opora

KAPITOLA 6. MEZE ROZHODNUTELNOSTI 134
– Obsah čtyř čítačů i, j, k, l je možné zakódovat jako 2 i 3 j 5 k 7 l .
– Přičtení/odečtení je pak možné realizovat násobením/dělením 2, 3, 5, či
7.
Mezi další Turingovsky úplné výpočetní mechanismy pak patří např. λ-kalkul
či parciálně-rekurzívní funkce (viz následující kapitola).
6.8 Vyčíslitelné funkce
6.8.1 Základy teorie rekurzivních funkcí
Budeme se snažit identifikovat takové funkce, které jsou „spočitatelné“, tj. vyčíslitelné
v obecném smyslu (bez ohledu na konkrétní výpočetní systém). Abychom
snížili extrémní velikost třídy těchto funkcí, která je dána také varietou definičních
oborů a oborů hodnot, omezíme se, uvažujíce možnost kódování, na funkce tvaru:
f : N m → N n
kde N = {0, 1, 2, . . .}, m, n ∈ N.
Konvence: n-tici (x 1 , x 2 , . . . , x n ) ∈ N n budeme označovat jako x
Klasifikace parciálních funkcí:
• Totální funkce nad množinou X 5 – definičním oborem je celá X
• Striktně parciální funkce nad množinou X – alespoň pro jeden prvek x ∈ X
není definována funkční hodnota
Příklad 6.8.1 Totální funkce plus
plus : N × N → N
plus(x, y) = x + y
N × N
plus
N
Příklad 6.8.2 Striktně parciální funkce div
div : N × N → N
div
div(x, y) = celá část x/y, je-li y ≠ 0
N × N
{ | y=0}
N
6.8.2 Počáteční funkce
Hierarchie vyčíslitelných funkcí je založena na dostatečně elementárních tzv. počátečních funkcích,
které tvoří „stavební kameny“ vyšších funkcí.
Jsou to tyto funkce:
1. Nulová funkce (zero function): ξ() = 0
zobrazuje „prázdnou n-tici“ ↦→ 0
2. Funkce následníka (successor function): σ : N → N
σ(x) = x + 1
3. Projekce (projection): π n k : Nn → N
Vybírá z n-tice k-tou složku, např.: π 3 2(7, 6, 4) = 6 a π 2 1(5, 17) = 5
Speciální případ: π n 0 : N n → N 0 , tj. např. π 3 0(1, 2, 3) = ()
5 V dalším bude množinou X obvykle N k .