opora

KAPITOLA 7. SLOŽITOST 160
7.5.1 Polynomiální redukce
Definice 7.5.1 Polynomiální redukce jazyka L 1 nad abecedou Σ 1 na jazyk L 2
nad abecedou Σ 2 je funkce f : Σ ∗ 1 → Σ ∗ 2, pro kterou platí:
1. ∀w ∈ Σ ∗ 1 : w ∈ L 1 ⇔ f(w) ∈ L 2
2. f je Turingovsky vyčíslitelná v polynomiálním čase
Existuje-li polynomiální redukce jazyka L 1 na L 2 , říkáme, že L 1 se redukuje
na L 2 a píšeme L 1 ≤ m P L 2.
Věta 7.5.1 Je-li L 1 ≤ m P L 2 a L 2 je ve třídě P , pak L 1 je ve třídě P .
Důkaz. Nechť M f je Turingův stroj, který provádí redukci f jazyka L 1 na L 2 a
nechť p(x) je jeho časová složitost. Pro libovolné w ∈ L 1 výpočet f(w) vyžaduje
nanejvýš p(|w|) kroků a produkuje výstup maximální délky p(|w|) + |w|. Nechť
M 2 přijímá jazyk L 2 v polynomiálním čase daném polynomem q(x). Uvažujme
Turingův stroj, který vznikne kompozicí → M f M 2 . Tento stroj přijímá jazyk L 1
tak, že pro každé w ∈ L 1 udělá stroj → M f M 2 maximálně p(|w|) + q(p(|w|) + |w|)
kroků, což je polynomem ve |w| a tedy L 1 leží ve třídě P .
✷
Příklad 7.5.1 Funkce f : {x, y} ∗ → {x, y, z} ∗ definována jako f(v) = vzv je
polynomiální redukcí jazyka L 1 = {w|w je palindrom nad {x, y}} na jazyk L 2 =
{wzw R |w ∈ {x, y} ∗ }.
Předchozí věta nám dává praktickou možnost jak ukázat, že určitý jazyk je ve
třídě P. Navíc, přeformulujeme-li tuto větu takto: „Jestliže platí L 1 ≤ m P L 2 a L 1
neleží v P , pak L 2 také neleží v P “, můžeme dokazovat, že určitý jazyk neleží v
P .
7.5.2 Problém splnitelnosti - SAT problém
Nechť V = {v 1 , v 2 , . . . , v n } je konečná množina Booleovských proměnných (prvotních
formulí výrokového počtu). Literálem nazveme každou proměnnou v i nebo
její negaci v i . Klauzulí nazveme výrokovou formuli obsahující pouze literály spojené
výrokovou spojkou ∨ (nebo).
Příklady klauzulí: v 1 ∨ v 2 , v 2 ∨ v 3 , v 1 ∨ v 3 ∨ v 2 .
SAT-problém lze formulovat takto: Je dána množina proměnných V a množina
klauzulí nad V . Je tato množina klauzulí splnitelná?
Každý konkrétní SAT-problém můžeme zakódovat jediným řetězcem takto:
Nechť V = {v 1 , v 2 , . . . , v n }, každý literál v i zakódujeme řetězcem délky m, který
obsahuje samé 0 s výjimkou i-té pozice, která obsahuje symbol p, jde-li o literál
v i , nebo n, jde-li o literál v i . Klauzuli reprezentujeme seznamem zakódovaných
literálů oddělených symbolem /. SAT-problém bude seznam klauzulí uzavřených
v aritmetických závorkách.
Příklad 7.5.2 SAT-problém obsahuje proměnné v 1 , v 2 , v 3 a klauzule v 1 ∨ v 2 , v 2 ∨
v 3 , v 1 ∨ v 3 ∨ v 2 bude reprezentována řetězcem: (p00/0n0)(0p0/00p)(n00/00n/0p0)
Označme L SAT jazyk obsahující řetězce tohoto typu, které reprezentují splnitelné
množiny klauzulí. Řetězec (p00/0n0)(0p0/00p)(n00/00n/0p0) je prvkem L SAT
(v 1 = F, v 2 = F, v 3 = T ), na rozdíl od řetězce (p00/0p0)(n00/0p0)(p00/0n0)