Temelji mehanike fluida (4,07 MB) - Rudarsko-geološko-naftni fakultet

Temelji mehanike fluida
ˇZeljko Andreić
c○ Sva prava zadrˇzana
Datum zadnje promjene:
siječanj 10, 2012

Kazalo
Kazalo iv
Popis slika viii
Popis tabela ix
Popis simbola xi
Predgovor 1
1 Uvod 3
1.1 Osnovna svojstva fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 Gustoća . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Viskoznost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.3 Stlačivost fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.4 Tlak para tekućine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.5 Povrˇsinska napetost tekućine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.6 Kapilarnost tekućine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.7 Anomalije vode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Fluid u gibanju 13
2.1 Model kontinuuma i čestice fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Sile koje djeluju na česticu fluida u gibanju . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Eulerova jednadˇzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.1 Eulerova jednadˇzba u kvazi-jednodimenzionalnom slučaju . . . . . . . 17
2.3.2 Kvazi-jednodimenzionalna Eulerova jednadˇzba za fluid u polju sile teˇze 18
3 Statika fluida 21
3.1 Statička Eulerova jednadˇzba za polje sile teˇze . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2 Pascalov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Mjerenje tlaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.4 Sile hidrostatskoga tlaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.1 Hidrostatska sila na dno posude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4.2 Hidrostatska sila na ravne stijenke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.4.3 Hidrostatska sila na zakrivljene stijenke . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4.4 Hidrostatska sila na stijenku cijevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.5 Plutanje i ravnoteˇza plutajućih tijela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5.1 Uzgon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
i

ii KAZALO
3.5.2 Plutanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.6 Translacija i rotacija tekućine kao cjeline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6.1 Horizontalno ubrzanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6.2 Vertikalno ubrzanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.6.3 Koso ubrzanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6.4 Rotacija tekućine u otvorenoj posudi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.6.5 Rotacija tekućine u zatvorenoj posudi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6.6 Utjecaj promjene smjera stacionarnog toka na tlak u fluidu . . . . . . 46
4 Kinematika fluida 47
4.1 Lagrangeov (supstancijalni) pristup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Eulerov (lokalni) pristup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Prikazivanje (vizualizacija) tečenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3.1 Strujna cijev i strujno vlakno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.4 Izvori i ponori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5 Potencijalno strujanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.6 Strujanja u dvije dimenzije (2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.6.1 Osnovna potencijalna strujanja u 2D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Zakon neprekidnosti (kontinuiteta) 59
5.1 Posebni oblici jednadˇzbe neprekinutosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.1 Stacionarno strujanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.2 Tekućine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.1.3 Kvazi-jednodimenzionalni slučaj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6 Dimenzionalna analiza 65
6.1 Mali broj fizikalnih varijabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
6.1.1 Primjer: brzina zvuka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2 Veliki broj fizikalnih varijabli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6.2.1 Primjer: otpor tijela kod gibanja kroz fluid . . . . . . . . . . . . . . . 67
7 Stacionarno tečenje idealnoga fluida 69
7.1 Ravnoteˇza u smjeru okomitom na strujnicu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2 Bernoullijeva jednadˇzba za idealne tekućine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8 Stacionarno tečenje realnoga fluida 75
8.1 Bernoullijeva jednadˇzba za realne tekućine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
8.1.1 Odredivanje gubitaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
9 Tečenje kroz cijevi 79
9.1 Reynoldsov pokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.2 Gubici u cjevovodu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
9.3 Laminarno tečenje kroz cijevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
9.3.1 Duljina formiranja laminarnoga toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.4 Vrtloˇzno (turbulentno) tečenje kroz cijevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.5 Profil brzine kod vrtloˇznog toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
9.6 Hidraulička glatkost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.7 Koeficijent trenja hrapavih cijevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

KAZALO iii
9.8 Lokalni gubici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.8.1 Ulazni otvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.8.2 Dijafragme i sapnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.8.3 Suˇzenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.8.4 Proˇsirenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.8.5 Venturijeva cijev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.8.6 Ventili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.8.7 Koljena i lukovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.8.8 Filteri i reˇsetke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.8.9 Račve i spojnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.8.10 Izlazni otvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.8.11 Izlazna energija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.9 Zbrajanje otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10 Proračun jednostavnoga cjevovoda 117
10.1 Poznato je v i d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10.2 Poznato je Q i d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
10.3 Poznato je Q i v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.4 Poznato je d i hg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
10.5 Poznato je d i hg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10.6 Poznato je Q i hg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10.7 Prikazivanje energetske i piezometarske linije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
10.8 Pumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11 Istjecanje 129
11.1 Istjecanje kroz mali otvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.2 Istjecanje kroz mali otvor ispod povrˇsine tekućine . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.3 Istjecanje iz posude pod tlakom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11.4 Istjecanje kroz veliki otvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11.5 Istjecanje kroz otvor ispred kojega tekućina ne miruje . . . . . . . . . . . . . 134
11.6 Nestacionarno istjecanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
11.7 Mlazovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.7.1 Horizontalni mlaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11.7.2 Vertikalni mlaz prema dolje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.7.3 Vertikalni mlaz prema gore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
12 Tečenje u otvorenim koritima 141
12.1 Jednoliko tečenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
12.1.1 Veza koeficijenata trenja za cijev i za otvoreni tok . . . . . . . . . . . 144
12.1.2 Protočna krivulja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
12.2 Nejednoliko tečenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
12.3 Specifična energija presjeka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
12.4 Preljevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.4.1 Preljev sa ˇsirokim pragom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
12.4.2 Preljev praktičnoga profila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.4.3 Slapiˇste i vodni skok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Literatura 155

iv KAZALO
Indeks 156

Popis slika
1.1 Definicija gustoće homogene tvari (lijevo) i nehomogene tvari (desno). . . . . 4
1.2 Newton-ov pokus za odredivanje viskozne sile. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Dokazivanje tlaka pare tekućine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4 Tlak vodene pare u ovisnosti o temperaturi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Povrˇsinska napetost tekućine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.6 Vaga za mjerenje povrˇsinske napetosti tekućine. . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 Kapilarnost tekućine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Shematski prikaz molekule vode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.9 Gustoća vode u ovisnosti o temperaturi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1 Definicija čestice fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Definicija elementa puta (lijevo), povrˇsine (sredina) i volumena (desno). . . . 14
2.3 Elementarna čestica fluida noˇsena tokom fluida kroz prostor. . . . . . . . . . 15
2.4 izvod Eulerove jednadˇzbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.5 Kvazi 1-D eulerova jednadˇzba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.6 Kvazi 1-D eulerova jednadˇzva uz silu teˇzu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1 Osnovni kartezijev koordinatni sustav u hidrostatici . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Nestandardni kartezijev koordinatni sustav u hidrostatici . . . . . . . . . . . 23
3.3 Standardni kartezijev koordinatni sustav u hidrostatici . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Ilustracija Pascalovoga zakona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Princip rada barometra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Princip rada piezometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.7 Princip rada manometra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.8 manometar sa dvije tekućine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.9 Sila na ravno dno otvorene posude koja sadrˇzi tekućinu. . . . . . . . . . . . . 29
3.10 Ilustracija hidrostatskog paradoksa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.11 Hidrostatska sila na dno zatvorene posude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.12 Hidrostatska sila na ravnu bočnu stijenku. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.13 Komponente hidrostatske sile na ravnu bočnu stijenku. . . . . . . . . . . . . 32
3.14 Hidrostatska sila na zakrivljenu plohu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.15 Hidrostatska sila na stijenku cijevi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.16 Sila na tijelo uronjeno u fluid. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.17 Uzgon kod plutanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.18 Ravnoteˇza tijela koje pluta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.19 Ravnoteˇza broda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.20 Prevrtanje broda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.21 Translacija tekućine kad je ubrzanje horizontalno. . . . . . . . . . . . . . . . 40
v

vi POPIS SLIKA
3.22 Mjerenje ”dubine” kod horizontalnoga ubrzanja tekućine. . . . . . . . . . . . 41
3.23 Translacija tekućine kad je ubrzanje vertikalno. . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.24 Translacija tekućine kad je ubrzanje koso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.25 Rotacija tekućine u otvorenoj posudi oko vertikalne osi. . . . . . . . . . . . . 43
3.26 Rastavljanje ubrzanja kod rotacije tekućine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.27 Oblik povrˇsine tekućine kod rotacije oko vertikalne osi. . . . . . . . . . . . . 45
3.28 Rotacija tekućine u zatvorenoj posudi oko vertikalne osi. . . . . . . . . . . . 45
3.29 Porast tlaka kod promjene smjera tečenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.1 Lagrangeov pristup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2 Eulerov pristup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.3 Relativnost stacionarnosti 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.4 Relativnost stacionarnosti 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.5 Staza čestice fluida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.6 Pojam strujnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.7 Geometrijska konstrukcija strujnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.8 Strujna cijev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.9 Strujno vlakno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.10 Grafičko prikazivanje tečenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.11 Jednoliko strujanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.12 Profil brzine kod laminarnog tečenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.13 Elementarni izvor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.14 Elementarni ponor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.15 Slaganje osnovnih strujanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1 Zakon neprekinutosti (izvod) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
7.1 Ravnoteˇza toka okomito na strujnicu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.2 Bernoullijeva jednadˇzba za idealne tekučine . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7.3 Praktični oblik Beornoullijeve j. za idealne tekučine . . . . . . . . . . . . . . 74
8.1 Praktični oblik Bernoullijeve jednadˇzbe za realne tekućine . . . . . . . . . . 76
9.1 Reynoldsov pokus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
9.2 Reynoldsov pokus - male brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.3 Reynoldsov pokus - srednje brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
9.4 Reynoldsov pokus - srednje brzine 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.5 Reynoldsov pokus - velike brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
9.6 Reynoldsov pokus - velike brzine 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.7 Hidraulički radijus cijevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
9.8 Analiza viskoznih gubitaka u cijevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
9.9 Viskozni gubici kod laminarnoga tečenja kroz cijev . . . . . . . . . . . . . . 86
9.10 Promjena koordinatnog sustava . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
9.11 Profil brzine kod laminarnoga tečenja kroz cilindričnu cijev. . . . . . . . . . 88
9.12 Opći koeficijent laminarnog trenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
9.13 Formiranje laminarnoga profila brzine na ulazu u cijev. . . . . . . . . . . . . 90
9.14 Brzina vrtloˇznog toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
9.15 Profil brzine vrtloˇznog toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

POPIS SLIKA vii
9.16 Komponente brzine vrtloˇznog toka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
9.17 Brzna vrtloˇznog toka uz stijenku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
9.18 Karmanov 1/7-ki profil brzine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9.19 Hidraulički glatka stijenka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.20 Hidraulički hrapava stijenka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.21 Moodyev dijagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.22 Lokalni gubitak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
9.23 Ulazni gubitak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
9.24 Ulazni gubitak 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.25 Ulazni gubitak 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.26 Dijafragma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.27 Sapnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.28 Naglo suˇzenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
9.29 Naglo suˇzenje 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.30 Konfuzor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.31 Naglo proˇsirenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.32 Difuzor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.33 Venturijeva cijev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
9.34 Koljena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.35 Izlazni otvori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
9.36 Izlazni otvori 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
9.37 Izlazni gubitak horizontalne cijevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.38 Zbrajanje otpora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
9.39 Kirchofov zakon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
9.40 Zbrajanje otpora 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.1 Početak crtanja energetske i piezometarske linije . . . . . . . . . . . . . . . . 121
10.2 Zavrˇsetak crtanja energetske i piezometarske linije . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.3 Zavrˇsetak crtanja energetske i piezometarske linije 2 . . . . . . . . . . . . . . 122
10.4 Crtanje EL i PL kad se cjevovod izdiˇze iznad početne kote . . . . . . . . . . 123
10.5 Crtanje EL i PL za vertikalnu cijev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
10.6 Idealna pumpa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.7 Realna pumpa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
10.8 Pumpa u situaciji kad podiˇze (usisava) vodu iz rezervoara. . . . . . . . . . . 126
11.1 Istjecanje kroz mali otvor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
11.2 Kontrakcija mlaza kod istjecanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.3 Istjecanje kroz mali otvor ispod povrˇsine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
11.4 Istjecanje iz posude pod tlakom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
11.5 Istjecanje kroz veliki otvor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
11.6 Istjecanje kad tekućina ne miruje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
11.7 Nestacionarno istjecanje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
11.8 Geometrija mlaza tekućine. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
11.9 Horizontalni mlaz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
11.10Vertikalni mlaz prema dolje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
11.11Vertikalni mlaz prema gore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
12.1 Bernoullijeva jednadˇzba za otvoreni tok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

viii POPIS SLIKA
12.2 Odredivanje hidrauličkog radijusa za otvoreni tok. . . . . . . . . . . . . . . . 142
12.3 Oblici slobodne povrˇsine kod nejednolikoga tečenja . . . . . . . . . . . . . . 146
12.4 Opći izgled grafikona specifične energije presjeka. . . . . . . . . . . . . . . . 147
12.5 Račun specifične energije presjeka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
12.6 Oˇstrobridni preljev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.7 Potopljeni oˇstrobridni preljev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
12.8 Spuˇstanje razine tekućine na preljevu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
12.9 Preljev sa ˇsirokim pragom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
12.10Preljev praktičnoga profila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
12.11Slapiˇste i vodni skok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Popis tabela
1 Simboli fizikalnih veličina i konstanti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xi
9.1 Opći koeficijent laminarnog trenja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9.2 Hrapavost stijenke različitih vrsta cijevi (nove cijevi). . . . . . . . . . . . . . 100
9.3 Kriteriji za odredivanje vrste toka u cijevima. . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.4 Koeficijenti ulaznoga otpora za različite oblike ulaznih otvora. . . . . . . . . 105
9.5 Koeficijenti ulaznog otpora za dijafragmu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.6 Koeficijenti ulaznoga otpora za sapnicu izradenu po ISO standardu. . . . . . 106
9.7 Koeficijenti gubitka za naglo suˇzenje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
9.8 Koeficijenti gubitaka za konfuzor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
9.9 Koeficijenti gubitka za Venturijevu cijev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
9.10 Minimalni koeficijenti otpora za razne konstrukcije ventila. . . . . . . . . . . 111
9.11 Tipični koeficijenti otpora za razne vrste filtera. . . . . . . . . . . . . . . . . 112
12.1 Tipične vrijednosti Manningovoga odn. Stricklerovoga koeficijenta za kanale. 144
ix

x POPIS TABELA

Popis simbola
Tablica 1: Simboli fizikalnih veličina i konstanti koriˇsteni u ovoj knjizi. Treba obratiti paˇznju
na to da, ovisno o kontekstu, isti simboli mogu imati različito značenje.
simbol dimenzija opis .
�a, a ms −2 ubrzanje
A m 2 povrˇsina
b m ˇsirina
C Newton-ov koeficijent otpora
C m 1/2 s −1 Chezy-ev koeficijent
Cp Jmol −1 K −1 molarni toplinski kapacitet plina (p=konst.)
CV Jmol −1 K −1 molarni toplinski kapacitet plina (V=konst.)
Cxy kgm 2 centrifugalni moment inercije
CM centar mase (oznaka)
d m promjer
e 1 prirodni broj, 2,718281828
e m apsolutna hrapavosti stijenke cijevi
E Pa volumni modul elastičnosti
Ek J kinetička energija
FR
�F , F N sila
Freude-ov broj
�g, g ms −2 9,80665 ms −2 , ubrzanje sile teˇze
�G, G N teˇzina
h m dubina ( u tekučini)
H m tlačna skala visine (atmosferska fizika)
H Hvatiˇste sile (oznaka)
HS Jkg −1 specifična energija
xi

simbol dimenzija opis .
i, I 1 nagib (pad) dna korita
I kgm 2 moment inercije
Ie 1 pad energetske linije (energetski gradijent)
I◦ 1 pad vodnog lica
Ip 1 piezometarski gradijent
k s −1 m 1/3 Stricker-ov koeficijent glatkosti
k◦ m 3 s −1 modul protoka
l, L m duljina, udaljenost
m 1 koeficijent prelijevanja
m kg masa
�M, M Nm moment sile
M◦ kg mol −1 molarna masa
�n vektor normale plohe
n sm −1/3 Manning-ov koeficijent hrapavosti
N mol količina tvari (u molovima)
O m opseg
p Nm −2 tlak
pa, pat Nm −2 atmosferski tlak, 101 325 Pa
Q m 3 s −1 volumni protok
QM kgs −1 maseni protok
r, R m polumjer
�r, r m radijus-vektor, poloˇzaj
R Jmol −1 K −1 univerzalna plinska konstanta
Re 1 Reynolds-ov broj
Rh m hidraulički radijus
T K, ◦ C temperatura
t s vrijeme
T hvatiˇste tlačne sile (oznaka)
xii

simbol dimenzija opis .
�v, v ms −1 brzina
vo ms −1 brzina zvuka
vtg ms −1 brzina tangencijalnog naprezanja
vtorr ms −1 Torricelli-jeva brzina (istjecanja)
V m 3 volumen
W J rad W>0 sila vrˇsi rad, W

Predgovor
Ova knjiga pokriva osnove mehanike fluida u opsegu u kojem se one iznose u istoimenom
kolegiju na Rudarsko-geoloˇsko-naftnom fakultetu Sveučiliˇsta u Zagrebu a pokrivaju i gradivo
kolegija Hidraulika koji se predaje na Geotehničkom fakultetu istog sveučiliˇsta. Knjiga je
strogo usmjerena na spomenute kolegije i potrebe tehničkih struka koje taj kolegij koriste
pa je teˇziˇste stavljeno na preglednost i razumijevanje teoretskih izvoda koji su potrebni za
razumijevanje osnovnih jednadˇzbi mehanike fluida. Na isti je način pristupljeno empirijskim
jednadˇzbama kojima ova disciplina obiluje. Smatram da je tako dobiven tekst koji će studentima
biti pregledniji i lakˇsi za upotrebu. Nije mi bio cilj napisati sveobuhvatni pregled cijele
discipline pa sve one kojima je on potreban upućujem na dodatnu literaturu spomenutu na
kraju knjige, a posebno na novu knjigu prof. Jovića.
Veliku zahvalnost dugujem prof. Ranku ˇ Zugaju, na njegovom strpljenju, predanosti
nastavi i dugim diskusijama koje smo vodili o mnogim dijelovima ove knjige.
1

2 POPIS TABELA

Glava 1
Uvod
Mehanika fluida bavi se problemima fizike plinova i tekućina. Naziv dolazi od engleske rijeći
”fluid” koja u originalnom značenju obuhvaća tekućine i plinove, a u fizici se odnosi na ”sve
ˇsto teče” (u engl. literaturi za tekućinu se koristi riječ ”liquid” a za plin ”gas”). Fluid dakle
moˇze biti i tekućina i plin, ali i njihova smjesa, i zrnata tvar kad se pri ”tećenju” ponaˇsa na
isti način kao i ostali fluidi i sl.
Krute tvari su sve tvari koje imaju vlastiti, praktički nepromjenjivi oblik, bez obzira na
njihovu okolinu.
Čestice krute tvari omedene su pravilnim ili nepravilnim plohama. Pod
djelovanjem vanjskih sila oblik krutih tijela vrlo malo se mijenja (te se promjene vrlo često
moˇze potpuno zanemariti).
Pod pojmom tekućina podrazumijevaju se tvari koje zauzimaju definirani volumen i koje
mogu imati slobodne povrˇsine. Za razliku od krutih tijela tekućine reagiraju na svaku, pa i
najmanju vansku silu i vrlo lako mijenjaju svoj oblik. Glavna sila koja na tekućine djeluje
na Zemlji je sila teˇza, pod čijim djelovanjem tekućina uvijek zauzima najniˇzi dio posude (to
moˇze biti i morsko dno!) u kojoj se nalazi. Tekućine su praktički nestlačive.
Nasuprot tome, plinovi su tvari koje se ˇsire sve dok ne zauzmu sav raspoloˇzivi volumen.
Plinovi su za razliku od tekućina lako stlačljivi i ne mogu imati slobodne povrˇsine.
Pojam zrnate tvari relativno je nov i obuhvaća mnoˇstvo čestica krute tvari različitih
veličina (od sub-mikronskih dimenzija pa do dimenzija od par metara) u situacijama u
kojima se te čestice zajedno gibaju slično tekućini. Pojam smjesa opisuje sve mjeˇsavine
dviju ili viˇse gore opisanih tvari.
U većini se slučajeva fluid giba kroz prostor. To se gibanje naziva tečenje ili strujanje
(fluida). Općenito se dijeli na dvije osnovne grupe:
• protjecanje je strujanje fluida izmedu krutih stijenki okolne tvari (cijevi, kanali i sl.)
ili u slobodnom prostoru (vjetar, vodeni mlaz i sl.). Kod protjecanja fluid se fizički
pomiće kroz prostor.
• optjecanje je situacija u kojoj fluid miruje a kroz njega se giba neko tijelo koje je
potpuno ili djelomično uronjeno u fluid (plovidba broda, let aviona, stup mosta i sl.).
• kombinacija protjecanja i optjecanja je najsloˇzenija situacija u kojoj se giba i
fluid i objekti u njemu (strujanje fluida kroz pokretne dijelove strojeva, primjerice
vjetrenjača ili turbina).
3

4 GLAVA 1: UVOD
1.1 Osnovna svojstva fluida
1.1.1 Gustoća
Slika 1.1: Definicija gustoće homogene tvari (lijevo) i nehomogene tvari (desno).
Gustoća tvari definira se kao masa tvari koja zauzima jedinični volumen. Ako se pretpostavlja
da je fluid nestlačiv, gustoću se nalazi jednostavnim dijeljenjem ukupne mase fluida
s ukupnim volumenom koju fluid zauzima (slika 1.1, lijevo). U slučaju kada je fluid nehomogen,
gustoća je funkcija poloˇzaja u prostoru (unutar volumena koji se razmatra) i dobiva
se kao granična vrijednost omjera mase sadrˇzane u nekom malenom dijelu volumena ∆V i
toga volumena, kada se matematički pusti da se ∆V beskonačno smanjuje (slika 1.1, desno).
Općenito za tekućine moˇzemo uzeti da su nestlačive, pa im je gustoća konstantna u
cijelom prostoru (male promjene zbog promjena temperature se obićno takoder zanemaruju),
dok za plinove moramo uzeti u obzir mogućnost da im se gustoća u vremenu i prostoru
mijenja. U najjednostavnijem slučaju, gustoću plina moˇze se opisati pomoću jednadˇzbe
idealnog plina:
ρ = p
(1.1)
RT Mo
gdje je p tlak, T apsolutna temperatura, R univerzalna plinska konstanta i Mo molarna masa
plina.
Osnovna SI jedinica za gustoću je kg/m3 , no u praksi se koristi i stara jedinica g/cm3 ,
a u zemljama engleskoga govornog područja joˇs uvijek se često koriste različite stare anglosaksonske
jedinice. Kao simbol za gustoću u računima i formulama se gotovo standardno
koristi grčko slovo ρ.
U tehničkim znanostima se je do pojave SI sustava mjera umjesto gustoće koristilo
specifičnu teˇzinu tvari, koja je definirana kao teˇzina jediničnog volumena te tvari. U
posljednje vrijeme njena upotreba je napuˇstena jer njen točan iznos ovisi o lokalnom ubrzanju
sile teˇze. Odnos gustoće i specifične teˇzine dan je kao
γ = G
V
= mg
V
= ρg (1.2)

1.1: OSNOVNA SVOJSTVA FLUIDA 5
pri čemu je za specifičnu teˇzinu koriˇsten ustaljeni simbol γ.
1.1.2 Viskoznost
d
y
v(y)
v=0
v=v o
Slika 1.2: Newton-ov pokus za odredivanje viskozne sile.
Kod gibanja se izmedu molekula fluida javljaju sile otpora koje su po svojoj prirodi slične
sili trenja. No, za razliku od sile trenja koja se javlja na dodirnoj plohi dvaju tijela koja
se medusobno gibaju, kod fluida se sila otpora javlja i u njegovoj unutraˇsnjosti, pa se zato
neki puta naziva i unutarnje trenje. Ono je toliko vaˇzno za gibanje fluida da je dobilo i svoje
posebno ime: viskoznost. Osnovna svojstva viskoznosti mogu se ustanoviti jednostavnim
pokusom (slika 1.2) kod kojega se izmedu dvije ploče ulije tanki sloj tekućine. U pokusu se
mjeri sila potrebna da se gornja ploča pomiće konstantnom brzinom (donja ploča miruje).
Za gibanje gornje ploče stalnom brzinom vo potrebna je sila F . Rezultati mnoˇstva pokusa
napravljenih na ovaj način pokazuju da je sila F proporcionalna povrˇsini ploče A i gradijentu
brzine, dv/dy:
F = µA dv
(1.3)
dy
gdje je µ konstanta proporcionalnosti koju se naziva apsolutni ili dinamički koeficijent
viskoznosti. Dimenzija dinamičkog koeficijenta viskoznosti je
N
m 2
ms −1
m
= Ns
= Pa s (1.4)
m2 Nadalje, kao i u mehanici krutih tijela definirano je smično naprezanje, τ, kao smična
sila po jedinici povrˇsine ploče:
pa se dolazi do relacije
τ = F
A
(1.5)

6 GLAVA 1: UVOD
τ = µ dv
dy
(1.6)
Izmjeri li se sila potrebna za vučenje ploče konstantnom brzinom vo, moˇze se odrediti
dinamički koeficijent viskoznosti:
µ = τ
dv
dy
(1.7)
Problem ovdje predstavlja odredivanje gradijenta brzine. No, ako je sloj tekućine tanak,
a brzina gibanja nije prevelika, moˇzemo si pomoći pretpostavkom da je raspodjela brzine
unutar tekućine jednolika. Drugim riječima, graf ovisnosti brzine v(y) o udaljenosti od donje
ploče y je pravac, pa gradijent brzine postaje:
dv
dy
= vo
d
a izraz za koeficijent viskoznosti se pojednostavi na:
µ =
F
A
v◦
d
(1.8)
(1.9)
Sve veličine koje ulaze u ovu formulu su lako mjerljive pa je ovo jedan od načina na koji
se pokusom moˇze odrediti koeficijent viskoznosti neke tekućine.
U računima se, po potrebi, koristi i kinematički koeficijent viskoznosti ν:
ν = µ
ρ
[m 2 s −1 ] (1.10)
koji je ime dobio po tome ˇsto u njegovu dimenziju ulaze samo osnovne kinematičke veličine
(udaljenost i vrijeme).
Viskoznost fluida ovisi o temperaturi (kod plinova i o tlaku!) i redovito se s porastom
temperature smanjuje.
1.1.3 Stlačivost fluida
Za opisivanje stlačivosti fluida koristi se volumni modul stlačivosti, koji prestavlja omjer
promjene tlaka i time izazvane relativne promjene volumena fluida (promjena volumena
izraˇzena po jedinici volumena):
B = dp
− � � (1.11)
dV
V
Negativni predznak uzima u obzir činjenicu da se povećanjem tlaka volumen fluida smanjuje.
Okrene li se ovu definiciju, promjena tlaka dp izaziva sljedeću promjenu volumena:
dV
= −dp
(1.12)
V B
Ako su promjene tlaka malene, a volumni modul stlačivosti velik, moˇze se rezultirajuća
promjena volumena zanemariti. To je slučaj kod tekućina. Za plinove je volumni modul
stlačivosti znatno manji i uz to ovisi o termodnamičkom procesu kojem je plin podvrgnut,
pa se općenito ne moˇze zanemariti. Primjerice u izotermnom procesu je:

1.1: OSNOVNA SVOJSTVA FLUIDA 7
a u adijabatskom (γ je omjer toplinskih kapaciteta plina):
B = p (1.13)
E = γp γ = Cp
CV
(1.14)
volumni modul stlačivosti tekućina obično se odreduje iz brzine ˇsirenja zvuka u tekućini:
1.1.4 Tlak para tekućine
p at
T
p p > 0
B = v2 o
ρ
Slika 1.3: Dokazivanje tlaka pare tekućine.
pumpa
(1.15)
Stavi li se tekućinu u nepropusnu posudu i iz nje pumpom odstrani sav zrak, ustanovit
će se da tlak u posudi nije nula, već da zauzima neku minimalnu vrijednost koja ovisi o
temperaturi i vrsti tekućine u posudi. Proučavanjem plina koji taj tlak stvara ustanovilo se
da se radi o parama tekućine koja se u posudi nalazi, pa se zato ovaj tlak naziva tlak para.
S porastom temperature tlak para naglo raste ( slika 1.4). Kada tlak para postane jednak
okolnom tlaku, tekućina počinje vrijeti. Ovo objaˇsnjava odavno poznatu činjenicu da voda
na visokim planinama (atmosferski tlak je znatno niˇzi nego u nizinima) vrije na temperaturi
znatno niˇzoj od 100 o C.

8 GLAVA 1: UVOD
Tlak (mBar)
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
-20 0 20 40 60 80 100
Temperatura ( o C)
Slika 1.4: Tlak vodene pare u ovisnosti o temperaturi.
1.1.5 Povrˇsinska napetost tekućine
A
Slika 1.5: Objaˇsnjenje povrˇsinske napetosti tekućine. Molekulu A koja se nalazi na povrˇsini
tekućine susjedne molekule tekućine vuku prema dolje. Sile na molekulu B, koja se nalazi
unutar tekućine, se medusobno poniˇstavaju.
Molekule se u tekućini medusobno privlače slabim silama, koje su dovoljne da molekule
tekućine drˇze na okupu, ali ne i dovoljne da bi dovele do prelaska u kruto stanje. Pogleda li
se neka nasunce izabrana molekula u tekućini (slika 1.5), moˇze se zaključiti da je rezultantna
sila, kojom sve okolne molekule djeluju na nju, jednaka nuli. No, za molekulu koja se nalazi
na povrˇsini tekućine, situacija je drugačija. Kako iznad nje nema drugih molekula, koje
bi ju privlačile, ostaje samo djelovanje molekula oko i ispod nje, pa je rezultantna sila na
nju usmjerena u unutraˇsnjost tekućine. Posljedica ove pojave je da tekućina uvijek zauzima
oblik sa najmanjom mogućom povrˇsinom. Za tekućine u posudama, rezervoarima i sl. ta je
povrˇsina (koja se naziva i slobodna povrˇsina) ravna, a ako je tekućina slobodna u prostoru
(npr. kapljica kiˇse u zraku), skuplja se u kuglu (uz zanemarivanje ostalih sila koje na nju
B

1.1: OSNOVNA SVOJSTVA FLUIDA 9
djeluju), jer kugla za dani volumen tekućine ima najmanju moguću povrˇsinu.
Teˇznja tekućina da maksimalno smanje graničnu povrˇsinu prema okolini naziva se povrˇsinska
napetost. Za opisivanje povrˇsinske napetosti koristi se koeficijent povrˇsinske napetosti definiran
kao omjer rada ∆W potrebnoga da bi se povrˇsina tekućine povećala za ∆A:
L
F
σ = ∆W
∆A [J/m2 ] (1.16)
F=mg
Slika 1.6: Vaga za mjerenje povrˇsinske napetosti tekućine.
Povrˇsinska napetost najčeˇsće se odreduje posebnom vagom (slika 1.6). Dizanjem ˇzičanoga
okvira iz tekućine za malu veličinu ∆x, povećava se povrˇsina tekućine unutar okvira za:
∆A = 2∆xL (1.17)
Faktor ”2” u formuli 1.17 dolazi od toga ˇsto sloj tekućine u okviru ima dvije strane.
Vagom se mjeri silu F potrebnu da okvir bude u ravnoteˇzi. Rad koji bi ta sila učinila da se
okvir pomakne za ∆x je:
∆W = F ∆x (1.18)
pa se, iz poznate sile i dimenzija okvira, moˇze izračunati povrˇsinsku napetost tekućine:
σ = ∆W F ∆x F
= = [N/m] (1.19)
∆A 2L∆x 2L
Iako na prvi pogled ovako dobivena dimenzija koeficijenta povrˇsinske napetosti moˇze
zbuniti, sve je u najboljem redu jer je [N]=[J/m] ˇsto nas vodi na ispravnu dimenziju koeficijenta
povrˇsinske napetosti [J/m2 ]
1.1.6 Kapilarnost tekućine
Uroni li se u vodu tanku staklenu cjevčicu (promjera nekoliko milimetara ili manje), primijeti
će se da u njoj voda uzdiˇze iznad okolne povrˇsine tekućine. Ova pojava, koja se naziva
kapilarnost primjećuje se uvijek kad se tekućina nalazi u uskom prostoru, bez obzira na
njegov oblik. Radi se o ravnoteˇzi sila adhezije i povrˇsinske napetosti (adhezija je naziv

10 GLAVA 1: UVOD
h
ϑ
2r
moči ne moči
Slika 1.7: Ponaˇsanje tekućine u uskim cjevćicama (kapilarama).
za medusobno privlačenje molekula tekućine i molekula stijenke tvari od koje je načinjena
cjevčica u opisanom pokusu). Kapilarnost se moˇze i teoretski proračunati, pa je tako za
cjevčicu okrugloga presjeka visina dizanja tekućine u kapilari dana slijedećim izrazom:
h =
2σ cos ϑ
ρgr
ϑ
h
(1.20)
Kut ϑ naziva se kut moćenja. On je svojstvo para tvari koje čine kapilaru i tekućinu.
Tako je za par tvari staklo-voda ϑ = 0 o , a za par staklo-ˇziva ϑ = 140 o . Ako je kut močenja
manji od 90 o , tekućina u kapilari se diˇze. Kaˇze se da takva tekućina moči stijenku kapilare.
Tako voda moči vrlo mnogo tvari iz naˇse okolice. Ako je kut moćenja veći od 90 o , razina
tekućine u kapilari se spuˇsta pa tekućina ne moči stijenku kapilare. ˇ Ziva je primjer tekućine
koja ne moči većinu tvari.
Ako je presjek kapilare kruˇzan, oblik slobodne plohe tekućine u njoj dio je kugline plohe.
Kod drugih oblika presjeka kapilare mijenja se i oblik slobodne plohe i visina dizanja, ali
funkcionalna ovisnost opisana jednadˇzbom 1.20 ostaje sačuvana, tako dugo dok se presjek
kapilare po visini ne mijenja.
1.1.7 Anomalije vode
Molekula vode po mnogo čemu je izuzetna i pokazuje kemijska i fizikalna svojstva koja su na
prvi pogled u suprotnosti sa jednostavnim kemijskim i fizikalnim zakonitostima. Odstupanja
svojstava vode od uobičajenih pravila nazivaju se anomalije vode. Ovdje će se navesti neke
najvaˇznije:
• Atom kisika je izuzetno elektronegativan, pa se elektroni koji tvore kemijske veze
izmedu njega i vodikovih atoma zadrˇzavaju u njegovoj blizini. Time molekula postaje
polarna, tj. ima značajan električki dipolni moment.
• Molekule vode medusobno se povezuju natprosječno jakim vodikovim vezama koje
bitno utječu na svojstva vode.

