Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
MATEMATYKA<br />
<br />
5
Barbara Dubiecka-Kruk, Piotr Piskorski,<br />
Anna Dubiecka, Ewa Malicka<br />
MATEMATYKA<br />
<br />
5
Podręcznik dopuszczony do użytku szkolnego przez ministra właściwego do spraw oświaty<br />
i wychowania i wpisany do wykazu podręczników przeznaczonych do kształcenia ogólnego<br />
do nauczania matematyki, na podstawie opinii rzeczoznawców: mgr Elżbiety Krzysztofiak,<br />
dr. Andrzeja Rychlewicza, dr Izabeli Kraśnickiej-Wilk.<br />
Etap edukacyjny: II<br />
Typ szkoły: szkoła podstawowa<br />
Rok dopuszczenia: 2018<br />
Numer ewidencyjny w wykazie: 832/2/2018<br />
© Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne<br />
Warszawa 2018<br />
Wydanie I<br />
ISBN 978-83-02-17310-3<br />
Opracowanie merytoryczne i redakcyjne: Agnieszka Gawryszczak (redaktor koordynator),<br />
Ewa Kowalik (redaktor merytoryczny), Marzena Korycka (współpraca redakcyjna)<br />
Redakcja językowa: Milena Schefs<br />
Redakcja techniczna: Janina Soboń<br />
Projekt okładki i strony tytułowej: Hanna Michalska-Baran<br />
Opracowanie graficzne: Barbara Scharf<br />
Opracowanie kartograficzne: Łukasz Król<br />
Fotoedycja: Ignacy Składowski<br />
Skład i łamanie: Wiedźma Morska<br />
Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne Spółka Akcyjna<br />
00-807 Warszawa, Aleje Jerozolimskie 96<br />
Tel.: 22 576 25 00<br />
KRS: 0000595068<br />
Infolinia: 801 220 555<br />
www.wsip.pl<br />
Publikacja, którą nabyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im<br />
przysługują. Jej zawartość możesz udostępnić nieodpłatnie osobom bliskim lub osobiście znanym.<br />
Ale nie publikuj jej w internecie. Jeśli cytujesz jej fragmenty, nie zmieniaj ich treści i koniecznie<br />
zaznacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedynie na użytek osobisty.<br />
Szanujmy cudzą własność i prawo.<br />
Więcej na www.legalnakultura.pl<br />
Polska Izba Książki
Spis treści<br />
Działania na liczbach naturalnych i dziesiętnych 6<br />
1. Zastosowania matematyki w sytuacjach praktycznych __________ 8<br />
2. Dodawanie i odejmowanie pisemne – powtórzenie _______________ 16<br />
3. Mnożenie i dzielenie pisemne – powtórzenie _________________________ 22<br />
4. Mnożenie pisemne liczb wielocyfrowych ________________________________ 27<br />
5. Dzielenie pisemne liczb przez liczby wielocyfrowe ________________ 35<br />
6. Wyrażenia arytmetyczne i zadania tekstowe I ________________________ 44<br />
7. Zamiana jednostek. Liczby dziesiętne _____________________________________ 52<br />
8. Dodawanie pisemne liczb dziesiętnych ___________________________________ 60<br />
9. Odejmowanie pisemne liczb dziesiętnych _______________________________ 66<br />
Czy już to umiem? ______________________________________________________________________ 71<br />
Potrafię więcej, umiem lepiej. __________________________________________________ 81<br />
Ułamki zwykłe. Działania na ułamkach zwykłych 84<br />
10. Cechy podzielności przez 2, 5, 10, 100, 1000 ___________________________ 86<br />
11. Cecha podzielności przez 4 ______________________________________________________ 98<br />
12. Cechy podzielności przez 3 i 9 _________________________________________________ 104<br />
13. Liczby pierwsze i złożone _________________________________________________________ 113<br />
14. Sprowadzanie ułamków zwykłych<br />
do wspólnego mianownika _______________________________________________________ 120<br />
15. Porównywanie ułamków zwykłych __________________________________________ 127<br />
16. Dodawanie ułamków zwykłych _______________________________________________ 131<br />
17. Odejmowanie ułamków zwykłych ___________________________________________ 137<br />
18. Działania na ułamkach zwykłych _____________________________________________ 143<br />
Czy już to umiem? _____________________________________________________________________ 150<br />
Potrafię więcej, umiem lepiej. __________________________________________________ 158
Wielokąty 160<br />
19. Klasyfikacja trójkątów. Własności trójkątów ___________________________ 162<br />
20. Pole trójkąta _______________________________________________________________________________ 174<br />
21. Klasyfikacja czworokątów. Własności czworokątów ______________ 181<br />
22. Pole równoległoboku i rombu __________________________________________________ 191<br />
23. Pole trapezu _______________________________________________________________________________ 197<br />
Czy już to umiem? _____________________________________________________________________ 203<br />
Potrafię więcej, umiem lepiej. __________________________________________________ 210<br />
Ułamki dziesiętne.<br />
Działania na ułamkach dziesiętnych 212<br />
24. Mnożenie liczb dziesiętnych _____________________________________________________ 214<br />
25. Dzielenie liczb dziesiętnych ______________________________________________________ 221<br />
26. Wyrażenia arytmetyczne i zadania tekstowe II _______________________ 229<br />
Czy już to umiem? _____________________________________________________________________ 234<br />
Potrafię więcej, umiem lepiej. __________________________________________________ 240<br />
Figury geometryczne. Skala i plan. Bryły 242<br />
27. Kąty wierzchołkowe, kąty przyległe _________________________________________ 244<br />
28. Plan, mapa, skala _______________________________________________________________________ 256<br />
29. Prostopadłościan, sześcian _______________________________________________________ 264<br />
Czy już to umiem? _____________________________________________________________________ 274<br />
Potrafię więcej, umiem lepiej. __________________________________________________ 283<br />
Obliczanie upływu czasu<br />
30. Obliczanie upływu czasu __________________________________________________________ 285<br />
Odpowiedzi ___________________________________________________________________________________ 290
do 350 g ponad 350 g ponad 1000 g<br />
do 1000 g<br />
do 2000 g<br />
cena podstawowa 3,75 zł<br />
do 350 g ponad 350 g ponad 1000 g<br />
do 1000 g<br />
do 2000 g<br />
cena podstawowa 4,75 zł<br />
do 350 g ponad 350 g ponad 1000 g<br />
do 1000 g<br />
do 2000 g<br />
cena podstawowa 7,30 zł<br />
Mnożenie liczby dziesiętnej i liczby naturalnej<br />
Mnożenie wykonujemy tak, jak mnożenie liczb naturalnych. Przecinek<br />
w otrzymanym iloczynie stawiamy tak, aby po prawej stronie tego przecinka<br />
było tyle cyfr, ile jest ich po przecinku w liczbie dziesiętnej.<br />
