opora
KAPITOLA 5. TURINGOVY STROJE 119 5.6.2 (Ne)uzavřenost vůči komplementu Věta 5.6.2 Třída rekurzívních jazyků je uzavřena vůči komplementu. Důkaz. TS M přijímající rekurzívní jazyk L vždy zastaví. Snadno upravíme M na M ′ , který při nepřijetí řetězce vždy přejde do unikátního stavu q reject . TS M, L(M) = L, snadno dostaneme z M ′ záměnou q F a q reject . ✷ Třída rekurzívně vyčíslitelných jazyků není uzavřena vůči komplementu! • Výše uvedené konstrukce nelze užít – cyklení zůstane zachováno. • Důkaz neuzavřenosti bude uveden v dalších přednáškách. Věta 5.6.3 Jsou-li jazyky L i L rekurzívně vyčíslitelné, pak jsou oba rekurzívní. Důkaz. Mějme M, L(M) = L, a M, L(M) = L. Úplný TS přijímající L sestrojíme takto: • Použijeme dvě pásky. Na jedné budeme simulovat M, na druhé M. Simulace se bude provádět proloženě krok po kroku: krok M, krok M, krok M, ... • Přijmeme, právě když by přijal M, M zamítneme abnormálním zastavením, právě když by přijal M. Jedna z těchto situací určitě nastane v konečném počtu kroků. ∆ w ∆∆... NO Existence úplného TS pro L plyne z uzavřenosti rekurzívních jazyků vůči komplementu. ✷ Důsledkem výše uvedených vět je mj. to, že pro L a L musí vždy nastat jedna z následujících situací: • L i L jsou rekurzívní, • L ani L nejsou rekurzívně vyčíslitelné, • jeden z těchto jazyků je rekurzívně vyčíslitelný, ale ne rekurzívní, druhý není rekurzívně vyčíslitelný. 5.7 Lineárně omezené automaty Poslední třídou Chomského hierarchie, ke které jsme zatím nepoznali protějšek ve formě výpočetního stroje 5 , jsou gramatiky typu 1 – kontextové gramatiky. Nyní se seznámíme s mírně omezenou formou Turingových strojů, která tuto mezeru vyplňuje. ∆ M w ∆∆... YES
KAPITOLA 5. TURINGOVY STROJE 120 5.7.1 Lineárně omezené automaty Lineárně omezený automat (LOA) je nedeterministický TS, který nikdy neopustí tu část pásky, na níž je zapsán jeho vstup. Formálně můžeme LOA definovat jako NTS, jehož pásková abeceda obsahuje speciální symbol, kterým unikátně označujeme pravý konec vstupu na pásce, přičemž tento symbol není možné přepsat, ani z něj provést posun doprava. Deterministický LOA můžeme přirozeně definovat jako (deterministický) TS, který nikdy neopustí část pásky se zapsaným vstupem. Není známo, zda deterministický LOA je či není striktně slabší než LOA. 5.7.2 LOA a kontextové jazyky Věta 5.7.1 Třída jazyků, kterou lze generovat kontextovými gramatikami, odpovídá třídě jazyků, které lze přijímat LOA. Důkaz. • Uvážíme definici bezkontextových gramatik jako gramatik s pravidly v podobě α → β, kde |α| ≤ |β|, nebo S → ε. • LOA −→ G1 : – Použijeme podobnou konstrukci jako u TS −→ G0. – Na počátku vygenerujeme příslušný pracovní prostor, který se pak již nebude měnit: odpadá nekontextové pravidlo ∆∆] → ∆]. – Užití nekontextových pravidel [q 0 ∆ → ε a ∆] → ε obejdeme (1) zavedením zvláštních koncových neterminálů integrujících původní informaci a příznak, že se jedná o první/poslední symbol, a (2) integrací symbolu reprezentujícího řídící stav a pozici hlavy s následujícím páskovým symbolem. • G1 −→ LOA: – Použijeme podobnou konstrukci jako u G0 −→ TS s tím, že nepovolíme, aby rozsah druhé pásky někdy překročil rozsah první pásky. ✷ 5.7.3 Kontextové a rekurzívní jazyky Věta 5.7.2 Každý kontextový jazyk je rekurzívní. Důkaz. • Počet konfigurací, které se mohou objevit při přijímání w příslušným LOA M je vzhledem k nemožnosti zvětšovat pracovní prostor pásky konečný: lze shora ohraničit funkcí c n pro vhodnou konstantu c – exponenciála plyne z nutnosti uvažovat výskyt všech možných symbolů na všech místech pásky. • Pro zápis libovolného čísla z intervalu 0, ..., c n − 1 nikdy nebude třeba více než n symbolů, užijeme-li c-ární soustavu. • Můžeme zkonstruovat úplný LOA ekvivalentní s M, který bude mít každý symbol na pásce strukturovaný jako dvojici: 5 Regulárním gramatikám odpovídají konečné automaty, bezkontextovým gramatikám zásobníkové automaty a gramatikám typu 0 Turingovy stroje.