1.1: OSNOVNA SVOJSTVA FLUIDA 11
O
H H
+ +
Slika 1.8: Shematski prikaz molekule vode.
• Taliˇste i vreliˇste vode izuzetno je visoko, ˇsto je posljedica jakih vodikovih veza izmedu
molekula vode. Jednostavni kemijski račun koji te veze zanemaruje predvida vreliˇste
na -80 o C!
• Voda je izuzetno dobro otapalo. U njoj se u većoj ili manjoj mjeri otapaju najrazličitije
tvari.
• Toplinski kapacitet vode je izuzetno visok, čak 4175 J/kgK.
• Prilikom smrzavanja volumen vode se povećava. Zato led pliva na vodi, rijeka i jezera
zamrzavaju se odozgo prema dolje pa voda u dubini ostaje tekuća. To omogućava
preˇzivljavanje vodenih organizama i kad je povrˇsina zamrznuta.
• Gustoća vode najveća je na 4 o C a daljnjim hladenjem voda se rasteˇze (slika 1.9).
Gustoća (kgm -3 )
1020
1000
980
960
940
920
900
-20 0 20 40 60 80 100
4
Temperatura ( o C)
Slika 1.9: Gustoća vode u ovisnosti o temperaturi.

12 GLAVA 1: UVOD

Glava 2
Fluid u gibanju
2.1 Model kontinuuma i čestice fluida
Prije nego ˇsto se krene sa proučavanjem ponaˇsanja fluida u realnim uvjetima, podsjetit će
se na najosnovnije idealizacije i pojednostavljenja koja se koriste da bi se lakˇse razumjelo
kako se fluid ponaˇsa. To je u prvom redu model kontinuuma na kojem se zasniva mehanika
kontinuuma. Pojam kontinuuma zasniva se na ideji da se tvar moˇze dijeliti na sve manje i
dijelove, a da pritom svojstva tvari ostaju nepromijenjena. Mi danas znamo da je to netočno
jer se svaka tvar sastoji od atoma i molekula koje pretstavljaju najmanju moguću česticu te
tvari. Pritom molekula (u rjedem slučaju atom) pokazuje ista kemijska svojstva kao i veća
količina te tvari. Naˇzalost, moderna fizika je pokusima pokazala, a teorijom i u dobrom dijelu
objasnila, da to ne vrijedi za fizikalna svojstva te iste tvari. Naime, kad veličina čestice
tvari postane manja od mikrometra počinju se pokazivati efekti i pojave koje veće čestice ne
pokazuju. Ovo moderno područje naziva se različitim imenima (mezofizika, nanofizika i sl.)
a bavi se svojstvima čestica čije veličine se kreću od nekoliko molekula do otprilike jednoga
mikrometra.
m m m
Slika 2.1: Čestica fluida je vrlo mala a njezin oblik ne mora biti stalan, ali masa te čestice
mora biti sačuvana (nepromjenjiva).
ˇSto se tiče mehanike fluida, dimenzije čestica i pojava sa kojima se ona bavi su mnogostruko
veće od gore spomenutih, pa se efekti atomske strukture tvari mogu zanemariti. To
omogućava da se fluid promatra kao kontinuum, ˇsto poprilično pojednostavljuje matematički
alat koji je potreban za opis njegova ponaˇsanja. Pritom se ipak ne smije zaboraviti da veličine
13

14 GLAVA 2: FLUID U GIBANJU
objekata i duljine preko kojih dolazi do primjetne promjene fizikalnih varijabli kojima se
opisuje odredeni problem moraju biti znatno veće od dimenzija molekula koje proučavani
fluid tvore, odnosno veće od mikrometra u općem slučaju.
U pojednostavljenju mehanike kontinuuma definira se česticu fluida kao vrlo malu česticu,
čiji oblik ne mora biti stalan, ali se zahtijeva da masa takove čestice bude konstantna (nepromjenjiva).
ds
dy dA
dx
Slika 2.2: Definicija elementa puta (lijevo), povrˇsine (sredina) i volumena (desno).
Isto tako se koristi infinitezimalno male duˇzine, povrˇsine ili volumene, koje nazivamo i
elementima duˇzine (povrˇsine ili volumena), a definira ih se kao infinitezimalno malu duˇzinu,
povrˇsinu ili volumen. Kod duˇzine se koristi oznaku ds jer vrlo često probleme na dvodimenzionalnim
ili trodimenzionalnim krivuljama promatramo kao jednodimenzionalni problem,
a u tom slučaju element duˇzine najčeˇsće nije u smjeru x-osi. Za razliku od toga element
povrˇsine obično se definira tako da mu stranice leˇze u smjeru koordinatnih osi, pa tu koristimo
uobičajene oznake dx i dy, a na isti se način onda definira i element volumena. Osim
matematičke jednostavnosti, prednost definiranja elemenata povrˇsine odn. volumena tako
da su im stranice paralelne koordinatnim osima je da je onda povrˇsina (volumen) takvoga
elementa jednostavno:
odnosno:
dz
dx
dy
dV
dA = dx · dy (2.1)
dV = dx · dy · dz = dA · dz (2.2)
2.2 Sile koje djeluju na česticu fluida u gibanju
Na slici 2.3 je prikazana elementarna čestica fluida koju tok fluida nosi kroz prostor. Pritom
je brzina gibanja čestice opisana funkcijom �v(x, y, z, t), a gibanje se odvija po putu �s. U
analizi njenoga gibanja polazi se od drugoga Newtonovog aksioma:
�F = m�a = m d�v
(2.3)
dt
Aksiom 2.3 primijeni se na elementarnu česticu, a analiza se radi tako da masu te čestice
drˇzimo konstantnom. Ako je masa elementarne čestice označena sa dm, moˇze se pisati:

2.3: EULEROVA JEDNAD ˇ ZBA 15
x
z
v
Slika 2.3: Elementarna čestica fluida noˇsena tokom fluida kroz prostor.
d � F = dm d�v
(2.4)
dt
gdje je d�v/dt ukupno ubrzanje čestice. Ono se u mehanici fluida naziva i materijalno
ili supstancijalno ubrzanje. Kako se kod ukupnoga ubrzanja radi o potpunom diferencijalu,
moˇze ga se razdvojiti na prostorni i vremenski dio:
d�v ∂�v ∂�v ∂�r
= + (2.5)
dt ∂t ∂�r ∂t
Prvi član desne strane jednadˇzbe 2.5 naziva se lokalno ubrzanje. On opisuje ubrzanje
koje čestica fluida dobija relativno prema okolnim česticama. Postoji li ovaj član, radi se o
nestacionarnom tečenju.
Drugi se član naziva konvektivno ubrzanje. On opisuje ubrzanje koje čestica dobija zbog
strujanja fluida kao cjeline.
2.3 Eulerova jednadˇzba
Gibanje fluida posljedica je raznih sila koje na fluid djeluju. Te sile su najčeˇsće:
• tlak. Tlak u fluidu nastaje usljed njegove vlastite teˇzine ili vanjskih sila, a karakteristično
za njega je da djeluje uvijek okomito na plohu na kojoj ga se promatra.
• masene sile. Masene sile su one sile koje su proporcionalne masi na koju djeluju. U
masene sile se ubrajaju sila teˇza odn. gravitacija i inercijske sile (centrifugalna sila,
Coriolisova sila i sl.).
• viskozne sile ili sile unutarnjega trenja u fluidu.
• elastične sile koje dolaze od kompresibilnosti fluida i uglavnom su vaˇzne samo kod
kompresibilnih fluida (plinovi).
dy
y
dx
dz
s

16 GLAVA 2: FLUID U GIBANJU
Ove sile djeluju na cijeli fluid, no da bismo mogli donijeti barem najosnovnije zaključke o
rezultatima tog djelovanja moramo se za početak ograničiti na malenu česticu fluida. Neka
ona ima oblik kvadra stranica dx, dy i dz, koje ćemo radi jednostavnosti smjestiti u smjerove
koordinatnih osi (slika 2.4).
Masa razmatrane čestice fluida je:
dm = ρdxdydz (2.6)
i nju će se u daljnjem razmatranju drˇzati konstantnom. Na nju djeluju tlačne sile (uvijek
okomito na odgovarajuće plohe kvadra) i sile mase, sa hvatiˇstem u srediˇstu kvadra. Masene
sile opisuje se ubrzanjem koje one proizvode, pa je:
�am = � F
m
(2.7)
gdje je � F ukupna sila koja djeluje na kvadar. Kako je masena sila po definiciji proporcionalna
masi, u gornjoj definiciji ostaje samo ubrzanje koja ona proizvodi, bez potrebe da
uopće bude poznata masa kvadra.
Naprimjer, za silu teˇzu je:
pa je za nju:
x
z
dz
p 1
dx
1
�F = −mg � k (2.8)
�am = −mg� k
m = −g� k (2.9)
2
F x
dy
Slika 2.4: Sile koje u x-smjeru djeluju na elementarni volumen fluida.
Pogledajmo sada ravnoteˇzu sila za naˇsu česticu fluida. Sile koje na nju djeluju pritom
se rastavlja na komponente pa gleda ravnoteˇzu za svaku komponentu posebno. Za x smjer
tako nalazimo (slika 2.4):
p 2
F
y

2.3: EULEROVA JEDNAD ˇ ZBA 17
max = p2dydz + Fx − p1dydz (2.10)
no, masa razmatrane čestice dana je jedn. 2.6, a masena sila u jedn. 2.7. Uz to, tlak
treba razviti u Taylorov red i zadrˇzati samo prvi član:
p2 = p1 + ∂p
dx (2.11)
∂x
Uvrˇstavanjem u jedn. 2.10 i sredivanjem dobije se:
amxρdxdydz − ∂p
∂x dxdydz − ρdxdydzax = 0 (2.12)
gdje je amx ubrzanje koje izaziva masena sila, a ax ukupno ubrzanje čestice fluida. Daljnjim
kračenjem i preslagivanjem uz činjenicu da je:
ax = dvx
dt
dobije se na kraju x-komponenta Eulerove jednadˇzbe:
1 ∂p
ρ ∂x = amx − dvx
dt
a na isti način dobije se i ostale dvije komponente (y,z):
1 ∂p
ρ ∂y = amy − dvy
dt
1 ∂p
ρ ∂z = amz − dvz
dt
Konačno, ove tri jednadˇzbe moˇze se objediniti u vektorskom zapisu kao:
ili
1
ρ �
grad(p) = �am − �v
dt
1
ρ � ∇(p) = �am − �v
dt
2.3.1 Eulerova jednadˇzba u kvazi-jednodimenzionalnom slučaju
(2.13)
(2.14)
(2.15)
(2.16)
(2.17)
(2.18)
Čestica fluida na svom putu kroz prostor opisuje putanju koja se moˇze prikazati kontinuiranom
krivuljom. Znade li se kako ta krivulja izgleda, moˇze se poloˇzaj čestice fluida na njoj
opisati samo s jednom varijablom, koja pretstavlja put prevaljen po toj krivulji kao fumkciju
vremena. Zato se ovakav slučaj naziva kvazi-jednodimenzionalnim.
U jednoj dimenziji Eulerova jednadˇzba postaje
1 dp
ρ ds = am − dv
(2.19)
dt
U kvazi-jednodimenzionalnom slučaju mora se biti oprezan jer ubrzanje ne mora biti u
smjeru putanje čestice. Prema tome, u ovom slučaju am je komponenta ubrzanja masene
sile u smjeru putanje čestice fluida.

18 GLAVA 2: FLUID U GIBANJU
z
Slika 2.5: Čestica fluida ”zamrznuta” u jednom vremenskom trenutku. Krivulja �s pretstavlja
put te čestice u prostoru. Radi jednostavnosti je prikazan dvodimenzionalan slučaj
gibanja čestice.
ds
2.3.2 Kvazi-jednodimenzionalna Eulerova jednadˇzba za fluid u polju
sile teˇze
U slučaju sile teˇze, ubrzanje je konstantno (g=9,81 ms −1 ) i usmjereno vertikalno prema
dolje. Ako je α kut koji tangenta na krivulju, po kojoj se čestica giba, zatvara s vertikalom,
komponenta ubrzanja u smjeru krivulje je g cos α. Pritom treba paziti da li se čestica ubrzava
(komponenta je u smjeru gibanja čestice) ili se usporava (komponenta ubrzanja je suprotna
smjeru gibanja čestice). U situaciji sa slike 2.6, sila teˇza usporava česticu fluida, pa je:
i Eulerova jednadˇzba postaje:
1 dp
ρ ds
a s
a
a o
x
am = −g cos α (2.20)
= −g cos α − dv
dt
Diferencijal brzine moˇze se rastaviti na lokalni i konvektivni dio:
d�v
dt
= ∂v
∂t
∂v ∂s
+
∂s ∂t
ˇsto, uz uvaˇzavanje činjenice da je ∂s/∂t = v, daje:
1 dp
ρ ds
Primijeti li se sada joˇs da je:
= −g cos α −
� ∂v
∂t
cos α = dz
ds
�
∂v
+ v
∂s
s
(2.21)
(2.22)
(2.23)
(2.24)

2.3: EULEROVA JEDNAD ˇ ZBA 19
z
ds
gcosα α
Slika 2.6: Gibanje čestice fluida po krivulji �s uz djelovanje ubrzanja sile teˇze, g. Po dogovoru
smjer sile teˇze definiran je kao smjer -z osi pa se zato na ovom dvodimenzionalnom prikazu
koriste osi z i x.
pa se, uz prebacivanje svih članova na lijevu stranu i mnoˇzenje sa ds dolazi do kvazijednodimenzionalne
Eulerove jednadˇzbe za fluid u polju sile teˇze:
g
1
∂v
dp + gdz + ds + vdv = 0 (2.25)
ρ ∂t
Integracijom se moˇze dobiti i integralni oblik jednadˇzbe 2.25:
v2 2 +
� �
dp ∂v
+ gz + ds = konst. (2.26)
ρ ∂t
x
s

20 GLAVA 2: FLUID U GIBANJU

Glava 3
Statika fluida
Statika je u fizici disciplina koja se bavi proučavanjem tijela u stanju mirovanja. To znači
da brzine i ubrzanja ne postoje, ˇsto je matematički formulirano kao:
�v = 0 �a = 0 (3.1)
Uvrsti li se ovaj uvjet u Eulerovu jednadˇzbu 2.18, dobije se Eulerovu jednadˇzbu za fluid
u mirovanju:
Ili pisano po komponentama:
�∇(p) = ρ�am
∂p
∂x
∂p
∂y
∂p
∂z
= ρamx
(3.3)
= ρamy
(3.4)
= ρamz
(3.5)
3.1 Statička Eulerova jednadˇzba za polje sile teˇze
(3.2)
U realnim situacijama najčeˇsće je jedina masena sila koja djeluje na fluid, sila teˇza. Dogovorno
je u takovim problemima kartezijev koordinatni sustav postavljen tako da je xy ravnina
horizontalna a +z os pokazuje prema gore (vertikalno), suprotno smjeru djelovanja sile teˇze.
To znači da je:
odnosno:
�am = −g � k (3.6)
amx = amy = 0 amz = −g (3.7)
pa je uvrˇstavanjem u skalarni oblik Eulerove jednadˇzbe za fluid u mirovanju:
∂p
∂x
= ∂p
∂y
21
= 0 (3.8)

22 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA
i:
∂p
∂z
= −ρg (3.9)
To znači da je tlak u fluidu koji miruje konstantan na vodoravnoj (xy) ravnini. Isto tako,
kako se tlak mijenja samo u z smjeru (jednadˇzba 3.9!) parcijalna derivacija po z postaje
jednaka punoj derivaciji pa se jednadˇzbu 3.9 moˇze prepisati kao:
dp
= −ρg (3.10)
dz
Nakon mnoˇzenja sa dz i formalne integracije dobije se jednadˇzbu statičke ravnoteˇze za
fluid:
�
p = −
ρgdz (3.11)
Ova jednadˇzba je rjeˇsiva ako je poznato kako gustoća ovisi o z. Za slučaj tekućine
(uz pretpostavku potpune nestlačivosti) ρ je konstantan, pa se dobije poznatu jednadˇzbu
hidrostatičke ravnoteˇze za tekućinu:
p = −ρgz (3.12)
Konstanta integracije je odabrana tako da z=0 odgovara slobodnoj povrˇsini tekućine
(slika 3.1).
+z
0
-z
g
Slika 3.1: Kartezijev koordinatni sustav sa poloˇzajem referentne ravnine. Smjer ubrzanja
sile teˇze je naznačen vektorom �g.
Da se izbjegne negativan predznak (koji dolazi od toga da je ubrzanje sile teˇze usmjereno
u -z smjeru), u praksi se ponekad koristi dubina h, koja se mjeri od najviˇse točke koja nas
u nekom problemu zanima (obično povrˇsina tekućine) prema dolje (h = −z) pa jednadˇzba
hidrostatske ravnoteˇze za tekućinu postaje
x

3.1: STATI ČKA EULEROVA JEDNADˇ ZBA ZA POLJE SILE TE ˇ ZE 23
-h
+h
0 0
g
Slika 3.2: Nestandardni kartezijev koordinatni sustav koji umjesto visine z koristi dubinu h,
s poloˇzajem referentne ravnine. Smjer ubrzanja sile teˇze je naznačen vektorom �g.
p = ρgh (3.13)
Horizontalna (xy) ravnina u kojoj leˇzi ishodiˇste tako postavljenoga koordinatnog sustava
naziva se referentna ravnina i na skicama se označava sa 0–0 (slika 3.2), i najčeˇsće se podudara
sa slobodnom povrˇsinom tekućine.
z
g
0 0
x
Slika 3.3: Najčeˇsće koriˇsten kartezijev koordinatni sustav koji referentnu ravninu postavlja u
najniˇzu točku problema. Smjer ubrzanja sile teˇze je naznačen vektorom �g. Zbog praktičnosti
u računanju ovaj se koordinatni sustav najčeˇsće koristi.
U praksi se medutim uglavnom koristi bolji način izbjegavanja negativnoga predznaka, a
to je, da se referentna ravnina postavi u ili ispod najniˇze točke analiziranoga sistema. Kod
manjih proračuna referetna ravnina stavlja se u najniˇzu točku problema (slika 3.3), a kod
većih, pogotovo ako su u cjelo razmatranje uključene i druge struke, kao z koordinata koristi
x

24 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA
se nadmorska visina. U tom slučaju z koordinata poprima samo pozitivne vrijednosti
(iako se kod koriˇstenja nadmorske visine mogu pojaviti negativne vrijednosti, primjerice ako
se radi o depresijama, buˇsotinama ili objektima ispod razine morske povrˇsine.
3.2 Pascalov zakon
Zamislimo si da imamo neku tekućinu u stanju mirovanja (slika 3.4). U njoj se proizvoljno
odaberu dvije točke, T1 i T2. Ukupni hidrostatski tlakovi u njima su:
Njihova razlika je:
p1 = pv + ρgh1 i p2 = pv + ρgh2 (3.14)
∆p = p2 − p1 = ρg(h2 − h1) (3.15)
0 0
h
g
h 1
T 1
p v
Slika 3.4: Ilustracija Pascalovoga zakona. Dode li do bilo kakve promjene tlaka u proizvoljnoj
točci T1, mora se i u svakoj drugoj proizvoljnoj točci T2 tlak promijeniti za isti iznos da bi
ravnoteˇza ostala sačuvana. U protivnom bi doˇslo do pomicanja (tečenja) tekučine, ˇsto se
kosi sa pretpostavkom da je ona u stanju mirovanja.
Ako se sad, iz bilo kojega razloga, tlak u točki T1 promijeni za neki iznos ∆pT 1, a tlak
u točki T2 za ∆pT 2, a ˇzelimo da tekučina ostane u stanju mirovanja, razlika tlakova ∆p se
ne smije promijeniti (u protivnom Eulerova jednadˇzba hidrostatike viˇse nije zadovoljena)!.
Neka su novi tlakovi:
Njihova je razlika sad:
h 2
T 2
p1 = pv + ρgh1 + ∆pT 1 i p2 = pv + ρgh2 + ∆pT 2 (3.16)
∆p = p2 − p1 = ρg(h2 − h1) + (∆pT 2 − ∆pT 1) (3.17)
x

3.3: MJERENJE TLAKA 25
Ako se ta razlika ne smije promijeniti, mora biti:
(∆pT 2 − ∆pT 1) = 0 odnosno ∆pT 2 = ∆pT 1 (3.18)
Drugim riječima, svaka promjena tlaka u nekoj točki tekućine se u istom iznosu prenosi
kroz cijeli volumen te tekućine. Ova činjenica se naziva Pascal-ov zakon i ima vrlo veliku
primjenu u svim vrstama hidrauličkih strojeva.
3.3 Mjerenje tlaka
p a
h
p a
Slika 3.5: Princip rada barometra.
Najjednostavniji uredaj za mjerenja atmosferskog tlaka je barometar . On se sastoji od
staklene cijevi koja je s gornje strane zatvorena. Cijev se potpuno napuni tekućinom i privremeno
zatvori. Nakon toga se okrene, uroni u posudu koja je napunjena istom tekućinom i čep
se ukloni. Kod toga se tekućina u cijevi spusti, a iznad nje ostaje prazan prostor (vakuum).
Nakon uspostavljanja ravnoteˇze stupac tekućine u cijevi je u ravnoteˇzi sa atmosferskim
tlakom pa. Kako je tlak u praznom prostoru u cijevi iznad tekućine 0 (uz zanemarivanje
tlaka para tekućine!), jednadˇzba ravnoteˇze glasi:
pa = ρgh (3.19)
Kako su ubrzanje sile teˇze i gustoća tekućine poznati, mjerenjem visine stupca tekućine
u cijevi moˇze se izravno odrediti atmosferski tlak pa. Kao tekućina se najčeˇsće koristi ˇziva
jer je zbog njezine visoke gustoće stupac tekućine razumne visine od oko 760 mm. Uz to je
tlak para ˇzive na temperaturama koje se pojavljuju u prirodi zanemariv. Postoje i primjeri
koriˇstenja drugih tekućina, najčeˇsće vode, no takovi barometri su nezgrapni zbog velike
visine (oko 10 m) i potrebe za korekcijama zbog tlaka para tekućine koje ovise o vanjskoj
temperaturi.

26 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA
Ovaj je instrument davne 1643. godine predloˇzio talijanski znanstvenik Evangelista Torricelli,
pa se on po njemu često puta naziva i Torricellijev barometar, a do nedavno je u
upotrebi bila i jedinica za tlak koja se nazivala 1 Torr. Ona je bila jednaka tlaku koji
roizvodi stupac ˇzive visine 760 mm. Danas se umjesto ove jedinice koristi jedinica Bar, pri
čemu vrijede ove relacije:
1 Bar = 10 5 Pa 1 mBar = 100 Pa
U meteorologiji se koristi i tzv. standardna atmosfera srednji atmosferski tlak na
morskoj povrˇsini uz temperaturu od 0 ◦ C. Standardna atmosfera jednaka je tlaku od 101
325 Pa. Atmosferski tlak mijenja se iz trenutka u trenutak i ovisi o mnogim faktorima:
nadmorskoj visini, temperaturi, vlaˇznosti, meteoroloˇskim uvjetima i dr. Najizraˇzenije je
opadanje tlaka s nadmorskom visinom. U najjednostavnijem modelu (izotermna atmosfera)
atmosferski tlak eksponencijalno opada s nadmorskom visinom:
z
−
p(z) = p(0)e H (3.20)
Konstanta H naziva se tlačna skala visine i iznosi 7,4 km. Ako je nadmorska visina mala
(z ≪ H) jednadˇzba (3.20) se moˇze pojednostaviti:
p(z) = p(0)(1 − z
) (3.21)
H
Odnosno, atmosferski tlak se smanjuje za 1 mBar svakih 7,4 metra visine. Na osnovi
ovoga zakona nekad su se odredivale visine planinskih vrhunaca, a i danas ga koriste amaterski
visinomjeri koji rade na principu mjerenja tlaka.
p
p a
h
Slika 3.6: Princip rada piezometra. Kod piezometra je nuˇzno da je cijev piezometra okomita
na cijev u kojoj se tlak mjeri, te da cijev piezometra NE ulazi u tu cijev. Piezometarski tlak
uvijek se mjeri od osi cijevi.
Za mjerenja malih tlakova koristi se piezometar. Radi se o cijevi promjera većega od 1
cm (da se izbjegnu problemi s kapilarnim dizanjem razine tekućine!) okomito montiranoj
na cijev ili rezervoar u kojem se mjeri tlak. Okomitost piezometra posebno je bitna ako
se tekućina u cijevi giba jer kod koso postavljenoga piezometra dolazi do krivih očitanja
p a
h

3.3: MJERENJE TLAKA 27
zbog doprinosa dinamičkoga tlaka. Tekućina iz cijevi ujedno sluˇzi i kao mjerna tekućina.
Piezometarska cijev je često puta prozirna radi lakˇsega očitanja visine stupca tekućine, koji
se uvijek mjeri prema osi (sredini) cijevi. Kako je gornji kraj piezometarske cijevi otvoren,
piezometar mjeri relativni tlak tekućine u cijevi prema atmosferskom tlaku. Znade li se
visina stupca tekućine z, piezometarski tlak je dan izrazom:
p = ρgh (3.22)
Ne zaboravimo da je piezometarski tlak relativan. Apsolutni tlak u cijevi je naravno
p
paps = ρgh + pa
p a
h
(3.23)
Slika 3.7: Manometar je varijacija piezometra. Često se koristi kad je potrebno mjeriti tlak
plina. I ovdje je nuˇzno da je cijev manometra bude okomita na cijev u kojoj se tlak mjeri.
Varijacija piezometra kod koje je mjerna cijev montirana bočno na cijev u kojoj se mjeri
tlak naziva se manometar. Manometar omogućava i mjerenje tlakova plinova i podtlaka (tlak
niˇzi od atmosferskoga naziva se podtlak) u cijevi.

28 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA
p
Slika 3.8: Ako je u cijevi manometra guˇsća tekućina (npr. ˇziva ili sl. ), mogu se mjeriti i
veliki tlakovi.
Ukoliko se u cijev manometra ulije tekućina velike gustoće (ˇziva ili sl.), moguće je mjeriti
i velike tlakove (1-2 bara). Račun tlaka neˇsto je sloˇzeniji jer imamo posla sa stupcima dvije
različite tekućine:
h 1
p = ρ2gh2 − ρ1gh1
gdje je ρ1 gustoća fluida u cijevi, a ρ2 gustoća mjerne tekućine.
Za tlakove veće od 1-2 bar-a koriste se mehanički ili elektronički tlakomjeri.
3.4 Sile hidrostatskoga tlaka
p a
h 2
(3.24)
Silama hidrostatskoga tlaka nazivaju se sile koje su posljedica djelovanja statičkoga tlaka fluida
na tijela u i oko fluida. Kod plinova je zbog malene gustoće doprinos hidrostatskoga tlaka
zanemariv pa je tlak u otvorenoj posudi ispunjenoj plinom jednak tlaku okolne atmosfere, a
tlak u zatvorenoj posudi u svim njezinim točkama jednak.
3.4.1 Hidrostatska sila na dno posude
Zamislimo si posudu ravnoga dna u kojoj se nalazi tekućina dubine h. Kako je posuda s
gornje strane otvorena, na povrˇsini tekućine tlak je jednak atmosferskom tlaku pa, a relativni
hidrostatski tlak na dnu posude je:
p = ρgh (3.25)
gdje je ρ gustoća tekućine a h njezina dubina. Nadalje, ako je ukupna povrˇsina dna
posude A, sila koja djeluje na dno je jednostavno umnoˇzak tlaka i povrˇsine:
F = pA = ρghA (3.26)

3.4: SILE HIDROSTATSKOGA TLAKA 29
A
p a
F
Slika 3.9: Sila na ravno dno otvorene posude koja sadrˇzi tekućinu.
a sila je u smjeru normale na dno prema van iz tekućine. Ova sila uopće ne ovisi o količini
tekućine u posudi, već samo o njenoj dubini. Imaju li posude različitih oblika istu povrˇsinu
dna, i ako su napunjene tekućinom do iste dubine, sila na dno će u svakoj posudi biti ista.
Ovo je na prvi pogled zbunjujuće jer je očito teˇzina tekućine u svakoj posudi drugačija, pa će
medusobno vaganje bilo koje dvije različite posude očito pokazati neravnoteˇzu! Ovaj pokus
naziva se hidrostatski paradoks , a objaˇsnjenje mu je skriveno u silama koje se kroz stijenke
posuda prenose u smjeru u kojem se stijenka proteˇze. Stijenke posuda su krute pa mogu
prenositi takve sile. Ukupni zbroj (tj. integral) komponente sile na stijenke posude prema
dolje uvijek je jednak teˇzini tekućine u posudi, a horizontalna komponenta je uvijek 0!
A
m 1
F 1
h
m 1=m 2!
p a
m 2
Slika 3.10: Ilustracija hidrostatskog paradoksa.
h
F 2

30 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA
A
F
p u
Slika 3.11: Hidrostatska sila na dno zatvorene posude.
Ako je posuda zatvorena , rezultantnu silu na dno mora se računati uz pomoć razlike
apsolutnih tlakova jer vanjski tlak (atmosferski) i unutarnji tlak (tlak plina iznad tekućine)
ne moraju biti jednaki. S unutarnje strane na dno posude djeluje tlak po:
p a
po = ρgh + pu
h
(3.27)
a s donje strane na dno posude izvana djeluje atmosferski tlak pa. Njihova razlika je (ovi
tlakovi djeluju u medusobno suprotnim smjerovima!):
p = ρgh + po − pa
pa je rezultantna sila na dno zatvorene posude:
(3.28)
F = pA = (ρgh + po − pa)A (3.29)

3.4: SILE HIDROSTATSKOGA TLAKA 31
3.4.2 Hidrostatska sila na ravne stijenke
p a
M
α
h
p a
da=dxdy
Slika 3.12: Hidrostatska sila na ravnu bočnu stijenku.
I ovdje ćemo se baviti relativnim tlakom, jer jednaki atmosferski tlak djeluje na slobodnu
povrˇsinu tekućine i na vanjsku plohu stijenke.
Prije početka samog računa postavimo si koordinatni sustav. To se učini tako da se
koordinatni sustav stavi u ravninu stijenke. x-os neka ide u horizontalnom smjeru, a y-os
neka ide ”prema dolje” po plohi jer se tako izbjegava predznak ”-” u računu hidrostatskoga
tlaka. I na kraju, ishodiˇste se postavi tako da se nalazi na slobodnoj povrˇsini tekućine.
Pogledajmo sad neki proizvoljni element povrˇsine stijenke dA = dxdy, koji se nalazi na
dubini h. Sila koja djeluje na taj element povrˇsine je:
dF
y
F
x
dF = pdA = ρghdxdy (3.30)
Smjer djelovanja sile je u smjeru normale na stijenku prema van, a kako se radi o ravnoj
plohi taj je smjer za sve dijelove plohe isti, pa se ukupnu silu moˇze naći zbrajanjem sila koje
djeluju na sve elemente plohe:
�
F =
A
ρghdxdy =
� x2 � ymax
x1
0
ρghdxdy (3.31)
Da se ovaj dvostruki integral moˇze rijeˇsiti, mora se povezati dubina u tekućini s koordinatom
y na stijenci. Iz slike 3.12 vidi se da je:
pa nalazimo:
�
F =
A
ρghdxdy =
h = y sin(α) (3.32)
� x2 � ymax
x1
0
ρgy sin(α)dxdy (3.33)

32 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA
Pogledajmo prvo jednostavniji slučaj kad je bočna stijenka pravokutnoga oblika. U tom
slučaju integral po osi x daje jednostavno ukupnu ˇsirinu plohe koju ćemo označiti sa l pa
imamo:
ˇsto lako rijeˇsimo do kraja:
� ymax
F = ρgl sin(α) ydy (3.34)
0
F = ρgl sin(α) y2 max
(3.35)
2
Da ponovimo, l je ovdje ˇsirina plohe u horizontalnom smjeru a ymax je visina plohe pod
tekućinom (mjereno po plohi, dakle koso!). Kako je povrˇsina plohe jednaka umnoˇsku lymax,
i kako je y koordinata geometrijskoga teˇziˇsta plohe yT = ymax/2 jednadˇzba (3.34) postaje:
F = ρg sin(α)AyT
(3.36)
yT sin(α) = hT je dubina na kojoj se ispod povrˇsine tekućine nalazi teˇziˇste plohe, pa se
na kraju dolazi do jednadˇzbe:
F = ρghT A (3.37)
Sila na kosu plohu ne ovisi o kutu pod kojim ona stoji, uz uvjet da je njezino teˇziˇste
uvijek na istoj dubini.
α
M
α
F v
Slika 3.13: Komponente hidrostatske sile na ravnu bočnu stijenku.
Preostaje joˇs odrediti hvatiˇste ove sile te njenu horizontalnu odn. vertikalnu komponentu.
Hvatiˇste se nalazi u točci u kojoj su zadovoljeni uvjeti ravnoteˇze sila, ˇsto znači da u toj točci
ukupni moment tlačne sile preko cijele plohe mora isčezavati. ˇ Sto se tiče horizontalnoga
smjera, situacija je jednostavna: kako tlačne sile ovise samo o y-koordinati (dubini), hvatiˇste
je na y-simetrali plohe:
Hx = l
2
F
y
F h
x
(3.38)

3.4: SILE HIDROSTATSKOGA TLAKA 33
Da bismo naˇsli y-koordinatu hvatiˇsta, polazimo od uvjeta ravnoteˇze momenta u y-smjeru.
Pri tome se treba sjetiti da je moment sile umnoˇzak okomite komponente sile i njezine
udaljenosti od točke za koju se moment računa, u ovom slučaju dakle od hvatiˇsta sile:
dM = dF (y − Hy)dy (3.39)
Iz gornje diskusije jasno je da ukupni moment računat preko cijele plohe mora isčezavati
pa je:
� ymax
dF (y − Hy)dy = 0 (3.40)
0
uz dF = ρg sin αdAy i kračenje konstanti ostaje:
� ymax
y(y − Hy)dy = 0 (3.41)
s rjeˇsenjem:
0
Hy = 2
3 ymax
Hvatiˇste tlačne sile nije u teˇziˇstu plohe, već se nalazi ispod njega!
Tlačna sila okomita je na plohu, pa njene komponente lako nadu (slika 3.13):
(3.42)
Fv = F cos α = ρghtA cos α (3.43)
gdje je ht dubina na kojoj se nalazi teˇziˇste plohe. Kako je htA cos α ukupni volumen
stupca tekućine koji se nalazi iznad plohe, vertikalna komponenta tlačne sile jednaka je
teˇzini tekućine iznad plohe.
Fh = F sin α = ρghtA sin α (3.44)
Kako je A sin α povrˇsina projekcije plohe na vertikalnu ravninu, horizontalna komponenta
tlačne sile jednaka je umnoˇsku tlačne sile i povrˇsine vertikalne projekcije plohe.
Ako je ravna ploha proizvoljnoga oblika pokazuje se da svi gornji zaključci i dalje vrijede.
Koordinate hvatiˇsta sile i u ovom slučaju nalazimo integracijom preko plohe (sad su ti
integrali naravno neˇsto sloˇzeniji zbog proizvoljnoga oblika plohe):
Hx = Cxy
Ayt
gdje je Cxy centripetalni moment s obzirom na osi x i y:
�
(3.45)
Cxy = xydxdy (3.46)
i
A
Hy = Ix
Ayt
gdje je Ix moment tromosti plohe za x-os:
�
+ yt
(3.47)
Ix = y 2 dxdy (3.48)
A
za najčeˇsće oblike ploha obje ove veličine su sabrane u raznim priručnicima (mehanika,
strojarstvo i sl.).