Przykłady<br />
1,2 · 3 = 3,6, bo 12 · 3 = 36<br />
0,02 · 4 = 0,08, bo 2 · 4 = 8<br />
20 · 0,3 = 6,0, bo 20 · 3 = 60<br />
400 · 0,05 = 20,00, bo 400 · 5 = 2000<br />
75,2 · 6 3,52 · 15 0,425 · 142<br />
75,2 3,52 0,425<br />
∙ 6 ∙ 1 5 ∙ 1 4 2<br />
45 1,2 1 760 850<br />
52,80 + 425<br />
60,350<br />
152 · 0,4 231 · 0,25 321 · 1,142<br />
152 231 321<br />
∙0,4 ∙0,25 ∙ 1,142<br />
60,8 1 1 55 642<br />
57,75 321<br />
366,582<br />
4788 liza wszski koralików<br />
33 liza koralików na 1 ransolek<br />
145<br />
4788 : 33<br />
- 33<br />
148<br />
- 132<br />
168<br />
- 165<br />
3<br />
145 4785<br />
· 33 + 3<br />
435 4788<br />
+ 435<br />
4785<br />
. ona zroi 145 ransoleek i zosan 3 koraliki.<br />
Wyszukaj plan dowolnego miasta i opracuj trasę zwiedzania.<br />
Zaznacz na planie tę trasę i wyznacz jej długość.<br />
Kraków 232 m n.p.m.<br />
Tarnów 225 m n.p.m.<br />
ow z 311 m n.p.m.<br />
A<br />
B<br />
C<br />
700 m<br />
O podręczniku<br />
Pamiętaj, jest to podręcznik wieloletni, dlatego nie pisz po nim – wszystkie<br />
rozwiązania zapisuj w zeszycie.<br />
Działania na liczbach<br />
naturalnych i dziesiętnych<br />
Koty są<br />
udomowione<br />
od 9500 lat.<br />
Koty kontra psy<br />
Koty na wolności<br />
żyją do 8 lat,<br />
a domowe<br />
do 20 lat.<br />
Psy żyją<br />
13–14 lat.<br />
Psy są<br />
udomowione<br />
od 17 000 lat.<br />
Na podstawie podanych informacji odpowiedz na pytania.<br />
Ile jest w sumie ras psów i kotów?<br />
Ile lat po udomowieniu psów udomowiono koty?<br />
Przeciętnie o ile lat dłużej żyją koty domowe od tych żyjących na wolności?<br />
O mniej więcej ile centymetrów dłuższy jest kot największy<br />
od najmniejszego?<br />
Pupile w domach w Polsce<br />
Ponad 5,5 mln kotów<br />
Około 7 mln psów<br />
żyje w gospodarstwach stwach<br />
żyje w<br />
gospodarstwach<br />
domowych.<br />
domowych.<br />
Rekordy<br />
Najmniejszy kot świata mierzył<br />
7 cm wysokości i 19 cm długości<br />
Największy pies świata<br />
w wieku 2 lat. Był rasy himalayan.<br />
mierzył 109 cm wysokości<br />
i 220 cm długości, ważył 111 kg.<br />
Był to dog niemiecki.<br />
Strona działowa<br />
Każdy dział rozpoczyna się<br />
od infografiki, czyli takiego<br />
sposobu połączenia ilustracji<br />
z objaśnieniami, który ułatwia<br />
zapamiętywanie. Przyjrzyj<br />
się infografice i postaraj się<br />
zapamiętać jak najwięcej.<br />
Odpowiedz na pytania<br />
i zaproponuj inne.<br />
58 ras kotów jest<br />
zarejestrowanych przez<br />
Międzynarodową Federację<br />
Felinologiczną.<br />
339 ras psów jest zarejestrowanych<br />
przez Międzynarodową Federację<br />
Kynologiczną.<br />
Największy kot świata mierzył 40 cm<br />
wysokości i prawie metr długości,<br />
ważył 21,3 kg. Nie znamy jego rasy.<br />
Najmniejszy pies świata mierzy<br />
10 cm wysokości i 16,5 cm długości,<br />
waży 600 g. Jest rasy chihuahua.<br />
6 7<br />
Zadania wprowadzające<br />
wadz<br />
ając<br />
Każdy temat rozpoczyna się<br />
od zadań, które wprowadzą Cię<br />
w nowe zagadnienia.<br />
Zadania<br />
Do każdego tematu zaproponowano zadania<br />
(często z rozwiązanym przykładem), które pomogą<br />
Ci wyćwiczyć nowe umiejętności.<br />
24. Mnożenie liczb dziesiętnych<br />
Poniżej pokazano, ile trzeba zapłacić za przesłanie krajowego listu zwykłego<br />
w zależności od tego, ile waży.<br />
a ) Ile trzeba zapłacić za przesłanie listu zwykłego ważącego 200 g? A ile – za<br />
przesłanie dwóch takich listów?<br />
b ) Ile trzeba zapłacić za przesłanie listu zwykłego ważącego 800 g? A ile – za<br />
przesłanie dwóch takich listów? A czterech?<br />
c ) Ile trzeba zapłacić za przesłanie listu zwykłego ważącego 1600 g? A ile – za<br />
przesłanie dwóch takich listów? A sześciu?<br />
Oto jak można obliczyć kwotę za przesłanie trzech listów zwykłych ważących<br />
po 200 g.<br />
Sposób I<br />
3 ∙ 3,75 zł = 3 ∙ (3 zł + 75 gr) = 3 ∙ 3 zł + 3 ∙ 75 gr = 9 zł + 225 gr =<br />
= 9 zł + 2 zł 25 gr = 11 zł 25 gr = 11,25 zł<br />
Sposób II<br />
3 ∙ 3,75 zł = 3 ∙ 375 gr = 1125 gr = 11 zł 25 gr = 11,25 zł<br />
Sposób III<br />
3, 7 5<br />
∙ 3<br />
1 1,2 5<br />
Jan Kowalski<br />
ul. Pierwiosnka 4<br />
00-023 Warszawa<br />
a ) Opisz, jak wykonano te obliczenia.<br />
b ) Oblicz podobnie (wybranym sposobem) kwotę za przesłanie pięciu listów<br />
zwykłych, jeśli każdy z nich waży 600 g.<br />
+ 352 1700<br />
+ 462 1284<br />
214 215<br />
+ 321<br />
1 Oblicz w pamięci.<br />
a ) 0,1 ∙ 7 b ) 4 ∙ 0,2 c ) 0,3 ∙ 7 d ) 5 ∙ 0,2<br />
e ) 0,08 ∙ 7 f ) 4 ∙ 0,15 g ) 0,21 ∙ 3 h ) 7 ∙ 0,005<br />
i ) 1,5 ∙ 2 j ) 11 ∙ 0,9 k ) 0,03 ∙ 15 l ) 9 ∙ 1,001<br />
2 Skorzystaj z tego, że 127 ∙ 13 = 1651, i zapisz wynik podanego mnożenia.<br />
a ) 127 ∙ 1,3 b ) 1,27 ∙ 13 c ) 0,127 ∙ 13 d ) 127 ∙ 0,0013<br />
28. Plan, mapa, skala<br />
14 Przyjmij, że odległość między Krakowem a Myślenicami wynosi 40 km. Na<br />
mapie jest to odcinek długości 8 cm. W jakiej skali wykonana jest ta mapa?<br />
15 Przyjmij, że odległość między Krynicą-Zdrojem a Nowym Sączem wynosi<br />
32,1 km. Na mapie jest to odcinek długości 10,7 cm. W jakiej skali wykonana<br />
jest ta mapa?<br />
16 Odległość między dwiema miejscowościami na mapie wykonanej w skali<br />
1 : 1 200 000 wynosi 24 cm. Jaka będzie ta odległość na mapie wykonanej<br />
w skali 1 : 3 000 000?<br />
17 Granica morska na mapie Polski wykonanej w skali 1 : 500 000 ma długość<br />
88 cm, a na mapie w atlasie 20 cm. W jakiej skali wykonana jest mapa w atlasie?<br />
18 Na mapie wykonanej w skali 1 : 20 000 kwadratowe pole uprawne ma powierzchnię<br />
81 cm 2 . Jaki obwód i jaką powierzchnię ma to pole w rzeczywistości?<br />
19 Na planie zaznaczono trzy trasy, którymi można dotrzeć od jednego do drugiego<br />
muzeum we Wrocławiu. Na podstawie informacji o długości trasy C oraz<br />
pomiarów odpowiednich odcinków wyznacz przybliżone długości tras A i B.<br />
CO UMIEM?<br />
1.<br />
a)<br />
b)<br />
2.<br />
3.<br />
4.<br />
a)<br />
b)<br />
B<br />
B<br />
A<br />
A<br />
B<br />
CO UMIEM?<br />
Na końcu każdego<br />
rozdziału znajduje<br />
się specjalny zestaw<br />
zadań. Rozwiązując<br />
je, sprawdzasz swoje<br />
umiejętności.<br />
262 263<br />
Treść matematyczna<br />
W granatowej ramce<br />
wyróżniono ważne treści,<br />
które będą przydatne<br />
w dalszej nauce.<br />
Zadania na medal<br />
W każdym dziale zamieszczono<br />
zadania, których rozwiązanie będzie<br />
wymagało od Ciebie pomysłowości.<br />
2<br />
Zadania wprowadzające<br />
Zadania ćwiczeniowe<br />
Powtórzenie<br />
Na końcu każdego<br />
