KAMATA I KAMATNA STOPA Pod pojmom kamata podrazumijeva ...

KAMATA I KAMATNA STOPA
Pod pojmom kamata podrazumijeva se naknada koju dužnik pla�a za
posu�enu glavnicu. Pri tome se pod glavnicom naj�eš�e podrazumijeva odre�ena
svota novca.
Kamate se uvijek obra�unavaju za neki osnovni vremenski interval koji
nazivamo razdoblje ukama�ivanja ili razdoblje kapitalizacije, što se propisuje
zakonom ili definira u ugovoru. Razdoblje kapitalizacije naj�eš�e je jedna godina,
ali to može biti i mjesec, polugodište ili bilo koji drugi vremenski interval.
Pod pojmom kamatna stopa ili kamatnjak podrazumijeva se iznos koji se
pla�a za 100 nov�anih jedinica za neki osnovni vremenski interval. Odatle dolazi
i naj�eš�a oznaka za kamatnu stopu, p (percent). Budu�i da je kamatna stopa
iznos koji se pla�a za korištenje 100 nov�anih jedinica u odre�enom razdoblju to
se ona može zgodno izraziti u postotcima. Tako se npr., u slu�aju ako se za svakih
100 nov�anih jedinica obra�unava p nov�anih jedinica kamata, kaže da kamate
iznose p % � p/100.
Pretpostavimo, npr. da kamate iznose 6 %. U obi�nom govoru �esto se kaže i
da kamatna stopa (kamatnjak) p iznosi 6 %. Me�utim, 6 % je ustvari samo
skra�ena oznaka za pisanje razlomka 6/100 � 0.06, pa stoga u formulama za
kamatnjak p treba uvrstiti p � 6, a ne p � 6 % = 0.06.
1

DEKURZIVNO I ANTICIPATIVNO UKAMA�IVANJE
Kamate se mogu obra�unavati na po�etku ili na kraju razdoblja ukama�ivanja.
Ako se kamate obra�unavaju na kraju razdoblja od glavnice s po�etka tog
razdoblja govori se o dekurzivnom obra�unu kamata. Ako se kamate
obra�unavaju na po�etku razdoblja od vrijednosti glavnice s kraja tog razdoblja
govori se o anticipativnom obra�unu kamata. Dakle:
dekurzivno obra�unati kamate zna�i izra�unati kamate na posu�eni iznos i
isplatiti ih ili pribrojiti iznosu na kraju vremenskog razdoblja;
anticipativno obra�unati kamate zna�i obra�unati ih unaprijed za neko
vremensko razdoblje pri �emu se kamate obra�unavaju na kona�nu vrijednost
zadanog iznosa.
Dekurzivna kamatna stopa naj�eš�e se ozna�ava slovom p, a anticipativna sa q.
Pogledajmo razliku izme�u dekurzivnog i anticipativnog obra�una kamata na
jednom jednostavnom primjeru. Neka je posu�en iznos od 5000 KN uz 6% kamata
godišnje.
U slu�aju dekurzivnog obra�una kamata dužnik �e odmah primiti 5000 KN, a
poslije godinu dana vratit �e 5000 KN i još �e platiti kamate za proteklu godinu, tj.
5000� 6
�
100
I = 300 KN.
Dakle, na kraju prve godine dužnik ukupno vra�a 5000 + 300 = 5300 KN.
Ako se kamate pla�aju po�etkom perioda, tj. unaprijed, onda je to anticipativno
ra�unanje kamata. U tom slu�aju dužnik na po�etku godine, po odbitku kamata od
pozajmljenog iznosa, ne�e primiti 5000 KN kao prije ve� samo 4700 KN, jer mu je
2

odmah odbijeno 300 KN kamata. Poslije godinu dana dužnik �e vratiti dobivenih
4700 KN i 300 KN kamata, tj. iznos od 5000 KN.
Dakle, pri anticipativnom obra�unu kamata od nekog iznosa, oduzimanje
kamata unaprijed (s tim da se na koncu termina vra�a pozajmljeni iznos), ima isti
rezultat kao da se dužniku ispla�uje neki iznos (4700), bez oduzimanja kamata, a
on treba, na kraju termina, vratiti takav iznos (5000) da njegove kamate budu
jednake razlici izme�u tog iznosa i dobivenog iznosa.
Druk�ije re�eno, to u stvari zna�i da kamate pri anticipativnom obra�unu
kamata možemo ra�unati ne od po�etne, ve� od kona�ne vrijednosti.
PRIMJER 1. Na koju vrijednost naraste glavnica od 500 nov�anih jedinica nakon
jedne godine uz 15% kamata godišnje?
RJEŠENJE: Ozna�imo po�etnu vrijednost glavnice sa C0 i provedimo obra�un uz
dekurzivnu i anticipativnu kapitalizaciju.
C0 = 500, p = 15 (q = 15), n = 1, C1 = ?
Dekurzivno:
C0
� p 500�15
I � � � 75 � C1 � C0 + I � 500 + 75 � 575.
100 100
Anticipativno:
C
I � 1 � q
� 1 15
100 100
� C
Me�utim, kona�na vrijednost glavnice je nepoznata pa prora�un kamata treba
provesti indirektno.
C
C1 � C0 + I � C1 – 1 � q � q �
� C0 � C1 �1�
� � C0.
100 � 100 �
3