34 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA
3.4.3 Hidrostatska sila na zakrivljene stijenke
p
dA
dA
Slika 3.14: Hidrostatska sila na zakrivljenu plohu.
Zakrivljene stijenke mora se podijeliti na elementarne povrˇsine, pa vektorski zbrojiti sile
koje na njih djeluju. Sila na jednu elementarnu povrˇsinu je:
�
dF = pdA�n (3.49)
gdje je �n jedinični vektor okomit na jediničnu plohu dA. U dijelu literature takva orijentirana
ploha se označava vektorskim simbolom � dA a pritom je � dA = dA�n.
Ako jedinični vektor �n s koordinatnim osima zatvara kuteve (n,x), (n,y) i (n,z) jediničnu
silu � dF moˇze se raspisati po komponentama kao:
je:
dFx = ρghdA cos (n, x)
dFy = ρghdA cos (n, y)
dFz = ρghdA cos (n, z)
n
(3.50)
Medutim, dA cos (n, x) = dAx je projekcija elementarne povrˇsine dA na yz ravninu, pa
odnosno:
dFx = ρghdAx
dFy = ρghdAy
dFz = ρghdAz
Fx = ρg � hdAx
Fy = ρg � hdAy
Fz = ρg � hdAz
(3.51)
(3.52)

3.4: SILE HIDROSTATSKOGA TLAKA 35
Rjeˇsenja integrala za horizontalne komponente tlačne sile su
Fx = ρghT xAx
Fy = ρghT yAy
(3.53)
gdje su hT x i hT y koordinate teˇziˇsta projekcije plohe A na yz odn. xz ravninu, a Ax i Ay
su povrˇsine odgovarajuće projekcije. Ovo znači da je horizontalna tlačna sila na zakrivljenu
povrˇsinu jednaka tlačnoj sili koja bi djelovala na projekciju te povrˇsine na vertikalnu ravninu
koja je okomita na smjer djelovanja tlačne sile. Isti ovaj zaključak dobije se kod analize sila na
ravnu plohu, ˇsto joˇs jednom potvrduje ispravnost ovoga računa jer je ravna ploha specijalni
slučaj zakrivljene plohe.
Posvetimo sad malo paˇznje vertikalnoj komponenti tlačne sile:
�
Fz = ρg
hdAz
(3.54)
hdAz je volumen stupca tekućine iznad elementarne povrˇsine dA, pa integral ove veličine
predstavlja volumen tekućine koja se nalazi iznad plohe A. Prema tome, vertikalna komponenta
tlačne sile jednaka je teˇzini tekućine koja se nalazi iznad te plohe:
3.4.4 Hidrostatska sila na stijenku cijevi
T
dz
Fz = ρgV (3.55)
p
s φD
s
Slika 3.15: Hidrostatska sila na stijenku cijevi.
Tlak fluida djeluje okomito na stijenku cijevi. Ako si zamislimo da smo cijev uzduˇzno
prerezali na dvije jednake polovice, tlačna sila će te dvije polovice htjeti razmaknuti. Ako
promatramo prsten malene visine dz, onda je ukupna tlačna sila na jednu njegovu polovicu
jednaka umnoˇsku tlaka i povrˇsine umočenog presjeka plohe kojom je cijev presječena:
dz
T

36 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA
dFx = pdzD (3.56)
Tom razmicanju odupire se napetost u stijenci cijevi, koja je jednaka:
dT = sσdz (3.57)
gdje je σ naprezanje materijala stijenke. Kako se poluprstenovi spajaju na dva mjesta,
mora biti:
Izjednačavanjem se dobije:
dFx = 2dT (3.58)
σ = pD
(3.59)
2s
Ako je najveće dopuˇsteno naprezanje materijala stijenke σdop, onda za dani tlak p minimalna
debljina stijenke cijevi s mora biti:
s = pD
2σdop
(3.60)
Ovo je Mariott-ova formula za debljinu stijenke cijevi. Formula vrijedi za cijevi s tankom
stijenkom (ako je s < 0, 1D).
Za dugu cijev koja je zatvorena na krajevima, sličnim postupkom se nalazi da je uzduˇzno
naprezanje materijala stijenke:
σu = 0, 5σ (3.61)
3.5 Plutanje i ravnoteˇza plutajućih tijela
3.5.1 Uzgon
Neka je unutar fluida ocrtana zatvorena ploha proizvoljna oblika. Ta je ploha ispunjena
fluidom pa se moˇze govoriti o nekom ”tijelu” omedenom tom plohom. To se tijelo očito
nalazi u ravnoteˇzi. Stoga je ukupna tlačna sila koja djeluje na bilo koji vertikalni presjek
toga tijela jednaka nuli. Isto tako, zbog uvjeta ravnoteˇze vertikalne sile koje djeluju na to
tijelo moraju se poniˇstiti. No, u vertikanom smjeru na zamiˇsljeno tijelo djeluju dvije sile:
teˇzina tijela koja ga vuče prema dolje i rezultantna vertikalna komponenta tlačne sile koja
djeluje prema gore. Te se dvije sile moraju poniˇstiti, pa je očito:
�
A
p �
dA = ρV g (3.62)
gdje je ρ gustoća fluida, a V volumen zamiˇsljenoga tijela.
Ako se sad iz unutraˇsnjosti te plohe izvadi fluid, pa se nastali volumen ispuni nekom
drugom tvari gustoće ρT , situacija u okolnom fluidu neće se promijeniti. To znači da će na
tijelo i dalje djelovati vertikalna komponenta tlačne sile u istom iznosu kao i ranije, dakle:
Fu = ρV g (3.63)

3.5: PLUTANJE I RAVNOTEˇ ZA PLUTAJUĆIH TIJELA 37
F u
G
Slika 3.16: Sila na tijelo uronjeno u fluid.
Ova sila naziva se uzgon, a pravilo da je uzgon jednak teˇzini istisnute tekućine se po
njegovom otkrivaču naziva Arhimed-ov zakon.
No, iako se uzgon nije promijenio, teˇzina tijela se promijenila jer je ona sad:
GT = ρT V g (3.64)
pa na tjelo u vertikalnom smjeru djeluje ukupna rezultantna sila:
R = Fu − G = gV (ρ − ρT ) (3.65)
Ako je gustoća tijela veća od gustoće fluida, ukupna sila je negativna (djeluje prema dolje)
i tijelo tone. Ako je pak gustoća tijela manja od gustoće fluida, ukupna sila je pozitivna
(djeluje prema gore) i tijelo izranja. Tijelo je u ravnoteˇzi sa okolnim fluidom samo ako je
ukupna sila jednaka nuli, tj. ako je ρ = ρT .
Recimo joˇs na kraju samo to da kod tijela koja plivaju na povrˇsini tekućine (tzv. djelomično
uronjena tijela) uzgon i dalje proizvodi volumen istisnute tekućine, ˇsto znači da uzgon dolazi
samo od onoga dijela tijela koji je uronjen u tekućinu.
3.5.2 Plutanje
Kod tijela čija srednja gustoća je manja od gustoće fluida u koji su uronjena, sila uzgona
veća je od njihove teˇzine pa se tijelo diˇze prema gore. Ako je tijelo u zraku (baloni i sl.)
dizat će se sve dok se uzgon, koji s visinom opada zbog smanjenja gustoće zraka, ne izjednači
s teˇzinom tijela. Ako je tijelo uronjeno u tekućinu (plovila, led, drvo i sl.), dići će se sve do
njegove povrˇsine tako da dio tijela izviri iznad nje. Kako uzgon ovisi o volumenu istisnute
tekućine, njega proizvodi samo dio volumena tijela koji je ispod povrˇsine tekućine pa se na
taj način uspostavlja ravnoteˇza uzgona i teˇzine tijela. Kaˇze se da tijelo pluta na povrˇsini
tekućine. Jednadˇzba ravnoteˇze u tom slučaju glasi:

38 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA
V i
V u
ρ t
Slika 3.17: Uzgon kod plutanja. Sili uzgona doprinosi samo dio tijela koji je uronjen u
tekućinu (Vu), dok teˇzina tijela ostaje nepromijenjena.
U
G
ρ
G = U G = ρtV g U = ρVug (3.66)
U
G
Slika 3.18: Ravnoteˇza tijela koje pluta: lijevo labilna ravnoteˇza, sredina stabilna ravnoteˇza
i desno indiferentna ravnoteˇza.
Ravnoteˇza tijela koje pluta zaseban je problem. Ako se hvatiˇste teˇzine tijela nalazi
iznad hvatiˇsta sile uzgona, tijelo je u labilnoj ravnoteˇzi. I najmanje naginjanje tijela iz
ravnoteˇznoga poloˇzaja dovodi do prevrtanja tijela. Ako se pak, hvatiˇste teˇzine tijela nalazi ispod
hvatiˇsta sile uzgona, tijelo je u stabilnoj ravnoteˇzi. Kod naginjanja tijela iz ravnoteˇznoga
poloˇzaja stvoreni moment sile (najbolje je gledati moment koji stvara sila uzgona oko teˇziˇsta
tijela) vraća tijelo u ravnoteˇzni poloˇzaj.
U
G

3.5: PLUTANJE I RAVNOTEˇ ZA PLUTAJUĆIH TIJELA 39
Ako se hvatiˇste tlačne sile poklopi s teˇziˇstem tijela, dolazi do stanja tzv. labilne ravnoteˇze.
Bez obzira kako se tijelo postavi ono je uvijek u ravnoteˇzi!
Problem ravnoteˇze plutajućih tijela dodatno je zakompliciran time, ˇsto se kod zakretanja
tijela mijenja oblik uronjenoga volumena pa se time pomiče hvatiˇste sile uzgona. Tako je
moguće da tijelo bude u stabilnoj ravnoteˇzi čak i ako je teˇziˇste iznad hvatiˇsta sile uzgona.
Ova je situacija ilustrirana na slici 3.19 za slučaj tijela (npr. broda) pravokutnoga poprečnog
presjeka. Kod naginjanja broda na desnu stranu, pomiče se teˇziˇste istisnute vode (tj. hvatiˇste
sile uzgona!) udesno i prema dolje. Istovremeno teˇziˇste se pomiče lagano ulijevo, pa nastali
moment sila ispravlja brod. Ovo je poˇzeljna situacija i obično je zadovoljena kada je brod
pravilno opterećen (natovaren).
G
Slika 3.19: Ravnoteˇza broda. Kod naginjanja stvoreni moment sila vraća brod u ravnoteˇzni
poloˇzaj iako je teˇziˇste iznad hvatiˇsta sile uzgona. To je posljedica premjeˇstanja hvatiˇsta
sile uzgona kod naginjanja u desnu stranu dok istovremeno teˇziˇste biva lagano pomaknuto
ulijevo.
U
G
Slika 3.20: Prevrtanje broda. Kod naginjanja stvoreni moment sila prevrće brod. Situacija
je tipična za nenatovarene teretne brodove i tankere.
U

40 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA
Kad je brod prazan, izdiˇze se iz vode i teˇziˇste mu postaje previsoko (slika 3.20). Kod
naginjanja broda na desnu stranu, pomicanje hvatiˇsta sile uzgona udesno je znatno manje,
a istovremeno se teˇziˇste broda znatno pomiče ulijevo. U ovom slučaju nastali moment sila
prevrće brod. Situacija je tipična za nenatovarene teretne brodove i tankere. Da bi se
izbjegla nestabilnost praznoga broda, često puta se on opterećuje upumpavanjem vode u
prazne tankove (tzv. balastna voda) čime se spuˇsta teˇziˇste broda. Slična se situacija moˇze
dogoditi i kod natovarenog broda ako teret sklizne u stranu naginjanja broda. Pravilna
konstrukcija i upotreba brodova znanost je za sebe!
3.6 Translacija i rotacija tekućine kao cjeline
Translacija i rotacija tekućine kao cjeline takvo je gibanje tekućine kod kojega nema relativnoga
pomaka izmedu čestica tekućine, tj. cijeli se volumen tekućine giba kao kruto tijelo.
Ovo je tipična situacija za tekućine koje se prenose u rezervoarima, bocama i sl. U ovakvim
situacijama i dalje su primjenjivi zakoni statike.
Ukoliko se tekućina giba jednolikom brzinom (jednolika translacija), nema ubrzanja, pa
se tekućina ponaˇsa isto kao da miruje.
Ako postoji vanjsko ubrzanje tekućina osjeća inercionu silu koja je reakcija na to ubrzanje.
Ubrzanje inercione sile (III Newton-ov aksiom) je iste veličine, ali suprotnoga smjera od
ubrzanja sile koja ju izaziva. Ubrzanje inercione sile se vektorski zbraja s g i tekućina kao
cjelina prelazi u novo stanje ravnoteˇze za koje i dalje vrijede zakoni statike.
3.6.1 Horizontalno ubrzanje
a i =-a
r
g
a
ϕ ϕ
Slika 3.21: Translacija tekućine kad je ubrzanje horizontalno.
Ako se tekućina ubrzava horizontalno (slika 3.21), ubrzanje inercione sile takoder je
horizontalno, ali u suprotnom smjeru. Kada se ono zbroji s ubrzanjem sile teˇze, rezultatantno
ubrzanje tekućine usmjereno je koso prema dolje:
�r = �ai + �g r =
r
�
a 2 i + g 2 (3.67)
Povrˇsina tekućine se postavlja okomito na smjer tog ubrzanja. Kut prema horizontali
pod kojim povrˇsina stoji lako nademo iz grafikona sila:

3.6: TRANSLACIJA I ROTACIJA TEKUĆINE KAO CJELINE 41
tan ϕ = ai
g
(3.68)
Zakon hidrostatskoga tlaka vrijedi i ovdje, ali se u njemu umjesto ubrzanja sile teˇze javlja
rezultantno ubrzanje, r, a dubina d se mjeri u smjeru okomice na povrˇsinu (slika 3.22):
ϕ
p = ρrd (3.69)
d
Slika 3.22: Mjerenje ”dubine” kod horizontalnoga ubrzanja tekućine.
3.6.2 Vertikalno ubrzanje
a
a i
g
r
h
Slika 3.23: Translacija tekućine kad je ubrzanje vertikalno.
Kada se tekućina ubrzava u vertikalnom smjeru (slika 3.23), ubrzanje inercijske sile
takoder je vertikalno i moˇze se skalarno zbrojiti sa ubrzanjem sile teˇze (paziti na smjer

42 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA
inercijskoga ubrzanja i odgovarajući predznak!). Rezultantno ubrzanje koje tekućina osjeća
ostaje u vertikalnom smjeru a povrˇsina tekućine i dalje je horizontalna. Za ovaj je slučaj:
3.6.3 Koso ubrzanje
a p
a i
a o
r
a o
r = g + ai
(3.70)
p = ρrh (3.71)
ϕ ϕ
g+a p
Slika 3.24: Translacija tekućine kad je ubrzanje koso.
Kod ubrzanja u proizvoljnom (kosom) smjeru prvo se postavimo u vertikalnu ravninu u
kojoj je vektor ubrzanja. U njoj se inerciono ubrzanje rastavlja na vertikalnu i horizontalnu
komponentu (slika 3.24) i primjenjuje se malo prije izvedene zaključke. Prvo vertikalnu
komponentu inercionoga ubrzanja zbrojimo sa g, a onda se preko grafikona sila odredi smjer
ukupnog ubrzanja i nagib plohe fluida:
r =
�
a 2 o + (g + ap) 2 tan ϕ = ao
g + ap
3.6.4 Rotacija tekućine u otvorenoj posudi
r
(3.72)
Rotacija tekućine u posudi moˇze se obuhvatiti zakonima statike, ako je rotacija jednolika
(kutna brzina rotacije je konstantna). U tom se slučaju nakon nekoga vremena uspostavi
ravnoteˇzno stanje u kojem cijeli volumen tekućine rotira zajedno s posudom. Kod toga
povrˇsina tekućine zauzima parabolični oblik, koji je posljedica djelovanja centrifugalne sile
koju ima tekućina zbog rotacije (slika 3.25).
Radi jednostavnosti ovdje se proučava samo slučaj kada se rotacija odvija oko vertikalne
osi koja se podudara s osi cilindrične posuda u kojoj se fluid nalazi. Ubrzanje centrifugalne
sile dano je poznatim izrazom:
acs = rω 2
(3.73)
Da bi se moglo račun napraviti u Kartezijevom koordinatnom sustavu, mora se to
ubrzanje rastaviti na komponente (slika 3.26) i dodati ga ubrzanju sile teˇze.

3.6: TRANSLACIJA I ROTACIJA TEKUĆINE KAO CJELINE 43
0
ω=konst.
Slika 3.25: Rotacija tekućine u otvorenoj posudi oko vertikalne osi.
Komponente ubrzanja tekućine su sada:
ax = xω 2
ay = yω 2
az = −g
Polazi se od statičke Eulerove jednadˇzbe (3.3-3.5) čije se tri komponente prvo zbroje:
0
x
z
y
(3.74)
dp = ρ(axdx + aydy + azdz) (3.75)
Sada se uvrsti komponente ubrzanja koje dolaze od rotacije i od sile teˇze:
dp = ρ(ω 2 xdx + ω 2 ydy − gdz) (3.76)
Ovu jednadˇzbu moˇze se formalno integrirati da se odredi tlak:
Ovaj rezultat malo uredimo:
2 x2
p = ρω
2
+ ρω2 y2
2
− ρgz + c (3.77)
p = ρ ω2
2 (x2 + y 2 ) − ρgz + c (3.78)
Konstantu c nademo iz činjenice da u ishodiˇstu tlak mora biti jednak atmosferskom
(p = pa):
c = pa
(3.79)
Nadalje, i na cijeloj slobodnoj plohi je tlak jednak atmosferskom, ˇsto daje sljedeću
relaciju:

44 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA
O
x
r
a x
Slika 3.26: Rastavljanje ubrzanja kod rotacije tekućine oko vertikalne osi. Slika shematski
prikazuje pogled na rotirajuću tekućinu odozgo.
pa = ρ ω2
2 (x2 + y 2 ) − ρgz + pa
odakle se sredivanjem dolazi do jednadˇzbe slobodne plohe:
a y
rω 2
z = ω2
2g (x2 + y 2 ) = ω2
2g r2
y
(3.80)
(3.81)
Ovo je jednadˇzba rotacijskoga paraboloida, s vertikalnom osi i tjemenom u ishodiˇstu!
U presjeku (slika 3.27) vidi se parabola, i definira se visina spuˇstanje nivoa tekućine na
osi rotacije (=sredina posude!), hC i visinu podizanja tekućine na rubu posude, hR. Njih
se nalazi iz uvjeta sačuvanja ukupnoga volumena tekućine (volumen dijela tekućine koji se
izdigao iznad nivoa tekućine u situaciji kad ona ne rotira, mora biti jednak volumenu prostora
koji tekućina u rotaciji oslobodi uz os posude):
R 2 πh◦ = R 2 π(h◦ − hC) + R 2 π(hR + hC) − 1
2 R2 π(hR + hC) (3.82)
Tu se skoristi činjenica da je volumen rotacijskoga paraboloida jednak polovici volumena
opisanoga valjka:
pa je na kraju:
Kako je:
Vpar = 1
2 Vcil = 1
2 hR2
hR = hC
zmax = hR + hC
(3.83)
(3.84)
(3.85)

3.6: TRANSLACIJA I ROTACIJA TEKUĆINE KAO CJELINE 45
h C
R
h R
h 0 (visina bez rotacije)
Slika 3.27: Oblik povrˇsine tekućine kod rotacije oko vertikalne osi.
moˇze se postaviti i sljedeću relaciju (zmax smo mjerili od tjemena rotacionog paraboloida
a ne od razine tekućine u posudi bez rotacije!):
hR = hC = 1
2 zmax
3.6.5 Rotacija tekućine u zatvorenoj posudi
p h
r
ω=konst.
Slika 3.28: Rotacija tekućine u zatvorenoj posudi oko vertikalne osi.
p hr
(3.86)
Ako je posuda zatvorena i u cijelosti ispunjena tekućinom, nema mjesta za promjenu
oblika dodirne plohe tekućine i okoline. No, i u ovom slučaju, zbog rotacije, dolazi do

46 GLAVA 3: STATIKA FLUIDA
porasta tlaka zbog djelovanja centrifugalne sile, a analognim izvodom se dobije da je (vidi
sliku 3.28) on opisan slijedećim jednadˇzbama:
phr = ph + ρ ω2 r 2
2g
∆p = ρ ω2r2 2g
(3.87)
(3.88)
3.6.6 Utjecaj promjene smjera stacionarnog toka na tlak u fluidu
U svim situacijama kod koje dolazi do promjene smjera toka fluida, javljaju se porasti
tlakova u fluidu slični onima kod rotacije fluida. Primjerice u cjevovodu se opaˇza porast
tlaka na vanjskoj stijenci lukova, koljena i drugih elemenata koji mijenjaju smjer toka fluida.
Kako se svakoj takvoj promjeni smjera moˇze pridruˇziti lokalni polumjer zakrivljenosti staze
čestica fluida, jasno je da se ovakvim problemima moˇze pristupiti na način koji se koristi
kod opisivanja efekata rotacije tekućine u posudi.
Slika 3.29: Porast tlaka kod promjene smjera tečenja moˇze se objasniti silama kod rotacije
tekućine.

Glava 4
Kinematika fluida
Kinematika fluida dio je kinematike koji se bavi gibanjima fluida. Kinematika pri tom samo
proučava gibanje, a ne ulazi u njegove uzroke, i bavi se zakonitostima tog gibanja. Fluid se
smatra kontinuumom i koristi se pojam čestice fluida, koja je definirana kao maleni volumen
fluida konstantne mase.
Postoje dva pristupa opisivanju gibanja fluida: Lagrangeov (ili supstancijalni) pristup
te Eulerov (ili lokalni) pristup. Kod Lagrangeovog pristupa gibanje se proučava veˇzući se
za česticu fluida, a kod Eulerovoga pristupa gibanje je promatrano iz neke fiksne točke u
prostoru.
4.1 Lagrangeov (supstancijalni) pristup
x
z
y
R(t 1)
R(t 3 )
R(t 2 )
Slika 4.1: Kod Lagrangeovoga pristupa problemima gibanja fluida veˇzemo se za neku
proizvoljnu česticu fluida i s njom ”putujemo” kroz prostor.
Kod Lagrangeovog pristupa problemima gibanja fluida veˇze se na neku proizvoljnu česticu
fluida i prati se njeno gibanje kroz prostor. Sama čestica pri tome je odredena svojim
poloˇzajem u nekom početnom vremenu to:
v
v
�
R(t) = � f( � R(t◦), t) (4.1)
47
v

48 GLAVA 4: KINEMATIKA FLUIDA
Kako vrijeme prolazi, prate se promjene fizikalnih veličina na mjestu na kojem se u tom
trenutku čestica nalazi. Drugim riječima, putuje se kroz prostor zajedno s tom česticom
fluida. Svaka fizikalna veličina vezana uz tečenje onda je neka funkcija trenutnog poloˇzaja
čestice i vremena. Primjerice brzinu se moˇze izraziti kao vektorsku funkciju oblika:
�v = �g( � R( � R(t◦), t)) (4.2)
Ovaj kompleksni općeniti izraz za brzinu daje za naslutiti veliki nedostatak Lagrangeovoga
pristupa: veliku matematičku kompleksnost formulacije problema. Ne samo da je �v funkcija
4 varijable (3 poloˇzajne i vremena) nego je vremenski promjenjivi radijus-vektor čestice u
argumentu te funkcije. Kako se trenutni poloˇzaj nekoga tijela nalazi integracijom brzine
po vremenu, bit će sasvim jasno koliko kompleksno moˇze biti rjeˇsavanje problema u ovoj
formulaciji. Iz ovog razloga će se u ovom tekstu koristiti isključivo Eulerov pristup problemu
gibanja fluida.
4.2 Eulerov (lokalni) pristup
x
z
y
R M
M
Slika 4.2: Kod Eulerovoga pristupa problemima gibanja fluida veˇzemo se za neku proizvoljnu
točku prostora i promatramo kako se fluid kroz nju giba.
v
Kod Eulerovoga pristupa problemima gibanja fluida veˇze se na neku proizvoljnu, nepomičnu
točku prostora i promatra se kako se fluid kroz nju giba. Matematički je problem sad znatno
jednostavniji jer je poloˇzaj te točke konstanta (doduˇse vektorska):
RM(t) � = � RM(to) = � RM
(4.3)
Kako vrijeme prolazi, prate se promjene fizikalnih veličina na mjestu točke M. Drugim
riječima, promatra se kako fluid struji kroz tu nepomičnu točku. Svaka fizikalna veličina
vezana uz tečenje u ovom je slučaju je funkcija radijus-vektora te točke i vremena. Primerice
brzinu se moˇze izraziti kao vektorsku funkciju oblika:
�v = � f( �
RM, t) (4.4)

4.2: EULEROV (LOKALNI) PRISTUP 49
Kako je RM konstantan u vremenu, ovo je u stvari eksplicitna funkcija vremena, s kojom
je matematički mnogo lakˇse raditi nego sa implicitnim funkcijama karakterističnim za
Lagrange-ov pristup. Ako dozvolimo da je poloˇzaj točke � RM u prostoru proizvoljan, i radi
preglednosti ga opiˇsemo radijus-vektorom � R, fizikalne varijable postaju funkcije 3 koordinate
i vremena, primerice:
�v = �v(x, y, z, t) (4.5)
vx = vx(x, y, z, t)
vy = vy(x, y, z, t)
vz = vz(x, y, z, t)
(4.6)
Trenutni iznos brzine i njezin smjer nalazimo upotrebom poznatih relacija vektorske
matematike:
R(t)
v = �
v 2 x + v 2 y + v 2 z
(4.7)
�v◦ = vx
v �i + vy
v �j + vz
v � k (4.8)
Slika 4.3: Za opaˇzača na obali optjecanje vode oko trupa broda je nestacionarno jer se slika
koju vidi s vremenom mijenja (brod mijenja svoj poloˇzaj u prostoru).
Ukoliko se trenutni iznos brzine ili njezin smjer u danoj točki prostora s vremenom
mijenjaju, kaˇze se da je takvo tečenje nestacionarno. U suprotnom slučaju tečenje je
stacionarno. Stacionarnost/nestacionarnost nekoga problema nije apsolutno, nego moˇze
ovisiti o izboru koordinatnoga sustava u kojem se dani problem proučava. Ako je moguće,
koordinatni sustav bira se tako da je u njemu problem stacionaran (v. slike 4.3 i 4.4).

50 GLAVA 4: KINEMATIKA FLUIDA
Slika 4.4: Za opaˇzača na pramcu broda optjecanje vode oko trupa broda je stacionarno jer
se slika koju vidi s vremenom ne mijenja (slika strujanja oko pramca broda uvijek je ista).
4.3 Prikazivanje (vizualizacija) tečenja
t=t 1 t=t 2 t=t 3 t=t 4 t=t 5 itd...
Slika 4.5: Ako se zabiljeˇzi putanja koju neka odredena čestica fluida opiˇse prilikom svoga
gibanja kroz prostor dobit će se glatka krivulja koju nazivamo staza čestice fluida.
Zamislimo si da smo na neki način obiljeˇzili jednu odabranu česticu fluida. Ako biljeˇzimo
njen poloˇzaj kao funkciju vremena, dobit ćemo prostornu krivulju koja se naziva staza
(putanja) čestice u prostoru (vidi sliku 4.5).
S druge strane, ako u neku točku toka ubacujemo obiljeˇzivač (marker), pa u nekom
vremenskom trenutku zabiljeˇzimo trag koji taj obiljeˇzivač ostavlja, opet će se dobiti neka
glatka prostorna krivulja (vidi sliku 4.6). U praksi se u tok tekućine ubacuje boja ili sitne
čestice neke krute tvari, a u tok plina dim ili vodena para. Ovako dobivena krivulja naziva se
strujnica i ona prikazuje smjer gibanja mnoˇstva čestica u jednom odredenom vremenskom
trenutku. Pritom je svaka sljedeća čestica na vektoru brzine one prethodne (vidi sliku 4.7).

4.3: PRIKAZIVANJE (VIZUALIZACIJA) TEČENJA 51
Promjenom točke u koju ubacujemo marker, mijenja se i strujnica i njezin oblik, u toku
dakle postoji mnoˇstvo (matematički gledano, beskonačno mnoˇstvo) strujnica.
čestica A B C D E itd...
Slika 4.6: Ako se u jednom trenutku obiljeˇzi poloˇzaje mnogo čestica fluida, a pri tom je
svaka slijedeća čestica u smjeru vektora brzine one prethodne, dobit će se glatka krivulja
koju nazivamo strujnica.
Slika 4.7: Zamiˇsljeni postupak konstrukcije strujnice. Sljedeća čestica fluida koja pripada
strujnici je na vektoru brzine prethodne čestice.
Iz same definicije strujnice, ali i iz praktičnih pokusa koji ocrtavaju njezin oblik jasno je
da je trenutna brzina neke čestice na strujnici u smjeru tangente na tu strujnicu u točki u
kojoj se u taj tren čestica nalazi. Nadalje, pokusi pokazuju da kod nestacionarnoga tečenja
strujnice stalno mijenjaju svoj poloˇzaj i oblik, dok su kod stacionarnoga toka uvijek iste i
nepomične. Matematički se moˇze pokazati da se u slučaju stacionarnoga toka strujnice i
staze čestica medusobno podudaraju. Kod nestacionarnoga tečenja one su uvijek različite.
Koncept strujnice izuzetno je vaˇzan jer omogućava vizualizaciju jednoga od glavnih
parametara toka: smjera lokalne brzine. Ako je to potrebno, i iznos brzine moˇze se prikazati

52 GLAVA 4: KINEMATIKA FLUIDA
na istoj slici tzv. ekvipotencijalnim plohama o kojima će viˇse riječi biti kod potencijalne
teorije tečenja.
4.3.1 Strujna cijev i strujno vlakno
A
Slika 4.8: Kod stacionarnoga toka sve strujnice koje prolaze kroz neku plohu A, prolaze i
kroz plohu A ′ i u prostoru zauzimaju cjevasti volumen koji se naziva strujna cijev.
Kod laminarnoga toka se vidjelo, a kasnije i teoretski provjerilo za sve stacionarne tokove,
da sve strujnice koje prolaze kroz neku povrˇsinu ostaju udruˇzene, i da je njihov presjek u
bilo kojoj točki niz tok takoder neprekinuta povrˇsina. To je dovelo do definicije strujne
cijevi: strujna cijev je cjevasti oblik koji tvore sve strujnice koje prolaze kroz neku plohu
A. Pokazuje se da sve te strujnice prolaze kroz plohu A ′ koja se moˇze nalaziti bilo gdje niz
tok od plohe A. Ta ploha moˇze imati različitu povrˇsinu i oblik od plohe A, ali i dalje kroz
nju prolaze sve (i samo te!) strujnice koje prolaze kroz plohu A. Strujnica koja prolazi kroz
sredinu (matematičko teˇziˇste) plohe A naziva se os strujne cijevi.
U teoretskim računima se koristi i koncept strujnoga vlakna. Radi se o strujnoj cijevi
kod koje je povrˇsina A infinitezimalno mala, pa ju se zbog razlikovanja od velike povrˇsine
A, obično i označava s dA. Prednost je strujnoga vlakna da su vrijednosti fizikalnih veličina
kojima se dani tok opisuje na infinitezimalno maloj povrˇsini dA konstantne, ˇsto omogućava
izvodenje teorijskih proračuna.
4.4 Izvori i ponori
Po jednadˇzbi kontinuiteta masa fluida je sačuvana, tj. ne moˇze niti nastati, ni nestati. Iako
je to strogo gledano točno, neki puta je jednostavnije u teorijsko razmatranje uključiti i
mogućnost da masa fluida nastaje ili nestaje iz sustava koji se analizira. U tim slučajevima
ne radi se o stvarnom kreiranju ili uniˇstavanju fluida, već o tome da fluid na nekom mjestu
moˇze ulaziti u sustav koji se proučava, a na drugom iz njega izlaziti. Primjerice, ako se
proračunava neki cjevovod, nije vaˇzno kako i odakle dolazi tekućina koja u cjevovod ulazi,
kao ni to kamo ona odlazi kada na drugom kraju cjevovoda iz njega izade. Mjesta na kojima
fluid ulazi u sustav nazivaju se zajedničkim imenom izvori a mjesta na kojima fluid sustav
A'

4.5: POTENCIJALNO STRUJANJE 53
dA
Slika 4.9: Ako se presjek strujne cijevi smanji na infinitezimalno malu povrˇsinu dA, dobit će
se tzv. strujno vlakno.
napuˇsta ponori. U teoriji se najčeˇsće koriste elementarni (točkasti) izvori, tj. izvori u kojima
fluid izlazi iz jedne točke u prostoru. Iako je fizikalno ovo nerealno, matematički je puno
lakˇse raditi sa takvim elementarnim izvorima, a stvarne izvore se onda slaˇze od beskonačnoga
broja elementarnih izvora rasporedenih tako da oponaˇsaju realni izvor.
Elementarni izvor je tzv. singularna točka (zbog nepostojanja konačne povrˇsine takvoga
izvora, brzina istjecanja je u njemu beskonačna, zato naziv singularitet) i za njega jednadˇzba
kontinuiteta ne vrijedi, odn. mora ju se modificirati da bi uključila i točke prostora u kojima
postoje izvori ili ponori.
Volumen fluida koji u jedinici vremena izade iz izvora naziva se izdaˇsnost izvora, Q:
slično, masena izdaˇsnost izvora je:
Q = dVfluid
dt
dA'
(4.9)
QM = ρQdt (4.10)
da bi se novostvorenu masu moglo uzeti u obzir u jednadˇzbi kontinuiteta, mora se
njenoj desnoj strani (koja je u slučaju striknog očuvanja mase jednaka nuli) dodati gustoću
novostvorene mase (masu stvorenu po jedinici volumena i u jedinici vremena). Ona je jednaka:
dm QM
=
dV dt dV
= ρQ
dV
pa modificirana jednadˇzba kontinuiteta sad ovako izgleda:
4.5 Potencijalno strujanje
∂ρ
∂t + � ∇ · (ρ�v) = ρQ
dV
(4.11)
(4.12)
Strujanje fluida za koje se brzina moˇze prikazati kao gradijent neke skalarne funkcije naziva se
potencijalno strujanje , a skalarna funkcija iz koje se brzina izvodi naziva se potencijalna
funkcija:
�v(�r) = ∇[U(�r)] (4.13)

54 GLAVA 4: KINEMATIKA FLUIDA
Ovakva strujanja mnogo se lakˇse analiziraju jer se umjesto vektorske funkcije u rjeˇsavanju
problema traˇzi skalarna funkcija, ˇsto je mnogo jednostavnije. Kad se nade potencijalna
funkcija, brzina se iz nje lako nade preko gornje formule. Srećom se mnoga strujanja u
prirodi barem u nekim svojim dijelovima mogu opisati kao potencijalna strujanja.
4.6 Strujanja u dvije dimenzije (2D)
Već je napomenuto da je rjeˇsavanje problema u dvije dimenzije mnogo jednostavnije od
rjeˇsavanja problema u tri dimenzije, pa se mnoga stvarna strujanja aproksimiraju sličnim
strujanjima u dvije dimenzije. Teorijska razmatranja pokazuju da je to moguće ako su
zadovoljeni sljedeći uvjeti:
• fluid je neviskozan
• fluid je nestlačiv
• strujanje je stacionarno
• strujanje je potencijalno.
2D strujanja imaju i tu prednost da se grafički lako mogu prikazati. U tu svrhu koriste
se strujnice i ekvipotencijalne plohe, a smjer strujanja nalazi se u ravnini papira (crteˇza).
Ekvipotencijalne plohe su (kao i kod elektriciteta ili gravitacije) plohe koje spajaju sve točke
istog potencijala, i uvijek su okomite na strujnice (slika 4.10).
Slika 4.10: Grafičko prikazivanje strujnica (pune linije) i ekvipotencijalnih ploha (crtkane
linije) za 2D tok. Strujanje se uvijek odvija u ravnini skice.

