω(f(n)) a Θ(f(n)).
3. Definujte následující složitostní třídy P, NP, PSPACE, LOGSPACE,
NLOGSPACE a uveďte příklady problémů patřící do výše uvedených tříd.
4. Uveďte jaký vliv má použití vícepáskových TS a nedeterministických TS na
složitost výpočtů.
5. Vysvětlete Savitchův teorém a jeho význam.