działu przygotowano<br />
zestaw zadań –<br />
Czy już to umiem?.<br />
Rozwiązując te zadania,<br />
przygotowujesz się<br />
do sprawdzianu.<br />
Znajdziesz wśród nich<br />
zadania z rozwiązaniami<br />
i komentarzami.<br />
1<br />
2<br />
3<br />
Czy już to umiem?<br />
Aby zrobić bransoletkę, potrzeba 33 koralików. Ile najwięcej takich bransoletek<br />
można zrobić z 4788 koralików? Ile koralików wówczas zostanie?<br />
Wypisz dane z treści zadania.<br />
Zapisz wyrażenie prowadzące do<br />
rozwiązania zadania i oblicz jego<br />
wartość.<br />
Wykonaj sprawdzenie.<br />
Ułóż odpowiedź.<br />
Rejs statkiem dookoła świata trwa 180 dni. Koszt wycieczki dla 1 osoby w kabinie<br />
dwuosobowej wynosi 118 080 euro. Oblicz średnią cenę jednego dnia rejsu.<br />
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne polecenia.<br />
Wypisz dane z treści zadania.<br />
Zapisz wyrażenie arytmetyczne prowadzące do rozwiązania zadania<br />
i oblicz jego wartość.<br />
Sprawdź, czy rozwiązanie spełnia warunki zadania, i ułóż odpowiedź.<br />
W tabeli przedstawiono, na jakiej wysokości<br />
nad poziomem morza (skrót: n.p.m.) leżą trzy<br />
polskie miasta: Kraków, Nowy Sącz, Tarnów.<br />
Oblicz, jaka jest różnica wysokości między:<br />
a ) Nowym Sączem i Krakowem,<br />
b ) Nowym Sączem i Tarnowem.<br />
Pierwszą choinkę udekorowaną ozdobami i światłami ustawiono na otwartej<br />
przestrzeni w 1923 roku w Waszyngtonie, przed Białym Domem. Ile lat temu<br />
to się wydarzyło?<br />
71<br />
Potrafię więcej, umiem lepiej<br />
Stomachion to starogrecka łamigłówka i gra złożona z 14 elementów, z których<br />
układa się różne kształty. Słowo stomachion oznacza „doprowadzająca do<br />
wściekłości”. Łamigłówkę tę wymyślił Archimedes, dlatego jest też nazywana<br />
pudełkiem Archimedesa.<br />
1<br />
4<br />
14 2<br />
13<br />
3 5<br />
6<br />
11 10 9 7<br />
12 8<br />
Klasyfikacja trójkątów. Własności trójkątów<br />
1 Jakie trójkąty zawiera stomachion? Jakie numery trójkątów należy wpisać<br />
w tabeli w miejsce znaków?<br />
Trójkąt równoramienny Trójkąt różnoboczny<br />
Trójkąt ostrokątny • •<br />
Trójkąt prostokątny <br />
Trójkąt rozwartokątny 2, 7, 9, 11, 13, 14<br />
Pole trójkąta<br />
2 Oblicz pole trójkąta 11, jeśli bok stomachionu ma długość 6 cm.<br />
3 Uzasadnij, że trójkąty 13 i 14 stomachionu mają równe pola.<br />
4 Bok stomachionu ma długość 12 cm. Ile razy pole pierwszego trójkąta w podanej<br />
parze jest mniejsze od pola drugiego trójkąta?<br />
a ) 5 i 6 b ) 2 i 1 c ) 11 i 12 d ) 7 i 8<br />
Dodatkowonazak<br />
zakończenie powtórzenia<br />
zamieszczono zestaw zadań na medal –<br />
Potrafię więcej, umiem lepiej.<br />
210<br />
12<br />
Zadania na medal<br />
Zadania z rozwiązaniem<br />
Gra dla dwóch osób<br />
Ciekawostka<br />
Projekt
Działania na liczbach<br />
naturalnych i dziesiętnych<br />
Koty kontra psy<br />
Koty są<br />
udomowione<br />
od 9500 lat.<br />
Psy są<br />
udomowione<br />
od 17 000 lat.<br />
Koty na wolności<br />
żyją do 8 lat,<br />
a domowe<br />
do 20 lat.<br />
Psy żyją<br />
13–14 lat.<br />
58 ras kotów jest<br />
zarejestrowanych przez<br />
Międzynarodową Federację<br />
Felinologiczną.<br />
339 ras psów jest zarejestrowanych<br />
przez Międzynarodową Federację<br />
Kynologiczną.<br />
6
Na podstawie podanych informacji odpowiedz na pytania.<br />
Ile jest w sumie ras psów i kotów?<br />
Ile lat po udomowieniu psów udomowiono koty?<br />
Przeciętnie o ile lat dłużej żyją koty domowe od tych żyjących na wolności?<br />
O ile centymetrów dłuższy jest kot największy od najmniejszego?<br />
Pupile w domach w Polsce<br />
Ponad 5,5 mln kotów<br />
żyje w gospodarstwach stwach<br />
domowych.<br />
Około 7 mln psów<br />
żyje w<br />
gospodarstwach<br />
domowych.<br />
Rekordy<br />
Najmniejszy kot świata mierzył<br />
7 cm wysokości i 19 cm długości<br />
w wieku 2 lat. Był rasy himalayan.<br />
Największy pies świata<br />
mierzył 109 cm wysokości<br />
i 220 cm długości, ważył 111 kg.<br />
Był to dog niemiecki.<br />
Największy kot świata mierzył 40 cm<br />
wysokości i prawie metr długości,<br />
ważył 21,3 kg. Nie znamy jego rasy.<br />
Najmniejszy pies świata mierzy<br />
10 cm wysokości i 16,5 cm długości,<br />
waży 600 g. Jest rasy chihuahua.<br />
7
1.<br />
Zastosowania matematyki<br />
w sytuacjach praktycznych<br />
Na pierwszej lekcji matematyki w piątej klasie uczniowie układali zadania<br />
pokazujące, w jakich sytuacjach podczas wakacji wykorzystali to, czego się<br />
nauczyli na matematyce w czwartej klasie.<br />
a ) Wyjaśnij, o jakie umiejętności matematyczne chodziło.<br />
b ) Rozwiąż te zadania.<br />
I.<br />
odzie z dwoie dziei<br />
oszli do kina. ile dla dzieka<br />
koszowa 15 z a dla oso<br />
dorose 20 z. le zaaili<br />
za ile<br />
VI.<br />
le zasu orzeu na<br />
rzeie 12 k eeli<br />
w iu edne odzin<br />
okonu 3 k<br />
II.<br />
Kasia kuia ile urawnia<br />
do 60-inuoweo ou<br />
na asenie. Korzsa z asenu<br />
u 47 inu. le zasu oe<br />
eszze sdzi na asenie<br />
VII.<br />
Poi ia rzea<br />
o 14.25 ale es oónion<br />
o 17 inu. kóre odzinie<br />
rzedzie oi<br />
III.<br />
le dni sdz u ai eli<br />
oad do nie 13 siernia<br />
i zosan do koa wakai<br />
VIII.<br />
z 100 z wsarz na<br />
zaku karneu na karuzel<br />
za 65 z i esawu asua<br />
za 47 z<br />
IV.<br />
V.<br />
rzoowa or nale<br />
uie iaso zroi as oraz<br />
olew. o iasa rzea doda<br />
125 ukru udru do as<br />
– 90 a do olew – 140 .<br />
z 500 ukru udru<br />
wsarz a rzoowa<br />
iaso as i olew<br />
Jedna szklanka ki wa 150 .<br />
le wa — 2 szklanki ki<br />
3<br />
IX.<br />
X.<br />
zienna ora kar dla sa<br />
Karola o 35 da. le kar<br />
zada ies Karola rzez 7 dni<br />
zienna ora kar<br />
dla koa ni o 65 . z<br />
400-raowe oakowanie<br />
kar wsarz na dzie<br />
dla koa ni<br />
8
Przeczytaj, jak Adam rozwiązał zadanie IV.<br />
a) Opisz, na czym polega sposób Adama.<br />
b ) Ala w podobny sposób chciała pokazać, że<br />
na ciasto, masę i polewę wystarczy 400 g<br />
cukru pudru. Zaczęła tak: „125 to mniej niż<br />
150, ...”. Dokończ rozwiązanie Ali.<br />
c ) Jak inaczej można rozwiązać zadanie IV?<br />
d ) Rozwiąż zadanie VIII sposobem Adama.<br />
125 to mniej niż 200, 90 to<br />
mniej niż 100, 140 to mniej niż<br />
200. Razem to mniej niż 500.<br />
1<br />
Kaja zaczęła rozwiązywać zadanie X.<br />
„65 to więcej niż 60, ...”. Dokończ jej rozwiązanie. ie.<br />
W czasie wakacji klienci stacji benzynowej otrzymywali punkty za tankowanie<br />
paliwa. Punkty te można wymienić na nagrody zgodnie z poniższą informacją.<br />