4.6: STRUJANJA U DVIJE DIMENZIJE (2D) 55
Slika 4.11: Iako jednoliko strujanje nema veće praktično značenje, koristi se kod analize
sloˇzenih problema, npr. kod problema optjecanja.
4.6.1 Osnovna potencijalna strujanja u 2D
Najjednostavnije potencijalno strujanje je jednoliko strujanje. Kod njega je brzina konstantna
u svim točkama prostora:
∂�v
= 0 (4.14)
∂�r
No, to ujedno znači da je tok beskonačno velik, pa samo za sebe jednoliko strujanje nema
veći značaj. Koristi se medutim kod problema optjecanja, gdje se radi pojednostavljenja
uzima da objekt miruje, a fluid struji oko njega. Jednoliko protjecanje onda prikazuje polje
brzina na vrlo velikim udaljenostima od objekta. Jednoliko strujanje prikazuje se paralelnim
strujnicama istog razmaka (slika 4.11.).
U stvarnosti zbog viskoznosti i s njome povezanoga otpora strujanju, u blizini rubova
toka uvijek postoji raspodjela brzina. Kod te raspodjele je brzina na granici fluida i okolnog
(krutoga) sretstva uvijek 0, a prema sredini toka raste na jednostavniji ili sloˇzeniji način
(npr. v. sliku 4.12.).
Elementarni izvor u 2D slučaju u stvari je linija okomita na ravninu toka (koja je po dogovoru
x-y ravnina). Izdaˇsnost izvora daje se po jedinici duljine te linije, pa je 2D dimenzija
izdaˇsnosti m 3 s −1 /m = m 2 s −1 o čemu treba voditi računa kod koriˇstenja 2D modela.
U blizini samog elementarnog izvora brzina je radijalna i u svim smjerovima jednaka
(simetrija!). Za brzinu toka na udaljenosti r od izvora uz pomoć jednadˇzbe kontinuiteta
daje se sljedeći izraz:
v(r) = QL
(4.15)
2rπ
Brzina u blizini izvora opada linearno sa udaljenoˇsću od izvora (u 3D slučaju je ovisnost
kvadratična!). Strujnice izvora izlaze iz izvora i radijalno se ˇsire u svim smjerovima (slika
4.13.).

56 GLAVA 4: KINEMATIKA FLUIDA
Slika 4.12: Brzine laminarnog toka u cijevi imaju parabolični profil. U 2D slučaju cijev se
zamjenjenjuje paralelnim pločama koje stoje okomito na ravninu toka.
Slika 4.13: U blizini elementarnoga izvora brzina strujanja je u svim smjerovima jednaka i
usmjerena je radijalno od točke izviranja.
U slučaju ponora fluid se giba prema njemu, strujnice ulaze u njega a izdaˇsnost je negativna
i opisuje koliko fluida u jedinici vremena ponor proguta. Brzina je:
v(r) = − |QL|
(4.16)
2rπ
usmjerena prema ponoru. Strujnice ponora ulaze u njega iz svih smjerova (slika 4.14.).
Kako je brzina prikazana vektorskim poljem, razna se strujanja mogu vektorski zbrajati
ili oduzimati. Mnoge matematički vrlo kompleksne probleme moguće je tako u 2D slučaju
rijeˇsiti grafičkim metodama koje se oslanjaju na pravila vektorske algebre (v. sliku 4.15.).
v

4.6: STRUJANJA U DVIJE DIMENZIJE (2D) 57
Slika 4.14: Kod elementarnoga ponora brzina strujanja je u svim smjerovima jednaka, ali je
usmjerena radijalno prema točki poniranja.
Slika 4.15: Vektorska se polja mogu zbrajati po pravilima vektorskoga računa, pa se osnovna
strujanja koriste za prikazivanje mnogih sloˇzenih strujanja u stvarnosti. Pritom se stvarno
strujanje prikazuje kao vektorski zbroj nekoliko osnovnih strujanja

58 GLAVA 4: KINEMATIKA FLUIDA

Glava 5
Zakon neprekidnosti (kontinuiteta)
Promatra se neki fluid u gibanju. Negdje unutar toga fluida zamisli se infinitezimalo maleni
volumen u obliku kvadra koji nepomično stoji u toku fluida (slika 5.1). Stranice toga
malenog volumena postavit će se u smjeru koordinatnih osi i označiti ih sa dx, dy i dz.
v = v(x,y,z)
ρ = ρ(x,y,z)
x
z
dz
dx
1
2
v 1x
Slika 5.1: Maleni volumen u toku fluida. Brzina strujanja opisana je vektorom �v a gustoća
fluida funkcijom ρ.
Brzinu fluida opisat će se sa vektorskom funkcijom �v(x, y, z), a lokalnu gustoću fluida
funkcijom ρ(x,y,z), pri čemu treba imati na umu da ta gustoća ne mora biti konstantna.
U prvom koraku brzina �v će se rastaviti na njezine komponente �vx, �vy i �vz. Nakon toga
treba pogledati ˇsto se dogada sa x-komponentom brzine, �vx. Ona je okomita na prednju
(1) i straˇznju plohu (2) razmatronoga volumena. Veličinu x-komponente brzine na plohi 1
označit će se s �v1x a njenu veličinu na plohi 2 s �v2x. Ako je razmak izmedu te dvije plohe
(= dx!) malen, moˇze se x komponenta brzine razviti u Taylorov red pa odbaciti viˇse članove:
v2x = v1x + ∂vx
dx (5.1)
∂x
pri čemu se koristi činjenica da je:
59
dy
v 2x
y

60 GLAVA 5: ZAKON NEPREKIDNOSTI (KONTINUITETA)
Na isti se način nalazi i gustoća fluida:
�vx = vx ·�i (5.2)
ρ2 = ρ1 + ∂ρ
dx (5.3)
∂x
Brzina toka nosi fluid kroz taj nepomični volumen. U nekom infinitezimalnom malenom
vremenu dt kroz prednju plohu (1) u elementarni volumen ude volumen fluida koji je jednak
umnoˇsku povrˇsine prednje plohe, x komponente brzine toka na njoj i proteklog vremena:
V1 = dAv1xdt = dydzv1xdt (5.4)
y i z komponente brzine su paralelne sa spomenutom plohom pa ne doprinose toku fluida
kroz plohu 1! Sada se uz pomoć gustoće odredi masa fluida koja je kroz plohu 1 uˇsla u
elementarni volumen:
m1x = ρ1V1 = ρ1dydzv1xdt (5.5)
Istovremeno je kroz plohu 2 iz volumena izaˇsla masa fluida:
m2x = ρ2V2 = ρ2dydzv2xdt (5.6)
Razlika ove dvije jednadˇzbe predstavlja masu fluida koja je u x-smjeru izaˇsla iz elementarnoga
volumena:
dmx = m2x − m1x = ρ2dydzv2xdt − ρ1dydzv1xdt (5.7)
sredivanjem i uvrˇstavanjem jednadˇzbi 5.1 i 5.3 dobija se sljedeći izraz:
dmx =
�
vx
∂ρ
∂x
+ ρ∂vx
∂x
Na isti način je gubitak mase u y i z smjerovima opisan izrazima:
i
dmy =
dmz =
�
�
vy
vz
∂ρ
∂y
∂ρ
∂z
+ ρ∂vy
∂y
+ ρ∂vz
∂z
�
�
�
dV dt (5.8)
dV dt (5.9)
dV dt (5.10)
Ukupni gubitak mase iz elementarnoga volumena dV zbroj je gubitaka po pojedinim
smjerovima:
dm = dmx + dmy + dmz
(5.11)
Medutim, ako se u vremenu dt masa fluida unutar elementarnog volumena promijeni
za dm, to se mora odraziti u smanjenju gustoće fluida u elementarnom volumenu dV jer je
masa fluida sačuvana:
dm = − ∂ρ
dV dt (5.12)
∂t

5.1: POSEBNI OBLICI JEDNAD ˇ ZBE NEPREKINUTOSTI 61
Izjednačavanjem jednadˇzbi 5.11 i 5.12 i sredivanjem izlazi:
∂ρ
vx
∂x
∂ρ
+ vy
∂y
�
∂ρ ∂vx ∂vy
+ vz + ρ +
∂z ∂x ∂y
�
∂vz
+ = −
∂z
∂ρ
∂t
(5.13)
Izraz na lijevoj strani gornje jednadˇzbe pretstavlja masu fluida koja je izaˇsla iz jediničnog
volumena u jedinici vremena i naziva se divergencija toka mase. Jednadˇzbu 5.13 moˇzemo
mnogo jednostavnije zapisati u vwektorskom obliku kao
∂ρ
+ div(ρ�v) = 0 (5.14)
∂t
ˇsto se neki puta piˇse i na ovaj način:
∂ρ
∂t + � ∇ · (ρ�v) = 0 (5.15)
Simbol � ∇ naziva se nabla i pretstavlja tzv. diferencijalni vektorski operator
�∇ = ∂
∂x �i + ∂
∂y �j + ∂
∂z � k (5.16)
Jednadˇzba 5.13 (5.14 odn. 5.15) je opća jednadˇzba kontinuiteta (sačuvanja mase).
5.1 Posebni oblici jednadˇzbe neprekinutosti
5.1.1 Stacionarno strujanje
U stacionarnim situacijama vremenske promjene fizikalnih parametara (u ovom slučaju
gustoće) isčezavaju pa se jednadˇzba neprekinutosti pojednostavi:
5.1.2 Tekućine
div(ρ�v) = 0 (5.17)
Gustoća tekućina je praktički konstantna pa se njene malene promjene u realnim stuacijama
potpuno zanemaruju. Uz ovo pojednostavljenje (ρ=konst. !), jednadˇzba neprekinutosti
postaje
div(�v) = 0 (5.18)
i ona u ovom obliku vrijedi i za nestacionarna (jer je gustoća i u vremenu konstantna!) i
stacionarna strujanja.
5.1.3 Kvazi-jednodimenzionalni slučaj
U jednodimenzionalnom ograničenju element volumena prelazi u element duˇzine, a element
povrˇsine isčezava. Jednadˇzba 5.14 postaje
ρ ∂v ∂ρ
+ v
∂x ∂x
= 0 (5.19)

62 GLAVA 5: ZAKON NEPREKIDNOSTI (KONTINUITETA)
U slučaju tekućine jednadˇzba (5.19) prelazi u:
ρ ∂v
= 0 (5.20)
∂x
s implikacijom da je v =konst. Ovo ne odgovara niti jednom realnom slučaju, pa kada
se govori o jednodimenzionalnom (1D) strujanju u stvari se misli na strujanje koje se odvija
samo u smjeru x-osi. To znaći da vy i vz komponente brzine isčezavaju u cijelom prostoru.
U tom slučaju elementarna povrˇsina dA = dydz je uvijek okomita na brzinu a u vremenu dt
kroz nju protekne masa fluida:
dm = dAvρdt (5.21)
podijeli li se jednadˇzbu (5.12) sa dt dobije se tzv. maseni protok fluida:
QM = dm
= dAvρ (5.22)
dt
Kako je dA maleno, brzina i gustoća fluida na cijeloj toj povrˇsini su praktički konstantni,
pa se moˇze reći da je:
Kod toga se često umnoˇzak:
dAv = dA dx
dt
naziva volumnim protokom fluida, Q.
QM = konst. (5.23)
= dV
dt
= Q (5.24)
Tako dugo dok je dA maleno, izvedeni zaključci su ispravni i govori se o toku u strujnom
vlaknu. Medutim, ako se gleda tok konačnih poprečnih dimenzija, gustoća i brzina preko
poprečnoga presjeka toka A ne moraju biti konstantni. Situacija se rjeˇsava tako da se brzinu
i gustoću stvarnog toka usrednjava preko povrˇsine A i tako dobivene srednje vrijednosti
uvrˇstava u jedn. 5.22. Ona u tom slučaju prelazi u:
QM = dm
dt =
�
vρdA = ¯v ¯ρA = konst. (5.25)
A
gdje su ¯v i ¯ρ srednje vrijednosti brzine i gustoće preko povrˇsine A.
Jednadˇzba (5.25) pokazuje da je u 1D slučaju maseni protok konstantan po cijelom
toku. Kao ˇsto je to prije napomenuto, ovdje se u stvari radi o kvazi-jednodimenzionalnom
toku, dakle o toku koji se odvija u smjeru neke krivulje pa je za njegov opis dovoljna jedna
koordinata (obično put prevaljen po krivulji) pri čemu sama krivulja moˇze opisivati vrlo
zamrˇseni put u stvarnom prostoru. Primjer upotrebe ove aproksimacije je tečenje kroz
cjevovode koje tretiramo upravo na ovaj način. Kod toga se jednadˇzba (5.25) raspisuje za
dva mjesta u toku, koja se označavaju brojevima 1 i 2, a znak srednje vrijednosti iznad
simbola brzine i gustoće se ispuˇsta:
QM = A1v1ρ1 = A2v2ρ2
(5.26)
Treba zapamtiti da u gornjem slučaju v i ρ pretstavljaju srednje vrijednosti
odgovarajućih fizikalnih veličina!

5.1: POSEBNI OBLICI JEDNAD ˇ ZBE NEPREKINUTOSTI 63
U slučaju tekućine jedn. (5.26) se dodatno pojednostavi na:
A1v1 = A2v2 = Q = konst. (5.27)
pa je dakle i volumni protok konstantan, a maseni i volumni protok medusobno su proporcionalni:
QM = ρQ (5.28)

64 GLAVA 5: ZAKON NEPREKIDNOSTI (KONTINUITETA)

Glava 6
Dimenzionalna analiza
Dimenzionalna analiza fizikalna je metoda za pronalaˇzenje funkcionalnoga oblika raznih
fizikalnih zakona koriˇstenjem analize dimenzije fizikalne veličine koja se tim zakonom opisuje.
Ona se zasniva na principu homogenosti. Taj princip govori da svi članovi jednadˇzbe koja
opisuje neku fizikalnu pojavu moraju imati iste dimenzije.
Uz princip homogenosti dimenzionalna analiza oslanja se i na princip analitičnosti
prema kojem se svaka pojava moˇze opisati nekom analitičkom funkcijom oblika:
f(x1, x2, ..., xn) = 0 (6.1)
x1, x2, ..., xn su fizikalne veličine o kojima ta pojava ovisi. Prednost dimenzionalne analize
je da se relativno jednostavnim postupkom nalazi rjeˇsenje vrlo kompleksnih fizikalnih
odnosa. Nedostatak joj je da ne moˇze dati iznos konstante proporcionalnosti u jednadˇzbi
koja opisuje analiziranu pojavu (mnoˇzenje gornje jednadˇzbe bilo kojom konstantom ne mijenja
je!). Nadalje, dimenzionalna analiza zahtijeva dobro poznavanje pojave koja se analizira
i veličina o kojima ona ovisi. U protivnom je dobiveni izraz neupotrebiv.
Ovisno o broju fizikalnih veličina xi o kojima ovisi analizirana pojava, postoje dva pristupa
rjeˇsavanju problema dimenzionalnom analizom. Ako je broj tih veličina malen (najviˇse
3-4), jednadˇzbu (6.1) se rjeˇsava izravno, a ako je broj varijabli veći koristimo se tzv. πteoremom
o kojemu će biti viˇse rijeći kasnije.
6.1 Mali broj fizikalnih varijabli
Jednadˇzbu (6.1) prvo se prepiˇse u eksplicitni oblik, npr. za slučaj 4 fizikalne varijable:
x4 = f(x1, x2, x3) (6.2)
x4 je ovdje zavisna fizikana varijabla koja ovisi o tri nezavisne varijable x1, x2 i x3!
Poznato je (princip homogenosti) da dimenzije lijeve i desne strane ove jednadˇzbe moraju
biti jednake, pa se u sljedećem koraku umjesto same veličine x4 u lijevu stranu jednadˇzbe
uvrˇstava njena fizikalna dimenzija, [x4], a u desnu stranu dimenzije varijabli x1, x2 i x3, ali
potencirane na neke zasad nepoznate potencije a, b i c:
[x4] = [x1] a [x2] b [x3] c
65
(6.3)

66 GLAVA 6: DIMENZIONALNA ANALIZA
6.1.1 Primjer: brzina zvuka
Zvuk je mehanički poremećaj (titranje) koji se ˇsiri kroz tvar. Poznato je da su promjene
tlaka kod zvuka malene i da se zvuk kroz homogenu tvar ˇsiri konstantnom brzinom. Iz teorije
titranja takoder se moˇze vidjeti da je brzina reakcije tvari na neki poremećaj proporcionalna
modulu elastičnosti (Youngov modul, E). S druge strane, tromost pomaknutoga dijela
tvari proporcionalna je njezinoj gustoći, ρ. Koristeći ove podatke, slaˇze se pretpostavljena
jednadˇzba za brzinu zvuka:
v0 = BE x ρ y
(6.4)
Tu je B bezdimenzionalna konstanta proporcionalnosti, koju dimenzionalna analiza ne
moˇze odrediti. x i y su racionalni brojevi. U idućem se koraku u ovu jednadˇzbu na mjesto
fizikalnih veličina uvrˇstavaju njihove dimenzije:
[v0] = lt −1
[ρ] = ml −3
[E] = ml −1 t −2
(6.5)
Ovdje m označava masu, l duˇzinu a t vrijeme. Nakon tog uvrˇstavanja dobije se dimenziona
jednadˇzba:
lt −1 = (ml −3 ) x (ml −1 t −2 ) y
nju se prvo sredi tako da se grupiraju eksponenti pojedinih osnovnih veličina:
lt −1 = m x+y l −(x+3y) t −2x
(6.6)
(6.7)
Sad se upotrijebi princip homogenosti: eksponenti osnovnih fizikalnih veličina moraju na
obje strane jednadˇzbe biti jednaki. To sad daje odvojene jednadˇzbe za eksponente x i y:
S rjeˇsenjem:
x + y = 0 − x − 3y = 1 2x = 1 (6.8)
x = 1
2
y = − 1
2
(6.9)
Činjenica da je rjeˇsenje jednoznačno, ukazuje da je dimenzionalna jednadˇzba formalno
dobro postavljena (nije zaboravljena neka bitna fizikalna veličina, a nije ni uvrˇstena neka
nebitna). U zadnjem koraku ovako dobivene koeficijente vraća se u početnu jednadˇzbu (6.4)
čime se dobije općeniti izraz za brzinu zvuka:
v0 = B
�
E
ρ
(6.10)
Točnost ovako izvedena zakona i vrijednost konstante B mora se odrediti pokusima. Za
tekućine se tako nalazi da je B = 1 a za plinove B = γ (omjer toplinskih kapaciteta plina,
Cp/CV ).
Kod ovoga postupka postoji mogućnost da rjeˇsenje eksponenata nije jednoznačno. U
slučaju da jednadˇzbe dadu manji broj rjeˇsenja, moˇze se probati sloˇziti jednadˇzba u kojoj
članovi imaju sve dozvoljene (iste dimenzije!) kombinacije eksponenata, npr. :
v0 = �
i
BiE xi ρ yi (6.11)

6.2: VELIKI BROJ FIZIKALNIH VARIJABLI 67
Neki od članova mogu se ukloniti uz pomoć fizikalnih argumenata, za ˇsto je potrebno
mnogo iskustva i znanja. Ako se pak kao rjeˇsenje dobije cijela familija raznih eksponenata,
to znači da početna jednadˇzba nije dobro postavljena, tj. da u njoj nedostaje neka bitna
fizikalna veličina.
6.2 Veliki broj fizikalnih varijabli
U slučaju većeg broja fizikalnih velična potrebnih za opisivanje neke fizikalne pojave koriste
se tzv. π teorem (Vaschy-Buckinghamov teorem) kojeg ovdje nećemo dokazivati:
π teorem: Izraz f(xi) = 0 ne smije ovisiti o sustavu mjernih jedinica. Drugim
riječima f je bezdimenzionalna funkcija!
Odatle slijedi da se f moˇze napisati kao:
Φ(π1, π2, ..., πn) = 0 (6.12)
gdje su πi bezdimenzionalni monomi sloˇzeni od varijabli xi. Uvodenje ovakvih monoma
smanjuje broj argumenata funkcije Φ za broj osnovnih fizikalnih veličina koje su potrebne
za opisivanje danog problema (obično 2-3, neki puta i viˇse!). S druge strane, postupak je
osjetljiv i često puta nepregledan pa ga je bolje prepustiti stručnjacima koji se bave ovim
područjem, te prihvatiti zaključke do kojih su oni doˇsli (npr. sljedeći primjer).
6.2.1 Primjer: otpor tijela kod gibanja kroz fluid
Ovo je vrlo sloˇzen fizikalni problem koji teorijski ni izdaleka nije rijeˇsen. Zbog toga se
i danas koeficijenti otpora odreduju eksperimentalno, a opći oblik zakona otpora dobiven
dimenzionalnom analizom koristi se kao podloga za funkcionalni oblik eksperimentalno dobivenih
podataka.
Mnoˇstvo pokusa pokazuje slijedeće opće činjenice: otpor koji tijelo osjeća pri gibanju
kroz fluid ovisi o gustoći fluida, ρ, brzini gibanja tijela, v i nekoj karakterističnoj dimenziji
tijela, l. Nadalje je jasno da otpor ovisi i o viskoznosti fluida, µ. Otpor ćemo pretstaviti
silom F koju tijelo osjeća pri gibanju kroz fluid. Funkcija f je dakle oblika:
f(F, ρ, l, v, µ) = 0 (6.13)
Vidi se da funkcija f ima 5 argumenata, od kojih su tri (ρ, l i v) osnovne fizikalne veličine,
a dvije (F i µ) izvedene. Prema π teoremu je u funkciji Φ 5-3=2 monoma:
Φ(π1, π2) = 0 (6.14)
Svaki od ta dva monoma slaˇze se od jedne izvedene veličine i kombinacije svih osnovnih
(u ovo slućaju 3) veličina:
π1 = F ρ x1 l y1 v z1 π2 = µρ x2 l y2 v z2 (6.15)
U slijedećem koraku radi se zasebna dimenzionalna analiza za svaki od ovih monoma:
m 0 l 0 t 0 = (mlt −2 )(ml −3 ) x1 ly1(lt −1 ) z1 (6.16)

68 GLAVA 6: DIMENZIONALNA ANALIZA
m 0 l 0 t 0 = (l 2 t −1 )(ml −3 ) x2 ly2(lt −1 ) z2 (6.17)
rjeˇsenje prvoga monoma je x1 = −1, y1 = −2 i z1 = −2, pa je:
π1 = F
ρl2 F
=
v2 ρAv2 slično, rjeˇsenje drugoga monoma je x2 = 0, y2 = −1 i z2 = −1, pa je:
Funkcija Φ je ovoga oblika:
π2 = µ
lv
= 1
Re
Pa izraz za silu (traˇzeni izraz za otpor tijela!) ima oblik:
(6.18)
(6.19)
Φ( F 1
, ) = 0 (6.20)
ρAv2 Re
F = ρAv 2 f(Re) (6.21)
Ako se stavi da je C(Re) = 2f(Re), dobija se poznata Newtonova formula za otpor tijela:
F = 1
2 CρAv2
Koeficijent C ovisi o Re i obliku tijela i odreduje se eksperimetalno.
(6.22)

Glava 7
Stacionarno tečenje idealnoga fluida
Idealni fluid je svaki fluid koji ne pruˇza nikakav otpor tečenju. Viskoznost takvoga fluida
ne postoji, a ova se idealizacija često puta koristi u jednostavnim računima i u situacijama
kada gubici zbog unutarnjega trenja tekućine nisu veliki. Za idealni fluid vrijedi Eulerova
jednadˇzba koju je mnogo lakˇse rijeˇsiti od jednadˇzbi za realne tekučine (tzv. Navier-Stokesove
jednadˇzbe) Uz to u najvećem dijelu problema iz prakse, fluid teče stacionarno u polju sile
teˇze. Zato se analizu počinje sa Eulerovom jednadˇzbom za polje sile teˇze (kvazi-1D oblik):
v2 2 +
� �
dp ∂v
+ gz + ds = konst. (7.1)
ρ ∂t
Kad je tečenje stacionarno, zadnji član lijeve strane otpada (jednak je nuli), pa se dolazi
do kvazi1D Euler-ove jednadˇzbe za stacionarno tečenje:
v2 2 +
�
dp
+ gz = konst. (7.2)
ρ
Nadalje, ako se zanemari stlačljivost fluida (uglavnom tekućine, i plinovi ako su promjene
tlaka i temperature malene), gustoća je konstantna ˇsto omogućava formalnu integraciju
gornje jednadˇzbe, s rezultatom:
v 2
2
p
+ + gz = konst. (7.3)
ρ
Ova jednadˇzba naziva se Bernoullijeva jednadˇzba. Ona vrijedi za stacionarno strujanje
nestlačivoga fluida i jedna je od najviˇse koriˇstenih jednadˇzbi mehanike fluida. Ona rjeˇsava
slučajeve u mehanici fluida kada se strujanje fluida moˇze tretirati kao kvazi-jednodimenzionalno.
Pogledajmo stoga malo detaljnije značenje pojedinih članova ove jednadˇzbe. Prvi član je:
v2 (7.4)
2
a ako njegova dimenzija u stvari odgovara dimenziji gustoće energije i predstavlja energiju
jedinične mase fluida:
m 2 s −2 = m 2 −2 kg
s
kg
= Nm
kg
= J
kg
(7.5)
Kako se ova gustoća izvodi iz brzine, radi se o dijelu energije koju fluid ima zbog brzine
kojom se giba (kinetička energija). Drugi član Bernoullijeve jednadˇzbe je:
69

70 GLAVA 7: STACIONARNO TEČENJE IDEALNOGA FLUIDA
koji po principu homogenosti takoder mora imati dimenzije gustoće energije:
Pa
kgm
p
ρ
Nm
−3 =
kgm kg
−3 = Nm−2
= J
kg
pri čemu je upotrebljena osnovna dimenzija Newtona kao jedinice za silu:
N = kgms −2
(7.6)
(7.7)
(7.8)
Ovaj dio energije dolazi od tlaka u fluidu, pa pretstavlja tzv. unutarnju energiju fluida.
I na kraju, treći član je:
gz (7.9)
Dimenzija ovog člana je m 2 s −2 kao i dimenzija prvoga člana pa se i kod njega očigledno
radi o gustoći energije. U ovom slučaju radi se o dijelu energije koju fluid ima zbog svojega
poloˇzaja u polju sile teˇze (tzv. potencijalna energija).
Pogledajmo sad cijelu Bernoullijevu jednaˇzbu. Njezina lijeva strana zbroj je tri gustoće
različitih vrsta energije (kinetičke, unutarnje i potencijalne) a desna strana je konstana. Ova
konstanta je ukupna gustoća energije fluida, ˇsto znaći da je gustoća ukupne enrgije fluida
konstantna. Bernoullijeva jednadˇzba izriče zakon sačuvanja energije za nestlačivi fluid!
7.1 Ravnoteˇza u smjeru okomitom na strujnicu
p
α
Slika 7.1: Sile koje djeluju na česticu fluida u smjeru okomitom na strujnicu. Kod stacionarnog
tečenja ove sile se moraju medusobno uravnoteˇziti.
Kod stacionarnoga tečenja sile koje djeluju na česticu fluida okomito na strujnicu se
moraju medusobno uravnoteˇziti jer se strujnica u vremenu ne mijenja. Radi jednostavnosti
dA
r
v

7.2: BERNOULLIJEVA JEDNADˇ ZBA ZA IDEALNE TEKUĆINE 71
je na slici 7.1 pretpostavljeno strujno vlakno kvadratičnoga presjeka i strujna čestica u obliku
malena kvadra. Na bočne plohe strujne čestice djeluje tlak, centrifugalna sila i komponenta
sile teˇze u smjeru normale odgovarajuće plohe. Ako je tlak na donju plohu p, onda je tlak
na gornju plohu:
p + ∂p
dn (7.10)
∂n
Komponenta sile teˇze u smjeru normale plohe je dmg cos α, pa je ravnoteˇza sila za gornju
i donju plohu opisana sljedećim izrazom:
pdA −
�
p + ∂p
∂n dn
�
dA + dm v2
r
Kako je masa čestice fluida dm = ρdAdn izraz prelazi u:
− ∂p
∂z
dndA + dAdnρv2 − dAdnρg
∂n r ∂n
a nakon sredivanja ostaje:
+ dmg cos α = 0 (7.11)
= 0 (7.12)
dpn = ρ v2
dn − ρgdz (7.13)
r
Ukupna promjena tlaka okomito na smjer strujanja sastoji se od dva dijela (dva člana
desne strane jednadˇzbe), od kojih se prvi naziva dinamički doprinos, a drugi statički. Dinamički
doprinos promjeni tlaka dolazi od zakrivljenosti strujnice i s time povezane inercijske
centrifugalne sile. Statički doprinos je jednostavno promjena hidrostatičkoga tlaka zbog
promjene dubine u fluidu (dz). Kad strujanja nema, ili je strujnica ravna (r = ∞) dobije se
od prije poznata jednadˇzba hidrostatičke ravnoteˇze:
dpn = −ρgdz (7.14)
S druge strane, ako se strujanje odvija u horizontalnoj ravnini, nema promjene hidrostatskoga
tlaka pa drugi član isčezava:
dpn = ρ v2
dn (7.15)
r
Ova jednadˇzba naziva se jednadˇzba radijalne ravnoteˇze toka i od velike ja vaˇznosti u 2D
proračunima tečenja. U slučajevima kad strujnice postanu koncentrične kruˇznice (vrtlozi)
ova jednadˇzba dodatno se pojednostavi:
dpn = ρ v2
dr (7.16)
r
7.2 Bernoullijeva jednadˇzba za idealne tekućine
Bernoullijeva jednadˇzbu za nestlačivi fluid pomnoˇzi se s g:
v2 p
+
2g ρg + z = z◦ (m) (7.17)

72 GLAVA 7: STACIONARNO TEČENJE IDEALNOGA FLUIDA
Lako se provjeri da svi članovi sad imaju dimenzije duljine. Shodno tome oni se nazivaju
visine:
v 2 /2g je brzinska visina
p/ρg je tlačna visina
z je geodetska visina
z◦ je visina energetskog horizonta (visina energetske linije)
Drugim riječima, zbroj brzinske visine, tlače visine i geodetske visine jednak je (konstantnoj)
visini energetskog horizonta. Nadalje, zbroj tlačne i geodetske visine naziva se
piezometarska visina. To je visina do koje se podiˇze tekućina u piezometru, pa ovaj
pojam ima veliko praktično značenje, jer se piezometarska visina moˇze izravno mjeriti.
I ovaj oblik Bernoullijeve jednadˇzbe opisuje sačuvanje ukupne energije tekućine, iako je
on skriven (svi članovi imaju dimenziju duˇzine). No, spretnim raspisivanjem te dimenzije
nalazi se:
m = m N
N
= J
N
= J
G◦
G◦ = kg · 1 g (7.18)
Pojedini članovi predstavljaju dakle odgovarajuće energije izraˇzene po teˇzini jedinične
mase tekućine. Ovaj se oblik Bernoullijeve jednadˇzbe u praksi najčeˇsće koristi jer se piezometarska
visina moˇze jednostavno i izravno mjeriti, a slično je i sa ostalim visinama koje ulaze u ovaj
oblik Bernoullijeve jednadˇzbe. Kod koriˇstenja Bernoullijeve jednadˇzbe za rjeˇsavanje problema
u praksi promatraju se dvije pogodno odabrane točke na strujnici. Kako je i gustoća
tekućine i energetska vsina konstantna, raspisivanje Bernoullijeve jednadˇzbe za te dvije točke
i izjednačavanje lijevih strana daje praktični oblik Bernoullijeve jednadˇzbe:
v2 1 p1
+
2g ρg + z1 = v2 2 p2
+ + z2
(7.19)
2g ρg
1 i 2 su bilo koje dvije točke na (istoj!) strujnici. U ovoj činjenici je sakriven i najveći
problem Bernoullijeve jednadˇzbe: ona vrijedi samo za jednu točno odredenu strujnicu,
a najčeˇsće se ne zna točan tok te strujnice kroz prostor! Ovaj se problem u praksi zanemaruje
(inače se ne bi mogla koristiti Bernoullijeva jednadˇzba) a račun se radi sa srednjim
vrijednostima veličina koje u Bernoullijevu jednadˇzbu ulaze. Mnoˇstvo teoretskih i eksperimentalnih
istraˇzivanja pogreˇske koja se takovim načinom računanja radi pokazalo je da
najveću pogreˇsku unosi upotreba srednje vrijednosti brzine. Zato treba doći do pribliˇzne
ocjene veličine te pogreˇske. Pritom se kreće od toka kinetičke energije kroz strujno vlakno:
pri čemu je protok mase opisan sa:
dm
dt
spajanjem ove dvije jednadˇzbe izlazi:
dEk
dt
= ρdV
dt
dEk
dt
dm v
=
dt
2 2
2
= ρdAv
dt
(7.20)
(7.21)
= ρ
2 v3 dA (7.22)

7.2: BERNOULLIJEVA JEDNADˇ ZBA ZA IDEALNE TEKUĆINE 73
Za cijeli presjek toka ovaj izraz mora se integrirati preko povrˇsine presjeka toga toka:
d
dt (Ek) = ρ
�
v
2 A
3 dA (7.23)
Provede li se li ovu integraciju sa srednjom vrijednosti brzine (koja je konstanta!) dobije
se:
d
dt (Ēk) = ρ
2 ¯v3 A (7.24)
matematički se moˇze pokazati da je integral sa pravom vrijednoˇsću brzine uvijek veći od
rezultata dobivenoga srednjom vrijednoˇsti brzine:
a omjer koji opisuje razliku ova dva rezultata:
�
v
A
3 dA > ¯v 3 A (7.25)
δ =
�
A v3 dA
¯v 3 A
> 1 (7.26)
naziva se Coriolissov koeficijent. ˇ Zeli li se izbjeći pogreˇske nastale upotrebom srednjih
vrijednosti u Bernoullijevoj jednadˇzbi mora se njezine brzinske članove popraviti upotrebom
ovoga koeficijenta:
odnosno, u praktičnom obliku:
v
δ1
2 1 p1
+
2g
δ v2 p
+ + z = z◦
(7.27)
2g ρg
v 2 2
ρg + z1 = δ2
2g
p2
+ + z2
(7.28)
ρg
ˇsto naravno pretpostavlja da je njegova vrijednost barem pribliˇzno poznata. Ako nije,
ostaje da se pretpostavi δ = 1 i na neki drugi način pokuˇsa ocijeniti učinjenu pogreˇsku.
U slučaju kad se strujanje zaustavi Bernoullijeva jednadˇzba prelazi u jednadˇzbu hidrostatske
ravnoteˇze:
p = ρg(z◦ − z) (7.29)
Slika 7.2 zorno prikazuje značenje pojedinih članova Bernoullijeve jednadˇzbe za idealne
tekućine. I energetska i geodetska visina mjere se od tzv. referentne ravnine koja se obično
postavlja kroz ili ispod najniˇze točke. Time je osigurano da su te visine u svim točkama problema
pozitivne. Standardna referentna ravnina je ploha geoida koja predstavlja zamiˇsljen
srednju razinu morske povrˇsine, a visine mjerene prema njoj nazivaju se nadmorske visine.
Kako je za idealnu tekućinu ukupna energija sačuvana, energetska linija je horizontalna, na
visini zo, sa koje počinje tok tekućine.
Kao ˇsto je to već napomenuto, za račun se uzima srednje vrijednosti veličina za os strujne
cijevi za koju se rjeˇsava Bernoullijeva jednadˇzba. Kako se hidrostatski tlak pojavljuje na
obje strane praktične Bernoullijeve jednadˇzbe, moˇze ga se izraˇzavati kao apsolutni ili kao
relativni tlak, jer se konstatna razlika medu njima krati, ali u tome se treba biti konzistentan.
Za rjeˇsavanje praktičnih problema koristi se praktični oblik Bernoullijeve jednadˇzbe za dvije
pogodno odabrane točke na osi strujne cijevi (slika 7.3). Prva se točka obično bira tako da se

