normalna deformacija

ČVRSTE
STIJENE
UCS>100
MPa
slabo
raspucane
minimalno
trošne
stabilni temelji
stabilne strme
kosine
izvor agregata
SLABE
STIJENE
UCS < 10 MPa
raspucane i
uslojene
duboko trošenje
problemi
usijedanja
slom već pri
malim
nagibima
kosina
iziskuju
inženjerski
tretman
ČVRSTOĆA
STIJENE/TLA
UCS (eng. unaxial
compressive strength):
Neograničena (ili
jednoosna) tlačna čvrstoća
ČVRSTOĆA
STIJENE/TLA
UCS = jednoosna tlačna
čvrstoća
NOSIVOST
STIJENE/TLA

2: NAPREZANJE I DEFORMACIJA
principi naprezanja i deformacije
uz popratnu reakciju materijala
osnova su za razumijevanje
kvantitativnih i kvalitativnih
značajki materijala stijena i tala
-prirodne sile
koje djeluju na
mase stijena i tala,
kao rezultat građenja
naprezanje
SILA
deformacija
-sile koje
primjenjujemo na
uzorke za vrijeme
laboratorijskih
pokusa
PRIMJERI SILA KOJE UZOKUJU DEFORMACIJU I KONAČNO SLOM STIJENE/TLA

...naprezanje
...naprezanje
-STOGA SE KORISTI...
SILA
ZANIMA NAS:
Koja je sila potrebna za određenu deformaciju materijala?
ODGOVOR:
Da bismo za određenu silu znali koliku deformaciju će
prouzročiti, potrebno je znati na koliku površinu se primjenjuje?
primjenjuje
� �
σ =
�
deformacija
...naprezanje
�
F
A
�
�
�
�
�
�
m2 N
= Pa
�
�

KOMPONENTE VEKTORA
NAPREZANJA
u odnosu na neku plohu:
1. normalna
(okomita)
2. posmična
(paralelna)
stranica
kocke
promatrana
u XY ravnini
KOMPONENTE
NAPREZANJA
koje djeluju na
2D plohu
τ =
xy
τ
yx
inače bi došlo
do rotacije

σ
dvodimenzionalna analiza naprezanja
u tijelu ima mnoge praktične primjene u analizi čvrstoće stijena
x
τ
xy
B
O
θ
σ
τ
y
( x )
τ
p y
yx
A
σ
p x
x
P
P - vektor naprezanja
(okomit na promatranu plohu)
θ -kutizmeđu vektora
naprezanja (P) i osi X
PX, , P Y komponente
vektora naprezanja
σx, , σy, , τxy, xy,
τyx yx -
komponente
naprezanja -
POZNATE!
AB . p = OB ⋅ σ + OA ⋅ τ
p = σ cos θ + τ sin
( x )
x
yx
p = σ sin θ + τ cos
σ = p
( y ) y
xy
( x)
= σ cos
x
cos θ + p
2
( y )
θ + 2τ
xy
sin θ
σ i τ – normalna i
posmična
naprezanja na
plohu- TRAŽE SE!
uvjet statičke ravnoteže:
sile koje djluju na trokut moraju biti jednake u smjeru X i Y
PX, , P Y
komponente
vektora
naprezanja
σ i τ –
normalna i
posmična
naprezanja
na plohu-
TRAŽE SE!!!
τ = p
( y )
θ
sin θ cos θ + σ sin
sin θ
= ( σ − σ ) sin θ cos θ + τ (cos
=
y
cos θ − p
x
( x )
1
( σ y − σ x ) sin 2θ
+ τ xy cos 2θ
2
xy
2
y
θ − sin
2
θ
2
yx
θ
θ )

u analizi naprezanja uobičajeno da su X i Y osi u smjeru glavnih naprezanja:
smjerovi u kojima su posmična naprezanja = 0
su smjerovi GLAVNIH NAPREZANJA
σ 1, σ 2, σ 3
GLAVNA NAPREZANJA
...definiraju elipsoid naprezanja
promatrano u 2 dimenzije: ELIPSA NAPREZANJA
σ 2
σ 1
u analizi naprezanja uobičajeno je postaviti
osi X i Y u smjerovima σ 1 i σ 2
σ 1 > σ 2

