6Intaktna stijena

Ivan Vrkljan 

6 Intaktna stijena 

Intaktna stijena je jedan od osnovnih elemenata stijenske mase koji nekada 

djelomično, a nekada potpuno, kontrolira njeno ponašanje. Opisani su 

čimbenici koji utječu na ponašanje intaktne stijene u različitim uvjetima 

opterećenja kao i kriteriji čvrstoće koji opisuju uvjete loma pri složenom 

naponskom stanju. 

6-Intaktna stijena.doc

Inženjerska mehanika stijena 2 

6 Intaktna stijena 

6.1 Uvod.................................................................................................................................3 

6.2 Kompletna naponskodeformacijska krivulja.........................................................................3 

6.2.1 Kruti, mekani i servokontrolirani strojevi za ispitivanje ....................................................6 

6.2.2 Geometrija uzoraka......................................................................................................11 

6.2.3 Uvjeti opterećenja........................................................................................................12 

6.2.4 Efekti okoliša ..............................................................................................................15 

6.2.5 Efekti vremena ............................................................................................................16 

6.2.6 Efekti temperature .......................................................................................................16 

6.3 Kriteriji čvrstoće..............................................................................................................16 

6.3.1.1 Coulombov-Mohrov kriterij..................................................................................18 

6.3.1.2 Hoek-Brownov kriterij čvrstoće ............................................................................21 

6.4 Rječnik ...........................................................................................................................22 

6.5 Literatura ........................................................................................................................23

6 Intaktna stijena 3 

6.1 Uvod 

Na početku razvoja mehanike stijena mnogo veća pažnja poklanjala se ispitivanju intaktne stijene nego 

drugim elementima stijenske mase (diskontinuitetima). Prvi strojevi za ispitivanje deformabilnosti i 

čvrstoće omogućavali su samo uvid u ponašanje stijene prije nego je postignuta vršna čvrstoća. Tek je 

1966 otkrivena mogućnost dobivanja kompletena naponsko-deformacijske krivulje pri jednoosnom 

tlačenju stijene. Ova krivulja daje do tada nepoznate informacije o ponašanju stijene nakon loma. 

6.2 Kompletna naponskodeformacijska krivulja 

Najjednostavniji oblik opterećenja cilindričnog uzorka je tzv. jednoosno tlačenje (opterećenje cilindričnog 

uzorka uzduž njegove osi). Uobičajeno je da se ponašanje uzorka tijekom pokusa prikaže kao odnos 

naprezanja i deformacije. Naprezanje se dobije djelenjem sile i početne površine uzorka a deformacija 

djeljenjem izmjerenog pomaka i duljine baze na kojoj je pomak izmjeren. Pokus jednoosnog tlačenja 

može se obavljati na dva načina. 

• Pokus s kontroliranom deformacijom. Kod ovog pokusa, deformacija (pomak) je kontrolirana 

(neovisna) varijabla a naprezanje (sila) je ovisna (mjerena) varijabla. Pokus se obavlja na način da je 

unaprijed definiran prirast deformacije u vremenu (unaprijed se definira brzina skraćenja visine 

uzorka (mm/min)). 

• Pokus s kontroliranim naprezanjem. Kod ovog pokusa, naprezanje (sila) je kontrolirana (neovisna) 

varijabla a deformacija (pomak) je ovisna (mjerena) varijabla. U ovom slučaju, stroj u kojem se 

ispitivanje obavlja nastoji i nakon loma povećavati silu što uzorak ne može prihvatiti te dolazi do 

nekontroliranog nastavka pokusa u postlomnom području. Radi lakše predodžbe ovog poksa treba 

zamisliti da se uzorak opterećuje tegovima (mrtvi teret). Ovim pokusom nije moguće dobiti 

kompletnu naponsko-deformacijsku krivulju. 

εax 

t 

(a) (b) 

Konstantna brzina prirasta 

naprezanja 

σax 

Slika XXX Naponsko-deformacijske krivulje kod pokusa s kontrolom naprezanja (a) i kontrolom 

deformacija (b) 

σax 

t 

ε 

ax 

Konstantna brzina prirasta 

deformacije


Tlačno naprezanje 

σ 

F ⎡kN 

⎤ 

A ⎢ 

⎣m 

⎥ 

⎦ 

= 2 

2 [ ] 

2 

4 m 

D π 

A = 

F-Sila 

A-Početna površina poprečnog presjeka 

Aksijalna deformacija 

ε 

ax 

∆L 

= 

L 

∆L-Skraćenje duljine mjerne baze 

L-Duljina mjerne baze 

Radijalna deformacija 

ε 

rad 

∆D 

= 

D 

∆D-povećanje promjera uzorka 

D-početni promjer uzorka 

Radijalna 

deformacija εrad 

Aksijalno naprezanje σ 

(ovisna varijabla) 

Prije loma Poslije loma 

Aksijalna deformacija εax 

Svaka od deformacija može se odabrati za 

neovisnu varijablu 

Slika XXX Kompletna naponsko-deformacijska krivulja 

D 

F 

D+∆D 

F 

∆L 

L


Slika XXX Parametri čvrstoće i deformabilnosti 

Dva su razloga zbog kojih krivulja na početku pokusa ima konkavan oblik: 

• Nesavršenost pripreme uzorka (naravne i neparalelne baze), 

• Zatvaranje mikropukotina unutar uzorka. 