74 GLAVA 7: STACIONARNO TEČENJE IDEALNOGA FLUIDA
z o
energetska linija
0 0
z
piezometarska linija
Slika 7.2: Grafički prikaz Bernoullijeve jednadˇzbe za idealne tekučine. Sve visine veˇzu se za
os strujne cijevi.
1 2
z 1
0 0
Slika 7.3: Grafički prikaz praktičnoga oblika Bernoullijeve jednadˇzbe za idealne tekućine.
Jednadˇzbu se postavlja za dvije točke (1 i 2) na osi strujne cijevi, odn. za odgovarajuće
ravnine presjeka toka, ravninama kroz te dvije točke.
za nju znaju vrijednosti svih relevantnih visina, pa se onda uz pomoć praktične Bernoullijeve
jednadˇzbe nalaze vrijednosti tih veličina u drugoj točki. Tu je često puta uz Bernoullijevu
jednadˇzbu potrebno koristiti i jednadˇzbu kontinuiteta, radi odredivanja srednje brzine toka
u drugoj točki. Cijeli se postupak u toku rjeˇsavanja postavljenoga problema često ponavlja
mnogo puta za različite točke toka.
z 2
z o

Glava 8
Stacionarno tečenje realnoga fluida
U mnogim realnim situacijama nije moguće zanemariti viskoznost fluida koji teče. Zbog
viskoznosti dolazi do trenja izmedu čestica fluida i okolnih objekata, kao i izmedu pojedinih
čestica fluida, ˇsto kao i kod trenja krutih objekata rezultira stvaranjem topline i
gubitkom dijela energije fluida. Mnogobrojni pokusi, uglavnom bazirani na originalnom
Newton-ovom pokusu pokazali su da se viskozna sila moˇze prikazati kao umnoˇzak tangencijalnoga
naprezanja i (tangencijalne) povrˇsine na koju to naprezanje djeluje:
Fvis = τA (8.1)
U slučaju da se radi o čestici fluida, viskozna slika djeluje na njeno bočno oploˇsje dA =
dOds pa je viskozna sila opisana sa:
dFvis = τdOds (8.2)
da bi gubitak energije zbog ove viskozne sile pretvorio u gubitak energetske visine, mora
se rad koji ta sila učini na putu ds podijeliti s teˇzinom čestice ρgdV :
dhvis = dFvisds
ρgdAds
= dFvis
ρgdA
(8.3)
Prema tome, posljedica viskoznosti fluida je gubitak energije fluida. Ovaj gubitak odvija
se u smjeru tečenja pa se energija realne tekućine uvijek smanjuje u smjeru u kojem se tok
odvija.
8.1 Bernoullijeva jednadˇzba za realne tekućine
Viskozne gubitke energije kod tečenja realnih tekućina najčeˇsće se opisuje ukupnim gubitkom
nastalim izmedu dva presjeka toka, koji se, izraˇzen kao gubitak energetske visine, dodaje
desnoj strani praktičnoga oblika Bernoullijeve jednadˇzbe:
v2 1 p1
+
2g ρg + z1 = v2 2 p2
+
2g ρg + z2 + ∆H (8.4)
Ovaj gubitak uvijek je veći od nule (trenje uvijek pretvara dio raspoloˇzive energije u
toplinu) pa je u presjeku 2 ukupna energetska visina tekućine smanjena za iznos gubitaka
∆H. kod realnih tekućina ukupna energija tekućine se u smjeru toka stalno
75

76 GLAVA 8: STACIONARNO TEČENJE REALNOGA FLUIDA
1 2
z 1
0 0
Slika 8.1: Grafički prikaz praktičnoga oblika Bernoullijeve jednadˇzbe za realne tekućine.
Ukupni gubici energije nastali izmedu presjeka 1 i 2 opisuju se smanjenjem energetske visine
za visinu gubitaka ∆H.
smanjuje!. Gore navedeni oblik Bernoullijeve jednadˇzbe naziva se Bernoullijeva jednadˇzba
za realne tekućine.
8.1.1 Odredivanje gubitaka
Bernoullijeva jednadˇzba za realne tekućine omogućava nam i praktično odredivanje gubitaka.
Pritom se mora osigurati da je tečenje stacionarno (=konstantan protok kroz cjevovod). Na
mjestima 1 i 2 se prvo izmjeri piezometarske visine hp:
�
hp = z + p
�
ρg
z 2
∆H
z o
E
z
(8.5)
Nakon toga se pomoću jednadˇzbe kontinuiteta odredi srednje brzine toka na tim mjestima
(uz pretpostavku da je poznat protok kroz cjevovod, a koji se lako moˇze izmjeriti):
v1A1 = v2A2 = Q (8.6)
a onda se, uz pomoć Bernoullijeve jednadˇzbe za realne tekućine, odredi gubitak energetske
visine:
∆H =
� � � �
2 2 v1 p1 v2 p2
+ + z1 − + + z2
2g ρg 2g ρg
jednadˇzbu (8.7)moˇze se pojednostaviti uvrˇstavanjem izmjerenih piezometarskih visina:
∆H =
� � � �
2 2 v1 v2 + hp1 − + hp2
2g 2g
(8.7)
(8.8)
Kod stvarnih mjerenja ove vrste najčeˇsće se koriste cijevi konstantnoga presjeka, jer je
u tom slučaju srednja brzina toka svugdje jednaka, a gubici se nalaze vrlo jednostavno kao
razlika izmjerenih piezometarskih visina:

8.1: BERNOULLIJEVA JEDNADˇ ZBA ZA REALNE TEKUĆINE 77
∆H = hp1 − hp2
(8.9)
Gubitak energetske visine izraˇzen po jedinici duljine toka naziva se energetski gradijent
ili energetski pad:
Ie = ∆H
(8.10)
l
gdje je l duˇzina toka na kojoj nastaje gubitak h1,2. Slično, gubitak piezometarske visine
izraˇzen po jedinici duljine toka naziva se piezometarski gradijent (pad) ili hidraulički
gradijent:
= tan α (8.11)
l
koji se često puta izraˇzava i kao tangens kuta nagiba piezometarske linije prema horizontali
(α).
Ip = hp1 − hp2

78 GLAVA 8: STACIONARNO TEČENJE REALNOGA FLUIDA

Glava 9
Tečenje kroz cijevi
9.1 Reynoldsov pokus
v
Slika 9.1: Reynoldsov pokus. U tok tekućine u horizontalnoj cijevi ubacuje se tanka struja
obojene tekućine. Poloˇzaj mjesta ubacivanja na presjeku cijevi moˇze se mijenjati pomicanjem
sustava za ubacivanje. Brzina tečenja regulira se otvaranjem ili zatvaranjem ventila na kraju
cijevi.
Teorijsko proračunavanje viskoznih gubitaka se pokazalo izuzetno kompleksnim, i mnogi
problemi ni do danas nisu rijeˇseni na zadovoljavajući način. Zbog toga se ovaj dio mehanike
fluida i danas oslanja na rezultate iscrpnih pokusa i empirijske jednadˇzbe izvedene na osnovi
njih. Praktične probleme tečenja realnih tekućina i danas najbolje ilustrira Reynoldsov pokus
koji je prvi ukazao na promjenjivu prirodu tečenja, u ovisnosti o njegovoj brzini. Pokus je
u osnovi vrlo jednostavan (v. sliku 9.1). U tok tekućine u dugoj, horizontalnoj i, radi
mogućnosti opaˇzanja, prozirnoj cijevi na njegovom se početku ubacuje tanki mlaz obojene
tekućine. Protok se regulira otvaranjem i zatvaranjem ventila na kraju cijevi, a konstantni
ulazni tlak osigurava se odrˇzavanjem konstantne razine tekućine u rezervoaru. Tanki mlaz
obojene tekućine slijedi strujnicu na koju je ubačen i omogućava praćenje njezinoga oblika
po duˇzini cijevi.
79

80 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI
Kod malih brzina tečenja pokus je dao očekivani rezultat: strujnica je ravna i paralelna
s osi cijevi. Njezin oblik ne ovisi o poloˇzaju strujnice unutar presjeka cijevi (slika 9.2).
v
Slika 9.2: Kod malih brzina tečenja Reynoldsov pokus pokus pokazuje da je strujnica ravna
i paralelna s osi cijevi. Njen oblik ne ovisi o poloˇzaju strujnice unutar presjeka cijevi.
Slika strujnica nadalje pokazuje da se čestice tekućine medusobno ne mijeˇsaju već teku
jedna pored druge. Preslikano na kruˇzni presjek cijevi, tekućina teče u slojevima (lamelama),
pa se ovakav tok naziva laminarni tok.
No, već i sa malim povećanjem brzine toka strujnica u blizini osi cijevi postaje nestabilna
i počinje titrati, tj. mijenjati svoj poloˇzaj u vremenu (v. sliku 9.3). Pri tome slika strujanja
u blizini stijenke cijevi i dalje ostaje nepromijenjena, tj. laminarna (v. sliku 9.4). Vremenska
promjenjivost strujnice ukazuje na to da tok viˇse nije stacionaran, o čemu će kasnije biti viˇse
riječi. Ovaj način tečenja naziva se prijelazni reˇzin (prijelazni tok).
v
Slika 9.3: Kod neˇsto većih brzina tečenja strujnica u blizini osi cijevi postaje nestabilna i
počinje mijenjati svoj oblik i poloˇzaj unutar toka.

9.1: REYNOLDSOV POKUS 81
v
Slika 9.4: Istovremeno, strujnice u blizini stijenke cijevi i dalje ostaju nepromijenjene.
Daljnje povećavanje brzine izaziva sve brˇze promjene oblika strujnice i to u cijelom presjeku
toka (v. slike 9.5 i 9.6). Vrlo brzo, u smjeru toka, strujnica se gubi i tekućina je jednoliko
obojena ˇsto nam govori da dolazi do medusobnog mijeˇsanja čestica tekućine. Detaljniji
pokusi, uz upotrebu brzih kamera i posebnih tehnika praćenja čestica tekućine, pokazuju da
u toku postoje jaka vrtloˇzenja, pa se ovaj način tečenja naziva vrtloˇzni ili turbulentni
tok.
v
Slika 9.5: Kod joˇs većih brzina strujanja dolazi do jakoga i brzog promjena oblika strujnice
i vrlo brzo i do potpunoga mijeˇsanja tekućine.
Na osnovi mnogo pokusa sa cijevima različitih promjera i uz različite brzine tečenja,
Reynolds je empirijski ustanovio da je slika tečenja dva različita toka praktički ista, ako je
omjer umnoˇska brzine i promjera cijevi sa koeficijentom viskoznosti tekućine za oba toka isti.
Taj se omjer danas naziva Reynoldsov broj i definiran je kao:

82 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI
v
Slika 9.6: Slika mijeˇsanja je kod većih brzina ista u cijelom presjeku cijevi, sve do njezine
stijenke.
Re = vd
(9.1)
ν
Rezultati pokusa su nadalje pokazali da je tok laminaran ako je Re < 2320, da je u
prijelaznom reˇzimu ako je Re ∼ 2320, te da je vrtloˇzan ako je Re veći od 2320. Za cijevi čiji
presjek nije okrugao, koristi se tzv. hidraulički radijus koji je definiran kao omjer presjeka
toka i opsega tog presjeka (v. sliku 9.7):
O
A
Slika 9.7: Hidraulički radijus cijevi proizvoljnoga oblika presjeka omjer je povrˇsine presjeka
unutarnjeg otvora cijevi i njegovoga opsega.
Rh = A
O
(9.2)

9.2: GUBICI U CJEVOVODU 83
Za okruglu cijev je hidraulički radijus jednak polovici fizičkoga polumjera cijevi, o čemu
itekako treba voditi računa! Ova nespretna razlika posljedica je povijesnog razvoja struke
i danas ju je praktički nemoguće ispraviti. Kod upotrebe stručne literature treba pripaziti
jer manji broj autora Reynoldsov broj nestandardno definira tako da hidraulički radijus
okrugle cijevi bude jednak njenom fizičkom polumjeru. U ovom tekstu koristi se isključivo
standardna definicija Reynoldsovog broja i hidrauličkog polumjera.
9.2 Gubici u cjevovodu
Rh = R2 π
2Rπ
= R
2
(9.3)
Cjevovod je sklop cijevi, ventila, račvi i ostalih elemenata cijevne armature kroz koji teče
tekućina. I nadalje ćemo se drˇzati zahtjeva da je tok kroz cjevovod stacionaran a tekućina
nestlačiva. Prvi korak u teoretskoj analizi gubitaka u cjevovodu bit će analiza jednadˇzbe za
gubitke izvedene iz Bernoullijeve jednadˇzbe:
∆H = δ1v 2 1 − δ2v 2 2
2g
+ p1 − p2
ρg + (z1 − z2) (9.4)
Ako Coriollisov koeficijent ne ovisi o brzini, ˇsto je ispunjeno u najvećem broju stvarnih
situacija, prvi je član ove jednadˇzbe u potpunosti odreden geometrijom cjevovoda (preko
jednadˇzbe kontinuiteta!), pa on ne moˇze biti izvor gubitaka. Gubici se dakle moraju manifestirati
u smanjenju sume zadnja dva člana, tj. u smanjenju piezometarske visine. To postaje
joˇs očitije ako se ograničimo na analizu cijevi konstantnoga promjera. Brzine su tada svugdje
iste, pa se jednadˇzba gubitaka pojednostavi na:
∆H = p1 − p2
ρg + (z1 − z2) = hp1 − hp2 (9.5)
Kod mjerenja otpora u cijevima, one se najčeˇsće postavljaju vodoravno, pa i zadnji član
otpada:
∆H = p1 − p2
ρg
(9.6)
Gubici zbog viskoznosti strujanja u cjevovodu dovode do pada hidrostatskoga tlaka u smjeru
strujanja. Vidjet ćemo kasnije da osiguravanje dovoljnoga tlaka na izlasku iz cjevovoda
(kod zadanoga maksimalnog protoka) jedan od najvaˇznijih zadataka konstruktora cjevovoda,
koji u najvećom mjeri odreduje dimenzije cijevnih elemenata.
Pogledajmo sad malo detaljnije tok u nekom malom dijelu horizontalne cijevi (v. sliku
9.8). Za česticu tekućine odabran je volumen omeden dvjema bliskim poprečnim presjecima
cijevi, razmaknutima za dl. Na česticu djeluju tlačne sile i sila viskoznoga trenja na stijenci
cijevi, pa je jednadˇzba ravnoteˇze sila:
pA = τOdl + (p + dp)A (9.7)
ˇsto nakon sredivanja prelazi u izraz za smanjenje tlaka u cijevi:
− dp = τdl O
A
τ
= dl (9.8)
Rh

84 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI
v
τ
p p+dp
τ
Slika 9.8: Odabir čestice fluida za analizu viskoznih gubitaka u cijevi i sile koje na tu česticu
djeluju.
Kad bi se moglo odrediti iznos smičnoga naprezanja na stijenci cijevi τ, mogla bi se rijeˇsiti
jednadˇzbu (9.8). Pokazalo se da to uopće nije trivijalno, pa ćemo se posluˇziti dimenzionalnom
analizom. Pretpostavi li se da je:
na osnovi čega se dalje pretpostavi da je:
dl
τ = f(ν, ρ, v, Rh) (9.9)
τ = kνρ x v y R z h
(9.10)
Ovdje se dodatno pretpostavlja da je smično naprezanje proporcionalno koeficijentu
viskoznosti, inače bi se dobile tri dimenzione jednadˇzbe za četiri nepoznanice, ˇsto se ne
moˇze jednoznačno rijeˇsiti. Raspisivanje dimenzionalne jednadˇzbe daje:
a nakon sredivanja:
Odatle se nalazi:
i
ML −1 T −2 = (L 2 T −1 )(ML −3 ) x (LT −1 ) z
ML −1 T −2 = M x L 2−3x+y+z T −1−y (LT −1 ) z
(9.11)
(9.12)
x = 1 y = 1 z = −1 (9.13)
τ = k νρv
Uz upotrebu hidrauličkog radijusa i Reynoldsovoga broja, odn. njihove veze
ν
Rh
Rh
= 4v
Re
(9.14)
(9.15)

9.2: GUBICI U CJEVOVODU 85
jedn. (9.14) postaje:
τ = k 4
Re
ρv 2 = 8k ρv2 2
Ovo se uvrsti u jednadˇzbu za pad tlaka (9.8), kojoj se promijeni predznak:
dp = − τ
Rh
Re
dl = − 8k
RhRe
(9.16)
ρv2 dl (9.17)
2
Integracijom ovoga izraza po duljini cijevi dolazi se do izraza za ukupni pad tlaka na toj
duljini:
Ovdje se uvede konstanta:
∆p = −λ l
4Rh
λ = 32k
Re
ρv 2
2
(9.18)
(9.19)
koja se naziva bezdimenzionalni koeficijent trenja (koeficijent otpora strujanju) u ravnoj
cijevi. Ako se ograničimo na okrugle cijevi, 4Rh = d, gdje je d fizički promjer cijevi, pa
jednadˇzba 9.8 postaje:
∆p = −λ l ρv
d
2
2
ili, izraˇzeno u energetskim visinama:
∆H = λ l v
d
2
2g
(9.20)
(9.21)
ovo je Darcy-Wiessbachova formula za gubitke u cijevima. Po analogiji sa njom, i
svi drugi gubici u dijelovima cjevovoda se prikazuju kao:
∆H = ζ v2
2g
(9.22)
gdje je ζ bezdimenzionalni koeficijent otpora (koeficijent gubitka energije) za odgovarajući
dio cjevovoda.

86 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI
9.3 Laminarno tečenje kroz cijevi
Laminarno tečenje u stvarnosti se javlja samo kod vrlo malih brzina strujanja (gravitacijski
pobudena strujanja, ako brzina nije prevelika), strujanja u kapilarama, kroz tkanine i filtere,
kod procjedivanja podzemnih voda i kod tečenja viskoznih tekućina (med, lava, katran i
smole). U svim drugim slučajevima realni fluidi teku vrtloˇzno.
Problem laminarnoga tečenja jedini se dade matematički u cijelosti točno opisati, pa se
rjeˇsenja problema za laminarno strujanje često koriste kao predloˇsci za rjeˇsavanje problema
u turbulentnom reˇzimu. I ovdje će se analizu započeti od strujanja u cilindričnoj cijevi, ali
će se drugačije odabrati česticu fluida: uzet će se da ona ima oblik cilindra, koaksijalnoga s
osi cijevi i duˇzine l jednake razmaku dviju ravnina presjeka toka izmedu kojih se računaju
gubici (slika 9.9).
v p 1
l
1 2
Slika 9.9: Odabir čestice fluida za analizu viskoznih gubitaka kod laminarnoga tečenja kroz
cijev.
Tangencijalno naprezanje na bočnoj plohi čestice odredujemo uz pomoć Newtonovog
zakona za tangencijalno naprezanje:
τ = ρν dv
dy
τ
τ
(9.23)
Kako analizirani problem ima rotacionu simetriju s obzirom na os cijevi, naprezanje je isto
u svim točkama oboda cilindra koji predstavlja razmatranu česticu, pa je ukupna viskozna
sila na česticu:
Ft = τA = 2πrlτ (9.24)
kao i prije, viskozna sila je u ravnoteˇzi sa razlikom tlačnih sila na baze čestice:
pri čemu je razlika tlačnih sila:
Ft = Fp
(9.25)
Fp = (p1 − p2)AB = ∆pr 2 π (9.26)

9.3: LAMINARNO TEČENJE KROZ CIJEVI 87
Izjednačavanje slika daje sljedeći izraz:
koji nakon sredivanja postaje
y
∆pr 2 π = 2πrlµ dv
dy
∆pr = lµ dv
dy
Slika 9.10: Promjena koordinatnog sustava koja olakˇsava koriˇstenje rotacione simetrije.
r
R
(9.27)
(9.28)
Da bi se olakˇsao daljnji račun, promijeniti će se koordinatni sustav, i to tako da se
ishodiˇste spusti na donju stijenku cijevi. Kod toga x-koordinata ostaje nepromjenjena, a
veza izmedu nove y-koordinate i udaljenosti od osi cijevi je:
Ovom promjenom koordinata izraz (9.28) postaje:
y = R − r dy = −dr (9.29)
∆pr = −2lµ dv
(9.30)
dr
Njega će se upotrijebiti da se nade brzinu strujanja u ovisnosti o koordinati y, a da se to
postigne, prvo ga treba presloˇziti tako da se dobije izraz za derivaciju brzine:
dv
dr
= −∆pr
2lµ
(9.31)
koji se onda integrira preko povrˇsine presjeka toka, pri čemu se ne smije zaboraviti da je
brzina ista u svim točkama jednako udaljenim od osi cijevi (simetrija!):
v = − ∆p
� R−r
rdr =
2lµ R
∆p
4lµ (R2 − r 2 ) (9.32)
Ovo je Hagen-Poiseullov zakon raspodjele brzine za laminarno strujanje. Maksimalna
brzina je na osi cijevi (r = 0) i iznosi:

88 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI
vmax = ∆p R
l
2
4µ
a odnos brzine na polumjeru r prema maksimalnoj brzini je kvadratičan:
-R
v
vmax
v
= 1 −
� �
r 2
R
v max
Slika 9.11: Profil brzine kod laminarnoga tečenja kroz cilindričnu cijev.
R
r
(9.33)
(9.34)
Profil brzine je paraboličnoga oblika i prikazan je na slici 9.11. Kako je brzina u svim
točkama presjeka toka ovime poznata, moˇze se naći i ukupni protok tekućine kroz cijev:
odnosno:
Q =
� R
0
Q = R 2 π
Ranije se protok vezao za srednju brzinu:
pa se izjednačavanjem nalazi:
ili, jednostavnije:
2πrvdr (9.35)
� �
2 R ∆p
8µl
(9.36)
Q = R 2 π¯v (9.37)
¯v = Q
R 2 π
¯v = vmax
2
∆p R
=
l
2
8µ
(9.38)
(9.39)

9.3: LAMINARNO TEČENJE KROZ CIJEVI 89
δ:
Omjer srednje i maksimalne brzine naziva se koeficijent brzine β:
β = ¯v
vmax
= 0, 5 (9.40)
i za laminarno tečenje β = 0, 5. Iz brzine moˇzemo točno odrediti i Coriollisov koeficijent
δ =
�
A v3 dA
¯v 3 A
= 2 (9.41)
i očigledno je da se on kod laminarnoga strujanja ne smije zanemariti. Na kraju se
okretanjem izraza za srednju brzinu nalazi i viskozni gubitak:
∆p = l
8µ¯v (9.42)
R2 ili, izraˇzen kao gubitak energetske visine:
∆h = l ¯v
8ν
R2 g
(9.43)
Usporedivanjem ovog izraza s općim izrazom za viskozne gubitke u cijevima (9.20) dolazi
se do izraza za bezdimenzionalni koeficijet trenja za laminarno tečenje u cijevima:
λlam = 64
Re
(9.44)
U slučaju proizvoljnog oblika presjeka cijevi dolazi se do sličnih relacija, a opći laminarni
koeficijent trenja moˇze se izraziti kao:
λlam = ϕλlam,cijev
(9.45)
gdje konstanta ϕ ovisi o geometrijskom obliku presjeka cijevi. Primjerice za cijevi pravokutnoga
presjeka koeficijent ϕ prikazan je na slici 9.12, koeficijenti za neke posebne
sludajeve tabelirani su u tablici 9.1.
ϕ
1,6
1,5
1,4
1,3
1,2
1,1
1
0,9
0,8
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
Slika 9.12: Konstanta ϕ općega laminarnog koeficijenta trenja za različite oblike pravokutnoga
presjeka cijevi.
b/a

90 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI
Tablica 9.1: Konstanta ϕ općega laminarnog koeficijenta trenja za razne oblike pravokutnoga
presjeka cijevi.
slučaj ϕ
kruˇzni presjek 1
paralelne ploče 1,5
kvadratni presjek 0,89
pravokutni presjek 1:0,44 1,00
9.3.1 Duljina formiranja laminarnoga toka
L lam
Slika 9.13: Formiranje laminarnoga profila brzine na ulazu u cijev.
Laminarni (parabolični) profil brzine ne uspostavlja se odmah na mjestu ulaska tekućine
u cijev, već je za njegovo formiranje potrebna odredena duˇzina toka. Pokusima je odredeo
da je ta duˇzina pribliˇzno:
Llam = 0, 065dRe
(9.46)

9.4: VRTLOˇ ZNO (TURBULENTNO) TEČENJE KROZ CIJEVI 91
9.4 Vrtloˇzno (turbulentno) tečenje kroz cijevi
v
v
Slika 9.14: Kod turbulentnog toka brzina se u svakoj točki toka nepravilno mijenja i po
iznosu i po smjeru. Turbulentni je tok u svojoj biti nestacionaran.
Tečenje u prirodi obično se odvija s tako velikim brzinama da je tok uglavnom vrtloˇzan.
Primjerice za vodu koja teče kroz vodovodne cijevi, prijelaz iz laminarnoga u vrtloˇzni reˇzim
toka dogada se već kod brzina od oko 0,1 cms −1 (cijev promjera 25 mm). Veliki problem
pri analizi vrtloˇznoga reˇzima tečenja predstavlja nepostojanje stalnih strujnica, ˇsto zorno
pokazuje i ranije opisani Reynoldsov pokus. Strujnice kod vrtloˇznoga toka su nepravilne,
vremenski promjenjive, te medusobno izmijeˇsane i začvorene. To praktički onemogućava
analitičko rjeˇsavanje jednadˇzbi koje opisuju vrtloˇzni reˇzim toka. Da bi se ipak moglo doći
do kakvih-takvih zaključaka o ponaˇsanju fluida u ovom reˇzimu, koristi se vremenskiousrednjavanje
fizikalnih veličina koje taj tok opisuju. Tako se umjesto trenutne vrijednosti brzine
u nekoj točki toka (slika 9.14) koristi vremenski usrednjena brzinu:
odnosno, po komponentama:
¯�v = 1
T
� T
0
¯vx = 1 � T
T 0 vxdt
¯vy = 1
T
¯vz = 1
T
� T
�vdt (9.47)
0 vydt
� T
0 vzdt
t
(9.48)
Usrednjavanje po vremenu uklanja vremensku ovisnost usrednjene veličine, (srednja vrijednost
ne ovisi o vremenu!) pa tako nestacionarni problem prelazi u stacionarni (slika 9.15).
Naravno, kod koriˇstenja srednjih vrijednosti gubi se informacija o trenutnim vremenskim (ili
prostornim vrijednostima, ako se usrednjavanje vrˇsi preko prostornih dimenzija) vrijednostima
usrednjene veličine, ˇsto uglavnom nije od presudne vaˇznosti. Kod proračuna nekoga
cjevoda uglavnom nas zanima protok koji taj cjevovod mora omogućiti, za ˇsto su dovoljne
srednje vrijednosti brzine, a trenutne brzine toka u pojedinim točkama toka nisu bitne.

92 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI
v x v x v x
t=t 1 t=t 2 usrednjeno
Slika 9.15: Trenutni profil brzine po presjeku toka (radi jednostavnosti prikazana je samo
x-komponenta brzine) vremenski je promjenjiv. Usrednjavanjem se dolazi do srednje vrijednosti
brzine, a kaˇze se da je vrtloˇzni tok stacionaran ako je profil te srednje vrijednosti
konstantan.
Problem vrtloˇznoga tečenja svodi se dakle na potrebu da se pronade raspodjela srednje
vrijednosti brzine na povrˇsini presjeka toka. Pogledajmo stoga jednu česticu fluida u blizini
stijenke cijevi (slika 9.16).
y
x
y 2
y 1
v x(y 2)
v x(y 1)
v x(y 1)
Slika 9.16: U vrtloˇznom toku čestica fluida ima i komponente brzine okomite na smjer toka.
Na slici je prikazana jedna čestica u trenutku kad ju vrtloˇzenje nosi od stijenke cijevi prema
njezinoj sredini.
Kao prvo, postavit će se koordinanti sustav tako da mu x-os pokazuje u smjer toka,
paralelno sa stijenkom cijevi, te da y-os pokazuje prema osi cijevi. Ishodiˇste će se staviti na
samu stijenku cijevi. Nakon toga odabere se neka proizvoljna čestica fluida u blizini stijenke
cijevi, na udaljenosti y1 od nje. Neka ta čestica ima x-komponentu brzine ¯vx(y1). Vrtlog će
nakon nekoga vremena tu česticu odnijeti na udaljenost y2 od stijenke cijevi. Brzina toka na
toj udaljenosti od stijenke cijevi veća je jer se čestica sad nalazi bliˇze osi cijevi. Uz pomoć
razvoja u red brzinu na ovom mjestu povezujemo sa brzinom na mjestu sa kojeg je čestica
krenula:
d ¯vx
¯vx(y2) = ¯vx(y1) + ∆y
dy
(9.49)

9.4: VRTLOˇ ZNO (TURBULENTNO) TEČENJE KROZ CIJEVI 93
gdje je:
∆y = y2 − y1
(9.50)
Zbog inercije čestica teˇzi zadrˇzavanju svoje početne brzine, pa je sporija od okolnoga
fluida. Naravno da će se razlika brzine poniˇstiti zbog djelovanja viskoznih sila, pa će čestica
biti ubrzana na brzinu okolnog fluida. Pri tome okolni fluid to ubrzanje osjeća kao silu koja
se odupire njegovom toku. U idućem će se koraku pokuˇsati odrediti iznos te sile.
Neka je y-komponenta brzine koja promatranu česticu nosi prema sredini toka vy. Ako
na mjestu gdje se čestica nalazi tok se presiječe ravninom okomitom na y-os, čestica će zbog
postojanja y-komponente brzine proći kroz tu ravninu. Ako na taj način u nekom kratkom
vremenu dt kroz tu ravninu prema osi cijevi prode masa fluida dmy, maseni protok kroz tu
ravninu (dakle protok u y-smjeru) će biti:
dQM = dmy
dt = dA ¯vyρ (9.51)
Zbog ubrzavanja na brzinu vx(y2) dolazi do promjene količine gibanja:
d(mv)
dt
= dF = dmy
dt [ ¯vx(y2) − ¯vx(y1)] (9.52)
No, iz jednadˇzbe (9.49) se vidi da je razlika brzina na desnoj strani upravo jednaka:
pa je nastala sila jednaka:
d ¯vx
¯vx(y2) − ¯vx(y1) = ∆y
dy
d ¯vx
dF = dA ¯vyρ∆y
dy
(9.53)
(9.54)
Tangencijalno naprezanje koje zbog ove sile nastaje odreduje se dijeljenjem sile sa povrˇsinom
na kojoj ona djeluje:
τturb = dF
dA
= ¯vyρ∆y d ¯vx
dy
(9.55)
Nadalje, zbog zakona kontinuiteta (sačuvanja mase), mora ukupni tok u y-smjeru isčeznuti,
ˇsto znači da se na nekim mjestima u toku fluid u y-smjeru giba i od osi cijevi prema stijenci.
Rezultati mnoˇstva pokusa pokazuju da su kod vrtloˇznih gibanja putanje čestica fluida pribliˇzno
kruˇzne, pa tako istovremeno na jednom mjestu vrtloga neka masa fluida ide prema
stijenci, a na drugoj strani vrtloga ista masa fluida se udaljava od nje. Ako je gibanje
kruˇzno, srednje vrijednosti x i y komponenti brzine su jednake (radi se sa apsolutnim vrijednostima
komponenti), pa se pretpostavi da to pribliˇzno vrijedi i za općenitiji slučaj. Ova
pretpostavka omogućava da se nade srednja vrijednost brzine ¯vy. Da bi se vidjelo kruˇzenje
čestice u vrtloˇzenju, mora se gibati zajedno sa fluidom, dakle brzinom vx(y1). To znači da je
srednja vrijednost x-komponente brzine kruˇzenja jednaka ¯vx(y2) − ¯vx(y1), a po prethodnim
zaključcima je ona jednaka srednjoj vrijednosti y-komponente brzine:
d ¯vx
¯vy = ¯vx(y2) − ¯vx(y1) = ∆y
dy
(9.56)

94 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI
S pomoću ovog izraza moˇze se eliminirati y-komponentu brzine iz razmatranja, pa izraz
za tangencijalno naprezanje postaje:
τturb = ρ(∆y) 2
� �2 d ¯vx
dy
(9.57)
Kako će se od sada pa do kraja ovog računa upotrebljavati isključivo srednje vrijednosti
brzina, ispustit će se oznaku za usrednjavanje da bi jednadˇzbe bile preglednije. Drugim
riječima, simbol v će od sada označavati srednju brzinu (vremenski usrednjenu, a ona se i
dalje moˇze mijenjati preko presjeka toka).
Razmatranje se nastavlja uzimajući u obzir gornju napomenu. Kao prvo, umnoˇzak:
∆y
� �
dvx
= vtg
dy
(9.58)
ima dimenziju brzine i naziva se prividna brzina tangencijalnoga naprezanja. Prividna
zato, ˇsto se ne radi o nekoj izravno mjerljivoj brzini, već o matematičkoj konstrukciji
koja ima dimenziju (a donekle i ulogu) brzine kod razmatranja tangencijalnoga naprezanja
u slučaju vrtloˇznoga toka. Izraz za tangencijalno naprezanje postaje:
τturb = ρv 2 tg
(9.59)
Iako izgleda da se rijeˇsio problem tangencijalnoga naprezanja, to je samo na prvi pogled
tako. Joˇs uvijek se naime ne zna vrijednost ∆y koja odreduje iznos prividne brzine tangencijalnoga
naprezanja. Teoretski se ovu veličinu nije uspjelo odrediti, pa se mora posegnuti
za rezultatima pokusa, koji se obično izraˇzavaju u obliku tzv. iskustvenih (empirijskih)
formula. Iskustvene formule su funkcionalne ovisnosti fizikalnih veličina dobivene traˇzenjem
funkcija i njihovih koeficijenata koje najbolje odgovraju eksperimentalno dobivenim podacima.
One dobro opisuju opaˇzeno, ali nemaju teorijske podloge pa se ne zna sve fizikalne
zakonitosti i procese koji do njih dovode. No, za praktičnu upotrebu, posebno u tehničkim
znanostima, iskustvene formule su vrlo korisne i često puta nezaobilazne. Da se vratimo
naˇsem problemu, jedna od najčeˇsće koriˇstenih iskustvenih relacija za prividnu brzinu tangencijalnoga
naprezanja je Prandtlova relacija:
∆y = ky (9.60)
pri čemu je pokusima utvrdeno da se k uglavnom kreće izmedu 0,36 i 0,42. U teorijskim
računima stoga se uglavnom koristi vrijednost k = 0, 40 (1/k = 2, 5) pa će se i ovdje koristiti
tu vrijednost.
9.5 Profil brzine kod vrtloˇznog toka
Kombiniranjem Prandtlove relacije (9.60) i izraza za prividnu brzinu tangencijalnoga naprezanja
(9.58) dobije se:
vtg = ky dv
(9.61)
dy
ˇsto preslagivanjem i upotrebom vrijednosti k = 0, 40 daje:
dv
dy
= 2, 5vtg
(9.62)