iza unków 51–100 101–500 501–1000 wie ni 1000<br />
duois kuek askoka ora<br />
aroda<br />
W tabeli przedstawiono, ile punktów zebrali czterej klienci w lipcu i sierpniu.<br />
Jan Lis Jacek Wilk Olga Sowa Maja Kot<br />
VII 42 p. 134 p. 357 p. 635 p.<br />
VIII 95 p. 269 p. 421 p. 98 p.<br />
a ) Bez wykonywania dokładnych<br />
obliczeń wskaż, jaką nagrodę<br />
może dostać każdy z klientów za<br />
punkty zebrane w lipcu i sierpniu.<br />
b ) Przeczytaj, jak Julia podliczyła<br />
punkty Olgi Sowy. Opisz w podobny<br />
sposób rozwiązania dotyczące<br />
pozostałych klientów.<br />
357 to więcej niż 350,<br />
421 to więcej niż 400,<br />
zatem Olga Sowa ma<br />
więcej niż 750 punktów.<br />
357 to mniej niż 500,<br />
421 to mniej niż 500,<br />
zatem Olga Sowa ma<br />
mniej niż 1000 punktów.<br />
Pani Olga może dostać<br />
maskotkę.<br />
9
1.<br />
Zastosowania matematyki w sytuacjach praktycznych<br />
Szacowanie to określanie wartości, wielkości lub ilości czegoś, która będzie<br />
bliska lub równa rzeczywistej wartości, wielkości lub ilości czegoś.<br />
Szacowanie jest umiejętnością wyjątkowo przydatną w życiu codziennym.<br />
Często nie jest konieczne obliczanie dokładnego wyniku jakiegoś działania<br />
wystarczy oszacować wynik.<br />
Przykłady<br />
357 to mniej niż 360,<br />
421 to mniej niż 440, 357 to mniej niż 400,<br />
zatem 357 + 421 to mniej niż 800. zatem 4 ∙ 357 to mniej niż 1600.<br />
357 to więcej niż 300,<br />
421 to więcej niż 400, 357 to więcej niż 350,<br />
zatem 357 + 421 to więcej niż 700. zatem 4 ∙ 357 to więcej niż 1400.<br />
2<br />
Uczniowie rzucali kostką. Po każdym rzucie zapisywali<br />
wylosowaną liczbę oczek w pola szablonu.<br />
Wygrywa ta osoba, która po ostatnim rzucie<br />
otrzyma trzy liczby trzycyfrowe, których suma jest<br />
większa od 1000. Nie wykonując dokładnych obliczeń<br />
oceń, kto wygrał.<br />
Ania Beata Cecylia<br />
6 2 5 5 4 6 4 1 3<br />
1 4 3 1 2 3 2 1 6<br />
3 1 1 1 3 1 3 1 5<br />
3<br />
Oceń prawdziwość nierówności. Czy można wykonać to polecenie bez wykonywania<br />
podanego dodawania?<br />
a ) 25 zł + 12 zł < 50 zł<br />
b ) 765 zł + 197 zł < 800 zł<br />
c ) 437 zł + 599 zł > 1000 zł<br />
10
4<br />
5<br />
6<br />
7<br />
Oszacuj sumę. Które z wielkości podanych w odpowiedziach A, B, C można<br />
wstawić w miejsce znaku , aby otrzymać nierówność prawdziwą? Wskaż<br />
wszystkie poprawne odpowiedzi.<br />
a ) 32 g + 62 g < A. 110 g B. 100 g C. 90 g<br />
b ) 327 g + 128 g < A. 400 g B. 500 g C. 600 g<br />
c ) 327 g + 90 g < A. 400 g B. 450 g C. 500 g<br />
Oszacuj iloczyn i podaj, który ze znaków () należy wstawić w miejsce ,<br />
aby nierówność była prawdziwa.<br />
a ) 4 · 27 kg 100 kg b ) 3 · 57 kg 200 kg c ) 7 · 127 kg 800 kg<br />
Jeden z punktów zaznaczonych na osi liczbowej wskazuje wartość wyrażenia<br />
zapisanego obok osi. Wskaż ten punkt bez wykonywania dokładnych obliczeń.<br />
a )<br />
A B C D<br />
192 + 289<br />
300 400 500<br />
b )<br />
3 · 86<br />
E F G H<br />
240 250 260 270<br />
Czy 100 zł wystarczy, by zapłacić za zakupy? Najpierw oszacuj koszt zakupów,<br />
a następnie wykonaj obliczenia i podaj dokładną kwotę. Sprawdź, czy twoje<br />
szacowanie było poprawne.<br />
a ) b ) c) d )<br />
65 zł<br />
63 zł<br />
43 zł<br />
47 zł<br />
27 zł<br />
54 zł<br />
35 zł<br />
29 zł<br />
18 zł<br />
11
1.<br />
Zastosowania matematyki w sytuacjach praktycznych<br />
8<br />
W czasie akcji promocyjnej producent orzeszków zwiększył zawartość opakowań.<br />
Oszacuj, w którym opakowaniu jest teraz więcej niż 1000 g orzeszków.<br />
A.<br />
375 g<br />
+ 155 g<br />
GRATIS<br />
B.<br />
790 g<br />
+ 255 g<br />
GRATIS<br />
C.<br />
550 g<br />
+ 215 g<br />
GRATIS<br />
D.<br />
899 g<br />
+ 99 g<br />
GRATIS<br />
9<br />
Oszacuj wartości zakupów i dopasuj do siebie części tych samych paragonów.<br />
A. B. C. D.<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
I. II. III. IV.<br />
<br />
<br />
10<br />
Pomalowanie 1 metra bieżącego płotu kosztuje 38 zł. Czy 500 zł wystarczy<br />
na pomalowanie 12 metrów bieżących płotu? A na pomalowanie 20 metrów<br />
bieżących?<br />
1 m<br />
12
11<br />
12<br />
Długość linii brzegowej Polski wynosi 770 km. Motocyklista pokonuje średnio<br />
40 km w ciągu jednej godziny. Czy 24 godziny wystarczą mu na przejechanie<br />
trasy tej długości?<br />
Na podstawie przepisu na babeczki odpowiedz na pytania.<br />
a ) Czy 1 litr mleka (1000 ml)<br />
wystarczy, aby przygotować<br />
4 porcje babeczek?<br />
b ) Czy 300 g mąki pszennej<br />
wystarczy, aby przygotować<br />
2 porcje babeczek?<br />
c ) Czy 150 g kakao wystarczy,<br />
aby przygotować 3 porcje<br />
babeczek?<br />
kadniki na 1 or aezek<br />
(16 szuk<br />
• 165 ki szenne<br />
• — 1 4 ezki sod ozszzone<br />
• 2 ezki roszku do iezenia<br />
• 65 kakao<br />
• — 1 8 ezki soli<br />
• 3 ki asa<br />
• 300 ukru<br />
• 2 aka<br />
• — 3 4 ezki aroau wanilioweo<br />
• 235 l leka<br />
13<br />
Na ile sposobów można w miejsce znaków i wstawić różne liczby<br />
naturalne, tak aby nierówność była prawdziwa?<br />
10 zł < zł + zł < 20 zł<br />
Zaproponuj sposób oszacowania z nadmiarem, ile źdźbeł trawy jest na trawiastym<br />
boisku sportowym.<br />
Zaproponuj sposób oszacowania z nadmiarem, ile ziaren soczewicy mieści się<br />
w szklance.<br />
100 ziaren<br />
13
1.<br />
Zastosowania matematyki w sytuacjach praktycznych<br />
CO UMIEM?<br />
1.<br />
Jola ikora Sikora, <strong>klasa</strong> a <br />
5 3 unk punkty / 4 unk punkty<br />
I. 471 + 1624 = 2095 II. 357 + 421 = 7778<br />
III. 3798 + 657 =<br />
4455 455<br />
IV. 548 + 375 = 923<br />
2.<br />
A B C D<br />
b )<br />
E F G H<br />
c )<br />
I J K L<br />
3.<br />
km<br />
h<br />
14
4.<br />
Co przygotować?<br />
Kilkanaście kart. Na<br />
każdej karcie narysuj<br />
dowolny produkt<br />
lub naklej jego zdjęcie<br />
wycięte z gazetki<br />
reklamowej. Pod<br />
spodem napisz jego<br />
cenę.<br />
Jak grać?<br />
Gra składa się z 5 rund.<br />
Na początku każdej<br />
rundy gracze układają<br />
wszystkie karty na stole<br />
ilustracjami do dołu<br />
i ustalają kwotę, która<br />
będzie wartością<br />
zakupów. Następnie<br />
każdy gracz losuje trzy<br />
karty, wybiera z nich te,<br />
które przedstawiają<br />
produkty o łącznej<br />
Dobierz tak, by wystarczyło<br />
wartości mniejszej niż<br />
ustalona kwota, i układa<br />
przed sobą wybrane<br />
karty. Na koniec każdej<br />
rundy gracze<br />
sprawdzają się<br />
nawzajem. Punkty za<br />