... tom slučaju:
izrazi za σ i τ – normalna i posmična naprezanja na plohu (to smo tražili!!!) u funkciji
komponenata naprezanja i to glavnih naprezanja:
1 1
σ = 1 2
1 2 2
2 2
( σ + σ ) + ( σ −σ
) cos θ
1
τ = − ( σ 1 − σ 2 ) sin 2 θ
2
Mohrova kružnica naprezanja
Mohrova kružnica naprezanja
-grafički prikaz stanja
naprezanja u jednoj točki tijela

σ
x
posmično naprezanje
τ
+
-
0
σ σ2 2
pomoću Mohrove
kružnice se određuju
normalna i posmična
naprezanja na plohu
(σ,τ) za točke u
ravnini definiranoj
kutom θ
τ
xy
B
O
σ
σ p 2
y
θ
σ
τ
y
τ
σ
( 1+ 2
2)
θ
A
yx
τ
σ
p x
σ
σ
( 1- 2
2)
P
C
r
Mohr’s
Circle
σ 1
normalno
naprezanje
0 B σ
σ y =σ 2
σ 1
2θ
θ
A(σ,τ)
σ
+
σ x =σ 1

τ
0 B
σ
σ 2
A’ (σ y ,τ yx )
2θ
θ
A (σ x ,τ xy )
Pomoću Mohrove kružnice
moguće je riješiti:
1. stanje naprezanja u točki (σ x , σ y i τ xy ) bilo
koje ravnine, ukoliko su poznata glavna
naprezanja σ 1 i σ 2 .
2. veličinu i smjer glavnih naprezanja (σ 1 , σ 2 )
ukoliko su poznati σ x , σ y i τ xy u nekoj točki.
σ 1

τ
0 B
σ
σ 2
A’ (σ y ,τ yx )
2θ
θ
A (σ x ,τ xy )
Mohrova kružnica -
različita stanja naprezanja
σ x = 20 MPa
σ y = 10 MPa
τ xy = -8,66 MPa
σ 1 = ?
σ 2 = ?
θ = ?
pozitivna ili TLAČNA naprezanja jednoosna kompresija
σ 1
σ 2 = 0
jednoosno vlačno naprezanje vlačno naprezanje
σ 1 = 0

τ
nema posmičnog naprezanja
- HIDROSTATSKO STANJE
NAPREZANJA
τ = 0
σ 1 = σ 2
posmično naprezanje moguće samo u slučaju
kada su glavna naprezanja različita - tzv.
devijatorsko naprezanje
Mohrova kružnica: TROOSNO STANJE NAPREZANJA
�
σ 3
σ 2
� �
σ 1
�
σ
� �

Mohr-Coulombova anvelopa sloma
zbog interakcije NORMALNOG NAPREZANJA na neku plohu i
POSMIČNOG NAPREZANJA po toj plohi dogodit će se
PLANARNI POSMIČNI SLOM u tlu ili stijeni
stanje naprezanja može biti JEDNOOSNO ili TROOSNO
2D prikaz
troosnog slučaja:
σ 1 = max
σ 3 = min
σ n
τ f
β
β
σ 1
σ 3
Uniaxial Compressive Strength (UCS)
O
Kk
O
Cc
troosni pokusi:
σ 2 = σ 3
3
Start of first circle should
be at 0 for UCS test.
1
D
C

σ n
τ f
β
β
σ 1
σ 3
kriterij planarnog sloma uveo je COULOMB
τf = c + σn tan φ
τf - posmično naprezanje na plohi sloma
c - kohezija materijala
σn tan φ - koef. unutarnjeg trenja materijala
φ - kut unutarnjeg trenja materijala
τ f
Mohr-Coulombova anvelopa sloma
c
τ
σ 3
σ n
τ f = c + σ n tan φ
2β
σ 1
φ
σ

vrijednosti:
c - kohezija materijala
σ n - normalno naprezanje
φ - kut unutarnjeg trenja materijala
neophodne za
τ f = c + σ n tan φ
dobivaju se iz
JEDNOOSNIH I TROOSNIH POKUSA NA UZORCIMA
POKUS 1 - jednoosni
σ 1 = 140 MPa
σ 3 = 0 MPa
c = ? MPa
φ = ?
τ f = ? MPa
σ n = ? MPa
τ f
c
τ
σ 3
POKUS 2 -troosni
σ 1 = 550 MPa
σ 3 = 100 MPa
c = ? MPa
φ = ?
τ f = ? MPa
σ n = ? MPa
σ n
τ f = c + σ n tan φ
2β
σ 1
φ
σ