9.5: PROFIL BRZINE KOD VRTLO ˇ ZNOG TOKA 95
odnosno, nakon integracije:
v
vtg
= 2, 5 ln y + C (9.63)
Naˇzalost, detaljnija analiza gornje jednadˇzbe pokazuje da ona ne moˇze biti točna. Naime
za stijenku cijevi (y=0!) gdje brzina toka mora biti jednaka nuli, gornji izraz daje beskonačnu
brzinu i to u negativnom smjeru! Problem je u tome da se tijekom dosadaˇsnjege razmatranja
radilo kao da turbulentni tok postoji sve do same stijenke. I pokusi i fizikalni argumenti
govore nam da to ne moˇze biti točno. Naime zbog viskoziteta se fluid na stijenci ”lijepi” za
nju, pa uz samu stijenku brzina toka mora biti jako mala, ˇsto znači da će tečenje uz stijenku
biti laminarno (Reynoldsov broj je uz stijenku vrlo malen). Tek sa udaljavanjem od stijenke
moˇze se očekivati da će povećanje brzine dovesti do postupnog razvoja vrtloˇznoga toka, ˇsto
se detaljnim pokusima zaista i potvrdilo. Stvarna je situacija ilustrirana na slici 9.17.
v
vrtložni tok
zona miješanja
y o
A
B
C
vrtložni profil
y
laminarni profil
granični laminarni sloj
Slika 9.17: Odredivanje brzine vrtloˇznoga toka u blizini stijenke cijevi.
Uz samu stijenku, prema tome, uvijek postoji sloj fluida koji teče laminarno. Taj sloj
naziva se granični laminarni sloj. Izvan tog sloja strujanje lagano prelazi u vrtloˇzno, unutar
sloja koji se naziva zona mijeˇsanja, a tek izvan nje postoji potpuno formiran vrtloˇzni tok. U
laminarnom graničnom sloju profil brzine je paraboličan, ali se moˇze aproksimirati pravcem,
jer je debljina graničnog sloja daleko manja od polumjera cijevi. S druge strane, u vrtloˇznom
dijelu toka profil brzine je logaritamski. Taj profil u blizini stijenke siječe y-os u točki yo
u kojoj vrtloˇzna brzina isčezava. Rjeˇsenje problema sa negativnim vrijednostima koje uz
stijenku daje izraz (9.63) je da od stijenke do točke B, u kojoj se ova dva profila brzine
sijeku, koristi laminarni profil brzine, a od točke B pa sve do osi cijevi vrtloˇzni. U stvarnosti
je taj prijelaz postupan (nema loma u profilu brzine koji u ovom modelu imamo u točki B)
i prikazan je crtkanom krivuljom koja ide od točke A do točke C. Za račun je pretpostavka
ipak dovoljno dobra, pe se neće ići u dodatnu komplikaciju konstrukcije glatke krivulje koja
povezuje točke A i C. Iz činjenice da izraz (9.63) isčezava u točki yo odredi se konstanta
integracije:
C = −2, 5 ln y◦
(9.64)

96 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI
pa je:
v
vtg
= 2, 5 ln y
y◦
(9.65)
Ni točku yo nije moguće odrediti teorijski, pa se opet mora upotrijebiti iskustveni izraz
za nju. Tako je za cijevi s glatkim stijenkama (stijenke se smatra glatkima ako je njihova
hrapavost toliko mala da ne utječe na tok u cijevi, o čemu će biti viˇse riječi neˇsto kasnije)
yo dan pribliˇznim izrazom (autor: Nikuradze):
y◦ ≈
0, 108ν
Tu je ν kinematički koeficijent viskozosti fluida. Izraz za brzinu time postaje:
v
vtg
vtg
= 2, 5 ln yvtg
ν
(9.66)
+ 5, 56 (9.67)
a nepoznata je joˇs brzina tangencijalnoga naprezanja. Da se nekako dode do nje, označi
se prvo maksimalna brzina toka sa vmax. Kako se zna da je brzina toka maksimalna u osi
cijevi (tj. za y = R, gdje je R polumjer cijevi) moˇze se iz izraza (9.67) napisati:
vmax = vtg
v = vtg
�
2, 5 ln Rvtg
ν
�
2, 5 ln yvtg
ν
�
+ 5, 56
�
+ 5, 56
(9.68)
(9.69)
Oduzimanjem (9.69) od (9.68) dolazi se konačno do formalnog izraza za profil brzine (u
kojem je vtg joˇs nepoznat):
v = vmax − 2, 5vtg ln R
y
(9.70)
I ovaj izraz ima problem da uz stijenku cijevi brzina ide u minus beskonačno. No, kako
je točka (yo) u kojoj brzina vrtloˇznoga strujanja postaje nula vrlo blizu stijenci cijevi, to će
se u idućem koraku zanemariti. Uz pomoć ovog izraza za brzinu formalno će se izračunati
protok kroz cijev, pri čemu se treba ograničiti na cijev kruˇznoga presjeka. U tom je slučaju
protok kroz cijev:
� R
Q = 2π v(R − y)dy (9.71)
0
Uvrˇstavanjem izraza za brzinu (9.70) i integracijom konačno je:
Q = πR 2
�
vmax − 15vtg
�
4
(9.72)
Srednja brzina tečenja (u ovom slučaju brzina toka usrednjena preko povrˇsine presjeka
cijevi!) nalazi se iz definicije protoka:
¯v = Q
A = vmax − 3, 75vtg
Gubici i koeficijent trenja cijevi vezani su izrazom (jedn. 9.18):
(9.73)

9.5: PROFIL BRZINE KOD VRTLO ˇ ZNOG TOKA 97
∆p = −λ l ρv
4Rh
2
(9.74)
2
No s druge strane, gubici i smično naprezanje na stijenci takoder su u vezi preko (9.8):
− dp = τdl O
A
τ
= dl (9.75)
Rh
pa uz ograničenje za okrugli presjek cijevi (uz pomoć kojega se doˇslo i do izraza za srednju
brzinu!) je :
λ = 8 τ
ρ¯v 2
(9.76)
Ukupno naprezanje na stijenci cijevi, τ, zbroj je naprezanja u laminarnom sloju i naprezanja
u vrtloˇznom dijelu toka. No, kako je laminarni sloj vrlo tanak, a brzine u njemu
male, moˇze se doprinos laminarnoga naprezanja zanemariti i ukupno naprezanje izjednačiti
s vrtloˇznim naprezanjem. Uz ovu pretpostavku i definiciju prividne brzine tangencijalnoga
naprezanja (9.58) dolazi se konačno i do izraza za prividnu brzinu tangencijalnoga naprezanja:
vtg = 0, 353¯v √ λ (9.77)
Pomoću ovoga izraza relacije konačno se moˇze naći veza izmedu srednje i maksimalne
brzine:
te koeficijent brzine:
Coriollisov koeficijent:
¯v =
β = ¯v
vmax
vmax
1 + 1, 326 √ λ
=
1
1 + 1, 326 √ λ
a na kraju i profil brzine kod vrtloˇznoga strujanja kroz cijev:
(9.78)
(9.79)
δ = 1 + 2, 7λ (9.80)
�
v = ¯v 1 + √ �
λ 1, 326 + 2, 04 log y
��
(9.81)
R
Provjera pokusima pokazuje da ovaj teorijski profil odgovara onom koji se opaˇza u
stvarnosti, a uz manje promjene koeficijenata slaganje je joˇs bolje:
�
v = ¯v 1 + √ �
λ 1, 435 + 2, 15 log y
��
(9.82)
R
Napominje se da male korekcije koeficijenata popravljaju pogreˇske koje su se u teoretskom
računu napravile zanemarivanjem malih doprinosa i aproksimacijama pojedinih izraza
iskustvenim formulama.
Preko raspodjele brzine, protoka i veze prosječne i maksimalne brzine vrtloˇznoga toka
dolazi se i do izraza za koeficijent trenja glatke cijevi (glatkoća stijenke je bila jedna od
pretpostavki pod kojima su se izvele sve dosadaˇsnje formule!):

98 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI
1
�
λg
⎛
= 2 log ⎝ Re
� ⎞
λg
⎠ (9.83)
2, 51
Ovo je tzv. Prandtl-Karmanova formula. Njezin veliki nedostatak je da se mora rjeˇsavati
iterativno, pa se u praksi često puta zamjenjuje jednostavnijom Blasiusovom formulom:
λg = 0, 3164R
1
− 4
e
(9.84)
koja vrijedi ako je Re < 10 5 . Uvrstimo li Blasiusovu formulu u izraz za profil brzine
(9.81), dobija se vrlo jednostavan izraz za profil brzine:
-R
v = vmax
v
� � 1
y 7
R
R
v max
r
(9.85)
Slika 9.18: Karmanov 1/7-ki profil brzine. Za usporedbu je crtkan naznačen i parabolični
profil laminarnoga strujanja.
Ovaj izraz za profil brzine naziva se i Karmanov 1/7-ki zakon. On je prikazan na slici
(9.18). U usporedbi s laminarnim tokom, moˇze se odmah zaključiti da je profil brzine
vrtloˇznoga toka znatno ravniji, tj. u najvećem dijelu presjeka brzina toka vrlo malo odstupa
od maksimalne, a naglo se smanjuje tek u blizini stijenke cijevi. Upotrebom Karmanova
zakona moˇze se dobiti i jednostavnije izraze za koeficijent brzine i Coriolissov koeficijent:
βg ≈ 0, 84 ± 0, 04 δg ≈ 1 (9.86)
Prema tome kod vrtloˇznog toka Coriolissov koeficijent u Bernoullijevoj jednadˇzbi slobodno
se moˇze zanemariti. Napominje se da je za formiranje vrtloˇznog toka, slično kao i kod
laminarnog toka, potrebna odredena duˇzina toka. Za vrtloˇzni tok pokusima je ustanovljeno
da je ona obično 25 do 40 promjera cijevi kroz koju se tok odvija:
Lturb ≈ 25d − 40d (9.87)

9.6: HIDRAULIČKA GLATKOST 99
9.6 Hidraulička glatkost
e
Slika 9.19: Kod hidraulički glatke cijevi neravnine (hrapavost) stijenke (e) znatno su manje
od debljine graničnoga laminarnog sloja (llam).
Stijenka cijevi nikada nije idealno glatka, već posjeduje manju ili veću hrapavost. Ova hrapavost
posljedica je načina izrade cijevi a najviˇse ovisi o materijalu stijenke. Kod cijevi koje
su dugo u upotrebi korozija i abrazija stijenke moˇze znatno promijeniti hrapavost stijenke.
Ako je debljina graničnoga laminarnog sloja dovoljno velika, turbulenta jezgra toka neće
osjetiti posljedice te hrapavosti. U takvom slučaju kaˇze se da je cijev hidraulički glatka
(slika 9.19). Pokusi pokazuju da debljina graničnoga laminarnog sloja ovisi o Reynoldsovom
broju i redovito se smanjuje s njegovim povećanjem. Tako je pokusima na glatkim cijevima
nustanovljeno da je debljina graničnog laminarnog sloja otprilike dana sljedećim izrazom:
llam = 6, 3 d
R 7
8
e
l lam
(9.88)
gdje je d promjer cijevi. Tipična veličina hrapavosti stijenke različitih vrsta cijevi dana
je u tablici 9.4.
Pokusi s hrapavim cijevima znatno su teˇzi jer hrapavost stijenke moˇze imati različite
oblike. Zbog toga se čak i kod iste visine neravnina stijenke rezultati mogu znatno razlikovati,
ovisno o tome kako te neravnine izgledaju, te kako su rasporedene po stijenci cijevi. No
opći je zaključak vidljiv i iz formule (9.88): s povećanjem Reynoldsovog broja (ˇsto za danu
cijev znači povećanje brzine toka), debljina graničnoga laminarnog sloja se smanjuje. To
znači da će se kod neke brzine debljina graničnoga laminarnog sloja toliko smanjiti da će
najveće neravnine stijenke početi izvirivati iz njega i tako utjecati na turbulentnu jezgru toka.
Općenito se smatra da se cijev moˇze smatrati hidraulički glatkom, ako je visina neravnina
manja od jedne četvrtine debljine graničnoga laminarnog sloja:
llam > 4e (9.89)
Ako je pak visina neravnina stijenke veća od dvije debljine graničnoga laminarnog sloja,
cijev se naziva hidraulički hrapavom (slika 9.20):

100 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI
Tablica 9.2: Hrapavost stijenke različitih vrsta cijevi (nove cijevi).
vrsta cijevi e (mm)
staklene

9.7: KOEFICIJENT TRENJA HRAPAVIH CIJEVI 101
odnosno
Tablica 9.3: Kriteriji za odredivanje vrste toka u cijevima.
vrsta toka kriterij
laminarni Re < 2300
turbuletni, glatki 2300 < Re < 1 d
2 e
turbuletni, prijelazni 1 d
2 e < Re < 500 d
e
turbuletni, hrapavi Re > 500 d
e
1
λh =
4 �
log �
3, 175 d
�� (9.92)
e
koja vrijedi ako je e > 6l.
Nikuradzeova formula pokazuje da je za danu cijev (e/d je konstantan) u hrapavom
reˇzimu koeficijent trenja konstantan, a ukupni gubici proporcionalni su kvadratu srednje
brzine toka:
l v
∆hh = λh
d
2
2g
(9.93)
U prijelaznom području situacija je znatno sloˇzenija jer koeficijent trenja ovisi i o Reynoldsovom
broju i o relativnoj hrapavosti, pa se za izračun koeficijenta trenja koriste iskustvene formule,
od kojih je najpoznatija Colebrook-Whiteova formula:
1
√ λh
= −2 log
� �
2, 51 e
√ +
Re λ 3, 715d
(9.94)
Njezina velika prednost je ta da ona vrijedi za sve reˇzime turbulentnog toka, a odstupanja
od eksperimentalnih mjerenja su manja od nekoliko postotaka. Naˇzalost, ona je iterativna,
pa se umjesto nje vrlo često koriste razne pojednostavljene formule ili Moodyev dijagram
u kojem su grafički prikazani koefcijenti trenja izračunati na osnovi analize tada dostupnih
podataka koju je izveo Moody.
Da bi se jednim grafikonom prikazalo cijelo područje Reynoldsovih brojeva koje se pojavljuje
u praksi, Moodyev dijagram je crtan u log-log skali. U grafikon je ucrtana familija
krivulja čiji parametar je relativna hrapavost, e/d. Kod odredivanja koeficijenta trenja uz
pomoć ovog grafikona potrebno je prvo odrediti Reynolds-ov broj za dani slučaj. Nakon
toga se odabire krivulja koja odgovara relativnoj hrapavosti cijevi za koju se traˇzi koeficijent
trenja, i s nje se, za odredenu vrijednost Reynoldsovoga broja sa osi ordinata očitava
pripadajuća vrijednost koeficijenta trenja.
Preostalo je joˇs samo da se postavi kriterije za odredivanje o kojoj vrsti tečenja se u danom
slučaju radi. Onaj za laminarno tečenje poznat je od ranije, a ostali su postavljeni na osnovi
usporedbe debljine graničnoga laminarnog sloja i relativne hrapavosti cijevi. Rezultati su
saˇzeti u tablici 9.3.

102 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI
Slika 9.21: Moodyev dijagram (preuzeto od R. ˇ Zugaj, Hidrologija). Na apscisi je nanesen
Reynoldsov broj, a na ordinati koeficijent trenja. Parametar krivulja u grafu je relativna
hrapavost, e/d.

9.8: LOKALNI GUBICI 103
9.8 Lokalni gubici
Lokalni gubici su svi gubici koji nastaju na razmjerno maloj udaljenosti zbog promjena
presjeka ili smjera toka u cijevima. Njih izazivaju elementi cijevne armature, primjerice
koljena, ventili, suˇzenja i proˇsirenja, itd. S obzirom na malu udaljenost na kojoj se ti gubici
dogadaju, za potrebe proračunavanja ukupnih gubitaka tretira ih se kao da nastaju točno
na mjestu gdje se dani element armature (točnije, njegova sredina) nalazi. Drugim riječima,
u takvom računu zanemaruje se duljina lokalnoga elementa. Analogno formuli za gubitke
u cijevima, lokalne gubitke opisuje se produktom koeficijenta lokalnoga otpora ζ i kvadrata
brzine:
A 1
v 1
∆hl = ζ v2
2g
v 2
A 2
(9.95)
Slika 9.22: Na mjestima lokalnih gubitaka najčeˇsće dolazi do promjene brzine toka. Za
računske potrebe uzima se da se brzina v1 skokovito mijenja u brzinu v2 u sredini elementa
koji izaziva lokalni gubitak (crtkana linija). To fizikalno nije moguće, i u stvarnosti se
promjena brzine odvija glatko i postupno na duˇzini toka koja je nekoliko puta veća od
dimenzije samoga lokalnog elementa, ali ovu sloˇzenost se kod računanja zanemari s obzirom
na veliku duljinu cijevi u odnosu na duljinu samog lokaliteta.
Kako kod lokalnih gubitaka obično dolazi do promjene srednje brzine toka, mora se znati
na koju brzinu se koeficijent lokalnoga otpora veˇze: na brzinu toka ispred samoga elementa
koji taj gubitak izaziva, ili na brzinu iza njega (slika 9.22). Ako se koeficijent lokalnoga
gubitka odnosi na brzinu ispred samoga elementa, označen je indeksom 1, a ako se odnosi
na brzinu iza, dobija indeks 2. U slučajevima kad je jedna od ovih brzina toliko mala da se
zanemaruje, odnosi se koeficijent lokalnoga gubitka uvijek na onu brzinu koja ne isčezava, a
indeks se često ispuˇsta. Tako primjerice kod utjecanja tekućine u cijev iz velikoga rezervoara
je brzina tekućine u samom rezervoaru zanemariva (to je brzina ispred ulaznog otvora u
cijev) pa se za taj slučaj uvijek navodi koeficijent lokalnoga gubitka za brzinu u cijevi (iza
mjesta nastanka lokalnoga gubitka). U skladu s gore navedenim, lokalne gubitke računa se
na sljedeći način:
v
∆hl = ζ1
2 1
2g
v
= ζ2
2 2
2g
(9.96)

104 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI
Redovito se za račun uvijek koriste koeficijenti lokalnog gubitka i brzine iza mjesta na
kojem taj gubitak nastaje. Koeficijente lokalnih gubitaka teorijski je uglavnom vrlo teˇsko
odrediti, pa se koriste eksperimentalno izmjereni koeficijenti koji su obično tabelirani u
različitim tehničkim priručnicima, a često puta ih navode i proizvodaći elemenata armature
za svoje elemente. Napominje se na kraju da koeficijenti lokalnoga otpora vrijede za izolirani
element, tj. za element ispred i iza kojeg se nalazi ravna cijev duga barem 5-10 duljina
samoga razmatranoga elementa. Nalaze li se dva elementa bliˇze jedan drugome, dolazi do
medudjelovanja medu njima i tu se koeficijent otpora za oba elementa zajedno moˇze odrediti
samo pokusom. Slijedi pregled koeficijenata otpora za najčeˇsće koriˇstene elemente cijevne
armature.
9.8.1 Ulazni otvori
Slika 9.23: Fluid u cjevovod obično ulazi iz nekog rezervoara, koji je tako velik da se brzina
tečenja u njemu moˇze slobodno zanemariti. Rezervoar osim ˇsto sluˇzi čuvanju potrebne zalihe
fluida, ujedno osigurava i konstantan tlak na ulazu u cjevovod.
Fluid u cjevovod najčeˇsće dolazi iz nekoga rezervoara. Funkcija takvoga rezervoara na
ulazu cjevovoda je dvojaka: da osigura dovoljnu količinu fluida za neprekidan rad cjevovoda
(ulaz u rezervoar moˇze imati promjenjiv dotok) te da osigura razmjerno konstantan tlak na
ulazu u cjevovod. Koeficijent gubitka za ulazni otvor jako ovisi o tome na koji je način cijev
spojena na rezervoar, tj. kako izgleda rub ulaznoga otvora. U najjednostavnijem slučaju,
kada je rub oˇstar, ulazni gubitak je razmjerno velik, a moˇze se znatno smanjiti zaobljavanjem
rubova ulaznoga otvora (slika 9.24). Umetanje ulazne cijevi u unutraˇsnost rezervoara
(primjerice kada se na njen kraj joˇs dodatno ugradi zaˇstitna mreˇzica) znatno povećava ulazne
gubitke (slika 9.25).
v 2

9.8: LOKALNI GUBICI 105
Slika 9.24: Zaobljavanje rubova ulaznoga otvora tako da slijede oblik strujnica fluida koji
ulazi u cijev moˇze znatno smanjiti ulazne gubitke. Na ovaj način se koeficijent ulaznoga
otpora moˇze smanjiti ispod 0,01. Potreban oblik zaobljenja moˇze se naći u tehničkim
priručnicima.
v 2
Slika 9.25: Umetanje ulazne cijevi u unutraˇsnjost rezervoara povećava koeficijent ulaznoga
otpora na 1,0. Stavlja li se na ulaz cijevi joˇs i zaˇstitna mreˇzica ili reˇsetka, koeficijent ulaznoga
otpora moˇze biti i znanto veći od 1,0.
Tablica 9.4: Koeficijenti ulaznoga otpora za različite oblike ulaznih otvora.
oblik otvora ζ2
oˇstar rub, na stijenci rezervoara 0,5
zaobljen rub (R=0,05D), na stijenci rezervoara 0,22
zaobljen rub (R=0,2D), na stijenci rezervoara 0,03
zaobljen rub, slijedi strujnicu, na stijenci rezervoara 0,01
oˇstar rub, ulazna cijev u rezervoaru 1
v 2

106 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI
9.8.2 Dijafragme i sapnice
A 1
Slika 9.26: Dijafragma je ravna metalna ploča sa okruglom rupom u sredini koja se stavlja
u tok.
Dijafragme se stavljaju u tok na mjestu gdje je lokalno potrebno povećati brzinu toka.
Smanjivanje presjeka toka znatno povećava gubitke pa dolazi i do ograničavanja protoka.
Dijafragma se opisuje omjerom povrˇsine slobodnoga otvora i ukupne povrˇsine presjeka toka
ispred dijafragme:
m = A2
Tablica 9.5: Koeficijenti ulaznog otpora za dijafragmu.
A1
A 2
m 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5
ζ1 81 16 5,4 2,3 1,0 0,44 0,2
(9.97)
Dijafragme zbog vrtloˇzenja uz oˇstre rubove otvora proizvode velike gubitke. Zato se
umjesto njih često puta koriste sapnice. Kod sapnica su rubovi otvora zaobljeni tako da
su gubici ˇsto je moguće manji. Postoji nekoliko oblika zaobljenja, no najčeˇsće se koristi
standardizirani oblik koji se po standardu unutar kojeg je opisan naziva sapnica po ISO
standardu (slika 9.27).
Tablica 9.6: Koeficijenti ulaznoga otpora za sapnicu izradenu po ISO standardu.
m 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
ζ1 81 16 5,4 2,3 1,0

9.8: LOKALNI GUBICI 107
A 1
Slika 9.27: Sapnica je dijafragma s posebno zaobljenim (fino hidraulički oblikovanim)
rubovima kako bi se gubici sveli na minimum.
9.8.3 Suˇzenja
A 1 ,v 1
A 2
A s ,v s
Slika 9.28: Naglo suˇzenje izaziva jako vrtloˇznje na mjestu suˇzenja i tzv. kontrakciju (suˇzenje)
mlaza kod koje je presjek stvarnoga toka manji od fizičkoga presjeka cijevi.
U slučaju nagloga suˇzenja dolazi do jakoga vrtloˇznja na mjestu suˇzenja. Zbog oˇstrih
kuteva rubne strujnice ne mogu slijediti oblik suˇzenja i odvajaju se od stijenke, a u prostoru
izmedu stijenke i rubne strujnice dolazi do jakoga vrtloˇzenja ili čak i kavitacije (kavitacija je
pojava nagloga isparavanja tekučine na mjestima gdje je ukupni apsolutni tlak toliko mali
da je usporediv s tlakom para tekućine). To su obično mjesta gdje je brzina toka velika
ili se naglo mijenja. Kavitacija izaziva velike sile i ubrzano oˇstećivanje stijenki cijevi pa se
mora izbeći ako je to ikako moguće. Naime, na mjestu gdje je apsolutni tlak toliko nizak da
je usporediv s tlakom para tekućine dolazi do isparavanja i stvaranja mjehurića pare. Kad
takav mjehurić noˇsen strujanjem dode na mjesto većeg tlaka, naglo se zguˇsnjava i ponovno
pretvara u tekućinu. To dovodi do vrlo velikih promjena tlaka na tom mjestu (tlačni udar
reda veličine 10 4 Bara) koji oˇstečćuje i najčvrˇsće materijale.
Kod oˇstrih rubova prijelaza uvijek se javlja i tzv. kontrakcija mlaza, tj. presjek stvarnog
toka manji od fizičkog presjeka cijevi. Kontrakcija mlaza opisuje se koeficijentom kontrakcije
µ:

108 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI
Slika 9.29: Otupljavnaje ili zaobljavanje rubova naglog suˇzenja bitno smanjuje gubitke.
µ = As
A2
(9.98)
Koeficijent kontrakcije mlaza obično se ne moˇze točno proračunati pa se koeficijent gubitaka
odreduje eksperimentalno.
Kod proračuna brzine u kontrahiranom mlazu, faktor kontrakcije ulazi u račun preko
jednadˇzbe kontinuiteta, ali se ne vidi u koeficijentu otpora jer je on vezan za brzinu, a ne
presjek. Medutim, u dijelu literature se faktor kontrakcije uključuje u koeficijent otpora, pa
kod koriˇstenja literature na to treba obratiti pozornost. U slučaju da je faktor kontrakcije
uključen u faktor otpora, račun brzine provodi se kao da kontrakcije nema (drugim riječima,
računa se brzina u cijevi dovoljno daleko nizvodno od mjesta promjene presjeka, kad tok
opet ispunjava cijelu cijev).
Otupljivanje oˇstrih rubova smanjuje gubitke i do 50%, a zaobljavanje i do 75% (slika
9.29).
Da bi se izbjegli gubici kod suˇzenja cijevi, izraduju se tzv. postupna suˇzenja (konfuzori).
Radi se o konusnom dijelu cijevi sa malim vrˇsnim kutem. Kod konfuzora gubici dolaze samo
od trenja pa su jako maleni. Kod malih kutova (ispod 30 o ) ih se u cjelosti zanemaruje. Ako
je kut veći od 60 o prijelaz se viˇse ne moˇze smatrati postupnim.
9.8.4 Proˇsirenja
Kod nagloga proˇsirenja hidrauliki gubici su prilično veliki. No, u ovom slučaju, njih je moguće
točno teorijski proračunati pa se gubici kod nagloga proˇsrenja nazivaju Bourda-Carnotovi
Tablica 9.7: Koeficijenti gubitka za naglo suˇzenje.
m 0,1 0,2 0,4 0,6 0,8
ζ1 41 9,4 1,8 0,54 0,16

9.8: LOKALNI GUBICI 109
A 1
Slika 9.30: Konfuzor je konični dio cijevi sa vrˇsnim kutem φ manjim od 60 o .
A 1 ,v 1
ϕ
A 2
A 2 ,v 2
Slika 9.31: Naglo proˇsrenje takoder izaziva jako vrtloˇznje na mjestu proˇsrenja.
gubici. Oni se mogu izračunati uz pomoć Bourda-Carnotove formule:
∆hl = (∆v)2 )
2g
(9.99)
gdje je ∆v = v1 − v2 promjena brzine do koje dolazi kroz prolaska kroz suˇzenje. Koeficijenti
gubitaka takoder se mogu točno izračunati:
ζ1 = � A1
A2 − 1� 2
ζ2 = � A2
A1 − 1� 2
Tablica 9.8: Koeficijenti gubitaka za konfuzor.
φ 30 o 45 o 60 o
ζ2 0,02 0,04 0,07
(9.100)

110 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI
A 1
ϕ
L
Slika 9.32: Difuzor je konični dio cijevi sa vrˇsnim kutem φ manjim od 30 o , a opisuje se
svojom duˇzinom i vrˇsnim kutem.
Kao i kod suˇzenja, gubici se smanjuju izradom postepenih proˇsirenja, koji se nazivaju
difuzori. Tu je problem da kod kuteva većih od oko 30 o dolazi do odvajanja toka od stijenke
i nagloga povećanja gubitaka, pa su difuzori obično prilično dugi. Za proračun gubitaka
koriste se eksperimentalno dobivene pribliˇzne formule:
u kojima je L duˇzina difuzora.
9.8.5 Venturijeva cijev
A 1 ,v 1
L
A2−A1 ≈ 4...8 ζ1
�
≈ (0, 4...0, 25)
L
A2−A1 > 8 ζ1
�
≈ (0, 2)
A 2 ,v 2
1 − � A1
A2
A 2
1 − � � �
2
A1
A2
� 2 � (9.101)
Slika 9.33: Venturijeva cijev kombinacija je konfuzora i difuzora i sluˇzi za lokalno povećanje
brzine toka.
Ako je na nekom mjestu potrebno povećati brzinu toka, npr. radi mjerenja protoka,
ili sniˇzenja tlaka, koristi se Venturi-jeva cijev. Koeficijent gubitaka i ovdje se odreduje
pokusima, a neki primjeri navedeni su u tablici 9.9.

9.8: LOKALNI GUBICI 111
9.8.6 Ventili
Tablica 9.9: Koeficijenti gubitka za Venturijevu cijev.
m 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,4 0,5
ζ1 17 7 3 2 1 0,5 0,3
Ventilima se regulira protok ili potpuno zatvaraju/otvaraju pojedine grane cjevovoda. Kako
se radi o elementima sloˇzene geometrije i kod njih se koeficijenti otpora moraju odrediti
pokusima. Oni se za odredenu vrstu/tip ventila prikazuju grafički ili tabelarno u ovisnosti
o nekom parametru koji opisuje koliko je taj ventil otvoren (obično omjer otvorene i cijele
povrˇsine presjeka toka na mjestu ventila). Za račun su obično najvaˇzniji minimalni gubici,
koji nastaju kad je ventil potpuno otvoren, a oni znatno ovise o konstrukciji ventila.
Tablica 9.10: Minimalni koeficijenti otpora za razne konstrukcije ventila.
9.8.7 Koljena i lukovi
tip konstrukcije ζ1
standardni ventil za vodu (slavina) 0,6-3,9
zasun 0,05
kuglasti ventil 0,05-0,1
ζ 1= 1,4 ζ 1= 1,2
Slika 9.34: Oˇstra koljena (izrada od zavarenih cijevi) se izbjegavaju zbog većih gubitaka,
pa se u izradi cjevovoda uglavnom koriste zaobljena koljena. Upotrebom lukova (koljena sa
velikim polumjerom zakrivljenosti) moˇze se koeficijent gubitaka smanjiti do oko 0,2.

112 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI
9.8.8 Filteri i reˇsetke
Za uklanjanje krutih čestica iz toka fluida sluˇze filteri i reˇsetke u različitim izvedbama.
Oni uglavnom sluˇze za zaˇstitu cjevovoda i uredaja priključenih na njega od tih čestica, ili
pročiˇsčavanju samog fluida kad je to potrebno (npr. uklanjanje praˇsine iz zraka u sustavu
klimatizacije). Većina tih elemenata izaziva vrlo velike gubitke kao ˇsto je to vidljivo iz tablice
9.11.
Tablica 9.11: Tipični koeficijenti otpora za razne vrste filtera.
9.8.9 Račve i spojnice
tip konstrukcije ζ1
zaˇstitna reˇsetka) 0,1-2,5
rijetko platno (gaza) 2-25
gusto tkanje (platno) ili filter papir 100-800
Kod grananja ili spajanja tokova takoder dolazi do gubitaka. U oba slučaja gubici ovise
o kutu račvanja (spajanja) i presjecima toka ispred i iza grananja. Pokusi pokazuju da su
koeficijenti gubitaka kod račvanja obično izmedu 0,5 i 1,5,a kod spajanja iznedu 0,05 i 3.
9.8.10 Izlazni otvori
Kod izlaznih otvora se u većoj ili manjoj mjeri primijećuje kontrakcija mlaza, a ukupni
gubici ovise o obliku samoga otvora. Neki od tipičnih slučajeva (svi pretpostavljaju otvore
kruˇznoga presjeka!) prikazani su na sljedećim slikama:
v 1
ζ 1 =0 (µ=1)
Slika 9.35: Ovisno o obliku i izvedbi izlaznoga otvora, gubici na njemu mogu biti različiti.
U slučajevima s ove slike oni su zanemarivi.
v 1

9.8: LOKALNI GUBICI 113
v 1
ζ 1=1,8 (µ∼0,6)
v 1
6-10R
ζ 1=0,5 (µ∼0,8)
v 1
ζ 1 =0,1 (µ∼0,95)
Slika 9.36: Kod otvora na samoj stijenci rezervoara, ili kratkih izlaznih cijevi, lokalni gubici
mogu biti znatni, a kontrakcija mlaza je uvijek prisutna.
9.8.11 Izlazna energija
Na kraju cjevovoda fluid najčeˇsće slobodno istječe u okolni prostor. Preostala energija koju
on sa sobom nosi s glediˇsta cjevovoda takoder predstavlja gubitak koji se naziva izlazna
energija. Kako fluid kod napuˇstanja cjevovoda sa sobom odnosi ukupnu preostalu energiju,
uz uvjet da se istjecanje odvija na atmosferskom tlaku, gubitak za cjevovod je jednak toj
energiji:
∆hi = v2 i
2g
(9.102)
Izlazni gubitak uvijek se veˇze na brzinu na mjestu istjecanja, pa je koeficijent gubitaka
(za brzinu ispred, tj. ζ1) jednak 1, a Bernoullijeva jednadˇzba za cijeli sustav (istjecanje u
okolnu atmosferu!) glasi
v 2 ul
2g
+ pul
ρg + zul = v2 iz
2g + ziz + ∆hu
(9.103)
To znači da na ulazu u cjevovod mora postojati energetska visina jednaka ukupnim
gubicima u sustavu:
∆hu = v2 ul
2g − v2 iz
2g
+ pul
ρg + zul − ziz
(9.104)
Ova energija jednaka je tlačnoj visini na ulazu (ako tekućina ulazi u cjevovod iz rezervoara),
nadtlaku u zatvorenom rezervoaru ili ulaznom tlaku koji proizvodi neki uredaj, npr.
pumpa i sl.
Primjerice, kod horizontalne cijevi konstantnoga presjeka izlazna brzina jednaka je ulaznoj,
pa je ulazna energetska visina jednaka tlačnoj visini na ulazu (slika 9.37):
∆hu = pul
ρg
(9.105)

114 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI
v ul
Slika 9.37: Kod horizontalne cijevi konstantnoga presjeka izračun izlaznih gubitaka vrlo je
jednostavan.
9.9 Zbrajanje otpora
A 1 ,v 1 A 2 ,v 2 A 3 ,v 3
λ 1,l 1,r 1
ζ 1
λ 2,l 2,r 2
ζ 2
v iz
λ 3,l 3,r 3
Slika 9.38: Otpori pojedinih dijelova cjevovoda su aditivni, tj. zbrajaju se kako idemo u
smjeru toka.
Ukupni otpor cjevovoda jednak je zbroju svih otpora njegovih dijelova, a suma se obično
razdvaja na sumu svih gubitaka u cijevima i na sumu svih lokalnih gubitaka:
∆hu = �
i
λi
li
2ri
v 2 i
2g
+ �
j
v
ζj
2 j
2g
(9.106)
Grananja i spajanja cjevovoda pretstavljaju dodatnu sloˇzenost. U takvim situacijama
mora se računati ukupni otpor svake pojedine grane, a onda se ukupni otpori zbrajaju u
skladu s Kirchofovim zakonom zbrajanja za paralelne otpore:
1
∆hu
= �
i
1
∆hi
(9.107)
Kod proračuna otpora cjevovoda u kojem postoji grananje/spajanje, prvo se računa
ukupni otpor do mjesta grananja, a zatim ukupni otpori pojedinih grana. Nakon toga se
primjenom Kichofova zakona izračuna zajednički otpor svih grana koji se pribraja ukupnom
otporu cjevovoda ispred mjesta grananja. Tako se postupa u svakoj točki grananja ili spajanja,
a postupak moˇze biti vrlo sloˇzena. Danas se sloˇzeniji problemi ovog tipa rjeˇsavaju
upotrebom računalnih programa.

