opora

KAPITOLA 2. JAZYKY, GRAMATIKY A JEJICH KLASIFIKACE 15
Definice 2.13 Nechť G = (N, Σ, P, S) je gramatika a λ a µ jsou řetězce z (N ∪
Σ) ∗ . Mezi řetězci λ a µ platí relace ⇒ + nazývaná derivace, jestliže existuje
posloupnost přímých derivací ν i−1 ⇒ ν i i = 1, . . . , n, n ≥ 1 taková, že platí:
λ = ν 0 ⇒ ν 1 ⇒ . . . ⇒ ν n−1 ⇒ ν n = µ
Tuto posloupnost nazýváme derivací délky n. Platí-li λ ⇒ + µ, pak říkáme, že
řetězec µ lze generovat z řetězce λ v gramatice G. Relace ⇒ + je zřejmě tranzitivním
uzávěrem relace přímé derivace ⇒ . Symbolem ⇒ n značíme n-tou mocninu
relace ⇒.
Příklad 2.17 V gramatice z příkladu 2.13 platí (v důsledku pravidla 0A → 00A1,
viz příklad 2.15) relace
0 n A1 n ⇒ 0 n+1 A1 n+1 n > 0
a tudíž také 0A1 ⇒ + 0 n A1 n pro libovolné n > 1.
Definice 2.14 Jestliže v gramatice G platí pro řetězce λ a µ relace λ ⇒ + µ nebo
identita λ = µ, pak píšeme λ ⇒ ∗ µ. Relace ⇒ ∗ je tranzitivním a reflexivním
uzávěrem relace přímé derivace ⇒.
Příklad 2.18 Relaci 0A1 ⇒ + 0 n A1 n , n > 1 z příkladu 2.17 lze rozšířit na
relaci
0A1 ⇒ ∗ 0 n A1 n , n > 0
Poznámka 2.1 Dojdeme-li v posloupnosti přímých derivací k řetězci, který obsahuje
pouze terminální symboly, pak již nelze aplikovat žádné přepisovací pravidlo
a proces generování končí. Z této skutečnosti, jež vyplývá z definice pravidla,
je odvozen název množiny Σ jako množiny terminálních symbolů.
Definice 2.15 Nechť G = (N, Σ, P, S) je gramatika. Řetězec α ∈ (N ∪ Σ) ∗
nazýváme větnou formou, jestliže platí S ⇒ ∗ α, tj. řetězec α je generovatelný
z výchozího symbolu S. Větná forma, která obsahuje pouze terminální symboly,
se nazývá věta. Jazyk L(G), generovaný gramatikou G, je definován množinou
všech vět
L(G) = {w | S ⇒ ∗ w ∧ w ∈ Σ ∗ }
Příklad 2.19 Jazyk generovaný gramatikou G z příkladu 2.13 je množina
L(G) = {0 n 1 n | n > 0},
protože platí
S ⇒ 0A1
S ⇒ ∗ 0 n A1 n n > 0 (viz příklad 2.17 a 2.18)
S ⇒ ∗ 0 n 1 n n > 0 (po aplikaci pravidla A → ɛ)