τ fTRO
OBRATI PAŽNJU!!!
iako je kohezija ista,
(tlačno) normalno i posmično naprezanje
se povećava s povećanjem σ 3
τ f JEDN
c
τ
• naprezanje
σn JEDNOOSNO
σn TROOSNO
Što je naprezanje i
deformacija?
– sustav sila unutar
nekog tijela koje se
javljaju kao reakcija
na vanjske sile koje
djeluju na tijelo
σ 1
• deformacija
– mjera promjene
oblika tijela koja je
nastala kao rezultat
sila koje su djelovale
na tijelo
φ
σ

DEFORMACIJA može biti
• normalna deformacija
(eng. pure shear)
• posmična deformacija
(eng. simple shear)
-promjena oblika
tijela
-bez promjene
volumena
-glavne osi
deformacije ne
rotiraju
-ostali pravci
rotiraju prema osi
X
NORMALNA deformacija
ELIPSOID/ELIPSA
DEFORMACIJE
-Y=1;
-deformacija
paraleno ravnini
XZ

NORMALNA deformacija
Po završetku deformacije, u XZ ravnini postoje dva pravca čija je duljina
jednaka njihovoj početnoj duljini (e=0). Ovi pravci dijele elipsu
deformacije u polja – kompresijske i tenzijske kvadrante, u kojima leže
pravci čija je konačna duljina kraća (e-), odnosno duža (e+), u odnosu na
njihovu prvotnu duljinu.

ELIPSOID/ELIPSA
DEFORMACIJE
POSMIČNA deformacija
-Y=1;
-deformacija
paraleno ravnini
XZ
-promjena oblika
tijela
-bez prvotne
promjene
volumena
-glavne osi
deformacije
ROTIRAJU
-ostali pravci
također rotiraju
POSMIČNA deformacija

I pri ovoj deformaciji, u XZ ravnini uvijek postoje dva pravca čija je
duljina jednaka njihovoj početnoj duljini (e=0), od kojih je jedan uvijek
paralelan posmičnoj plohi, kojima je elipsa razdijeljena u tenzijske (e+) i
kompresijske kvadrante (e-).
normalna deformacija
(promjena duljine)
posmična deformacija
ε =
DEFORMACIJA
γ/2
KUT DISTORZIJE
l − l
orig
γ/2
l
orig
deform.

Mohrova kružnica: komponente
deformacije
1/2γ
σ
naprezanje
A’ (ε y , γ yx /2)
0 ε
ε 2
deformacija
ε 1
A (ε x , γ xy /2)
Postojanost deformacije
ELASTIČNA
PLASTIČNA
ε

naprezanje : deformacija - slom
tip I: elastična tip II: elasto-plastična tip III: plastično-elastična
σ σ σ
ε
σ
MRAMOR
σ σ
ŠKRILJAVAC
ε
BAZALT PRAHOVNJAK PJEŠČENJAK
tip IV: plastično-elastičnaplastična
ε
tip V: plastično-elastičnaplastična
ε
ε
tip VI: elastično-plastično
puzanje
SOL
Konstante elastičnosti
karakteriziraju elastičnost materijala nastalu kao odgovor na
primijenjeno naprezanje
σn E= • Youngov Youngov
modul elastičnosti
ε
- definira elastičnu normalnu deformaciju
∆l
ν = ∆d
τ
G ili µ = γ
• Poissonov
Poissonov
koeficijent
- definira bočnu deformaciju za vrijeme promjene
duljine (max 0,5)
σ 0
K = εν
•posmični posmični modul ili modul krutosti
- mjera posmične deformacije
•volumetrijska
volumetrijska deformacija ili dilatacija
- modul stišljivosti
(hidrostatski pritisak/volumetrijska deformacija)
ε