� 15 �
85 100
C1�1� ��
500 � C1 � � 500 � C1 � 500 � � 588.24
� 100 �
100
85
��ito je da su kamate obra�unate anticipativno uvijek ve�e (uz jednake C0, n i
kamatnjak) od kamata obra�unatih dekurzivno. Naime, anticipativno kamate se
obra�unavaju od kona�ne, a dekurzivno od po�etne vrijednosti, a kona�na
vrijednost je ve�a od po�etne (uz normalnu pretpostavku da je kamatnjak
pozitivna veli�ina). Primijetimo, tako�er, da je za dužnika povoljnije dekurzivno
ukama�ivanje jer pla�a manje kamata.
JEDNOSTAVNO I SLOŽENO UKAMA�IVANJE
U prethodnom primjeru obra�unavali smo kamate samo za jedno vremensko
razdoblje. Naravno da broj vremenskih razdoblja može biti i ve�i i tada se obra�un
kamata može provoditi na dva na�ina. Obra�un kamata može biti jednostavan ili
složen. U slu�aju jednostavnog ukama�ivanja kamate se ra�unaju uvijek na
po�etnu vrijednost glavnice (C0), dok se kod složenog ukama�ivanja kamate u
svakom sljede�em razdoblju ra�unaju na prethodnu vrijednost uve�anu za
kamate, tj. ra�unaju se i »kamate na kamate«.
Razliku možemo vidjeti i na ovom primjeru:
PRIMJER 2.
Odredite kona�nu vrijednost i ukupno obra�unate kamate za glavnicu od 40 000
nov�anih jedinica nakon 3 godine ako je kapitalizacija godišnja i dekurzivna uz
godišnji kamatnjak p = 10. Usporedite kona�ne vrijednosti u slu�aju jednostavnog
i složenog ukama�ivanja.
4

a) Jednostavni kamatni ra�un:
C0 = 40000, n = 3 (godine), p = 10.
C0 � p
I1 �
100
� 4000 � C1 � C0 + I1 � 44000
Kamate na kraju druge godine ra�unaju se ponovo na po�etnu vrijednost glavnice
C0, pa je
C �
I2 �
100
i analogno
0 p
C0 � p
I3 �
100
� 4000 � C2 � C1 + I2 � 48000
� 4000 � C3 � C2 + I3 � 52000
Kamate u svakom razdoblju su jednake, tj. I1 � I2 � I3 � I � 4000 pa smo mogli
kona�nu vrijednost izra�unati i kao
Cn = C0 + nI, tj. C3 = C0 + 3I = 40000 + 3 � 4000 = 52000
Kona�na vrijednost kod jednostavnog ukama�ivanja je
0
Cn = C0 + n
100
p C � � np �
� C0 ��1 � �
� 100�
Ukupne kamate su dakle
3
� I j � Cn – C0 � 52000 – 40000 � 12000
j�1
b) Složeni kamatni ra�un:
Za prvo razdoblje obra�un je potpuno isti kao i za jednostavni kamatni ra�un, tj.
C �
C1 = C0 + 100
0 p
� 40000 + 4000 � 44000
5