- Page 69 and 70: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 71 and 72: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 73 and 74: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 75 and 76: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 77 and 78: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 79 and 80: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 81 and 82: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 83 and 84: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 85 and 86: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 87 and 88: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 89 and 90: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 91 and 92: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 93 and 94: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 95 and 96: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 97 and 98: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 99 and 100: KAPITOLA 4. BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY A
- Page 101 and 102: Kapitola 5 Turingovy stroje Cílem
- Page 103 and 104: KAPITOLA 5. TURINGOVY STROJE 102 5.
- Page 105 and 106: KAPITOLA 5. TURINGOVY STROJE 104
- Page 107 and 108: KAPITOLA 5. TURINGOVY STROJE 106 L:
- Page 109 and 110: KAPITOLA 5. TURINGOVY STROJE 108 St
- Page 111 and 112: KAPITOLA 5. TURINGOVY STROJE 110 p
- Page 113 and 114: KAPITOLA 5. TURINGOVY STROJE 112
- Page 115 and 116: KAPITOLA 5. TURINGOVY STROJE 114 -
- Page 117 and 118: KAPITOLA 5. TURINGOVY STROJE 116 5.
- Page 119: KAPITOLA 5. TURINGOVY STROJE 118 D
- Page 123 and 124: KAPITOLA 5. TURINGOVY STROJE 122 5.
- Page 125 and 126: KAPITOLA 6. MEZE ROZHODNUTELNOSTI 1
- Page 127 and 128: KAPITOLA 6. MEZE ROZHODNUTELNOSTI 1
- Page 129 and 130: KAPITOLA 6. MEZE ROZHODNUTELNOSTI 1
- Page 131 and 132: KAPITOLA 6. MEZE ROZHODNUTELNOSTI 1
- Page 133 and 134: KAPITOLA 6. MEZE ROZHODNUTELNOSTI 1
- Page 135 and 136: KAPITOLA 6. MEZE ROZHODNUTELNOSTI 1
- Page 137 and 138: KAPITOLA 6. MEZE ROZHODNUTELNOSTI 1
- Page 139 and 140: KAPITOLA 6. MEZE ROZHODNUTELNOSTI 1
- Page 141 and 142: KAPITOLA 6. MEZE ROZHODNUTELNOSTI 1
- Page 143 and 144: KAPITOLA 6. MEZE ROZHODNUTELNOSTI 1
- Page 145 and 146: KAPITOLA 6. MEZE ROZHODNUTELNOSTI 1
- Page 147 and 148: KAPITOLA 7. SLOŽITOST 146 7.1.3 Sl
- Page 149 and 150: KAPITOLA 7. SLOŽITOST 148 Příkla
- Page 151 and 152: KAPITOLA 7. SLOŽITOST 150 • Napr
- Page 153 and 154: KAPITOLA 7. SLOŽITOST 152 7.2.4 Ne
- Page 155 and 156: KAPITOLA 7. SLOŽITOST 154 • Stro
- Page 157 and 158: KAPITOLA 7. SLOŽITOST 156 7.3.4 Uz
- Page 159 and 160: KAPITOLA 7. SLOŽITOST 158 Pokud pr