9.9: ZBRAJANJE OTPORA 115
∆h 1
∆h 2
Slika 9.39: Ukupni otpori pojedinih grana cjevovoda moraju se zbrajati po Kirchofovom
zakonu.
∆h 1
∆h 3
∆h 4
ukupni otpor grana=∆h 2
Slika 9.40: Ukupni otpor svih grana cjevovoda se nakon njegovoga izračuna po Kirchofovom
zakonu pribraja otporu dijela cjevovoda ispred mjesta grananja.

116 GLAVA 9: TEČENJE KROZ CIJEVI

Glava 10
Proračun jednostavnoga cjevovoda
Pod jednostavnim cjevovodom podrazumijeva se cjevovod bez grananja ili spajanja cijevi
(cjevovod koji u cjelini ima samo jednu granu). Kod sloˇzenih cjevovoda (cjevovodi s viˇse
grana) proračun je sloˇzeniji i odvija se uz primjenu Kirchoffovog zakona i, zbog sloˇzenosti, sve
viˇse koriˇstenjem odgovarajućih računalnih programa. Pri tome se svaka grana zasebno mora
proračunati kao jednostavni cjevovod, uz dodatno odredivanje brzina, odn. protoka u svim
granama pomoću Kirchoffovog zakona. I proračavanje jednostavnih cjevovoda znade biti
sloˇzeno i sporo, a posebnu pozornost treba posvetiti točnom računanju jer se greˇska učinjena
na jednom mjestu odraˇzava na cijeli račun i na kraju obično dovodi do krivih rezultata. To
se posebno odnosi na slučajeve kad se proračun ili neki njegov dio mora raditi iterativno.
Svaki proračun jednostavnoga cjevovoda počinje od njegove geometrije (nacrta) za koju
se smatra da je poznata. Drugim riječima, poloˇzaj i duˇzine cijevi u prostoru, mjesta gdje
se nalaze elementi cijevne armature i njihove karakteristike su poznate. Uz to se mora znati
uvjete na ulazu u cjevovod, ˇsto se obično svodi na poznavanje ulaznoga tlaka (ili visine
tekućine u rezervoaru na koji je cjevovod priključen). Isto tako mora se znati i uvjete na
izlazu iz cjevovoda (istjecanje u okolni prostor, istjecanje ispod povrˇsine tekućine ili neki
drugi način istjecanja). Tek kada su nam ovi podaci poznati, pristupa se samom proračunu,
za koji su potrebne sljedeće zakonitosti:
jednadˇzba kontinuiteta:
Bernoullijeva jednadˇzba:
jednadˇzba gubitaka:
Q = vA = v πd2
4
v2 1 p1
+
2g ρg + z1 = v2 2 p2
+
2g ρg + z2 + hg
hg = �
�
j
lj
λj
dj
117
+ �
= konst. (10.1)
i
ζji
�
2 vj 2g
(10.2)
(10.3)

118 GLAVA 10: PRORAČUN JEDNOSTAVNOGA CJEVOVODA
Colebrook-Whiteova formula (ili Moodyev dijagram):
1
√ λh
i tablice lokalnih gubitaka.
= −2 log
� �
2, 51 e
√ +
Re λ 3, 715d
(10.4)
Već iz ovoga nabrajanja jasno je da je potrebno pozvati mnoˇstvo podataka o cjevovodu.
Pogleda li se nabrojene jednadˇzbe i dijagram malo detaljnije, moˇze se vidjeti da u račun
ulazi 10 različitih varijabli:
Rei, Q, vi, di, li, hg, λi, ζi, e/di i ν
Pritom su neke od ovih veličina meduovisne, ˇsto svakako dodatno oteˇzava račun. To
se posebno odnosi na koeficijente otpora λi, koji ovise o Reynoldsovom broju i relativnoj
hrapavosti cijevi e/di, pa se za njihov proračun mora znati brzina toka. Ukupnu duˇzinu
cjevovoda smatra se poznatom, jer je odredena uvjetima projekta, no duˇzine i poloˇzaji
pojednih dijelova cijevi ne moraju biti unaprijed zadane. Nadalje, od varijabli Q, vi, di, i
hg mora se znati barem dvije da bi se moglo izračunati preostale. Ovisno o tome, koje su
od njih poznate, proračun se moˇze odvijati na ˇsest različitih načina, opisanih u poglavljima
11.1-11.6.
10.1 Poznato je v i d
Za ovaj slučaj dovoljno je znati brzinu u jednoj točci cjevovoda te promjer cjevovoda na tom
mjestu. Protok je konstantan i odmah se moˇze odrediti:
Q = v πd2
(10.5)
4
Nakon toga se preko jednadˇzbe kontinuiteta računaju brzine u ostalim dijelovima cjevovoda,
a iz brzina i Reynoldsovi brojevi:
Re = vd
(10.6)
ν
Slijedi odredivanje relativne hrapavosti (obično iz tablica, uz poznavanje vrste cijevi),
račun koeficijenata linearnih gubitaka (ili njihovo očitanje iz Moodyeva dijagrama) i na
kraju računanje ukupne visine gubitaka hg. Kad su svi ovi podaci poznati, moˇze se joˇs na
nacrtu cjevovoda grafički prikazati tok energetske i pijezometarske linije i time je postupak
proračuna u potpunosti zavrˇsen.
10.2 Poznato je Q i d
I ovaj slučaj je relativno jednostavan. Prvo se iz protoka odredi brzina:
v = 4Q
πd 2
a dalje se račun provodi na isti način kao i u prethodnom slučaju.
(10.7)

10.3: POZNATO JE Q I V 119
10.3 Poznato je Q i v
Brzina je u ovom slučaju obično zadana kao minimalna, maksimalno dozvoljena ili najpovoljnija.
U prvom koraku iz protoka odredi se promjer cijevi:
d =
�
4Q
πv
(10.8)
Nakon toga se iz tehničkih tablica odabere prvi veći standardni promjer cijevi, izračuna
brzinu za taj promjer i dalje se račun provodi kao i u prvom slučaju.
10.4 Poznato je d i hg
Ovaj je problem znatno sloˇzeniji od prethodnih i to zato ˇsto gubici ovise o brzini. To se
najbolje vidi ako se brzina izrazi preko poznatih podataka:
� �
� �
k
2, 51ν l + le d 2gdhg
v = −2 log
+
d 2gdhe 3, 71 l + le
ovdje je le tzv. ekvivalentna duˇzina lokalnih gubitaka:
(10.9)
le = d �
ζ (10.10)
λ
Ekvivalentna duˇzina lokalnih gubitaka je zamiˇsljena duˇzina cijevi u kojoj su linearni
gubici jednaki zbroju svih lokalnih gubitaka. Ovdje se dodatno pretpostavlja da su sve cijevi
cjevovoda istoga promjera. U suprotnom je izraz za brzinu sloˇzeniji, jer u njega ulaze brzine
u pojedinim dijelovima cjevovoda, koje se preko jednadˇzbe kontinuiteta moraju medusobno
povezati (obično se sve brzine izraˇzavaju preko ulazne ili izlazne brzine).
Nadalje, he je ulazna energija za koju se uzima da je jednaka ukupnim gubicima hg u
koje se mora uračunati i izlazna energija.
Kako se brzina ne zna, ne moˇze se odrediti niti gubitke, pa se gornja jednadˇzba za brzinu
mora rjeˇsavati iterativno. U prvom koraku iteracije zanemare se lokalni gubici, pa se brzina
odredi pomoću pribliˇznoga izraza:
�
v1 = 5, 04 − 8, 86 log e
�
d
�
dhg
l
(10.11)
Uz pomoć brzine v1 računa se ekvivalentna duˇzina lokalnih gubitaka, uvrˇstava je se u
točan izraz za brzinu i računa novu vrijednost brzine, v2. S njom se ponovno računa ekvivalentna
duˇzina lokalnih gubitaka te brzina v3, itd. Nakon nekoliko koraka dobivene vrijednosti
brzine će biti sve bliˇze jedna drugoj, a račun se prekida kada se postigne dovoljna točnost,
obično dvije točne znamenke. Ovakav postupak računanja naziva se iteriranje, a osim ˇsto je
dugotrajan, u sebi skriva i opasnost divergencije, tj. sve većega rasipavanja dobivenih vrijednosti
brzina. U tom slučaju mora se iteriranje započeti nekom drugom početnom vrijednosti
brzine v1. Danas se ovakvi postupci prepuˇstaju računalnim programima, ali korisnik mora
dobro poznavati i način na koji koriˇsteni računalni program radi, a i problematiku tečenja
kroz cjevovode, da bi mogao ocijeniti je li je dobiveni rezultat realan. U suprotnom se lako
moˇze dogoditi da se prihvati potpuno besmisleni rezultat koji je računalo izbacilo, sa svim
posljedicama koje iz toga mogu proizaći.

120 GLAVA 10: PRORAČUN JEDNOSTAVNOGA CJEVOVODA
10.5 Poznato je d i hg
Ovdje se treba ograničiti na jednostavniji slučaj kada su sve cijevi cjevovoda istoga promjera.
Izraz za promjer cijevi je onda:
�
d = λ + d
�
� l + le v
ζi
l i
hg
2
2g
(10.12)
Kao i u prethodnom slučaju, ovaj se izraz mora iterirati. Iteraciju se započinje zanemarivanjem
lokalnih gubitaka i uz λ = 0, 02. Promjer izračunat na ovaj način upotrijebi se
za odredivanje Reynoldsovoga broja, relativne hrapavosti i svih gubitaka, s kojima se onda
ponavlja računanje promjera i na taj način se iterira jednadˇzba 10.12. Kad se tako odredi
promjer cijevi, izračuna se protok:
čime se zavrˇsava račun.
10.6 Poznato je Q i hg
Q = v πd2
4
(10.13)
Opet se treba ograničiti na slučaj kad su sve cijevi istoga promjera. Izraz za promjer cijevi
je u ovom sluačaju:
d = 5
�
� �
�
�8l
λ +
� d � �
l i Q2 gπ2hg a iteriranje se započinje s početnom vrijednosti:
Na kraju joˇs ostaje odrediti brzinu:
i po potrebi pojedine gubitke.
d1 = 0, 278 5
�
�
�
�lQ2 v = 4Q
πd 2
10.7 Prikazivanje energetske i piezometarske linije
hg
(10.14)
(10.15)
(10.16)
Često je potrebno u shemu ili nacrt cjevovoda ucrtati energetsku i piezometarsku liniju. Ako
je proračun cjevovoda napravljen, na raspolaganju su svi potrebni podaci, u protivnom ih se
mora izračunati. Crtanje započinje ucrtavanjem referentne ravnine. Kod istjecanja u okolnu
atmosferu referentna ravnina postavlja se kroz srediˇste izlaznoga otvora, a kod istjecanja
ispod povrˇsine tekućine na povrˇsinu tekućine u koju se istjecanje odvija. U nastavku se sve
crta s obzirom na os cjevovoda jer se u računu tečenje tretira kao jednodimenzionalno, kako
je to već ranije prodiskutirano.

10.7: PRIKAZIVANJE ENERGETSKE I PIEZOMETARSKE LINIJE 121
h e
v=0, p=0
h lok1
v2 /2g
p/ρg
h cjev1
0 0
Slika 10.1: Početak crtanja energetske i piezometarske linije kad tekućina ulazi u cjevovod iz
rezervoara. Na ulazu cjevovoda nalazi se zaˇstitna koˇsara, u čije gubitke je uračunat i gubitak
ulaznoga otvora.
Apscisa grafikona odgovara udaljenosti od početka cjevovoda, a ordinata geodetskoj
visini. Radi preglednosti mjerilo ordinate je često puta drugačije od mjerila apscise, o čemu
treba voditi računa. Ukoliko se ne raspolaˇze skicom cjevovoda, prvo će se izraditi takva
skica. Nakon toga se počinje s ucrtavanjem energetske linije, počevˇsi od ulaza u cjevovod i
idući prema njegovu kraju. Visina energetske linije jednaka je visini tekućine u rezervoaru
iz kojeg tekućina ulazi u cjevovod (slika 10.1), a ako se radi o zatvorenoj posudi, mora se toj
visini dodati nadtlak koji u njoj vlada. Na ulazu u cjevovod energetska linija skokovito pada
za iznos ulaznih gubitaka, a nakon toga se pravocrtno spuˇsta uz cijev do idućeg lokalnoga
gubitka. Na mjestu ispred toga gubitka energetska linija niˇza je za iznos lineranih gubitaka
u cijevi. Slijedi skokovito smanjenje energetske linije za iznos lokalnoga gubitka, itd. sve do
kraja cjevovoda. Na izlazu iz cjevovoda energetska linija je za iznos izlazne energije iznad
osi izlaznoga otvora i na mjestu izlaznoga otvora skokovito pada na nju (slika 10.2). Treba
zapaziti da energetska linija za realnu tekućinu uvijek pada od ulaza prema izlazu cjevovoda.
Kad je ucrtana energetska linija, nastavlja se s ucrtavanjem piezometarske linije. Ona je
za iznos brzinske visine ispod energetske linije, pa se uz pomoć podataka o brzinama u pojedinim
dijelovima cjevovoda prvo (ako već nije), odredi brzinske visine, a onda pristupa crtanju
piezometarske linije. Kao i kod energetske linije, počinje se od ulaza. Brzina u ulaznom
rezervoaru toliko je mala da ju se moˇze zanemariti, pa je tu visina piezometarske linije jednaka
visini energetske. Kod ulaznoga otvora dolazi do skokovita spuˇstanja piezometarske
linije za brzinsku visinu (za koju se uzima brzinu u cijevi iza otvora, tj. zanemaruje se postupne
promjene brzine oko samoga ulaznog otvora. Piezometarska visina za cijev je za iznos
brzinske visine ispod energetske linije, pa je piezmetarska linija paralelna s energetskom, a
nalazi se za iznos brzinske visine ispod nje.
Ako se dio cjevovoda izdiˇze iznad povrˇsine tekućine u ulaznom rezervoaru, u tom dijelu
cjevovoda dolazi do podtlaka. Da bi se izbjegla pojava negativnih vrijednosti u računu i
na skici, proračun ovakvih cjevovoda radi se s apsolutnim tlakovima. To znači da se sve
visine povećavaju za visinu atmosferskoga tlaka, izraˇzenu u visini stupca tekućine koja struji
cjevovodom (slika 10.4):
EL
PL

122 GLAVA 10: PRORAČUN JEDNOSTAVNOGA CJEVOVODA
0
h e
EL
PL
v 2 /2g
Slika 10.2: Zavrˇsetak crtanja energetske i piezometarske linije u slučaju istjecanja u okolnu
atmosferu.
h e
EL
PL
v
hiz 0 0
2 /2g
Slika 10.3: Zavrˇsetak crtanja energetske i piezometarske linije u slučaju istjecanja ispod
povrˇsine tekućine.
hat = pat
ρtekg
v
h iz
0
(10.17)
Za vodu i atmosferski tlak na povrˇsini mora je visina atmosferskog tlaka hat = 10, 32 m.
Dogodi li se da apsolutni tlak u nekom dijelu cjevovoda padne ispod tlaka para tekućine,
dolazi do spontanoga isparavanja tekućine i pojave mjehura pare (kavitacija). Kavitacija
dovodi do prekida normalnoga tečenja kroz cijevi a uz to moˇze izazvati i velika oˇstećenja
cjevovoda, pa se takav pad tlaka mora izbjeći pod svaku cijenu npr. povećavanjem presjeka
cijevi na kritičnom mjestu, ili spuˇstanjem izdignutoga dijela cijevovoda na niˇzu razinu).
Tlak para vode na sobnoj temperaturi je oko 40 mBar (hp = 0, 4 m), no kod lako hlapljivih
tekućina treba biti znatno oprezniji kod proračunavanja cjevovoda. Pokusi pokazuju da u
stvarnosti do kavitacije dolazi i kada je apsolutni tlak veći od tlaka para, pa se za donju
dozvoljenu granicu za vodu uzima hmin = 2 − 3 m.
Poseban problem predstavlja prikazivanje energetske i piezometarske linije za vertikalne

10.7: PRIKAZIVANJE ENERGETSKE I PIEZOMETARSKE LINIJE 123
p a /ρg
z 0
∆z
p min
v 2 /2g
z k
p a /ρg
Slika 10.4: Crtanje energetske i piezometarske linije kad se cjevovod izdiˇze iznad povrˇsine
tekućine u rezervoaru. Minimalni tlak pmin (uz isti presjek cijevi) javlja se na mjestu najvećega
izdignuća.
dijelove cjevovoda. Kod takvih cijevi energetska i piezometarska linija padaju zajedno po
osi cijevi pa se ne mogu prikazati. Zato se moˇze crtati graf s tzv. idealnom osi koja stoji
pod kutem od 45 o i sluˇzi kao referetna linija prema kojoj se konstruiraju energetska i pijezometarska
linija (slika 10.5). I ovdje se u crtanju koriste apsolutni tlakovi. Alternativno se
taj dio cjevovoda moˇze prikazati na posebnom grafikonu na kojem apscisa predstavlja duljinu
cijevi po vertikalnoj osi, a ordinata visinu energetske odn. pijezometarske linije. Ako je vertikani
dio cjevovoda predug, zbog stalnoga povećanja brzine, isto tako dolazi do kavitacije
i odvajanja toka od stijenke cijevi, pa se na takve cjevovode ne mogu primijeniti metode
računanja za cijevi ispunjene tekućinom.
v

124 GLAVA 10: PRORAČUN JEDNOSTAVNOGA CJEVOVODA
1
h e
h 1
d
2
h v,ul
v 2 /2g
p min
p=p a
45 o
p a /ρg
0 0
v,Q
p=0
h e
h ul+h cj
Slika 10.5: U slučaju vertikalne cijevi (ispustni ˇsahtovi, kanalizacijske cijevi u zgradama i
sl.) energetska i piezometarska linija padaju zajedno po osi cijevi pa se ne mogu prikazati.
Zato se moˇze crtati graf s tzv. idealnom osi koja stoji pod kutem od 45 o i sluˇzi kao referetna
linija prema kojoj se crtaju EL i PL. I ovdje se u crtanju koriste apsolutni tlakovi.
h iz

10.8: PUMPE 125
10.8 Pumpe
EL
h p
v v
EL
Slika 10.6: Idealna pumpa.
Kada je potrebno povećati energiju tekućine koriste se pumpe. Pumpa dodaje energiju
tekućini, ali ne mijenja njen protok (jednadˇzba kontinuiteta). Za potrebe proračuna koristi
se tzv. idealna pumpa. Za nju se uzima da na mjestu gdje se nalazi podiˇze energetsku
visinu za vrijednost koja se naziva energetska visina pumpe (slika 10.6). U stvarnosti uz
energetsku visinu pumpe, mora se paziti i na način na koji je pumpa ugradena u cjevovod
(slika 10.7).
h t
h u
h p
Slika 10.7: Realna pumpa.
Kod svake stvarne pumpe razlikuje se usisna strana i tlačna strana. Pumpa uvlači
tekućinu s usisne strane, podiˇze energiju tekućine za visinu hu, i istiskuje tekućinu istom
brzinom na tlačnoj strani dalje u cjevovod. Tekućina izlazi iz pumpe sa energetskom visinom
povećanom za energetsku visinu pumpe hp. Ukupno povećanje energetske visine je prema
tome hu + hp. Ovisno o konstrukciji pumpe, visina za koju pumpa moˇze podići tekućinu na

126 GLAVA 10: PRORAČUN JEDNOSTAVNOGA CJEVOVODA
usisnoj strani moˇze biti razlićita. Neke konstrukcije pumpi zahtijevaju nadtlak na usisnoj
strani (tada se visina usisavanja hu navodi kao negativna). U svakom slučaju, na usisnoj
strani ne smije se dogoditi da apsolutni tlak padne ispod tlaka para tekućine jer će doći do
prekida toka i pumpa neće moći pumpati. Na to posebno treba paziti kada se na usisnoj
strani voda uzima iz rezervoara (slika 10.8).
h s
v ul
Slika 10.8: Pumpa u situaciji kad podiˇze (usisava) vodu iz rezervoara.
Visina podizanja koju pumpa savladava na usisnoj strani (hs), jednaka je zbroju visine
pumpe (obično njene osovine) iznad povrˇsine tekućine, visini gubitaka koji nastaju u usisnoj
cijevi i brzinske visine na usisnoj strani, odnosno:
hs = hm + he + hv
h e
h v
h m
(10.18)
Ovisno o konstrukciji pumpe, postoji maksimalna moguća visina usisavanja, koja je dana
slijedećim izrazom:
hsmax = pat − pp
ρtekg − hul + v2 ul
2g
(10.19)
gdje je pat okolni tlak (obično atmosferski), pp je tlak para tekućine (na njega treba
obratiti posebnu pozornost kod lakohlapivih tekućina), hul je minimalni ulazni tlak potreban
da bi pumpa mogla raditi. On ovisi o konstrukciji pumpe a kod nekih vrsta pumpi moˇze biti
i veći od atmosferskog tlaka (potreban je nadtlak na ulazu pumpe). Brzinska visina dodaje
se u ovaj proračun zato jer ju proizvodači uračunavaju u minimalni ulazni tlak pumpe. U
slučaju da pumpa povlači vodu iz rezervoara, maksimalna visina pumpe iznad vode nalazi
se kombiniranjem jednadˇzbi (10.18) i (10.19) kao:
hm,max = pat − pp
ρtekg − hul − he (10.20)
Na kraju, bez ulaˇzenja u detalje, minimalna snaga motora koji pokreće pumpu dana je
sljedećim izrazom:

10.8: PUMPE 127
Pmin = ρtekgQhp
ηmηp
(10.21)
gdje je hp ukupna energetska visina pumpe, Q je protok tekućine, ηm je efikasnost motora
a ηp efikasnost pumpe.

128 GLAVA 10: PRORAČUN JEDNOSTAVNOGA CJEVOVODA

Glava 11
Istjecanje
U mnogim prilikama tekućina iz nekoga rezervoara slobodno istječe u okolni prostor, bilo
da se radi o otvoru na samoj stijenci rezervoara ili o kratkoj izlaznoj cijevi. Sve takve
situacije obuhvaćene su zajedničkim nazivom: istjecanje. Najčeˇsće se istjecanje odvija u
stacionarnim uvjetima (razina tekućine u rezervoaru odn. tlak iznad tekućine u zatvorenoj
posudi su konstantni). Ovisno o veličini otvora, govori se o istjecanju kroz male odn. istjecanju
kroz velike otvore. Pod malim otvorom smatra se svaki otvor koji je toliko malen da
se moˇze uzeti da je hidrostatski tlak na cijeloj njegovoj povrˇsini jednak.
11.1 Istjecanje kroz mali otvor
h
A
p a
B
0
pa 0
Slika 11.1: Istjecanje kroz mali otvor.
Kod istjecanja kroz male otvore smatra se da je otvor toliko mali da se moˇze zanemariti
promjena hidrostatskoga tlaka preko njegove povrˇsine. Drugim riječima, ako je otvor na
dubini h, a najveća dimenzija u vertikalnom smjeru mu je a, mora biti h >> a. Zamiˇsljenu
strujnicu konstruira se od povrˇsine tekućine, do srediˇsta izlaznoga otvora. Referentnu ravninu
takoder se postavlja kroz sredinu izlaznoga otvora. Bernoullijeva jednadˇzba je za taj
slučaj:
pa
ρg + v2 A pa
+ h =
2g ρg + v2 B
2g
129
+ 0 (11.1)

130 GLAVA 11: ISTJECANJE
Nadalje, uzima se da je rezervoar toliko velik da se brzinu tečenja na povrˇsini tekućine
moˇze zanemariti (vA ≈ 0). Uz ovu pretpostavku je izraz za brzinu istjecanja:
vB =
�
2gh (11.2)
Do ove formule je doˇsao već Torricelli, pa se ona po njemu često naziva Torricellijeva
formula za brzinu istjecanja. Zanimljivo je da je Torricellijeva brzina jednaka brzini padanja
tijela sa visine h u polju sile teˇze. U gornjem računu zanemareni su gubici na izlaznom
otvoru:
∆hg = ζ v2 B
2g
Uzme li se i njih u obzir, Bernoullijeva jednadˇzba postaje
ˇsto za brzinu istjecanja daje:
h = v2 B
2g
+ ∆hg
(11.4)
�
2gh
vB =
1 + ζ
(11.3)
(11.5)
Kod realne tekućine brzina istjecanja je neˇsto manja od Torricellijeve brzine. Ovdje se
često umjesto koeficijenta lokalnoga gubitka koristi koeficijent smanjenja brzine:
�
1
ϕ =
1 + ζ
zato ˇsto uz njega izraz za brzinu postaje jednostavno:
vB = ϕvT orr
(11.6)
(11.7)
gdje je vT orr Torricellijeva brzina istjecanja. Koeficijent smanjenja brzine odreduje se
eksperimentalno, a pravilnim zaobljenjem rubova izlaznoga otvora moˇze se postići ϕ = 0, 98.
Kod ovakvog istjecanja opaˇza se smanjenje presjeka mlaza nakon izlaska iz izlaznoga
otvora; tzv. kontrakcija mlaza (slika 11.2). Ova pojava opisuje se koeficijentom kontrakcije
µ:
µ = As
(11.8)
A
Kao i koeficijent smanjenja brzine, koeficijent kontrakcije odreduje se pokusima. Kod
računanja protoka, mora se uzeti u obzir i kontrakcija mlaza i smanjenje brzine zbog gubitaka,
pa izraz za protok postaje:
Q = vA = ϕvT orrµA (11.9)
Zbog praktičnosti se uvodi koeficijent istjecanja koji je definiran kao umnoˇzak koeficijenta
kontrakcije i koeficijenta smanjenja brzine:
α = ϕµ (11.10)
Uz upotrebu koeficijenta istjecanja izraz za protok (11.9) postaje:

11.2: ISTJECANJE KROZ MALI OTVOR ISPOD POVRˇ SINE TEKUĆINE 131
Slika 11.2: Kontrakcija mlaza kod istjecanja: presjek mlaza tekućine manji je od presjeka
izlaznoga otvora.
Q = αA
�
2gh (11.11)
a prednost ovakva izraza je da se koeficijent istjecanja lako dade izravno mjeriti. Vrijednosti
koeficijenta istjecanja navode se u ovisnosti o obliku otvora u raznim tehničkim
priručnicima. Primjerice za okrugli otvor oˇstrih rubova koeficijent istjecanja je α = 0, 61.
11.2 Istjecanje kroz mali otvor ispod povrˇsine tekućine
h A
A
p a
B
hB 0 0
Slika 11.3: Istjecanje kroz mali otvor u slučaju kada se on nalazi ispod povrˇsine tekućine.
Ako je otvor kroz koji tekućina istjeće ispod povrˇsine okolne tekućine, na desnoj strani
Bernoullijeve jednadˇzbe javlja se i hidrostatski tlak okolne tekućine na mjestu istjecanja.
Bernoullijeva jednadˇzba u tom slučaju izgleda ovako:
p a

132 GLAVA 11: ISTJECANJE
No, tlak na mjestu otvora je:
pa za Torricellijevu brzinu vrijedi izraz:
pa
ρg + v2 A
2g + hA = pB
ρg + v2 B
2g
pB = pa + ρghB
vT orr =
+ 0 (11.12)
(11.13)
�
2g(hA − hB) (11.14)
Kod realne tekućine i u ovom slučaju mora se uzeti u obzir koeficijent smanjenja brzine
i koeficijent istjecanja a izrazi za brzinu (11.14) i protok (11.9) ostaju nepromijenjeni.
11.3 Istjecanje iz posude pod tlakom
h
A
p p
B
p atm
0 0
Slika 11.4: Istjecanje iz posude pod tlakom.
Ako se tekućina nalazi u zatvorenoj posudi pod tlakom, taj se tlak javlja na lijevoj strani
Bernoullijeve jednadˇzbe (i dalje se pretpostavlja mali otvor!):
patm + ∆p
ρg
+ v2 A
2g
patm
+ h =
ρg + v2 B
2g
+ 0 (11.15)
pri čemu se apsolutni tlak u posudi izraˇzava kao zbroj atmosferskoga i relativnog tlaka
(patm + ∆p). Za Bernoullijevu brzinu se dobije neˇsto sloˇzeniji izraz:
�
� �
�
vB = �2g h + ∆p
�
ρg
(11.16)

11.4: ISTJECANJE KROZ VELIKI OTVOR 133
11.4 Istjecanje kroz veliki otvor
A
p a
h 2
h 1
B
p a
h B
Slika 11.5: Istjecanje kroz veliki otvor.
Kod velikoga otvora mora se uzeti u obzir ovisnost hidrostatskoga tlaka o dubini. Tako
je za gornji rub otvora hidrostatski tlak manji, nego za donji. Općenito, promatra li se neku
strujnicu koja prolazi kroz točku B unutar velikoga otvora, bit će brzina istjecanja u njoj
veća od brzine istjecanja za gornji rub otvora, a manja od brzine istjecanja za donji rub
otvora:
vB ≈
�
2ghB
p a
(11.17)
Izraz (11.17) je pribliˇzan, jer se pretpostavlja da je vanjski tlak u točki B jednak atmosferskom.
U stvarnosti se ovaj tlak razlikuje od atmosferskoga za doprinos radijalnoga tlaka,
koji dolazi od zakrivljenosti strujnice, ali je on uglavnom razmjerno malen pa se u jednostavnim
računima ovoga tipa on zanemaruje. No, promjenu brzine istjecanja po visini otvora
ne moˇze se zanemariti, pa se protok mora odrediti integracijom preko povrˇsine otvora. U tu
svrhu se prvo odredi protok koji odgovara uskoj horizontalnoj povrˇsini unutar otvora koja
se nalazi na dubini h, a visoka je dh (ˇsirina otvora na tom mjestu neka je b):
dQ = µb
�
2ghdh (11.18)
Ukupni protok je integral preko cijele povrˇsine otvora, u ovom slučaju od dna do vrha
otvora:
Q =
� h2
h1
dQ (11.19)
Pritom se mora uzeti o obzir ovisnost ˇsirine otvora o dubini h. U najjednostavnijem
slučaju, kad je otvor pravokutan, ukupni protok kroz njega je:
Q = 2
3 µb
� �
2g
2 − h 3
�
2
1
h 3
2
(11.20)

134 GLAVA 11: ISTJECANJE
11.5 Istjecanje kroz otvor ispred kojega tekućina ne
miruje
h
v A
A
p a
0 0
vB Slika 11.6: Istjecanje u slučaju kad tekućina ispred otvora ne miruje.
Ako tekućina ispred otvora ne miruje, javlja se na desnoj strani Bernoullijeve jednadˇzbe
i brzinski član:
a izraz za Toricellijevu brzinu postaje:
B
pa
ρg + v2 A pa
+ h =
2g ρg + v2 B
2g
vB =
�
2gh + v 2 A
p a
+ 0 (11.21)
(11.22)
U slučaju velikoga otvora protok se opet odreduje integracijom preko provrˇsine otvora.
Tako se primjerice za pravokutni otvor dolazi do slijedećeg izraza:
Q = 2
3 µb
�
2g
⎡�
⎣
h2 + v2 A
2g
� 3 �
2
− h1 + v2 A
2g
� 3
2
⎤
⎦ (11.23)

11.6: NESTACIONARNO ISTJECANJE 135
11.6 Nestacionarno istjecanje
h
S
Q van
A
Q d
Slika 11.7: Istjecanje iz rezervoara koji se istovremeno i puni.
Ako se neki od članova koji ulaze u Bernoullijevu jednadˇzbu mijenja, istjecanje postaje
nestacionarno. Primjerice, zbog istjecanja moˇze doći do smanjenja razine tekućine u rezervoaru,
pa se tlačna visina s vremenom smanjuje. Ukoliko su promjene spore, moˇze se i dalje
rjeˇsenje traˇziti uz pomoć izraza za stacionarno istjecanje, ali se mora imati na umu da su sad
veličine koje u te izraze ulaze, vremenski promjenljive. Kao primjer se daje slučaj rezervoara
koji se prazni kroz otvor na dnu, a istovremeno u njega iz neke cijevi dotječe tekućina (slika
11.7).
Protok kroz rupu na dnu rezervoara dan je od prije poznatim izrazom:
�
Qvan = αA 2gh (11.24)
Treba primijetiti da u ovom slučaju on ovisi o trenutnoj dubini tekućine u rezervoaru.
Neka istovremeno u rezervoar dotjeće tekućina sa protokom Qd, za koji će se pretpostaviti
da je konstantan. Vremenom će se razina tekućine u rezervoaru tako dugo mijenjati, dok se
ulazni i izlazni protoci ne izjednače. Ravnoteˇznu dubinu nalazi se izjednačavanjem ova dva
protoka:
Qd = Qvan → h◦ = Q2 d
2g(αA) 2
(11.25)
Ako je početna dubina veća od ravnoteˇzne, ona će se vremenom smanjivati dok ne dosegne
ravnoteˇznu vrijednost, a ako je bila manja, razina će rasti do ravnoteˇzne vrijednosti. Vrijeme
potrebno da se razina tekućine promijeni s h1 na h2 odredi se pomoću činjenice da je
smanjenje volumena tekućine u rezervoaru u nekom vremenu dt jednaka razlici volumena
tekućine koja istekne iz rezervoara i volumena tekučine koja u istom tom vremenu doteče u
njega (jednadˇzba sačuvanja volumena tekućine).
�
Sdh = Qddt − αA 2ghdt (11.26)

136 GLAVA 11: ISTJECANJE
čijom se integracijom dobija traˇzeno vrijeme:
t1,2 =
1
αA √ � h2
2g h1
S(h)dh
√ h◦ − √ h
(11.27)
Da bi se rijeˇsio ovaj integral, mora se znati kako povrˇsina presjeka rezervoara ovisi o
dubini h. Ako je posuda prizmatičnoga oblika (uključujući i oble oblike), S je konstantan i
rjeˇsenje se lako nade:
t1,2 = 2S
αA √ �
� � � √
h◦ −
h1 − h2 + h◦ ln
2g
√ h1
√
h◦ − √ �
(11.28)
h2
Prekine li se u nekom trenutku dotok tekućine u rezervoar, dolazi do njegova praˇznjenja.
Vrijeme potrebno da se razina tekućine spusti s h1 na h2 odreduje se uvrˇstavanjem ho = 0 u
gornji izraz:
t1,2 = 2S
αA √ �� � �
h1 − h2
2g
I na kraju, vrijeme potrebno da se rezervoar potpuno isprazni je:
to = 2S√ h1
αA √ 2g
(11.29)
(11.30)
Ovo vrijeme dva je puta duˇze od vremena potrebnoga da isti volumen tekućine isteče iz
rezervoara ako se dubinu h1 drˇzi konstantnom.
11.7 Mlazovi
v o
α
h max
l max
Slika 11.8: Geometrija mlaza tekućine.
Mlaz je struja tekućine potpuno omedena slobodnom povrˇsinom. U mlazu se fluid slobodno
giba prostorom i podvrgnut je samo sili teˇzi i silama trenja s okolinom, koje su često
zanemarive. To znači da se čestice telućine u mlazu gibaju kao nezavisna kruta tijela, pa
za njih vrijede zakoni gibanja materijalne točke (kosi hitac), koje će se ovdje saˇzeto navesti.
Ako je početna brzina mlaza �v0:

11.7: MLAZOVI 137
uz zanemarivanje otpora zraka njezine komponente su:
�v0 = vx0 �i + vy0 �j (11.31)
vx = vx0 vy = vy0 − gt (11.32)
a koordinate čestice fluida u mlazu, koji je trenu t = 0 izaˇsao iz cijevi su:
x = vx0t y = vy0t − gt2
2
Čestica će u tjeme putanje doći nakon vremena:
i dosegnuti će visinu:
tm = vy0
g
hmax = v2 y0
2g
Ukupno vrijeme leta (uz pretpostavku horizontalne podloge): je
tlet = 2tm
a domet mlaza (mjesto gdje mlaz udara u podlogu) je:
lmax = 2vx0vy0
g
(11.33)
(11.34)
(11.35)
(11.36)
(11.37)
Izraze li se komponente brzine preko početnoga kuta koji mlaz zatvara s horizontalom:
izraz za domet postaje:
vx0 = v0 cos α vy0 = v0 sin α (11.38)
lmax = v2 0
g
sin 2α (11.39)
odakle se vidi da se maksimalni domet mlaza postiˇze kad je kut α=45 o . Omjer dometa i
maksimalne visine mlaza je:
lmax
hmax
= 4 vx0
vy0
= 4 cot α (11.40)
Napominje se da u stvarnosti mlazevi dostiˇzu do 3/4 teorijske visine, odn. dometa.