Me�utim, sljede�e kamate ra�unaju se na po�etnu glavnicu uve�anu za kamate, tj.
na C1, pa je
I2 �
odnosno
C1
� p 44000 � 10
�
� 4400
100 100
C2 � C1 + I2 � 44000 + 4400 � 48400
i analogno
C 2 � p
C3 � C2 + I3 � C2 + � 48400 + 4840 � 53240
100
Ukupne kamate su dakako ve�e, tj.
3
� I j � Cn – C0 � 53240 – 40000 � 13240
j�1
Napomenimo da �emo ubudu�e, ako ne bude druga�ije naglašeno, pod
ukama�ivanjem podrazumijevati samo složeno ukama�ivanje.
KONA�NE VRIJEDNOSTI JEDNE SVOTE
DEKURZIVNO UKAMA�IVANJE
Pretpostavimo da je u banku uložena glavnica C0 uz složenu kapitalizaciju i uz
dekurzivni obra�un kamata po stopi p. Neka je i razdoblje ukama�ivanja jednake
duljine kao vremensko razdoblje na koje se odnosi kamatna stopa. Zanima nas
kolika �e biti kona�na vrijednost te svote (dakle suma po�etnog iznosa i složenih
kamata) na kraju n-tog razdoblja.
6

8.1
C 0
C � � �
� � 0 p p
C 1 C0
�C0
�1�
�
100 � 100�
C1 C2 C n-2 Cn-1 1 2 3 n–1 n
2
C1
� p � p � � p �
C 2 � C1
� � C1�1�
� � C0�1�
�
100 � 100 � � 100�
��ito se može pretpostaviti da je
n
� p �
Cn � C0
�1
� �
� 100 �
ANTICIPATIVNO UKAMA�IVANJE
Sli�no razmatranje možemo provesti i u slu�aju anticipativne kapitalizacije. Tada
se vrijednost C0 na po�etku prvog razdoblja dobije ako od vrijednosti na kraju
prvog razdoblja C1 oduzmemo kamate unaprijed, anticipativno (vidi primjer 1).
Dakle, imamo:
C � q � q
C � C � 1 100
100
0 1 � C1
� C1
� C0
100 100
100 � q
Lako se pokaže da vrijedi:
n
Cn C
q
�� � 100 �
� 0
��
100 � �
�
C n
7

100
Izraz naziva se anticipativni kamatni faktor i ozna�ava sa �, tj.
100 � q
100
� � .
100 � q
Prema tome vrijedi
Cn �
n
� 100 � n n
C0�� � C � � C � Iq
q
�� 0 � 0
� 100 � �
gdje oznaka n I q ozna�ava potenciju odgovaraju�eg anticipativnog faktora (za
zadani kamatnjak q i broj razdoblja n) i može se pro�itati iz »prvih« financijskih
tablica za anticipativno ukama�ivanje.
PRIMJER 3. Kolika je kona�na vrijednost glavnice od C0 � 8000 N.J. nakon 6 godina
uz složenu kapitalizaciju i godišnju kamatnu stopu p � 4 (q � 4)?
a) dekurzivno
n
Cnd � C0
� r � 8000 · 1.04 6 � 10122.552
b) anticipativno
6
n �100
�
Cna � C0
� � � 8000 · � �� � 10220.275
� 96
8

PO�ETNE (SADAŠNJE) VRIJEDNOSTI JEDNE SVOTE
Pretpostavimo da želimo znati koliko bi danas trebali uložiti u banku ako nakon
nekog razdoblja (n godina, n mjeseci) želimo na banci imati to�no odre�eni iznos.
Drugim rije�ima, želimo izra�unati sadašnju vrijednost jednog iznosa koji uz
kamatnu stopu p naraste zajedno sa složenim kamatama na neki iznos Cn. Iz
relacija za kona�nu vrijednost jedne svote dobit �emo:
Cn
C
C n
0 �
�
n n
� p � r
�1
� �
� 100�
n
� Cn � II p
Analognu relaciju imamo i za anticipativno ukama�ivanje:
PRIMJER 5.
Cn
Cn
n
C0
�
� � C
n n n � IIq
� 100 � �
��
q
��
� 100 � �
Poznato je da za 5 godina od danas dospijeva dug od 10000 eura. Kojom bi ga
svotom mogli podmiriti danas uz pretpostavku godišnjih dekurzivnih kamata od
7%?
RJEŠENJE:
5 10000
0 � �
� 7129.
86
5
1.
07 1.
402551731
C
C
9