Nakon ove početne zone, slijedi zona u kojoj se stijena ponaša gotovo elastično. Na ovom dijelu krivulje 

računa se modul elastičnosti (Youngov modul) kao odnos naprezanja i aksijalne deformacije i Poissonov 

koeficijent kao odnos radijalne i aksijalne deformacije. 

∆σ 

E = 

∆ε 

ε 

υ = 

ε 

rad 

ax 

Jednoosna tlačna čvrstoća ispitane stijene je vršna čvrstoća. 

σ c 

σc 

Naprezanje σ 

F 

A 

⎡kN 

⎢ 

⎣m 

max 

= 2 

Vršna čvrstoća 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

Gradijent= 

Youngov modul 


I nakon loma uzorak ima neku 

čvrstoću 

(rezidualna čvrstoća) 

D 

F 

F 

D+∆D 

∆L 

L


Naprezanje σ 

∆εax 

∆σ 

Aksijalna def. εax 

Srednji 

modul 

∆σ 

= 

∆ε 

E sr 

Slika XXX Izračunavanje Youngovog modula iz naponsko-deformacijske krivulje 

Tijekom pokusa, već kod naprezanja koje je jednako polovini jednoosne tlačne čvrstoće, počinje 

otvaranje mikroprslina u uzorku. 

6.2.1 Kruti, mekani i servokontrolirani strojevi za ispitivanje 

Ako se pokus izvodi s kontroliranom deformacijom, moguće je dobiti kompletnu naponskodeformacijsku 

krivulju. Prvi ovakav pokus izveden je 1966. Većina današnjih strojeva imaju mogućnost 

kontrole deformacije. Međutim, to nije jamstvo da će se dobiti kompletna naponsko-deformacijska 

krivulja za stijene s visokom krutosti (slabo deformabilne stijene s visokom vrijednosti Youngovog 

modula). Ako krutost stroja u odnosu na krutost uzorka nije dovoljna, doći će do “eksplozivnog” loma 

uzorka te se neće dobiti krivulja u postlomnom području. U ovom slučaju stroj se smatra mekanim (soft) 

za tu vrstu stijene. Isti stroj može biti dovoljno krut (stiff) za postizanje kompletne krivulje kada se 

ispituju stijene niske krutosti (velike deformabilnosti). 

Krutost stroja definira se kao sila (P) potrebna za jedinično produženje stroja (εh). 

Sila P σA 

Krutost = = = = 

Pomak εh 

εh 

EA 

h 

Naprezanje σ σc 

∆εax 

∆σ 


Tangentni 

modul 

∆σ 

E t = 

∆ε 

½ σc 

Naprezanje σ 

∆εax 

∆σ 


Sekantni 

modul 

∆σ 

Es = 

∆ε


Krutost stroja može se povećati: 

• Povećanjem modula čelika (E) 

• Povećanjem dimenzija ploča i stupova stroja (A) 

• Reduciranje visine stupova (h) 

h 

Gornja ploča okvira 

Donja ploča okvira 

Stroj 

Produljenje stroja 

Preša 

Aksijalna sila P 

Stupovi okvira 

Slika XXX Krutost stroja i uzorka stijene 

Uzorak 

Model stroja s oprugama 

Kompresija uzorka 

Linearno 

Ne linearno 

Radi lakešeg razumjevanja pojmova “krutog” i “mekanog” stroja zamislimo da je ista stijena ispitana u 

oba stroja (slika xxx). Pretpostavka je da i mekani i kruti stroj imaju linearno ponašanje u točki A koja 

pretstavlja trenutak postizanja vršne čvrstoće. Dijagram koji se odnosi na mekani stroj pokazuje da se 

rasterećenje stroja nakon postizanja vršne čvrstoće odvija po liniji AE, vrlo slično kao što bi se desilo da 

je uzorak opterećen mrtvim opterećenjem (tegovi). Kao što se vidi, aksijalna sila koja je posljedica 

elastičnog rastarećenja stroja uvijek je veća od sile koju uzorak može preuzeti u postlomnom stanju. To 

dovodi do “eksplozivnog loma uzorka”. Zašto se dešava “eksplozivni lom”? Za inkrement aksijalnog 

pomaka DC, stroj može obaviti rad predstavljen površinom DCEA, dok uzorak može apsorbirati 

maksimalni rad predstavljen površinom DCBA. Rad predstavljen površinom AEB,oslobađa se kao 

energija, koja se manifestira uglavnom kao kinetička energija-komadi stijene lete na sve strane. 

Desni dijagram na istoj slici prikazuje ponašanje krutog stroja. Njegova krutost predstavljena je linijom 

AE. U ovom slučaju neće doći do nekontroliranog loma jer se stroj ne može elastično rasteretiti po liniji 

AE. Uzorku je potrebno više rada nego što je raspoloživo. Ispitivač može povećavati deformaciju i tako 

slijediti krivulju u postlomnom području.


