opora

KAPITOLA 2. JAZYKY, GRAMATIKY A JEJICH KLASIFIKACE 10
Definice 2.7 Nechť Σ je abeceda. Označme symbolem Σ ∗ množinu všech řetězců
nad abecedou Σ včetně řetězce prázdného, symbolem Σ + množinu všech řetězců
nad Σ vyjma řetězce prázdného, tj. Σ ∗ = Σ + ∪ {ɛ}. Množinu L, pro níž platí
L ⊆ Σ ∗ (případně L ⊆ Σ + , pokud ɛ /∈ L), nazýváme jazykem L nad abecedou
Σ. Jazykem tedy může být libovolná podmnožina řetězců nad danou abecedou.
Řetězec x, x ∈ L, nazýváme větou (také někdy slovem) jazyka L.
Příklad 2.6 Nechť Σ je abeceda. Potenční množina 2 Σ∗ reprezentuje všechny
možné jazyky nad abecedou Σ.
Nechť jazyky L 1 a L 2 jsou definovány nad binární abecedou, tj. L 1 , L 2 ⊆
{0, 1} ∗ , takto:
L 1 = {0 n 1 n | n ≥ 0} tj.
L 1 = {ɛ, 01, 0011, 000111, . . . }
{
L 2 = xx R | x ∈ {0, 1} +} tj.
L 2 = {00, 11, 0000, 0110, 1001, 1111, . . . }
Příklad 2.7 Uvažujeme abecedu programovacího jazyka Pascal. Jazyk Pascal
je nekonečná množina řetězců (programů) nad jeho abecedou, které lze odvodit
z grafů syntaxe jazyka Pascal (viz. [6]). Např. řetězec
program P; begin end.
je větou jazyka Pascal (přestože nepopisuje žádnou akci), kdežto řetězec
procedure S; begin a := a mod b end
nepatří do jazyka Pascal, protože reprezentuje pouze úsek možného programu
(podřetězec nějaké věty).
Povšimněme si nyní operací, které lze definovat nad jazyky. Tyto operace lze
rozdělit do dvou skupin. Jednu skupinu představují obvyklé množinové operace
plynoucí ze skutečnosti, že jazyk je množina. Má tedy smysl mluvit o sjednocení,
průniku, rozdílu a komplementu jazyků. Je-li např. L 1 jazyk nad abecedou Σ, pak
jeho komplement (doplněk) L 2 je jazyk, jenž je dán rozdílem L 2 = Σ ∗ \ L 1 .
Druhá skupina operací respektuje specifikum množin tvořících jazyky, tj. skutečnost,
že jejich prvky jsou řetězce. Z této skupiny definujeme operaci součinu a iterace
jazyků.
Definice 2.8 Nechť L 1 je jazyk nad abecedou Σ 1 , L 2 jazyk nad abecedou Σ 2 .
Součinem (konkatenací) jazyků L 1 a L 2 je jazyk L 1 · L 2 nad abecedou Σ 1 ∪ Σ 2 ,
jenž je definován takto:
L 1 · L 2 = {xy | x ∈ L 1 , y ∈ L 2 }
Operace součin jazyků je definována prostřednictvím konkatenace řetězců a
má stejné vlastnosti jako konkatenace řetězců – je asociativní a nekomutativní.
Příklad 2.8 Nechť:
P = {A, B, . . . , Z, a, b, . . . , z},
C = {0, 1, . . . , 9} jsou abecedy
L 1 = P,
L 2 = (P ∪ C) ∗ jsou jazyky