8.6 VRSTE KAMATNJAKA
Propisana kamatna stopa za osnovno vremensko razdoblje naziva se nominalna ili
zadana kamatna stopa. Me�utim, osnovni vremenski interval (naj�eš�e jedna
godina) na koji se odnosi nominalna kamatna stopa i vremenski interval u kojem
se obavlja kapitalizacija (odnosno kamate pribrajaju glavnici) ne moraju biti
jednake duljine. Ozna�imo sa n1 vremenski interval na koji se odnosi zadana
kamatna stopa, a sa n2 vremenski interval u kojem se pripisuju kamate. Tako
je npr. u trenutnom bankovnom poslovanju s teku�im ra�unima zadana godišnja
kamatna stopa, dakle n1 = 1 godina = 12 mjeseci, a kamate se pripisuju glavnici
svaka 3 mjeseca, pa je n2 = 0.25 godina = 3 mjeseca. Ozna�imo, nadalje, sa m
kvocijent tih dvaju brojeva, tj.
m �
n
n
1
2
Dakle, m je broj koji pokazuje koliko se puta u toku osnovnog vremenskog
intervala kamate pripisuju glavnici.
Naj�eš�e se razmatra situacija kada je n1 > n2 i tada govorimo o
ispodnominalnom ukama�ivanju (pripisivanju kamata). Dakle, ukoliko je
razdoblje kapitalizacije kra�e od osnovnog vremenskog intervala na koji se odnosi
nominalna kamatna stopa imamo:
m �
n 1 > 1.
n2
Me�utim, mogu�a je i obrnuta situacija, tj. da je nominalna kamatna stopa zadana
za neko kra�e razdoblje nego što je razdoblje kapitalizacije. Tada je, naravno,
n1 < n2 pa je
m �
n 1 < 1.
n2
10

Pitanje je kako (tj. sa kojom kamatnom stopom) pripisati kamate za takva
(kra�a ili duža) vremenska razdoblja. Postoje dvije mogu�nosti i to nas
dovodi do pojmova relativnog i konformnog kamatnjaka.
RELATIVNI KAMATNJAK
Neka je p kamatna stopa zadana za osnovni vremenski interval (n1) ali neka se
pripis kamata vrši u nekom drugom vremenskom intervalu (n2). Dakle m �
n 1 , pri
n2
�emu možemo re�i da se kapitalizacija vrši m puta u toku osnovnog
vremenskog intervala.
p
Kamatnjak pr � tada nazivamo relativni kamatnjak i on se odnosi na
m
vremenski interval n2. Naravno, ako je m > 1 tada je relativni kamatnjak manji od
nominalnog i dobija se jednostavnim dijeljenjem nominalnog kamatnjaka s brojem
koji pokazuje koliko se puta vrši pripis kamata u toku osnovnog vremenskog
razdoblja.
Dakle, ako je godišnji kamatnjak p, tada je relativni polugodišnji p/2, kvartalni p/4
i mjese�ni p/12. Pretpostavimo, npr. da je zadan godišnji kamatnjak p = 12, a da se
pripis kamata vrši svaka dva mjeseca. Tada je n1 = 12 (mjeseci), n2 = 2, a m = 12 /
2 = 6. Relativni kamatnjak je
p 12
pr � � � 2,
m 6
i on je kamatnjak koji se odnosi na dvomjese�no razdoblje.
Drugo je pitanje da li �e kona�na vrijednost izra�unata nominalnim i
relativnim kamatnjakom biti ista ili ne.
11

PRIMJER 6. Odredite kona�nu vrijednost uloga od 50000 KN nakon 8 godina uz
nominalni godišnji kamatnjak p = 12, ako se pripis kamata vrši: a) godišnje, b)
polugodišnje c) dvomjese�no uz primjenu relativne kamatne stope.
RJEŠENJE:
a) C0 = 50000, p = 12 � r = 1.12
C8 = C0 � r 8 = 50000 � 1.12 8 = 50000 � 2.475963 = 123798.16
b) C0 = 50000, n1 = 12 (mjeseci), n2 = 6 (mjeseci)
m �
n 1 12 p 12
� � 2, pr � � � 6.
n2
6
m 2
Broj m ozna�ava da se za vrijeme osnovnog vremenskog intervala (1 godina)
pripis kamata vrši 2 puta.
Kona�na vrijednost ra�una se ponovo po istoj formuli Cn � C0 � r n , samo što je
sada broj razdoblja (polugodišta) 16, pa imamo:
C16 � 50000 · 1.06 16 � 50000 · 2.54035 � 127017.58
Vidimo da je kona�na vrijednost sada ve�a nego u slu�aju pod (a). Naime, budu�i
da se radi o složenom kamatnom ra�unu kamate se pripisuju na uve�anu vrijednost
glavnice. Na taj na�in ve� nakon prvog polugodišta kamate se ra�unaju na
glavnicu uve�anu za pripisane kamate što rezultira ve�om kona�nom
vrijednoš�u.
c) Razlika �e biti još o�itija ako je ukama�ivanje �eš�e,
12 p 12
C0 = 50000, n1 = 12, n2 = 2 � m = = 6 � pr � � � 2.
2
m 6
Broj razdoblja (dvomjese�ja) sada je 8 � 6 = 48, pa je kona�na vrijednost:
C48 � 50000 � 1.02 48 � 129353.52
12