Aksijalna sila 

A 

Mekani (soft)stroj 

Potrebna energija=ABCD 

Primjenjena energija=AECD 

Aksijalni pomak 

Slika XXX Krutost stroja i krutost uzorka u postlomnom području 

Za neke vrlo krte (brittle) stijene, postlomni dio krivulje može biti vrlo strm tako da se ne može 

kontrolirati postlomno ponašanje čak ni u najkrućim strojevima. Postoje stijene za koje se ne može 

odrediti kompletna krivulja čak kada je krutost stroja beskonačna. Wawersik i Fairhurst su 1970 

klasificirali kompletnu naponsko-deformacijsku krivulje u dvije klase. Klasa I obuhvaća stijene kod kojih 

se deformacija u postlomnom području monotono povećava. Kod klase II to nije slučaj. Postlomno 

ponašanje stijena iz klase I je stabilno u smislu da je potrebno uložiti rad kako bi se pokus nastavio. Kod 

stijena iz klase II proces frakturiranja je nestabilan, za kontrolu frakturiranja stijeni mora biti oduzeta 

energija. Klasi II pripadaju fino granulirane stijene. 

Aksijalno naprezanje 

E 

B 

D C 

Klasa II 

Slika XXX Dvije klase naponskodeformacijskih krivulja pri jednoosnom tlačenju 

Kako je izrada strojeva velike krutosti nepraktična, a pokazano je da se i pod pretpostavkom beskonačne 

krutosti ne može ispitati postlomno ponašanje nekih izuzetno krtih stijena, prišlo se izradi tzv. servo 

kontroliranih strojeva. Sa ovim sistemom nije potrebno imati strojeve ekstremne krutosti. ISRM (1999) 

preporuča da okvir servokontroliranog stroja treba imati krutost veću od 5 MN/mm. 


Klasa I 

Aksijalna deformacija 

Beskonačna 

krutost stroja 

A 

E 

B 

D C 

Aksijalni pomak 

Kruti (stiff)stroj


Mjerilo 

sile 

Uzorak 

Okvir 

stroja 

Hidraulički 

cilindar 

Mjerilo 

pomaka 

Slika XXX Shematski prikaz servokontroliranog stroja 

Slika XXX Servokontrolirana preša (IGH Zagreb) 

Selektor 

moda 

Servo 

ventil 

Hidrauličko 

postrojenje 

Signal koji 

upravlja 

servoventilom 

Program 

Input 

modul 

Servo 

kontroler 

Program 

signal


Kao varijabla koja upravlja strojem može se koristiti sila (naprezanje) ili pomak (deformacija). U prvom 

slučaju radi se o pokusu s kontroliranom silom (naprezanjem) a u drugom o pokusu sa kontroliranim 

pomakom (deformacijom). Ako se kontrolira sila (naprezanje) nije moguće dobiti kompletnu naponskodeformacijsku 

krivulju. Prema tome, za dobivanje krivulje u postlomnom području, kao varijablu koja 

upravlja strojem treba odabrati pomak (deformaciju) uzorka. Tu možemo birati između skraćenja visine 

(aksijalna deformacija) ili promjene promjera (radijalna deformacija). Praksa pokazuje da je puno lakše 

kontrolirati pokus s radijalnom deformacijom jer je radijalna deformacija osjetljivija na aksijalno 

raspucavanje uzorka koje se dešava u pokusu jednoosnog tlačenja. U praksi se to svodi na mjerenje 

promjene opsega cilindričnog uzorka. 

Postoje stijene čije se postlomno ponašanje ne može kontrolirati čak i kada koristimo krute strojeve koji 

su kontrolirani radijalnom deformacijom. To su stijene koje imaju vrlo strmu postlomnu krivulju ili 

krivulju klase II. Zbog vrlo izražene homogenosti ovih stijena, izostaje lokalna koncentracija naprezanja 

koja može prouzročiti pojavu prslina prije nego je dostignuta vršna čvrstoća uzorka (prijelomno stanje) 

kroz krupnija zrna. U ovim homogenim, fino granuliranim stijenama, inicijacija i propagacija pukotina 

dešava se istovremeno. Ako se hoće izbjeći nagli lom nakon što je postignuta vršna čvrstoća, energija 

koja se nakupila u nefrakturiranom dijelu uzorka i stroju, a posljedica je njihovog deformiranja, mora biti 

naglo odstranjena promjenom smjera kretanja ploča koje pritišću uzorak. 

Kako se to postiže u praksi? 

Kompletna krivulja klase II može se dobiti samo ako se kao varijabla koja upravlja strojem (neovisna ili 

kontrolna) koristi “izračunata varijabla”. Kod ove metode signal koji upravlja servoventilom dobiven je 

kombinacijom signala iz mjerila radijalne deformacije i nekih algeberskih funkcija drugih signala kao što 

su aksijalna deformacija i modul elastičnosti). 

Međutim, ni najbolji servokontrolirani strojevi velike krutosti nekada ne mogu zaustaviti nekontrolirano 

ponašanje u postlomnom području. U ovim slučajevima ISRM (1999) predlaže da se ispitivanja obave u 

troosnom stanju naprezanja. 

Tip stroja 

Opterećenje 

tegovima (mrtvi 

teret) 

Servokontrolira 

ni strojevi 

Neovisna varijabla 

(kontrolna) 



(naprezanje) 

Aksijalni (pomak) 

deformacija 

Radijalni (pomak) 

deformacija 

Izračunata varijabla 

Može se dobiti kompletna 

krivulja samo u prijelomnom 

području 


krivulja samo u prijelomnom 

području 


krivulja za stijene koje imaju 

blagi nagib krivulje u 

postlomnom području 


krivulja za stijene koje nemaju 

strmi nagib krivulje u 

postlomnom području 


krivulja za stijene koje imaju 

strmi nagib krivulje u 

postlomnom području ili 

krivulju klase II 

Izvor kontrolnog signala 

Signal iz mjerila sile 

Signal iz mjerila kojim se mjeri 

skraćenje visine uzorka 

Signal iz mjerila kojim se 

mjerim promjena osega uzorka 

Signal koji upravlja 

servoventilom dobiven je 

kombinacijom signala iz mjerila 

radijalne deformacije i nekih 

algeberskih funkcija drugih 

signala kao što su aksijalna 

deformacija i modul elastičnosti 

Ako se postlomna krivulja ne može dobiti na neki od gore navedenih načina, ispitivanje treba 

obaviti u troosnom stanju naprezanja.