rundę dostają tylko ci,<br />
których produkty mają<br />
łączną wartość mniejszą<br />
od ustalonej kwoty.<br />
Każdy gracz otrzymuje<br />
1 punkt za każdą<br />
wyłożoną kartę. Gracz,<br />
który pierwszy wyłożył<br />
właściwe karty,<br />
otrzymuje dodatkowe<br />
2 punkty. Rundę kończy<br />
podliczenie punktów.<br />
Następnie rozpoczyna<br />
się kolejna runda. Grę<br />
wygrywa osoba, która<br />
zdobędzie najwięcej<br />
punktów po 5 rundach.<br />
O co warto zapytać?<br />
Jak należy ustalić<br />
wartość zakupów<br />
w stosunku do cen<br />
produktów, żeby każdy<br />
z graczy mógł wyłożyć<br />
co najmniej jedną kartę?<br />
A jaka wartość zakupów<br />
powoduje, że gracze<br />
zawsze wyłożą<br />
wszystkie trzy karty?<br />
1996 <br />
123 <br />
9890 <br />
15
19 Klasyfikacja trójkątów.<br />
Własności trójkątów<br />
Do każdego rysunku dobierz wszystkie pasujące do niego opisy.<br />
I II III<br />
IV V VI<br />
A. Trójkąt, który ma jeden kąt prosty.<br />
B. Trójkąt, który ma dwa boki tej samej długości.<br />
C. Trójkąt, który ma każdy bok innej długości.<br />
D. Trójkąt, którego jeden z boków ma długość 2 cm.<br />
E. Figura, która nie jest trójkątem.<br />
F. Trójkąt, którego wszystkie kąty są ostre.<br />
Czy pamiętasz?<br />
Trójkąt to taki wielokąt, który ma:<br />
trzy kąty, trzy boki, trzy wierzchołki.<br />
Obwód trójkąta to suma długości wszystkich jego boków.<br />
1<br />
2<br />
Narysuj trójkąt o wierzchołkach A, B, C. Zmierz długości jego boków i oblicz<br />
obwód.<br />
Narysuj trójkąt KLM. Zmierz jego największy kąt.<br />
162
Narysuj trzy różne trójkąty. Zmierz ich kąty i oblicz sumę miar kątów każdego<br />
z nich. Jaką własność trójkąta dostrzegasz?<br />
Narysuj na kartce trójkąt. Wytnij go, a następnie odetnij jego kąty i posklejaj<br />
je tak, aby miały wspólny wierzchołek i przylegały do siebie ramionami.<br />
Jaką własność trójkąta dostrzegasz? Czy inne osoby w klasie otrzymały taki<br />
sam efekt?<br />
Suma miar kątów trójkąta jest równa 180°.<br />
Przykłady<br />
40°<br />
60°<br />
80° 60°<br />
60°<br />
60°<br />
40° + 60° + 80° = 180° 60° + 60° + 60° = 180°<br />
3<br />
4<br />
5<br />
Sprawdź, czy kąty o podanych miarach mogą być kątami trójkąta.<br />
a ) 30°, 70°, 80° b ) 40°, 50°, 80° c ) 55°, 65°, 60° d ) 45°, 45°, 90°<br />
Dane są miary dwóch kątów trójkąta. Podaj miarę trzeciego kąta tego trójkąta.<br />
a ) 74°, 80° b ) 46°, 50° c ) 52°, 65° d ) 44°, 93°<br />
Dana jest miara największego kąta trójkąta. Podaj przykładowe miary pozostałych<br />
kątów tego trójkąta.<br />
a ) 80° b ) 76° c ) 100° d ) 166°<br />
163
19<br />
Klasyfikacja trójkątów. Własności trójkątów<br />
Na rysunkach przedstawiono trzech chłopców trzymających naprężoną, związaną<br />
linę. Dwóch chłopców za każdym razem stoi w tym samym miejscu,<br />
a trzeci zmienia swoje położenie.<br />
Lina wyznacza boki trójkąta. Odpowiedz na pytania.<br />
a ) Czym różnią się od siebie te trójkąty?<br />
b ) W którym trójkącie jest kąt prosty? Jakie są pozostałe kąty?<br />
c ) W którym trójkącie jest kąt rozwarty? Jakie są pozostałe kąty?<br />
d ) W którym trójkącie wszystkie kąty są ostre?<br />
Klasyfikacja trójkątów ze względu na miary kątów<br />
Trójkąt ostrokątny to taki, który ma wszystkie kąty ostre.<br />
Trójkąt prostokątny to taki, który ma jeden kąt prosty.<br />
Trójkąt rozwartokątny to taki, który ma jeden kąt rozwarty.<br />
6<br />
Które z narysowanych trójkątów są ostrokątne, które – prostokątne, a które –<br />
rozwartokątne? W razie potrzeby skorzystaj z ekierki lub kątomierza.<br />
I II<br />
III IV V<br />
VI VII VIII<br />
164
7<br />
8<br />
9<br />
10<br />
11<br />
Zaznacz punkty K i L. Narysuj trójkąt KLM, który spełnia podany warunek.<br />
a ) Trójkąt jest ostrokątny.<br />
b ) Trójkąt jest prostokątny i ma kąt prosty przy wierzchołku L.<br />
c ) Trójkąt jest rozwartokątny i ma kąt rozwarty przy wierzchołku L.<br />
d ) Trójkąt jest rozwartokątny i ma kąt rozwarty przy wierzchołku M.<br />
Czy trójkąt o podanych miarach kątów jest ostrokątny, prostokątny, czy rozwartokątny?<br />
a ) 30°, 40°, 110° b ) 20°, 70°, 90° c ) 45°, 65°, 70° d ) 25°, 25°, 130°<br />
Pokaż na przykładach, że trójkąt rozwartokątny ma dwa kąty ostre. Uzasadnij<br />
to za pomocą odpowiednich obliczeń.<br />
Pokaż na przykładach, że trójkąt prostokątny ma dwa kąty ostre. Uzasadnij<br />
to za pomocą odpowiednich obliczeń.<br />
Dana jest miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym. Oblicz<br />
miarę drugiego kąta ostrego w tym trójkącie.<br />
a ) 30° b ) 25° c ) 45° d ) 57°<br />
Uczniowie w dwóch grupach podawali długości boków trójkątów o ustalonym<br />
obwodzie: grupa I – trójkątów o obwodzie 12 dm, a grupa II – trójkątów o obwodzie<br />
21 cm. Następnie nauczyciel przy każdej propozycji grupy I narysował<br />
odpowiedni znaczek.<br />
Grupa I<br />
Grupa II<br />
4 dm, 4 dm, 4 dm 9 cm, 8 cm, 4 cm<br />
2 dm, 5 dm, 5 dm 6,5 cm, 6,5 cm, 8 cm<br />
3 dm, 4,5 dm, 4,5 dm 9 cm, 6 cm, 6 cm<br />
3 dm, 4 dm, 5 dm 7 cm, 7 cm, 7 cm<br />
2,5 dm, 4,5 dm, 5 dm 6 cm, 7 cm, 8 cm<br />
5 dm, 3,5 dm, 3,5 dm 6,5 cm, 7 cm, 7,5 cm<br />
a ) Według jakiej zasady nauczyciel przydzielał znaczki?<br />
b ) Zastosuj tę samą zasadę i przydziel każdej propozycji grupy II odpowiedni<br />
znaczek.<br />
165
19<br />
Klasyfikacja trójkątów. Własności trójkątów<br />
Klasyfikacja trójkątów ze względu na długości boków<br />
Trójkąt różnoboczny to taki, który ma każdy bok<br />
innej długości.<br />
Trójkąt równoramienny to taki, który ma przynajmniej<br />
dwa boki równej długości.<br />
Dwa boki równej długości nazywamy ramionami,<br />
a trzeci bok – podstawą trójkąta równoramiennego.<br />
Trójkąt równoboczny to taki, który ma wszystkie boki<br />
równej długości.<br />
Każdy trójkąt równoboczny jest trójkątem równoramiennym.<br />
12<br />
Które z narysowanych trójkątów są różnoboczne, które – równoramienne,<br />
a które – równoboczne? W razie potrzeby zmierz odpowiednie długości boków.<br />
I II<br />
III IV V<br />
VI VII VIII<br />
13<br />
14<br />
15<br />
16<br />
17<br />
Zaznacz punkty K i L. Narysuj trójkąt KLM, który będzie:<br />
a ) różnoboczny, b ) równoramienny, o ramieniu KL.<br />
Wyjaśnij, co to znaczy, że trójkąt nie jest:<br />
a ) równoboczny, b ) równoramienny.<br />
Który bok trójkąta równobocznego można nazwać jego podstawą?<br />
Jakie długości mają boki trójkąta równobocznego, którego obwód wynosi 18 cm?<br />
Obwód trójkąta równoramiennego wynosi 20 cm. Oblicz długość podstawy<br />
tego trójkąta, jeśli ramię ma podaną długość.<br />