- Page 161 and 162: KAPITOLA 7. SLOŽITOST 160 7.5.1 Po
- Page 163 and 164: KAPITOLA 7. SLOŽITOST 162 7.5.4 V
- Page 165 and 166: KAPITOLA 7. SLOŽITOST 164 6. Uveď
KAPITOLA 5. TURINGOVY STROJE 120<br />
5.7.1 Lineárně omezené automaty<br />
Lineárně omezený automat (LOA) je nedeterministický TS, který nikdy neopustí<br />
tu část pásky, na níž je zapsán jeho vstup.<br />
Formálně můžeme LOA definovat jako NTS, jehož pásková abeceda obsahuje<br />
speciální symbol, kterým unikátně označujeme pravý konec vstupu na pásce,<br />
přičemž tento symbol není možné přepsat, ani z něj provést posun doprava.<br />
Deterministický LOA můžeme přirozeně definovat jako (deterministický) TS,<br />
který nikdy neopustí část pásky se zapsaným vstupem.<br />
Není známo, zda deterministický LOA je či není striktně slabší než LOA.<br />
5.7.2 LOA a kontextové jazyky<br />
Věta 5.7.1 Třída jazyků, kterou lze generovat kontextovými gramatikami, odpovídá<br />
třídě jazyků, které lze přijímat LOA.<br />
Důkaz.<br />
• Uvážíme definici bezkontextových gramatik jako gramatik s pravidly v podobě<br />
α → β, kde |α| ≤ |β|, nebo S → ε.<br />
• LOA −→ G1 :<br />
– Použijeme podobnou konstrukci jako u TS −→ G0.<br />
– Na počátku vygenerujeme příslušný pracovní prostor, který se pak již<br />
nebude měnit: odpadá nekontextové pravidlo ∆∆] → ∆].<br />
– Užití nekontextových pravidel [q 0 ∆ → ε a ∆] → ε obejdeme (1) zavedením<br />
zvláštních koncových neterminálů integrujících původní informaci<br />
a příznak, že se jedná o první/poslední symbol, a (2) integrací symbolu<br />
reprezentujícího řídící stav a pozici hlavy s následujícím páskovým symbolem.<br />
• G1 −→ LOA:<br />
– Použijeme podobnou konstrukci jako u G0 −→ TS s tím, že nepovolíme,<br />
aby rozsah druhé pásky někdy překročil rozsah první pásky.<br />
✷<br />
5.7.3 Kontextové a rekurzívní jazyky<br />
Věta 5.7.2 Každý kontextový jazyk je rekurzívní.<br />
Důkaz.<br />
• Počet konfigurací, které se mohou objevit při přijímání w příslušným LOA M<br />
je vzhledem k nemožnosti zvětšovat pracovní prostor pásky konečný: lze shora<br />
ohraničit funkcí c n pro vhodnou konstantu c – exponenciála plyne z nutnosti<br />
uvažovat výskyt všech možných symbolů na všech místech pásky.<br />
• Pro zápis libovolného čísla z intervalu 0, ..., c n − 1 nikdy nebude třeba více<br />
než n symbolů, užijeme-li c-ární soustavu.<br />
• Můžeme zkonstruovat úplný LOA ekvivalentní s M, který bude mít každý<br />
symbol na pásce strukturovaný jako dvojici:<br />
5 Regulárním gramatikám odpovídají konečné automaty, bezkontextovým gramatikám zásobníkové<br />
automaty a gramatikám typu 0 Turingovy stroje.
Change language