6.2.2 Geometrija uzoraka 

Iskustvo pokazuje da čvrstoća mnogih materijala ovisi o dimenziji uzorka. To je primjetio još Leonardo 

da Vinci. Također je primjećeno da mehanička svojstva stijene ovise o obliku i veličini uzorka koji se 

ispituje. 

Aksijalno naprezanje σax 

Slika XXX Efekt veličine uzorka na kompletnu naponsko-deformacijsku krivulju pri jednoosnom 

tlačenju 

Gornja slika pokazuje da se sa povećanjem veličine uzorka (svi uzorci imaju isti oblik-odnos promjera i 

visine) smanjuje njegova čvrstoća i krtost (brittlenes). Modul elastičnosti ne varira značajno sa veličinom 

uzorka. Ponuđena su mnoga objašnjenja ove pojave. Najčešće se kao argument koristi raspodjela pukotina 

unutar uzorka. Veći uzorak ima veći broj prslina, heterogeniji je i jače je izražena anizotropija. Većina 

normi predviđa da promjer uzorka mora biti najmanje 10 puta veći od najvećeg zrna u uzorku. Ovaj 

kriterij najčešće zadovoljava promjer uzorka veći od 50 mm. 

Hoek i Brown (1980) predložili su da se jednoosna tlačna čvrstoća σcd uzorka stijene s promjerom d (mm) 

svede na čvrstoću koju bi imao uzorak promjera 50 mm na sljedeći način: 

0, 

18 

⎛ 50 ⎞ 

σ cd 

σ cd = σ c50 

⎜ ⎟⎠ odnosno σ c50 

= 0, 

18 

⎝ 

d 

Povećanjem veličine 

uzoraka smanjuje se 

čvrstoća i krtost 


Svi uzorci imaju isti 

oblik 

(svi imaju isti omjer 

visine 

i promjera) 

⎛ 50 ⎞ 

⎜ ⎟⎠ 

⎝ d 

σcd-Izmjerena čvrstoće uzorka sa promjerom (d) 

σc50-Čvrstoća istog uzorka pod pertpostavkom da je imao promjer 50 mm 

d-Promjer ispitanog uzorka 

Praksa također pokazuje da čvrstoća i krtost ovise i o obliku uzorka (odnosu promjera i visine 

cilindričnog uzorka). Pri tome svi uzorci imaju istu veličinu (volumen).



Sliak XXX Efekt oblika uzorka na kompletnu naponsko-deformacijsku krivulju pri jednoosnom tlačenju 

6.2.3 Uvjeti opterećenja 

Povećanjem vitkosti 

uzoraka smanjuje se 

čvrstoća i duktilnost 

(povećava krtost) 


Svi uzorci imaju isti 

volumen 

U ovom poglavlju opisat će se utjecaj načina opterećenja uzorka na kompletnu naponsko-deformacijsku 

krivulju stijenske mase. Na taj način će se prikazati principi: 

• pokusa za određivanje vlačne čvrstoće uzorka 

• pokusa za određivanje deformabilnsoti i čvrstoća u uvjetima troosnog tlačenja


σ 

Jednoosno 

σ 

σ 

σu 

σu 

Biaksijalno 

tlačenje 

Slika XXX Uvjeti opterećenja kod standardnih laboratorijskih pokusa 

Vlačna čvrstoća 

σ 

σt 

σt 

Jednoosni vlak 

σ3 

σ3 

σ1 

σ1 

Troosno 

tlačenje 

σ3 

σ3 

τn 

Gornja slika prikazuje direktno određivanje vlačne čvrstoće uzorka. U inženjerskoj praksi rijetko se 

koristi direktan pokus za ispitivanje vlačne čvrstoće iz dva razloga: 

• teško je pripremiti i prihvatiti uzorak, 

• stijena na terenu uglavnom nikada nije u uvjetima direktnog vlaka. 

Zbog toga se za određivanje vlačne čvrstoće uglavnom koriste indirektne metode. Kod indirektnih metoda 

vlačna naprezanja generirana su tlačnim. Stijena ima mnogo manju vlačnu čvrstoću u odnosu na tlačnu pa 

je ovakav pristup moguć. Obrnut slučaj, da se tlačno naprezanje generira vlačnim nije moguć. 

σn 

σn 

Direktni posmik 

σ1 

σ1 

τn 

σ3 σ2 

σ2 

Poliaksijalno 

tlačenje 

σ3


D 

h 

Slika XXX Brazilski pokus za indirektno određivanje vlačne čvrstoće 

Vlačna čvrstoća uzorka σt se računa iz slijedećg izraza: 

2P 

0, 

636P 

σ t = = 

πDh 

Dh 

[ MPa] 

• P=sila loma (N), 

• D=promjer ispitivanog uzorka (mm) 

• h=visina ispitivanog uzorka (mm). 