a ) 7 cm b ) 8 cm c ) 6,5 cm d ) 7,25 cm<br />
166
18<br />
Obwód trójkąta równoramiennego wynosi 15 cm. Oblicz długość ramienia<br />
tego trójkąta, jeśli podstawa ma podaną długość.<br />
a ) 7 cm b ) 0,5 dm c ) 0,03 m d ) 42 mm<br />
Narysuj na kartce trójkąt równoramienny. Wytnij go. Sprawdź, manipulując<br />
wyciętym trójkątem, że kąty przy podstawie trójkąta równoramiennego są<br />
takie same.<br />
W trójkącie równobocznym<br />
wszystkie kąty są równe i mają<br />
miarę 60°.<br />
W trójkącie równoramiennym<br />
kąty przy podstawie są równe.<br />
60°<br />
60° 60°<br />
19<br />
20<br />
21<br />
22<br />
Kąt przy podstawie trójkąta<br />
równoramiennego ma miarę 30°.<br />
Jaką miarę ma kąt między ramionami? 30° 30°<br />
Kąt między ramionami trójkąta<br />
równoramiennego ma miarę 50°.<br />
Jaką miarę mają kąty przy podstawie?<br />
Trójkąt OPR jest trójkątem równoramiennym o podstawie OP. Oblicz miary<br />
pozostałych kątów, jeżeli:<br />
a ) OPR = 30°, b ) PRO = 30°, c ) ROP = 70°, d ) OPR = 26°.<br />
Uzasadnij, że istnieją trójkąty:<br />
a ) rozwartokątne równoramienne, b ) ostrokątne równoramienne.<br />
W każdym przypadku narysuj kilka przykładów.<br />
50°<br />
167
19<br />
Klasyfikacja trójkątów. Własności trójkątów<br />
Czasami używamy słowa podstawa dla określenia jednego<br />
boku dowolnego trójkąta, jeśli z jakiegoś powodu chcemy<br />
wyróżnić ten bok, np. dlatego, że jest poziomy.<br />
Kasia i Tomek mieli takie same zestawy patyczków: po trzy patyczki o długościach<br />
1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm i 5 cm. Za pomocą trzech wybranych patyczków<br />
próbowali wyznaczać różne trójkąty.<br />
Kasia<br />
Tomek<br />
168
a ) Dlaczego z patyczków o długościach 1 cm, 1 cm i 3 cm nie da się wyznaczyć<br />
trójkąta? Który z tych patyczków powinien być dłuższy i o ile centymetrów,<br />
aby można było wyznaczyć z nich trójkąt?<br />
b ) Podaj dwie inne trójki patyczków, za pomocą których nie da się wyznaczyć<br />
trójkąta.<br />
c ) Jaki warunek muszą spełniać długości odcinków, aby mogły być bokami<br />
trójkąta?<br />
Nierówność trójkąta<br />
Suma długości dwóch dowolnych boków trójkąta jest większa od długości<br />
trzeciego boku.<br />
Przykład<br />
4 cm<br />
3 cm<br />
5 cm<br />
3 cm + 4 cm > 5 cm<br />
3 cm + 5 cm > 4 cm<br />
4 cm + 5 cm > 3 cm<br />
23<br />
Tadek i Maciek sprawdzali, czy istnieje trójkąt o bokach długości 2 cm, 3 cm,<br />
6 cm. Który z nich poprawnie rozwiązał to zadanie? Dlaczego?<br />
Tadek<br />
6 cm + 3 cm > 2 cm<br />
6 cm + 2 cm > 3 cm<br />
2 cm + 3 cm < 6 cm<br />
Odp. Taki trójkąt<br />
nie istnieje.<br />
Maciek<br />
6 cm + 3 cm > 2 cm<br />
6 cm + 2 cm > 3 cm<br />
Odp. Taki trójkąt<br />
istnieje.<br />
169
19<br />
Klasyfikacja trójkątów. Własności trójkątów<br />
24<br />
25<br />
26<br />
27<br />
28<br />
Sprawdź, czy trzy odcinki o podanych długościach mogą być bokami trójkąta.<br />
a ) 1 cm, 3 cm, 4 cm<br />
b ) 2 m, 3 m, 4 m<br />
c ) 10 dm, 30 dm, 41 dm<br />
d ) 13 dm, 13 cm, 13 m<br />
Dana jest długość najdłuższego boku trójkąta. Jakie długości mogą mieć dwa<br />
pozostałe boki tego trójkąta?<br />
a ) 15 mm b ) 27 cm c ) 36 dm d ) 48 m<br />
Dane są długości dwóch boków trójkąta. Jaką długość może mieć trzeci bok<br />
tego trójkąta?<br />
a ) 3 dm, 5 dm b ) 4 mm, 7 mm c ) 10 m, 30 m d ) 12 cm, 12 cm<br />
Jaką długość mogą mieć boki trójkąta o podanym obwodzie?<br />
a ) 39 cm b ) 42 mm c ) 60 m d ) 72 dm<br />
Jeden z kątów trójkąta jest dwa razy mniejszy od drugiego<br />
i jednocześnie trzy razy mniejszy od trzeciego. Podaj miary<br />
kątów tego trójkąta.<br />
Kąt dwa razy mniejszy to kąt o dwa razy mniejszej mierze.<br />
29<br />
Narysuj kilka trójkątów i przeprowadź dla nich opisany poniżej „dowód<br />
zapałkowy” twierdzenia mówiącego, że suma miar kątów w trójkącie jest<br />
równa 180°. Będziemy obracać zapałkę o odpowiednie kąty (patrz rys.).<br />
● Zapałka jest w pozycji 1.<br />
● Po obrocie o kąt zawarty między bokami a i b zapałka jest w pozycji 2.<br />
● Po obrocie o kąt zawarty między bokami b i c zapałka jest w pozycji 3.<br />
● Po obrocie o kąt zawarty między bokami c i a zapałka jest w pozycji 4.<br />
Widać, że łebek zapałki w pozycji 4 i łebek zapałki w pozycji 1 wskazują przeciwne<br />
końce odcinka, a to oznacza, że zapałkę obrócono o 180°.<br />
b<br />
a<br />
c<br />
2<br />
b<br />
c<br />
a<br />
1<br />
170<br />
b<br />
a<br />
c<br />
3<br />
b<br />
a<br />
4<br />
c
I. Ustaw wzdłuż czerwonej linii lusterko. Spójrz na jedną część obrazka i jej<br />
odbicie. Co widzisz? Podobnie zrób z drugą częścią obrazka.<br />
a ) b )<br />
Zaproponuj sposób wykonywania takich rysunków.<br />
<br />
takiego rysunku?<br />
Przygotuj podobny rysunek.<br />
Jaką własność muszą mieć litery, które mogą posłużyć do wykonania<br />
II. Jaki napis utworzą poniższa figura i jej lustrzane odbicie, jeśli lusterko<br />
zostanie przyłożone wzdłuż czerwonej linii?<br />
III. Przeczytaj informację w ramce i odpowiedz na pytania zamieszczone<br />
pod ramką.<br />
Oś symetrii to prosta dzieląca figurę na dwie części, z których jedna część jest<br />
lustrzanym odbiciem drugiej części. Taką figurę nazywamy osiowosymetryczną.<br />
Na którym rysunku, zaznaczono oś symetrii figury?<br />
<br />
Która z figur na rysunkach jest osiowosymetryczna?<br />
IV. Czy zaznaczona prosta jest osią symetrii napisu? Sprawdź poprawność<br />
odpowiedzi za pomocą lusterka.<br />
V. Które z zapisanych poniżej cyfr są osiowosymetryczne?<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br />
VI. Ile osi symetrii ma cyfra 0? A cyfra 8?<br />
171
19<br />
Klasyfikacja trójkątów. Własności trójkątów<br />
VII<br />
VII. Która z narysowanych prostych jest osią symetrii figury? Przyłóż lusterko<br />
i sprawdź poprawność swojej odpowiedzi.<br />
a )<br />
b )<br />
c )<br />
c<br />
f<br />
i<br />
a<br />
b<br />
d<br />
e<br />
g<br />
h<br />
VIII. Zakryto fragment wielokąta, którego osią symetrii jest prosta p. Ile kątów<br />
ma ten wielokąt?<br />
p p p<br />
IX. Ile najmniej odcinków trzeba narysować, aby figura była<br />
osiowosymetryczna?<br />
a ) b )<br />
Przygotuj dodatek do gazetki szkolnej pt. Zagadki matematyczne –<br />
z lusterkiem w ręku. Wymyśl zadania (mogą być analogiczne do tych powyżej).<br />
Rysunki możesz przygotować w programie komputerowym. Zaprojektuj ich<br />
układ.<br />
Wykonaj odpowiednie rysunki, skorzystaj z lusterka, które trójkąty mają osie<br />
symetrii. Ile ich mają? Przygotuj plakat – Liczba osi symetrii trójkątów.<br />
172
