opora

KAPITOLA 2. JAZYKY, GRAMATIKY A JEJICH KLASIFIKACE 11
Součinem jazyků L 1 · L 2 je jazyk, který obsahuje všechny identifikátory, tak jak
jsou obvykle definovány v programovacích jazycích.
Prostřednictvím součinu jazyka se sebou samým (mocniny jazyka) můžeme
definovat důležitou operaci nad jazykem – iteraci jazyka.
Definice 2.9 Nechť L je jazyk nad abecedou Σ. Iteraci L ∗ jazyka L a pozitivní
iteraci L + jazyka L definujeme takto:
L 0 = {ɛ} (1)
L n = L · L n−1 pro n ≥ 1 (2)
L ∗ = ⋃ n≥0
L n (3)
L + = ⋃ n≥1
L n (4)
Věta 2.1 Je-li L jazyk, pak platí:
L ∗ = L + ∪ {ɛ} a (1)
L + = L · L ∗ = L ∗ · L (2)
Důkaz: Tvrzení 1 plyne z definice iterace a pozitivní iterace:
L ∗ = L 0 ∪ L 1 ∪ L 2 ∪ . . . , L + = L 1 ∪ L 2 ∪ . . .
L ∗ = L 0 ∪ L + = L + ∪ L 0 = L + ∪ {ɛ}
Tvrzení 2 dostaneme provedením součinu L · L ∗ resp. L ∗ · L:
L · L ∗ = L · (L 0 ∪ L 1 ∪ L 2 ∪ . . . ) = L 1 ∪ L 2 ∪ L 3 ∪ · · · = L + ,
s použitím distributivního zákona L 1 (L 2 ∪L 3 ) = L 1 L 2 ∪L 1 L 3 . Podobně, s využitím
ekvivalentní definice mocniny L n = L n−1 L, n ≥ 0 obdržíme L ∗ · L = L + . ✷
Příklad 2.9 Je-li L 1 = {(p}, L 2 = {, p}, L 3 = {)} potom jazyk L 1 · L ∗ 2 · L 3
obsahuje řetězce:
(p) (p, p) (p, p, p) (p, p, p, p) . . .
Definice 2.10 Algebraická struktura 〈A, +, ·, 0, 1〉 se nazývá polokruh s aditivním
jednotkovým prvkem 0 a multiplikativním jednotkovým prvkem 1, jestliže
(1) 〈A, +, 0〉 je komutativní monoid
(2) 〈A, ·, 1〉 je monoid
(3) pro operaci · platí distributivní zákon vzhledem k +:
a · (b + c) = a · b + a · c pro a, b, c ∈ A.
Věta 2.2 Algebra jazyků 〈2 Σ∗ , ∪, ·, ∅, {ɛ}〉, kde ∪ je sjednocení a · konkatenace
jazyků tvoří polokruh.