σt 

Ideja brazilskog pokusa rođena je nakon pucanja jednog od kamenih valjaka koji su služili za 

premještanje neke crkve u Brazilu. 

Deformabilnsot i čvrstoća u uvjetima troosnog tlačenja 

Troosno tlačenje nije troosno u pravom smislu jer je σ2=σ3. Samo poliaksijalno tlačenje omogućava 

tlačenje s tri različita glavna naprezanja. U praksi je teško postići poliaksijalne uvjete u laboratoriju pa se 

ovaj pokus ne koristi rutinski. 

Efekt bočnog tlačenja uzorka je faktor koji najdrastičnije mjenja oblik kompletne naponskodeformacijske 

krivulje. Opći trend utjecaja bočnog tlaka na oblik kompletne krivulje prikazan je na slici 

xxx. 

Najčešće stijena ima krto ponašanej (brittle) u uvjetima jednoosnog tlačenja. Ista stijena u uvjetima 

djelovanja bočnog (radijalnog) naprezanja pokazat će manju krtost (veću duktilnost). Sa povećanjem 

bočnog naprezanja stijena će biti sve manje krta a sve više duktilna. Pri nekoj vrijednosti bočnog 

naprezanja kompletna krivulja u postlomnom području postat će vodoravna. U ovom stanju deformacija 

će biti kontinuirana kod konstantnog naprezanja. Ispod ove linije, stijena pokazuje omekšavanje (strain 

softnes) a iznad ove linije događa se očvršćavanje uzorka (strain hardening). Vodoravna linija naziva se 

krto-duktilni prijelaz (brittle-ductile transition). Ova linija predstavlja granicu između nestabilnog 

ponašanja sa povećanjem deformacije (krto ponašanje) i stabilnog ponašanja sa povećanjem deformacije 

(duktilno ponašanje).



Slika xxx Efekt bočnog naprezanja u troosnom pokusu na oblik kompletne krivulje i prijelaz iz krtog u 

duktilno pnašanje stijene 

6.2.4 Efekti okoliša 

Na ponašanje stijene bitan utjecaj imaju i efekti okoliša. Naročito se među njima ističu efekti: 

• vlažnosti, 

• vremena, 

• temperature. 

Vlažnost 

Povećanje 

bočnog naprezanja 


Duktilno 

Krto 

Vlažnost uzorka utječe na kompletnu naponsko-deformacijsku krivulju nekih stijena jer se promjenom 

vlažnosti mijenja njihova deformabilnost, tlačna čvrstoća i postlomno ponašanje. 

Vlažnoet stijene vezana je za razne pojave a naročito se ističu: 

• isušivanje (desication) što dovodi do pojave negativnih pornih tlakova (suction), 

• raspucavanje (slaking) pod utjecajem sušenja i vlaženja, 

• bubrenje (swelling) kada stijena pod djelovanjem vode povećava volumen, 

• pojava pornih tlakova što vodi do poznatog koncepta efektivnih naprezanja (effective stress). 

Treba pomenuti i efekte smrzavanja porne vode, te utjecj kemizma podzemne vode na ponašanje stijena 

(otapanje stijena pod djelovanjem kiselina i slično).


6.2.5 Efekti vremena 

Tijekom pokusa tlačenja, mikrofrakturiranje se dešava u prijelomnom području kompletne krivulje i to u 

njenoj ranoj fazi. Veći dio prijelomnog područja kompletne krivulje smatra se područjem elastičnog 

ponašanja. Iako teorija elastičnosti ne uključuje efekt vremena, za oečkivati je da je prijelomna zona 

kompletne krivulje ovisna o vremenu zbog pojave mikrofrakturiranja. 

Četiri glavna vremenski ovisna efekta su: 

• brzina deformiranja (strain rate), 

• tečenje (creep)-stijena se deformira i kod stalnog naprezanja, 

• relaksacija (relaxation)-dolazi do smanjenja naprezanja u stijeni kada se nametnuta deformacija 

održava stalnom, 

• zamor (fatigue)-dolazi do povećanja deformacije uslijed cikličke promjene naprezanja. 

6.2.6 Efekti temperature 

Ispitivanja pokazuju da se sa povećanjem temperature reducira modul elastičnosti i tlačna čvrstoća 

stijene. Također, na visokim temperaturama dolazi do oštećenja mikrostrukture. 

6.3 Kriteriji čvrstoće 

U literaturi se kriterij čvrstoće (strength criteria) nakada naziva kriterijem loma (failure criteria). 

Kriterij čvrstoće (strength criteria) je jednadžba koja se koristi za provjeru dali će se desiti lom pod 

djelovanjem tri glavna naprezanja koja se predviđaju na određenoj lokaciji. Poznato je da je tlačna 

čvrstoća stijene mnogo veća od vlačne (najmanje 8 puta). Također je poznato da se čvrstoća stijene 

povećava sa povećanjem bočnog naprezanja. To pokazuje da je za definiranje svih mogućih uvjeta loma 

potrebno izvesti više različitih pokusa. 

Potpuni kriterij loma može se prikazati kao površina u trodimenzionalnom naponskom prostoru kod koga 

se na svakoj od osi prikazuje jedan od tri glavna naprezanja. Površina dominantno leži u oktantu gdje 

vlada tlačenje, pošto stijena ima malu vlačnu čvrstoću. 