138 GLAVA 11: ISTJECANJE
11.7.1 Horizontalni mlaz
Slika 11.9: Horizontalni mlaz - istjecanje iz rezervoara na postolju.
Kod horizontalnoga mlaza, primjerice istjecanja iz posude na postolju (slika 11.9) brzina
istjecanja je:
domet mlaza:
i vrijeme leta:
vx0 =
h t
h m
�
2ght
�
lmax = 2 hthm
tmax =
�
2ghm
(11.41)
(11.42)
(11.43)

11.7: MLAZOVI 139
11.7.2 Vertikalni mlaz prema dolje
Slika 11.10: Vertikalni mlaz - istjecanje kroz dno posude.
U slučaju vertikalnoga mlaza prema dolje, tekućina se padanjem pod djelovanjem sile
teˇze ubrzava, pa zbog sačuvanja protoka dolazi do smanjenja presjeka mlaza. Nakon neke
visine padanja dolazi do raspadanja mlaza na veće ili manje čestice tekućine, nakon čega
se na takav mlaz viˇse ne moˇze primijeniti izraze izvedene za homogenu tekućinu. Zato se
vertikalni mlazevi kada god je to moguće izbjegavaju.
h t
h

140 GLAVA 11: ISTJECANJE
11.7.3 Vertikalni mlaz prema gore
Slika 11.11: Vertikalni mlaz - vodoskok.
Ako je mlaz usmjeren vertikalno prema gore (vodoskok) dolazi do usporavanja čestica
tekućine i na kraju do njihovoga potpunoga zaustavljanja. Nakon toga čestice počinju padati
prema dolje, mlaz se raspada i otpor zraka postaje značajan faktor u njihovu usporavanju.
Ako je tlak kojim se tekućina na izlazu iz cijevi tlači prema gore po, teorijska visina dosega
mlaza je:
uz početnu brzinu:
hmax = p0
ρg
v0 =
�
2p0
ρ
h max
(11.44)
(11.45)

Glava 12
Tečenje u otvorenim koritima
0
1 2
z 1
z 1
z 2
∆h (h 1,2 )
∆h (h 1,2 )
zo zE 0 0
Slika 12.1: Bernoullijeva jednadˇzba za cijev pod tlakom (gore) i otvoreni tok (dolje).
Kod tečenja u otvorenim koritima, bilo da se radi o prirodnim tokovima, ili umjetno
izradenim kanalima, tekućina s gornje strane graniči s okolnom atmosferom. Ploha koja
predstavlja tu granicu vrlo pribliˇzno je ravna i naziva se slobodna povrˇsina. Na slobodnoj
povrˇsini hidrostatski tlak je u ravnoteˇzi s atmosferskim, pa je piezometarska linija jednaka
liniji slobodne povrˇsine fluida (općenito trodimenzionalne plohe). U ovoj činjenici skriva se
i bitna razlika prema tečenju kroz cijevi: kod toka u otvorenim koritima razina tekućine
se slobodno mijenja, pa se mijenja i hidraulički radijus. To znači da koeficijent otpora
(vidi turbulentni tok u hidraulički hrapavom reˇzimu) ovisi o dubini toka. Kod cijevi je on
konstantan.
Nadalje, trenje izmedu atmosfere i slobodne plohe je vrlo malo i uglavnom se moˇze
zanemariti, tako da otporu tečenju doprinosi samo dio korita ispod povrˇsine tekućine (tzv.
močeni dio korita).
Treba se podsjetiti načina na koji se rjeˇsavalo Bernoullijevu jednadˇzbu za cijevi (slika
12.1). Tok kroz cijev pod tlakom je prikazan kao strujna cijev koja u cjelosti ispunjava
unutraˇsnjost cijevi. Geodetska linija podudara se s osi cijevi, a piezometarska i energetska
141
z 2
0
z p
z
zo zE z p
z

142 GLAVA 12: TEČENJE U OTVORENIM KORITIMA
linija nalaze se iznad nje, uvijek iznad same cijevi. Gubici izmedu dva presjeka jednaki su
ukupnom padu energetske linije izmedu njih.
Kod otvorenoga toka geodetska linija prolazi dnom korita, a piezometarska linija se podudara
s povrˇsinom tekućine (jer je kod nje, kao i u piezometru, tlak na povrˇsini tekućine
jednak okolnom tlaku). Kao i prije, energetska linija je za brzinsku visinu iznad povrˇsine
tekućine, a gubici se definiraju na isti način kao i kod cjevovoda pod tlakom: kao pad
energetske linije.
O
A
Slika 12.2: Odredivanje hidrauličkog radijusa za otvoreni tok.
Kao i kod toka pod tlakom u cjevovodima, hidraulički radijus definira se kao omjer
povrˇsine presjeka toka i njegova opsega. No, kod otvorenih tokova u opseg se ne uračunava
slobodna ploha jer na njoj trenje praktički ne postoji. Opseg toka je kod otvorenoga toka
dakle jednak omočenom dijelu korita.
Padovi dna korita, slobodne povrˇsine te piezometarske i energetske linije su kod otvorenih
tokova uglavnom mali (reda veličine promila) i polagano se mijenju, i za njih se koriste
standardizirane oznake:
pad dna korita:
I = z1 − z2
L
pad vodnoga lica (= slobodna povrˇsina, = piezometarska linija):
pad energetske linije:
I0 = zh1 − zh2
L
L
(12.1)
zh1 = h1 + z1 zh2 = h2 + z2 (12.2)
IE = H1 − H2
L
= ∆h
L
(12.3)
L je udaljenost izmedu dva presjeka u kojima se promatra odgovarajuće veličine. Ovi
padovi vrlo često se izraˇzavaju u promilima, o čemu kod praktičnih računa treba voditi brigu.

12.1: JEDNOLIKO TEČENJE 143
12.1 Jednoliko tečenje
Kod jednolikoga tečenja hidrauličke karakteristike toka jednake su po cijeloj njegovoj duˇzini
(hidrauličke karakteristike su presjek toka, nagib dna i koeficijent trenja). U tom slučaju
su i protok te srednja brzina konstantni, a energetska linija postaje paralelna sa slobodnom
povrˇsinom i dnom korita. To znači da su i odgovarajući padovi, srednje brzine i proticajni
presjeci medusobno jednaki:
pa je prema tome:
I = I0 = IE
v1 = v2 = v
A1 = A2 = A
(12.4)
Q = const. (12.5)
Dubina vodotoka kod koje je tečenje jednoliko naziva se normalna dubina, ho.
Pogledajmo sad situaciju kod jednolikog tečenja detaljnije. Sila trenja je (uz pretpostavku
da su stijenke korita svugdje jednako hrapave, ˇsto se podrazumijeva pod zahtjevom da tečenje
bude jednoliko) jednako rasporedena po cijeloj omočenoj povrˇsini korita, pa se moˇze pisati:
Ft = kρ v2
OL (12.6)
2
gdje je k konstanta proporcionalnosti (koeficijent otpora). Ukupni gubitak energije je,
kao i kod cjevovoda:
odnosno:
∆h = Ft
ρgA
∆h = k v2
2g
L
Rh
(12.7)
(12.8)
Ako se zna da je ∆h = IEL (za jednoliki tok), preslagivanjem gornjeg izraza dobiva se
brzina toka:
v =
�
2g �
�
RhIE = C RhIE
k
Ovo je Chezyeva formula (odredio ju je A. Chezy 1769. pokusima), i očito je:
(12.9)
�
2g
C =
(12.10)
k
Dosta dugo smatralo se da je Chezyev koeficijent C konstanta, no pokazalo se da C
zapravo ovisi o relativnoj hrapavosti korita i Reynoldsovom broju. Danas se C odreduje
pomoću nekoliko aproksimativnih formula, od kojih se najčeˇsće koriste Mannigova formula,
koja daje vrlo dobru aproksimaciju Chezyeva koeficijenta:
C = 1
n
R 1
6
h
(12.11)

144 GLAVA 12: TEČENJE U OTVORENIM KORITIMA
Tablica 12.1: Tipične vrijednosti Manningovoga odn. Stricklerovoga koeficijenta za kanale.
dno korita n [sm −1/3 ] k [s −1 m 1/3 ]
vrlo glatko 0,009 110
beton 0,014 70
zemlja 0,028 35
erodirani zemljani kanal >0,04

12.1: JEDNOLIKO TEČENJE 145
ili
λ = 8g
C 2
(12.19)
sada se joˇs C izrazi preko Manningove formule pa se za koeficijent trenja cijevi nalazi:
No, kod cijevi je Rh = d/4 pa je na kraju:
λ = 8gn2
R 1
3
h
λ = 125n2
3√ d
(12.20)
(12.21)
Ovo je tzv. Manningova formula za koeficijent trenja cijevi. Radi svoje jednostavnosti
vrlo često se koristi u praksi. Manningova formula vrijedi za hidraulički hrapave cijevi, a
rezultati koje ona daje unutar su pogreˇske koju netočnosti u poznavanju hrapavosti cijevi
izazivaju kod Colebrook-Whiteove formule (da ne bude zabune, ni Manningov koeficijent
hrapavosti n za danu situaciju nije sasvim točno poznat).
12.1.2 Protočna krivulja
Protočna krivulja prikazuje ovisnost protoka o dubini toka (vodostaju). Uz pomoć Chezyjeve
formule za srednju brzinu lako se dolazi do izraza za protok:
a veličina ko:
�
�
Q = Av = AC RhIE = ko IE
�
k0 = AC Rh
(12.22)
(12.23)
radi toga jer ima dimenziju protoka, naziva se modul protoka. Protočna krivulja
odreduje se računanjem protoka za različite dubine toka, i obično se definira analitički i
prikazuje grafički. Opčenit analitički izraz za protočnu krivulju ne moˇze se odrediti zato
ˇsto je protok odreden sa dvije veličine koje ovise o dubini toka na različite načine: povrˇsini
presjeka toka i hidrauličkom radijusu, a te ovisnosti su za svaki presjek korita drugačije.
Upotrebom Manningove formule, izraz za modul protoka pojednostavljuje se i glasi:
k0 = 1
n
AR 2
3
h
(12.24)
Kod proračunavanja prtočne krivulje prvo se, za različite dubine vodotoka, izračunaju
hidrauličke karakteristike korita (A, O i Rh), a nakon toga se računa modul protoka i sam
protok.
Kod prirodnih tokova tečenje najčeˇsće nije jednoliko pa se IE ne mjeri. Protočna krivulja
odreduje se preko mjerenja raspodjele brzine po presjeku toka, iz čega se računaju srednje
brzine toka, te protok.

146 GLAVA 12: TEČENJE U OTVORENIM KORITIMA
12.2 Nejednoliko tečenje
Ako tok nije jednolik, hidrauličke karakteristike toka mijenjaju se po njegovoj duljini. Dubina
toka (vodno lice) se takoder stalno mijenja, a energetska linija zbog energetskih gubitaka
stalno opada. S druge strane, dubina toka na nekim mjestima se moˇze i povećavati. Kod
nejednolikoga toka općenito postoje dva moguća oblika slobodne povrˇsine: uspor i depresija
(slika 12.3). Kod uspora dolazi do usporavanja toka (smanjenja brzine) i povećanja dubine
toka. Dubina toka veća je od normalne. Uzroci uspora mogu biti različiti, a uglavnom se
radi o preprekama u toku, promjeni presjeka korita ili smanjenju pada dna korita.
I 1
I
Slika 12.3: Oblici slobodne povrˇsine kod nejednolikoga tečenja: uspor (gore) i depresija
(dolje).
U slučaju depresije dolazi do povećanja brzine toka a dubina se smanjuje ispod normalne.
Uzroci depresije su obično povećanja pada dna korita.
Proračun nejednolikoga toka uglavnom je sloˇzeniji od proračuna jednolikoga toka. Ako su
promjene hidrauličkih parametara toka postupne, tok se naziva postupno (sporo) promjenjivi
tok, a proračun se odvija tako, da se cijelu duljinu toka dijeli na dijelove unutar kojih se
moˇze uzeti da je tok pribliˇzno jednolik. Za svaki takav dio uzima se da je Chezyev koeficijent
nepromjenjiv (iako svaki dio ima svoju vrijednost tog koeficijenta) pa se tako na pojedine
odsječke primjenjuje poznate relacije za jednoliki tok. Proračun se počinje od dijela za koji
se zna vodostaj i protok, a sljedeće (ili prethodne) odsječke se onda proračunava uz pomoć
Bernoullijeve jednadˇzbe i jednadˇzbe kontinuiteta, pri čemu je često puta potrebno koristiti
iterativne ili grafičke metode računanja.
I 2
h 0
h 0

12.3: SPECIFIČNA ENERGIJA PRESJEKA 147
12.3 Specifična energija presjeka
Energija koju jedinična masa fluida posjeduje, mjereno prema dnu toka, naziva se specifična
energija presjeka:
Hs = h + δ v2
2g
(12.25)
Coriolissov koeficijent se za otvorene tokove kreće izmedu 1,0 i 1,1 pa ga često ne treba
uvoditi u račun. Specifična energija presjeka se računa za različite dubine toka h, pri čemu se
protok drˇzi konstantnim. Iz dobivenih rezultata se crta krivulja specifične energije presjeka
(slika 12.4).
H s
H 0
45 o
h c
H s=f(h)
h
H s=h
v 2 /2g
Slika 12.4: Opći izgled grafikona specifične energije presjeka.
Dubina toka hc za koju je specifična energija presjeka minimalna naziva se kritična dubina.
Tok kod kritične dubine naziva se kritični tok. Ako je dubina toka veća od kritične,
brzina toka je malena, dominira potencijalna energija fluida a takav tok se naziva mirni tok.
Ako je pak dubina manja od kritične, brzina toka je velika i dominira kinetička energija
fluida, a takav se tok naziva siloviti tok.
Razmatrimo detaljnije situaciju u nekom presjeku toka (slika 12.5). Ako se dubina toka
h poveća za diferencijalno malu vrijednost dh, povrˇsina presjeka toka povećat će se za dA =
b(h)dh, gdje je b(h) ˇsirina toka kod dubine h. Drugim riječima, promjena povrˇsine presjeka
toka sa dubinom je:
dA
dh
S druge strane, specifična energija presjeka je:
Hs = h + δ v2
2g
h
= b(h) (12.26)
= h + δ Q2
2gA 2
(12.27)
ako se brzina v izrazi preko omjera protoka i povrˇsine presjeka toka. Promjena specifične
energije s dubinom toka je:

148 GLAVA 12: TEČENJE U OTVORENIM KORITIMA
b(h)
A
Slika 12.5: Račun specifične energije presjeka u ovisnosti o dubini toka.
dHs
dh
ˇsto uz upotrebu izraza (12.26) daje:
dHs
dh
= 1 − δQ2
g
dA
A 3 dh
h
dh
dA
(12.28)
δQ2
= 1 − b = 1 − Π (12.29)
gA3 Bezdimenzionalna veličina Π naziva se parametar kinetičnosti toka:
Π = δQ2
b (12.30)
gA3 U slučaju da je tok kritičan, specifična energija toka je minimalna pa njezina derivacija
mora isčezavati, iz čega slijedi da je u tom slučaju Π = 1. Uz zanemarivanje Coriolisovoga
koeficijenta (stavi se δ = 1), slijedi da je za kritični tok omjer:
Bezdimenzionalni izraz:
v 2 c
ghc
Fr = v2
gh
= 1 (12.31)
(12.32)
naziva se Froudeov broj. Ovdje je h (srednja) dubina toka. Froudeov broj se koristi za
odredivanje vrste toka. Lako se vidi da je za Fr < 1 tok miran, za Fr = 1 kritičan, a za
Fr > 1 silovit.

12.4: PRELJEVI 149
12.4 Preljevi
gornja voda
kruna preljeva
donja voda
Slika 12.6: Oˇstrobridni preljev.
Preljev je prepreka u koritu preko koje se tekućina preljeva. Nanjednostavniji preljev je
zid sagraden popreko na tok (slika 12.6). Ovakav preljev naziva se oˇstrobridni preljev.
Vrh zida naziva se kruna preljeva, koja je u ovom slučaju oˇstri (hidraulički) gornji rub zida.
Preljev dijeli tok tekućine na gornju vodu (tok ispred preljeva) i donju vodu. Ako tok donje
vode ne utječe značajno na tok gornje vode, kaˇze se da je preljev nepotopljen. U suprotnom
slučaju (slika 12.7) govori se o potopljenom preljevu. U tom slučaju razina donje vode je
bliska ili je čak i viˇsa od krune preljeva. Za odredivanje je li preljev potopljen ili ne, moˇze
se koristiti sljedeći kriterij:
s < 0, 7hp
(12.33)
Ako je ovaj uvjet zadovoljen, preljev je nepotopljen, a u suprotnom se radi o potopljenom
preljevu.
h
h p
Slika 12.7: Potopljeni oˇstrobridni preljev.
Kod računanja protoka preljeva koristi se izraz za protok kroz veliki otvor, u kojem je
visina gornjega ruba otvora jednaka razini tekućine (h1 = 0) pa se tako dobije Polenijeva
formula za protok preko preljeva:
s
h d

150 GLAVA 12: TEČENJE U OTVORENIM KORITIMA
Q = 2
3 µb
�
2g(h0) 3
2 (12.34)
µ je koeficijent kontrakcije mlaza (ovdje u vertikalnom smjeru), b je ˇsirina krune preljeva,
a h dubina tekućine na preljevu. Zbog spuˇstanja razine tekućine na mjestu preljeva, visina
vode iznad krune preljeva mora se mjeriti ispred preljeva, barem na udaljenosti od 4-5 dubina
od preljeva (slika 12.8). Sniˇzenje razine tekućine na kruni preljeva moˇze biti do 0,15 visine
preljevnoga mlaza.
h
5h
b
0,15h
Slika 12.8: Spuˇstanje razine tekućine na preljevu. Zbog toga se dubina tekućine na preljevu
mjeri na udaljenosti od 4-5 h iza krune preljeva.
Polenijeva formula zanemaruje bočnu kontrakciju preljevnoga mlaza, ˇsto je uglavnom
opravdano, jer je ˇsirina korita uglavnom mnogostruko veća od dubine toka, pa relativno
maleno bočno suˇzenje nema bitan utjecaj na protok. Suprotno tome, kontrakcija u vertikalnom
smjeru ne smije se zanemariti, i opisuje se koeficijentom kontrakcije mlaza µ. U
dijelu literature koristi se umjesto koeficijenta kontrakcije mlaza Bazinov koeficijent kontrakcije
koji vrijedi samo za oˇstrobridni preljevè:
ˇsto pojednostavljuje izraz za protok:
m = 2
µ (12.35)
3
�
Q = mb 2g(h0) 3
2 (12.36)
Bazin-ov koeficijent kontrakcije računa se po empirijskoj formuli:
gdje je:
⎡ � � ⎤
2
m = m0 ⎣1
h
+ 0, 55
⎦ (12.37)
h + hp
m0 = 0, 405 +
0, 003
h
(12.38)

12.4: PRELJEVI 151
pri čemu h mora biti izraˇzen u metrima. Kod proračunavanja potopljenoga oˇstrobridnog
preljeva Bazinov koeficijent kontrakcije se joˇs dodatno mnoˇzi s Bazinovim koeficijentom
potopljenosti:
�
σ = 1, 05 1 + 0, 2 h
� �
3 h − hd
h
12.4.1 Preljev sa ˇsirokim pragom
h 0
h v h c
h
h p
Slika 12.9: Preljev sa ˇsirokim pragom u stvari je ˇsiroka ploča na dnu korita.
hp
h d
EL
(12.39)
Ako je kruna preljeva ˇsiroka, govori se o preljevu sa ˇsirokim pragom. Kod ovakvoga preljeva
visina samoga preljeva znatno je manja od njegove ˇsirine. Ovakav preljev je nepotopljen,
ako je dubina vode na njemu manja od kritične dubine, dakle ako je zadovoljen uvjet (slika
12.9):
hd < hc
(12.40)
Za proračun nepotopljenoga preljeva sa ˇsirokim pragom koriste se iskustvene formule
Berezinskijeva:
�
Q = mb 2gh 3
2
gdje se koeficijent preljeva računa po slijedećim izrazima:
0, 6 < hp
h
2, 5 < hp
h
< 2, 5 m = 1, 973 − 0, 222hp
h
< 10 m = 1, 7061 + 1, 30 hp
h
1 + 1, 63 hp
h
0
(12.41)
(12.42)
(12.43)

152 GLAVA 12: TEČENJE U OTVORENIM KORITIMA
12.4.2 Preljev praktičnoga profila
Slika 12.10: Preljev praktičnoga profila slijedi donju strujnicu u mlazu tekućine. Potreban
oblik presjeka proračunava se numerički, pa se kod gradnje koriste unaprijed definirani oblici.
Da se izbjegne nastajanje podtlaka ispod mlaza tekućine koji se prelijeva preko preljeva,
izraduju se preljevi praktičnoga profila kod kojih oblik preljeva na strani donje vode
slijedi donju strujnicu tekućine (slika(12.10). Potreban oblik preljeva je standardiziran i
moˇze se naći u raznim tehničkim priručnicima. Proračun preljeva praktičnoga profila radi
se po Polenijevoj formuli, a odgovarajući koeficijenti prelijevanja definiraju se redovito na
osnovi dijagrama iz stručne literature.
12.4.3 Slapiˇste i vodni skok
0
0
h o
h 1
1
1
Slika 12.11: Presjek kroz slapiˇste i vodni skok koji nastaje iza njega. Energetska linija
ucrtana je crtkano.
Slapiˇste je dio hidrotehničke gradevine na kojem se disipira energija oslobodena prilikom
prelijevanja vode preko preljeva. Naime, preljevni mlaz ima dovoljnu brzinu da teče silovito,
ˇsto na dnu toka izaziva velika naprezanja u materijalu podloge, pa se teˇzi tome da se siloviti
v 1
h 2
2
2
v 2

12.4: PRELJEVI 153
tok na samoj gradevini prevede u mirni. Mjesto gdje dolazi do usporavanja silovita toka i
prelaska u mirni tok naziva se vodni skok (hidraulički skok). U ovom slučaju razlikuje se
dvije karakteristične dubine: prva konjugirana dubina h1 u silovitom toku ispred vodnoga
skoka te druga konjugirana dubina h2 iza vodnoga skoka. Sam vodni skok moˇze biti potopljen.
Tada je dubina mirne vode hm veća od druge konjugirane dubine h2. U suprotnom
slučaju kaˇze se da je vodni skok odbačen: on se tada javlja na nekoj udaljenosti od gradevine.
Ako se vodni skok nalazi na granici izmedu ova dva slučaja, govori se o kritičnom (nestabilnom)
stanju. U praksi se teˇzi potapanju vodnoga skoja jer je tada moguće ostvariti kraće
slapiˇste.
Proračun vodnoga skoka započinje postavljanjem Bernoullijeve jednadˇzbe za presjeke 0-0
i 1-1 (slika 12.11) jer je energetska visina u presjeku 0-0 (ho) poznata:
h0 = h1 + v2 1
2g + ζ v2 1
2g
U daljnjem računu pretpostvalja se pravokutni presjek korita, ˇsirine b, pa je:
ˇsto se uvrsti u Bernoulli-jevu jednadˇzbu:
uz:
je:
v1 = Q
bh1
h0 = h1 + (ζ + 1) Q2
2gh 2 1
h1 =
ϕ =
1
√ 1 + ζ
Q
�
ϕ 2g(h0 − h1)
(12.44)
(12.45)
(12.46)
(12.47)
(12.48)
ϕ se uglavnom kreće izmedu 0,95 i 1,0 pa se često puta zanemaruje. Druga konjugirana
dubina, h2, se nalazi uz pomoć ravnoteˇze sila u presjecima 1-1 i 2-2. Pri tome je ukupna
tlačna sila dana kao:
P = ρg
2 h2
a ukupna sila nastala zbog gibanja tekućine (dinamički tlak) kao:
F = ρ Qv Q2
= ρ
h b2h Izjednačavanje ovih sila u presjecima 1-1 i 2-2 daje:
odnosno:
P1 + F1 = P2 + F2
1 �
h
2
2 2 − h 2 �
1 = Q2
b2 �
1
−
g h1
1
�
h2
(12.49)
(12.50)
(12.51)
(12.52)

154 GLAVA 12: TEČENJE U OTVORENIM KORITIMA
Protok se izrazi preko brzine i dubine u presjeku 1-1:
Q = v1bh1
pa se nakon sredivanja dolazi do izraza za drugu konjugiranu dubinu:
razlomak ispod korjena je Froudeov broj, Fr:
(12.53)
⎛�
�
�
h2 = ⎝�
v
1 + 8 2 ⎞
1
− 1⎠
(12.54)
gh1
Fr1 = v2 1
gh1
pa se vidi da druga konjugirana dubina ovisi o Froudeovom broju:
h2 =
��
�
1 + 8Fr1 − 1
Duˇzina vodnoga skoka procjenjuje se iskustvenim izrazom (Smetana 1933):
(12.55)
(12.56)
Ls = 6(h2 − h1) (12.57)
a za potrebnu duˇzinu slapiˇsta uzima se 10% veća duˇzina (Jović 1977):
Lslp = 1, 1Ls
(12.58)

Literatura
[1] Agroskin, I. I., Dmitrijev, G. T., Pikalov, F. I. Hidraulika, Tehnička knjiga, Zagreb
1973.
[2] Bollrich, G. Technische Hydromechanik Band 1, Verlag Bauwesen, Berlin 2000.
[3] Shaughnessy, E. J. Jr., Katz, I. M., Scaffer, J. P. Introduction to fluid mechanics,
Oxford University Press, New York 2005.
[4] Jović, V. Osnove hidromehanike, Element, Zagreb 2006.
[5] Tavoularis, S.Measurement in fluid mechanics, Cambridge University Press, Cambridge
UK 2005.
[6] Chow, V.T.Open-Channel Hydraulics, McGraw-Hill, Singapure 1986.
[7]
Čavlek, E.Hidraulika, Geodetski fakultet Sveučiliˇsta u Zagrebu 1975.
[8] Fancev, M. Mehanika Fluida, Tehnička Enciklopedija, Svezak 8, Jugoslavenski Leksikografski
zavod, Zagreb, str. 67-173, 1982.
[9] Pečornik, M. Tehnička mehanika fluida, ˇ Skolska knjiga, Zagreb, 1985.
[10] Pečornik, M. Zbirka zadataka iz mehanike fluida, ˇ Skolska knjiga, Zagreb, 1995.
[11] Tanguy, J.-M., ed. Environmental Hydraulics, Vol. 1, Wiley, Hoboken, USA, 2010.
155

Indeks
π teorem, 67
čestica fluida, 14
anomalije vode, 10
apsolutni koeficijent viskoznosti, 5
Arhimedov zakon, 37
atmosfera, standardna, 26
barometar, 25
Bazinov koeficijent kontrakcije, 150
Bernoullijeva jednadˇzba, 69
za idealnu tekućinu, 71
za realnu tekućinu, 75
bezdimenzionalni monom, 67
Blasiusova formula, 98
Chezyeva formula, 143
cjevovod
definicija, 83
jednadˇzba gubitaka, 83
Colebrook-Whiteova formula, 101
Coriolissov koeficijent, 73
depresija, 146
dimenzionalna analiza, 65
dinamički koeficijent viskoznosti, 5
duljina formiranja laminarnog toka, 90
ekvivalentna duˇzina lokalnih gubitaka, 119
Eulerov pristup, 48
Eulerova jednadˇzba, 15
kvazi 1-D, 17
Froudeov broj, 148
gubici
Darcy-Wiessbachova formula, 85
odredivanje, 76
gustoća, 4
Hagen-Poiseullov zakon, 87
hidraulička glatkost, 99
156
hidraulički radijus
otvoreni tok, 142
hidrostatska sila
dno posude, 28
ravne stijenke, 31
stijenka cijevi, 35
zakrivljena stijenka, 34
hidrostatski paradoks, 29
hidrostatski tlak
dno zatvorene posude, 30
sile, 28
hrapavost
stjenka cijevi, 99
idealni fluid, 69
istjecanje, 129
koeficijent istjecanja, 130
koeficijent kontrakcije, 130
koeficijent smanjena brzine, 130
mali otvor, 129
mali otvor ispod povrˇsine tekućine, 131
nestacionarno, 135
posuda pod tlakom, 132
Torricellijeva brzina, 130
veliki otvor, 133
veliki otvor ispred kojeg tekućina ne
miruje, 134
izlazna energija, 113
izvori, 52
jednoliko tečenje, 143
kapilarnost, 10
Karmanov 1/7-ki zakon, 98
kinematički koeficijent viskoznosti, 6
kinematika fluida, 47
Kirchofov zakon, 114
koeficijent brzine, 89
koeficijent istjecanja, 130
koeficijent kontrakcije, 130
koeficijent smanjena brzine, 130

INDEKS 157
koeficijent trenja
definicija, 85
Hagen-Poiseullov zakon, 87
hidraulički hrapava cijev, 100
laminarno tečenje, 89
kut moćenja, 10
Lagrangeov pristup, 47
laminarno tečenje, 86
lokalni gubici, 103
difuzor, 110
dijafragma, 106
filter, 112
izlazna energija, 113
izlazni otvor, 112
konfuzor, 108
luk, 111
proˇsirenje, 108
račva, 112
reˇsetka, 112
sapnica, 106
spojnica, 112
suˇzenje, 107
ulazni otvor, 104
ventil, 111
ventili, 111
Venturijeva cijev, 110
Manningov koeficijent hrapavosti, 144
Manningova formula, 143
Manningova formula za koeficijent trenja
cijevi, 145
manometar, 27
mlaz, 136
horizontalni, 138
vertikalni prema dolje, 139
vertikalni prema gore, 140
model kontinuuma, 13
Moodyev dijagram, 101
nejednoliko tečenje, 146
depresija, 146
uspor, 146
nestacionarno istjecanje, 135
Newton-ov pokus, 5
Nikuradzeova formula, 100
normalna dubina, 143
optjecanje, 3
pad
dno korita, 142
energetska linija, 142
vodno lice, 142
Pascal-ov zakon, 24
piezometar, 26
plutanje, 37
indiferentna ravnoteˇza, 38
labilna ravnoteˇza, 38
stabilna ravnoteˇza, 38
Polenijeva formula, 150
ponori, 52
potencijalno strujanje, 53
povrˇsinska napetost, 9
Prandtl-Karmanova formula, 98
Prandtlova relacija, 94
preljev, 149
Bazinov koeficijent kontrakcije, 150
formule Berezinskijeva, 151
Polenijeva formula, 150
praktičnoga profila, 152
sa visokim pragom, 151
prikazivanje energetske linije, 120
prikazivanje piezometarske linije, 120
princip analitičnosti, 65
princip homogenosti, 65
proračun jednostavnoga cjevovoda, 117
protjecanje, 3
protočna krivulja, 145
pumpa, 125
Reynoldsov pokus, 79
rotacija tekućine
otvorena posuda, 42
zatvorena posuda, 45
slapiˇste, 152
Smetanaov izraz, 154
specifična energija presjeka, 147
specifična teˇzina, 4
staza čestice, 50
Stricklerov koeficijent glatkosti, 144
Stricklerova formula, 144
strujna cijev, 52
strujnica, 50
strujno vlakno, 52
tečenje u otvorenim koritima, 141

158 INDEKS
tlačna skala visine, 26
tlak para, 7
Torricellijeva brzina, 130
translacija tekućine
horizontalno ubrzanje, 40
koso ubrzanje, 42
vertikalno ubrzanje, 41
turbulentno tečenje, 91
uspor, 146
uzgon, 36
Vaschy-Buckinghamov teorem, 67
viskoznost, 5
vodni skok, 152
volumni modul stlačivosti, 6
vrtloˇzno tečenje, 91
profil brzine, 94
vrtloˇzno tečnje
Coriollisov koeficijent, 97
koeficijent brzine, 97
zakon kontinuiteta, 59
zakon neprekinutosti, 59
zbrajanje otpora, 114