Zbadaj na przykładach, czy prawdą jest, że w trójkącie naprzeciwko najdłuższego<br />
boku jest kąt trójkąta o największej mierze, a naprzeciwko najkrótszego boku<br />
– kąt o najmniejszej mierze.<br />
CO UMIEM?<br />
1.<br />
a)<br />
b)<br />
c )<br />
2.<br />
I<br />
II<br />
III<br />
IV<br />
3.<br />
4.<br />
a)<br />
b)<br />
173
Czy już to umiem?<br />
Na rysunku przedstawiono cztery proste<br />
k, p, m i n. Proste m i n są równoległe.<br />
a ) Wskaż na rysunku kąty o takiej samej<br />
mierze.<br />
b ) Odczytaj dane z rysunku i oblicz miarę<br />
każdego z kątów czworokąta wyznaczonego<br />
przez proste k, p, m i n.<br />
130°<br />
k<br />
30°<br />
n<br />
m<br />
p<br />
a)<br />
W<br />
S<br />
D<br />
X<br />
R<br />
C<br />
Y<br />
A<br />
ra prcnaca pr rn<br />
m n naca d cr <br />
rn mr:<br />
)<br />
X<br />
Y<br />
130°<br />
A<br />
k<br />
B<br />
Z p<br />
m<br />
P<br />
Wskaż kąty równe kątom<br />
o danej mierze. Skorzystaj<br />
z punktu a.<br />
W<br />
S<br />
D<br />
cra :<br />
2<br />
Odczytaj dane z rysunku i oblicz<br />
miary kątów ostrych utworzonych<br />
150°<br />
przez trzy proste. 70°<br />
3<br />
4<br />
Jeden z kątów trapezu równoramiennego ma miarę 127°. Wyznacz miary<br />
pozostałych kątów tego trapezu.<br />
Kąty przy dłuższej podstawie trapezu mają 34° i 70°. Wyznacz miary pozostałych<br />
kątów tego trapezu.<br />
D<br />
C<br />
Czworokąt ABCD tworzą dwa takie same trójkąty.<br />
74°<br />
Odczytaj z rysunku potrzebne dane i wskaż odcinki<br />
równoległe.<br />
56° 74°<br />
A<br />
B<br />
5<br />
Dwie proste równoległe m i n przecięto<br />
czterema prostymi f, h, k i l tak,<br />
jak na rysunku. Środkiem okręgu jest<br />
punkt przecięcia prostych k i n. Odczytaj<br />
z rysunku potrzebne dane i wskaż<br />
proste równoległe.<br />
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne<br />
polecenia.<br />
Przeanalizuj <br />
rysunek.<br />
Nazwij wierzchołki trójkątów.<br />
Wyznacz miary kątów narysowanych<br />
trójkątów.<br />
Wskaż proste równoległe.<br />
f<br />
60°<br />
60°<br />
h<br />
110°<br />
k<br />
m<br />
n<br />
l<br />
6<br />
Odczytaj dane z rysunku i oblicz<br />
miary kątów trójkąta wyznaczonego<br />
przez narysowane proste.<br />
100°<br />
Dwie pary prostych równoległych przecinają się, wyznaczając równoległobok,<br />
w którym jeden kąt ma miarę dwa razy większą niż drugi. Oblicz miary kątów<br />
tego równoległoboku.<br />
<br />
<br />
<br />
+ = 180<br />
Ile wynosi suma miar sąsiednich<br />
kątów równoległoboku?<br />
Ile stopni ma kąt, który jest trzy<br />
razy większy od mniejszego kąta<br />
równoległoboku?<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
3 = 180<br />
Oblicz miarę mniejszego kąta.<br />
= 180 : 3 = 60<br />
= 60 2 = 120<br />
Oblicz miarę większego kąta.<br />
Sformułuj odpowiedź.<br />
dp. rnu ma mar 60 120.<br />
277
7<br />
8<br />
9<br />
10<br />
Kąt przy dolnej podstawie trapezu równoramiennego ma miarę o 50° mniejszą<br />
niż przy górnej. Oblicz miary kątów tego trapezu.<br />
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne polecenia.<br />
Ile wynosi suma miar kątów przy jednym ramieniu trapezu?<br />
Ile stopni mają w sumie dwa mniejsze kąty?<br />
Oblicz miarę mniejszego kąta.<br />
Oblicz miarę większego kąta.<br />
Sformułuj odpowiedź.<br />
Jeden kąt równoległoboku ma miarę o 30° większą od miary drugiego. Oblicz<br />
miary kątów tego równoległoboku.<br />
Romb ma jeden kąt trzykrotnie większy niż drugi. Oblicz miary kątów tego<br />
rombu.<br />
Jeden z kątów trójkąta ma miarę o 10° mniejszą od miary drugiego i jednocześnie<br />
o 10° większą od miary trzeciego. Oblicz miary kątów tego trójkąta.<br />
Plan domu państwa Kowalskich jest wykonany w skali 1 : 50.<br />
a ) Korytarz ma mieć 4 m długości. Oblicz długość tego korytarza na planie.<br />
b ) Szerokość schodów na planie jest równa 4 cm. Jakiej szerokości będą<br />
schody w domu wybudowanym na podstawie tego planu?<br />
aa 1 : 50<br />
4 m – du rara rcc<br />
4 cm – r cd na pan<br />
Saa 1 : 50 naca, na pan<br />
ad mar mnn 50 ra.<br />
4 m = 400 cm<br />
a 400 cm : 50 = 8 cm<br />
4 cm · 50 = 200 cm = 2 m<br />
Wypisz dane z treści zadania.<br />
Co oznacza skala 1 : 50?<br />
Zamień jednostki tak, aby łatwo<br />
było wykonać działania.<br />
Wykonaj odpowiednie obliczenia.<br />
Jeśli potrzeba, zamień także<br />
jednostki otrzymanych wyników.<br />
Sformułuj odpowiedź.<br />
dp. a rar na pan ma du 8 cm.<br />
Scd udnu d ma 2 m rc.<br />
278
11<br />
Plan Płocka wykonano w skali 1 : 18500. Na planie odległość między zoo a katedrą<br />
(w której spoczywają królowie Polski z okresu rozbicia dzielnicowego)<br />
wynosi 6 cm. Jaką odległość trzeba pokonać, aby dojść z zoo do katedry?<br />
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne polecenia.<br />
Wypisz dane z treści zadania.<br />
Co oznacza skala 1 : 18 500?<br />
Wykonaj odpowiednie obliczenia.<br />
Dokonaj zamiany jednostek.<br />
Sformułuj odpowiedź.<br />
12<br />
13<br />
Model jednego z najpopularniejszych<br />
lotniskowców typu Nimitz<br />
jest wykonany w skali 1 : 1000.<br />
a ) Model ma 33 cm długości. Jaka<br />
jest długość tego lotniskowca?<br />
b ) Szerokość tego lotniskowca<br />
w rzeczywistości wynosi 40 m.<br />
Jaką szerokość ma model tego<br />
lotniskowca?<br />
Na mapie Puszczy Augustowskiej, wykonanej w skali 1 : 70 000, jezioro Sajno<br />
ma 11 cm długości, a jezioro Sajenko – 2 cm. Jezioro Sajenek, łączące jeziora<br />
Sajno i Sajenko, ma w terenie długość 1400 m.<br />
a ) Jaka jest długość jeziora Sajno?<br />
b ) Ile czasu potrzebują turyści, aby przepłynąć kajakiem całą długość jeziora<br />
Sajno, jeśli płyną z prędkością średnią 3 km h ?<br />
c ) Jaką długość będzie miało jezioro Sajenek na mapie wykonanej w skali<br />
1 : 35 000?<br />
d ) O ile metrów krótsze jest jezioro Sajenek od jeziora Sajno?<br />
e ) Oblicz łączną długość tych trzech połączonych jezior.<br />
f ) Ile czasu potrzebują kajakarze na przepłynięcie trasy biegnącej przez<br />
jeziora Sajno, Sajenek i Sajenko?<br />
279
Jedna z dróg łączących Szczecin z Toruniem ma 320 km. Na pewnej mapie ta<br />
droga ma długość 16 cm. W jakiej skali wykonano mapę?<br />
Wypisz dane z treści zadania.<br />
320 m – d Sccn–ru<br />
rcc<br />
16 cm – d Sccn–ru<br />
na map<br />
320 m = 32 000 000 cm<br />
32 000 000 cm : 16 cm = 2 000 000<br />
Odległość na mapie<br />
i w rzeczywistości podaj w tych<br />
samych jednostkach.<br />
Oblicz, ile razy krótszy jest<br />
odcinek na mapie od odcinka<br />
w terenie.<br />