Različiti djelovi površine koja predstavlja kriterij čvrstoće rezultat su različitih vrsta pokusa. Točke A, B i 

C, predstavljau jednoosnu tlačnu čvrstoću a točke D, E i F jednoosnu vlačnu čvrstoću. Krivulje AG, BH i 

CI predstavljaju čvrstoću u uvjetima troosnog naprezanja (aksisimetrični pokus, σ2=σ3), a krivulje AB, 

BC i CA čvrstoću u uvjetima biaksijalnog tlačenja. 

Goodman (1980) definira kriterij čvrstoće kao promjenu vršne čvrstoće s promjenom bočnog naprezanja.


Slika XXX Kriterij čvrstoće u todimenzionalnom prostoru naprezanja 

Proces loma stijene je ekstremno kompleksan i ne može se prikazati jednostavnim modelom. Za 

rješavanje inženjerskih problema neophodno je predvidjeti dali postoje uvjeti za lom i kada će se on 

desiti. Tradicionalno je naprezanje smatrano uzrokom a deformacija posljedicom pri ispitivanju stijena. 

Kao posljedica toga bila je uporaba strojeva sa konstanim prirastom sile (naprezanja). Zato je i bilo 

prirodno prikazati čvrstoću stijene u obliku naprezanja koje vlada u uzorku u trenutku loma. Kako su 

pokusi jednoosnog i troosnog tlačenja najuobičajeniji pokusi u mehanici stijena, najčešće se kriterij 

čvrstoće prikazuje kao: 

čvrstoća=f(σ1, σ2, σ3) 

Uvođenjem krutih i servokontroliranih strojeva i preferiranja da se pokus kontrolira deformacijom, možda 

bi se kriterij čvrstoće trebao prikazati kao: 

čvrstoća=f(ε1, ε2, ε3) 

U praksi se koristi više različitih kriterija. Prikazat će se Coulomb-Mohrov kriterij i Hoek-Brownov je 

(empirijski) kriterij.


6.3.1.1 Coulombov-Mohrov kriterij 

Coulomb-Mohrov kriterij izražava odnos posmičnih i normalnih naprezanja u trenutku loma. 

Za dvodimenzionalni slučaj, stijena će se lomiti kod kritične kombinacije normalnih i posmičnih 

naprezanja: 

τ τ + µσ 

= 0 

τ0=kohezija 

µ=koeficijent trenja 

n 

1 

τ = ( σ 1 − σ 3 ) sin 2β 

2 

1 

σ n = σ 1 + σ 3 

2 

1 

+ σ 1 −σ 

3 

2 

cos 2 

( ) ( ) β 

Jednadžbe za τ i σn su jednadžbe kruga u u (σ- τ) prostoru. 

c 

Jednoosni vlak 

σt 

σ3 

σu 

Slika XXX Coulomb-Mohrov kriterij čvrstoće 

τ 

Mohrova anvelopa 

Jednoosno tlačenje 

Cuolomb-Mohrov kriterij prikazuje se ravnom linijom koja tangira Mohrove krugove koji predstavljaju 

kritičnu kombinaciju glavnih naprezanja (vrijednosti glavnih naprezanja u trenutku loma) 

τ = σ tan φ + c 

gdje je: 

• Φ= kut unutarnjeg trenja, 

• c= kohezija, 

• τ=posmično naprezanje u trenutku loma ili posmična čvrstoća. 

2β 

σ1 

σ3 

Φ µ=tanΦ 

σ 

τ 

τ 0=c 

σn 

β 

Kod loma 

2β=90+Φ 

β= 45+Φ/2 

σ1 

σ1 

σ3


Sve kombinacije normalnih i posmičnih naprezanja koje leže ispod ovako definiranog kriterija 

predstavljaju stabilno stanje (neće doći do loma materijala). 

Ovim kriterijem može se prikazati i rezidualna čvrstoća stijene. U ovom slučaju krugovi se crtaju s 

vrijednostima glavnih naprezanja koji odgovaraju rezidualnoj čvrstoći iz postlomnog područja kompletne 

krivulje. 

Donja slika prikazuje rezultate serije od 7 troosnih pokusa (σ1≠σ2=σ3). Ovim rezultatima najbolje 

odgovara sljedeći Coulomb-Mohrov kriterij čvrstoće (koeficijent korelacije=0,9331): 

τ = σ tan 33, 

50 + 

46, 

59 

Slika XXX Coulomb-Mohrov kriterij čvrstoće u τ- σ dijagramu (program Rockdata)


Cuolomb-Mohrov -kriterij može se prikazati i u dijagramu glavnih naprezanja. 

ISRM, Commission on Standardization of Laboratory and Field Tests (1983), Suggested Methods for 

Determining the Strength of the Rock Materials in Triaxial Compression (Revised version), Int. Jour. of 

Rock Mech. Min. Sci. and Geomech. Abstr. Vol. 20, No 6, pp 283-290. 

