opora

KAPITOLA 7. SLOŽITOST 162
7.5.4 Význačné NP-úplné problémy
• Satisfiability: Je boolovský výraz splnitelný?
• Clique: Obsahuje neorientovaný graf kliku velikosti k?
• Vertex cover: Má neorientovaný graf dominantní množinu mohutnosti k?
• Hamilton circuit: Má neorientovaný graf Hamiltonovskou kružnici?
• Colorability: Má neorientovaný graf chromatické číslo k?
• Directed Hamilton circuit: Má neorientovaný graf Hamiltonovský cyklus?
• Set cover: Je dána třída množin S 1 , S 2 , . . . , S n . Existuje podtřída k množin
S i1 , S i2 , . . . , S ik taková, že ⋃ k
j=1 S ij = ⋃ n
j=1 S j ?
• Exact cover: Je dána třída množin S 1 , S 2 , . . . , S n . Existuje množinové pokrytí
(set cover) tvořené podtřídou po dvojicích disjunktních množin?
7.5.5 Použití redukcí k důkazu úplnosti
Příklad 7.5.3 Dokážeme, že problém 3SAT ={φ| splnitelné formule φ v CNF
obsahující v každé klauzuli nanejvýš 3 literály } je NP-úplný.
Musíme ukázat:
• a) 3SAT ∈ NP
NTS si nedeterministicky zvolí přiřazení jednotlivým proměnným v 3SAT
formuli a v polynomiálním čase ověří, zda jde o splňující přiřazení.
• b) SAT ≤ p 3SAT
Zkonstruujeme polynomiálně vyčíslitelnou funkci f, pro kterou platí:
A ∈ SAT ⇔ f(A) ∈ 3SAT
Funkce f pracuje následovně:
Nechť K = (a 1 , a 2 , a 3 , ....a n ) je klauzule v SAT která má víc než 3 literály.
Klauzuli K nahradíme klauzulemi K 1 = (a 1 , a 2 , b) a K 2 = (¬b, a 3 , ..., a n ),
kde literál b se nevyskytuje v původní formuli. Je zřejmé, že platí:
K 1 ∪ K 2 je splnitelná ⇔ K je splnitelná
a navíc klauzule K 2 má o jeden literál méně než původní klauzule K. Analogicky
postupujeme, dokud formule obsahuje klauzule obsahující více než 3
literály. Je zřejmé, že funkce f je polynomiálně vyčíslitelná a navíc pro ni
platí výše uvedený vztah.
Příklad 7.5.4 Dokážeme, že problém KLIKA = {(G, k)| G obsahuje úplný
podgraf tvořený k vrcholy} je NP-úplný Musíme ukázat:
• a) KLIKA ∈ NP
NTS si nedeterministicky zvolí k vrcholů a v polynomiálním čase ověří zda
tvoří úplný podgraf.
• b) SAT ≤ p KLIKA
Zkonstruujeme polynomiálně vyčíslitelnou funkci f, pro kterou platí:
A ∈ SAT ⇔ f(A) ∈ KLIKA