Zapisz uzyskaną zależność<br />
w postaci skali.<br />
1 : 2 000 000<br />
Sformułuj odpowiedź.<br />
dp. ap nan a 1 : 2 000 000.<br />
14<br />
15<br />
Trasa 14-kilometrowej wycieczki na mapie ma długość 28 cm. Jaka jest skala<br />
tej mapy?<br />
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne polecenia.<br />
Wypisz dane z treści zadania.<br />
Odległość na mapie i w rzeczywistości podaj w tych samych jednostkach.<br />
Oblicz, ile razy krótszy jest odcinek na mapie od odcinka w terenie.<br />
Przedstaw uzyskaną zależność w postaci skali.<br />
Sformułuj odpowiedź.<br />
Największy używany samolot świata AN-225 Mrija ma 84 m długości.<br />
W jakiej skali został wykonany jego model, jeżeli ma on długość 21 cm?<br />
Jaka jest rozpiętość skrzydeł tego modelu, jeżeli rozpiętość skrzydeł samolotu<br />
wynosi 88 m?<br />
280
16<br />
Jacek przejechał na rowerze trasę długości 18 km. Na mapie trasę tę przedstawia<br />
pętla o długości 3 cm 6 mm. W jakiej skali została wykonana mapa?<br />
Obwód ściany sześcianu wynosi 12 cm. Oblicz sumę długości wszystkich jego<br />
krawędzi.<br />
Oblicz długość jednej<br />
krawędzi sześcianu.<br />
12 cm : 4 = 3 cm<br />
Ile krawędzi ma sześcian?<br />
12 – ca rad canu<br />
3 cm · 12 = 36 cm<br />
dp. Suma duc c<br />
rad canu n 36 cm.<br />
Oblicz sumę długości<br />
wszystkich krawędzi.<br />
Sformułuj odpowiedź.<br />
17<br />
18<br />
19<br />
20<br />
21<br />
Pole ściany sześcianu wynosi 25 cm 2 . Oblicz sumę długości wszystkich jego<br />
krawędzi.<br />
Rozwiąż zadanie, wykonując kolejne polecenia.<br />
Oblicz długość jednej krawędzi sześcianu.<br />
Ile krawędzi ma sześcian?<br />
Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi.<br />
Sformułuj odpowiedź.<br />
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi 96 cm. Oblicz obwód<br />
ściany sześcianu.<br />
Krawędź sześcianu ma 8 cm. Oblicz:<br />
a ) obwód ściany sześcianu,<br />
b ) sumę długości wszystkich krawędzi.<br />
Suma długości wszystkich krawędzi sześcianu wynosi 60 cm. Oblicz pole<br />
jednej jego ściany.<br />
Z drutu o długości 120 cm Jacek chce wykonać model przedstawiający szkielet<br />
sześcianu o wymiarach, z których każdy ma być całkowitą liczbą centymetrów.<br />
Jakie wymiary może mieć ten model?<br />
281
22<br />
W klocku sześciennym suma długości wszystkich krawędzi jest równa<br />
36 cm. Z 12 takich klocków zbudowano prostopadłościan – jak na rysunku.<br />
Oblicz sumę długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu.<br />
23<br />
24<br />
25<br />
26<br />
Szkielet modelu prostopadłościanu, wykonany z drutu, ma krawędzie długości<br />
18 cm, 22 cm, 30 cm. Oblicz, ile drutu potrzeba na wykonanie takiego szkieletu.<br />
Dwa sześciany o krawędzi 3 cm postawiono jeden na drugim. W ten sposób<br />
utworzono prostopadłościan. O ile większa jest suma długości krawędzi prostopadłościanu<br />
niż sześcianu?<br />
Dwa takie same sześciany połączono ścianami. W ten sposób utworzono prostopadłościan.<br />
Prostopadłościan ten został pomalowany. Ile ścian sześcianów<br />
pomalowano? A ile ścian sześcianów zostało niepomalowanych?<br />
Ile różnych prostopadłościanów można ułożyć z 12 sześciennych klocków,<br />
jeżeli za każdym razem musimy wykorzystać wszystkie klocki?<br />
27<br />
28<br />
W prostopadłościanie krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka mają<br />
długości, które wyrażone w centymetrach są kolejnymi liczbami naturalnymi.<br />
Oblicz objętość tego prostopadłościanu, jeśli suma długości wszystkich jego<br />
krawędzi jest równa 60 cm.<br />
Z ilu sześciennych kostek o krawędzi 1 ułożono prostopadłościan o sumie<br />
krawędzi 40, jeśli długość jednej krawędzi jest równa sumie długości dwóch<br />
innych wychodzących z tego samego wierzchołka?<br />
282
Potrafię więcej, umiem lepiej<br />
1<br />
2<br />
Rodzaje kątów, własności miarowe kątów<br />
Na dwóch prostych równoległych zaznaczono pięć punktów: na jednej dwa, a na<br />
drugiej trzy, a następnie budowano trójkąty o wierzchołkach w tych punktach.<br />
Określ, jak położone musiały być punkty, jeśli utworzono w ten sposób dwie<br />
pary trójkątów, które mają jeden kąt o tej samej mierze?<br />
Na podstawie danych z rysunku wyznacz miary kątów α, β, γ.<br />
a )<br />
b )<br />
10°<br />
13°<br />
β<br />
β<br />
γ<br />
67°<br />
α<br />
γ<br />
71°<br />
α<br />
18°<br />
3<br />
Plan, mapa, skala<br />
Ile arów ma powierzchnia każdej z działek przedstawionych na planie?<br />
I<br />
II<br />
III<br />
V<br />
IV<br />
1 cm<br />
VI<br />
VII<br />
4<br />
5<br />
1 : 1000<br />
Kwadratowa działka ma powierzchnię 10 000 m 2 . Jaki obwód ma ta działka<br />
na planie w skali 1 : 100? A jaką ma powierzchnię?<br />
Kąt wklęsły podzielono na trzy kąty, z których pierwszy jest o tyle samo mniejszy<br />
od drugiego, co drugi od trzeciego. Narysuj takie trzy kąty, jeśli drugi<br />
z nich jest kątem:<br />
a ) ostrym, b ) prostym, c ) rozwartym.<br />
283
6<br />
Poniżej podano wymiary arkuszy papieru różnych formatów – wyrażone<br />
w milimetrach są zawsze liczbami naturalnymi. Arkusz kolejnego formatu<br />
to połowa poprzedniego arkusza. Aby znaleźć dokładne wymiary kolejnego<br />
arkusza, należy mniejszy wymiar poprzedniego arkusza zostawić bez zmian,<br />
a większy podzielić przez 2, a następnie otrzymaną długość podać w przybliżeniu<br />
z niedomiarem do 1 mm.<br />
a ) W jakiej skali arkusz formatu A0 jest pomniejszeniem arkusza formatu 4A0?<br />
b ) W jakiej skali arkusz formatu A4 jest pomniejszeniem arkusza formatu A2?<br />
c ) W jakiej skali arkusz formatu A7 jest pomniejszeniem arkusza formatu A5?<br />
d ) Wyznacz wymiary arkusza formatu A10.<br />
Symbol<br />
formatu<br />
Wymiary<br />
arkusza w mm<br />
4A0 1682 × 2378<br />
2A0 1189 × 1682<br />
A0 841 × 1189<br />
A1 594 × 841<br />
A2 420 × 594<br />
A3 297 × 420<br />
A4 210 × 297<br />
A5 148 × 210<br />
A6 105 × 148<br />
A7 74 × 105<br />
A8 52 × 74<br />
A8<br />
A7<br />
A5<br />
A6<br />
A3<br />
A4<br />
A0<br />
A1<br />
A2<br />
7<br />
8<br />
Prostopadłościan, sześcian<br />
Wskaż takie cztery krawędzie prostopadłościanu, spośród których żadne dwie<br />
nie mają punktów wspólnych. Ile jest takich czwórek krawędzi?<br />
Jedna ze ścian prostopadłościanu jest kwadratem. Długości krawędzi prostopadłościanu<br />
wyrażone w centymetrach są liczbami naturalnymi. Suma długości<br />
krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka tego prostopadłościanu jest<br />
równa 10 cm. Ile jest takich prostopadłościanów o różnych wymiarach?<br />
284