Hoek, E., Rock Engineering (a course) http://www.rocscience.com/ str.176 

σci 

σ1’ 

gdje je: 

• σci=jednoosna tlačna čvrstoća intaktne stijene 

• k-kut nagiba linije σ1’- σ3’ 

• c’=kohezija 

k 

σ3’ 

σ = σ kσ 

' 

1' 

ci + 3 

k −1 

φ' 

= arc sin 

k + 1 

1− 

sinφ 

' σ ci 

c'= 

σ ci = 

2cosφ 

' 2 k 

Ako se rezultati pokusa prikažu u dijagramu: (σ1’+σ3’)/2-(σ1’-σ3’)/2, Mohr-Coulombovi parametri, 

kohezija i kut trenja računaju se na sljedeći način:


6.3.1.2 Hoek-Brownov kriterij čvrstoće 

Oslanjajući se na rezultate ispitivanja i teorijsko iskustvo s mehanikom frakturiranja stijene, Hoek i 

Brown su eksperimentirali s brojnim paraboličnim krivuljama kako bi pronašli jednu koja dobro 

koincidira sa originalnom Grifith-ovom teorijom. Autori su istraživali kriterij postupkom pokušaja i 

pogreške te su konačno 1980. godine predložili sljedeći kriterij čvrstoće za intaktnu stijenu: 

' ' ⎛ 

σ 1 = σ 3 + σ 

⎝ 

σ 

' 

3 ⎜ ci ⎜ i 

ci 

m σ 

+ 

⎞ 

1 ⎟ ⎟ 

⎠ 

0, 

5 

• σ1’=veće glavno efektivno naprezanje u trenutku loma 

• σ3’=manje glavno efektivno naprezanje u trenutku loma 

• σci=jednoosna tlačna čvrstoća intaktne stijene 

• mi=konstanta intaktne stijene 

Da bi se definirao kriterij čvrstoće poterbno je obaviti više pokusa pri troosnom tlačenju sa različitim 

bočnim naprezanjima (norme predviđaju najmanje 5 uzoraka iste stijene). Ako su ispitane i jednoosna 

tlačna i vlačna čvrstoća, i one se mogu uključiti u definiranje kriterija čvrstoće (pokus jednoosnog 

tlačenja je poseban slučaj troosnog pokusa kod koga je bočno naperzanje jednako nuli). 

Na osnovi ovih rezultata mogu se definirati parametri potrebni za opis kriterija čvrstoće. Za stijenu sa 

donje slike, izračunat je parametar mi=6,65 i jednoosna tlačna čvrstoća intaktne stijene σci=168,38MPa, te 

za nju vrijedi ovaj kriterij čvrstoće: 

' 

' ' ⎛ σ ⎞ 

3 

σ 1 = σ 3 + 168, 

38⎜6, 

65 1⎟ 

⎜ 

+ 

168, 

38 ⎟ 

⎝ 

⎠ 

0, 

5 

Slika XXX Hoek-Brownov kriterij čvrstoće u σ1- σ3 i τ- σ dijagramu (program Rockdata)


U dijagramu σ1- σ3 prikazana je tzv. Mogijeva linija koja razdvaja područje duktilnog i krtog ponašanja 

stijene. Mogijeva linija definirana je odnosom: 

σ1=3,4 σ3 

Treba napomenuti da Hoek-Brownov kriterij vrijedi samo za uvjete u kojima se stijena ponaša krto. 

6.4 Rječnik 

Čvrstoća (strength) Maksimalno naprezanje koje materijal može podnijeti bez loma za bilo koji tip 

opterećenja (ISRM, 1975). 

Duktilnost (ductility)- uvjet u kojem materijal trpi stalnu deformaciju bez gubljenja sposobnosti da se 

odupre opterećenju (ISRM, 1975). 

Deformabilnost Deformabilnost (deformability) se može opisati kao lakoća kojom se stijena može 

(deformability) 

Deformacija 

(deformation) 

deformirati 

Deformacija (deformation) se definira kao promjena oblika (ekspanzija, sažimanje 

(contraction) ili neki drugi oblik distorzije (distortion)). Obično se dešava kao 

odgovor na djelovanje opterećenja ili naprezanja ali može biti i posljedica 

promjene temperature ili vlažnosti (bubrenje ili skupljanje (swelling or shrinkage)). 

Deformacija (deformation) se mjeri u jedinicama duljine (m) ali se obično izražava 

kao neimenovani broj i tada se zove deformacija (strain). 

Deformacija (strain) Deformacija (strain) predstavlja odnos promjene duljine nekog elementa i njegove 

originalne duljine. 

Distorzija (distortion) Promjena oblika krutog tijela. (ISRM, 1975). 

Elastičniost (elasticity) Svojstvo materiajla koji se vraća u originalni oblik nakon rasterećenja (ISRM, 

1975). 

Intaktna stijena Intaktna stijena (intact rock) je materijal stijenske mase, tipično predstavljen 

cijelom jezgrom iz bušotine koja ne sadrži guste strukturne diskontinuitete (ISRM, 

1975). 

Kriterij loma (failure Teorijski ili empirijski izvedeni odnosi naprezanja ili deformacija koji 

criterion)- 

karakteriziraju pojavu loma u stijeni (ISRM, 1975). 

Krti lom (brittle Iznanadni lom sa cjelokupnim gubitkom kohezije uzduž plohe (ISRM, 1975). 

fracture) 

Krutost (stiffness) Krutost (stiffness) se može opisati kao otpor deformiranju. Krutost je pojam 

inverzan pojmu-deformabilnost.(Franklin J.A., Dusseault, M.B., 1989. p.271). 

Naprezanje (stress) Sila koja djeluje okomito na plohu elementa, podjeljena sa površinom elementa 

(ISRM, 1975). 

Relaksacija (relaxation) Relaksacija (relaxation) je definirana kao redukcija naprezanja kod konstantne 

deformacije; Oslobađanje naprezanja usljed tečenja (ISRM,1975). 

