opora

KAPITOLA 6. MEZE ROZHODNUTELNOSTI 139
f(x) = µy[g(x, y) = 0]
Příklad 6.8.6 f(x) = µy[plus(x, y) = 0] tj. f(x) =
Příklad 6.8.7 div(x, y) = µt[((x + 1) ˙−(mult(t, y) + y)) = 0]
{
0 pro x = 0
nedef. jinak
Příklad 6.8.8 i(x) = µy[monus(x, y) = 0]
tj. identická funkce
Funkce definovaná minimalizací je skutečně vyčíslitelná. Výpočet hodnoty f(x)
zahrnuje výpočet g(x, 0), g(x, 1), . . . tak dlouho, pokud nedostaneme:
• g(x, y) = 0
• g(x, z) je nedefinována
(f(x) = y),
(f(x) je nedefinována).
Definice 6.8.4 Třída parciálně rekurzivních funkcí je třída parciálních funkcí,
které mohou být vytvořeny z počátečních funkcí aplikací:
• kombinace,
• kompozice,
• primitivní rekurze a
• minimalizace.
6.9 Vztah vyčíslitelných funkcí a Turingových strojů
Turingův stroj můžeme „upravit“ tak, aby byl schopen počítat funkce. Navrhneme
jej tak, aby z počáteční konfigurace se vstupními parametry funkce na pásce
zapsal výsledek výpočtu (požadovanou funkční hodnotu) na vstup, a jen tehdy
normálně zastavil. Ukážeme, že rekurzivní funkce a Turingovy stroje vymezují
pojem vyčíslitelnost funkcí stejně, t.j. funkce počítatelné Turingovými stroji jsou
právě rekurzivní funkce
6.9.1 Turingovsky vyčíslitelné funkce
Definice 6.9.1 Turingův stroj M = (Q, Σ, Γ, δ, q 0 , q F ) vyčísluje (počítá) parciální
funkci f : Σ ∗m → Σ ∗n
1 , Σ 1 ⊆ Γ, ∆ /∈ Σ 1 , jestliže pro každé (w 1 , w 2 , . . . , w m ) ∈
Σ ∗m a odpovídající počáteční konfiguraci ∆w 1 ∆w 2 ∆ . . . ∆w m ∆∆∆ stroj M:
1. v případě, že f(w 1 , . . . , w m ) je definována, pak M zastaví a páska obsahuje
∆v 1 ∆v 2 ∆ . . . ∆v n ∆∆∆, kde (v 1 , v 2 , . . . , v n ) = f(w 1 , . . . , w m )
2. v případě, že f(w 1 , . . . , w m ) není definována, M cykluje (nikdy nezastaví)
nebo zastaví abnormálně.
Parciální funkce, kterou může počítat nějaký Turingův stroj se nazývá funkcí
Turingovsky vyčíslitelnou.
Příklad 6.9.1 Turingův stroj, který počítá funkci f(w 1 , w 2 , w 3 ) = (w 1 , w 3 ).
R R
S L
L