Tečenje (creep) Tečenje (creep) je definirano kao kontinuirano povećanje deformacije kod 

konstantnog naprezanja 

Zamor (fatigue) Postoji povećanje deformacije (smanjenje čvrstoće) usljed cikličkih promjena 

naprezanja 

Naaprezanje 

relaksacija 

tečenje 

Deformacija


6.5 Literatura 

Brady, B.H.G., Brown; E.T., (1985), Rock Mechanics for Underground Mining, George Allen and Unwin 

(Publishers) Ltd, 527 p. 

Fairhurst, C., E., Recent development in Laboratory Testing of Geotechnical and Construction Materials (MTS 

Systems Corporationa) 

Franklin J.A., Dusseault, M.B., (1989), Rock Engineering, McGraw-Hill Publishing Company, 600 p. (pp. 281- 

285). 

Goodman, R.E., (1980), Introduction to Rock Mechanics, Wiley, New York, pp. 183-184. 

Harrison, J.P., Hudson, J.P., (2000) Engineering Rock Mechanics, Illustrative Worked Exsamples, Pergamon, 506 p. 

Hoek, E., Brown, E.T., (1980), Underground excavation in Rock, The Institute of Mining and Metallurgy, London, 

527 p. 

Hoek, E., Kaiser, P.K., Bawden, W.F., (1995), Support of Underground Excavations in Hard Rock, Balkeme, 215 p. 

Hoek, E., Rock Engineering (a course) http://www.rocscience.com/ 

Hudson, J.A. and Harrison J.P.,2000, Engineering Rock Mechanics, An introduction to the principles, Pergamon, 

444 p. 

Hudson, J.A., (1989), Rock Mechanics Principles in Engineering Practice, CIRIA, 72 p. 

Hudson, J.A., (editor-in-chief), (1993), Comprehensive Rock Engineering, Volume 1,2,3,4 i 5 

Jaeger, C., (1979), Rock Mechanics and Engineering, second edition, Cambridge University Press, 523 p. 

Jumikis, A.R., (1979), Rock Mechanics, Trans Tech Publucation, Series on Rock and Soils Mechanics, Vol.3. 

(1978/79) No5. 

Obert, L., Duvall, W. I., (1967) Rock Mechanics and the Design of Structures in Rock, John Wiley and Sons, 650 p 

Sheorey, P.R., 1997, Empirical failure Criteria, Balkema, 176 p. 

Stagg, K.G., Zienkiewicz, O.C., (1968) Rock Mechanics in Engineering Practice, John Wiley and Sons, 442 p. 

Thuro, K., Plinninger, R.J., Zah, Schutz, S., 2001, Scale Effects in Rock Strength Properties. Part 1: Uncconfined 

Compressive strength test and Brazilian Test, Rock Mechanics-a Challenge for Socety, Proceedings of the 

regional Symposium Eurock 2001, Finland, pp. 169-174 

Thuro, K., Plinninger, R.J., Zah, Schutz, S., 2001a, Scale Effects in Rock Strength Properties. Part 2: Point Load test 

and Point Load Strength Index, Rock Mechanics-a Challenge for Socety, Proceedings of the regional 

Symposium Eurock 2001, Finland, pp. 175-180. 

Norme i preporuke 

ISRM, Commission on Standardization of Laboratory and Field Test (1974), Suggested Methods for Determining 

Shear Strength. 

ISRM, Commission on Standardization of Laboratory and Field Test (1978b), Suggested Methods for Determining 

Tensile Strength of Rock Materials, Int. Jour. of Rock Mech. Min. Sci. and Geomech. Abstr. Vol. 15, , pp. 99- 

103. 

ISRM Comission on Standardization of Laboratory and field test. (1979a), Suggested Methods for Determining the 

Uniaxial Compressive strength and Deformability of Rock Materials, International Journal of Rock Mechanics 

and Mining Sciences, Vol. 16, pp 135-140. 

ISRM, Commission on Standardization of Laboratory and Field Tests (1983), Suggested Methods for Determining 

the Strength of the Rock Materials in Triaxial Compression (Revised version), Int. Jour. of Rock Mech. Min. 

Sci. and Geomech. Abstr. Vol. 20, No 6, pp 283-290. 

ISRM, Commission on Testing Methods, Working Group on Revision of the Point Load Test Method (1985), 

Suggested Methods for Determining Point Load Strength, Int. Jour. of Rock Mech. Min. Sci. and Geomech. 

Abstr. Vol. 22, No 2, pp 51-60. 

ISRM Suggested Method for the Complete Stress-Strain Curve for Intact Rock in Uniaxial Compression, 1999. 

ISRM, Commission on Terminalogy, Symbols and Graphic Representation 1975, Terminology (english, french, 

germany). 

ASTM D-2938Standard Test Method for Unconfined Compressive Strength of Intact Rock Core Specimens 

ASTM D 3148 Standard Test Method for Elastic Moduli of Intact Rock Core Specimens in Uniaxial Compression 

ASTM D 2664 Standard Test Method for Triaxial Compressive Strength of Undrained Rock Core Specimens 

Without pore Pressure Measurements 

ASTM D 5407 Standard Test method for Elastic Moduli of Undrained Intact Rock Core Specimen in Triaxial 

Compression Without Pore Pressure Measurement 

ASTM D 4543 Practice for Preparing Rock Core Specimens and Determining Dimensional and Shape Tolerances

Inženjerska mehanika stijena 24

6Intaktna stijena

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?