Pretpostavimo sada da je nominalni kamatnjak zadan za kra�e razdoblje (recimo
mjesec dana), a da se pripis kamata vrši u nekom dužem razdoblju (dvomjese�no,
n
polugodišnje). U tom slu�aju je n1 < n2 , pa je i m � 1 < 1 ,a time i relativni
n2
p
kamatnjak pr � postaje ve�i od nominalnog.
m
PRIMJER 7.
Odredite kona�nu vrijednost uloga od 20000 KN nakon 4 godine uz zadani
mjese�ni kamatnjak p = 1.5, ako je kapitalizacija (pripis kamata):
a) mjese�na,
b) dvomjese�na,
c) polugodišnja,
sve uz primjenu relativne kamatne stope.
RJEŠENJE:
a) C0 = 20000, n = 48 (mjeseci), p = 1.5 (mjese�ni)
m �
n1 1
� � 1
n2
1
C48 � 20000 � 1.015 48 � 20000 � 2.043478 � 40869.57
b) m �
n1 1 p 1.
5
� � pr � �
n2
2 m 0.
5
� 3 (dvomjese�ni), n = 24,
C24 � 20000 � 1.03 24 � 20000 � 2.032794 � 40655.88
n
c) m � 1 1 p 1 . 5
� � pr � � � 9 (polugodišnji), n = 8,
n2
6 m 1
6
C8 � 20000 � 1.09 8 � 20000 � 1.992563 � 39851.25
��ito je da primjena relativne kamatne stope ne daje istu kona�nu vrijednost ni u
ovom slu�aju, pri �emu se može zaklju�iti da �eš�a kapitalizacija donosi ve�u
kona�nu vrijednost.
13

8.6.2 KONFORMNI KAMATNJAK
Postavlja se pitanje je li mogu�e prera�unati nominalnu kamatnu stopu p na
takvu kamatnu stopu p´ kojom �e se, �eš�om ili rje�om kapitalizacijom u
nekom drugom vremenskom intervalu, ostvariti jednaka koli�ina kamata, pa
samim tim i jednaka kona�na vrijednost. Takav kamatnjak nazivat �emo
konformni kamatnjak i ozna�avati ga sa p´.
��ito je da kona�na vrijednost uz kamatnu stopu p i n ukama�ivanja mora
biti jednaka kona�noj vrijednosti uz kamatnu stopu p’ te m�n ukama�ivanja,
odnosno,
tj.
C0
n
mn
� p � � p' �
�1�
�� � C0 �1
� �� ,
� 100 � 100
m
� p � � p'
�
�1
� � � �1�
� ,
� 100 � � 100�
iz �ega lako dobijemo:
� 1 �
��
p �m
�
p´ � 100 �
��1
� � � 1�
.
�
� 100�
�
�
�
Analogno, za anticipativno ukama�ivanje imamo:
m
100 � 100 �
�
100 � q
��
q
��
�100
� ' �
�
�
1 �
� �100 �q�m�
q'
�
�
1 ��
� �
�
� 100 �
�
�
�
Što je nominalni kamatnjak ve�i, ve�a je i razlika koja se javlja upotrebom
relativnog kamatnjaka. Npr. ako je godišnji kamatnjak p = 480, mjese�ni relativni
480
je pr � � 40, a konformni mjese�ni je: p´ � 100
12
� 1 �
��
480 �12
�
��1�
� �1
� 100 �
�
� 15.776.
�
�
�
�
14

Napomenimo da je �esto zadan kamatnjak i za kra�e razdoblje a traži se
odgovaraju�i kamatnjak za neko dulje razdoblje. U tom slu�aju je m < 1.
Pretpostavimo npr. da je zadan mjese�ni kamatnjak p = 10 a da tražimo
1
odgovaraju�i polugodišnji. Budu�i da je tada m = , vidi se da je
6
pr �
10
� 60,
1
6
a konformni polugodišnji je
p´ � 100
� 6
� 10 �
�
��1
� � � 1�
� 77.1561.
��
� 100�
��
Budu�i da se u prora�unima �eš�e koristi kamatni faktor r nego sama
kamatna stopa p, zgodno je uo�iti kako se dobiva konformni kamatni faktor
r’. Imamo:
� 1 �
100�
p
( 1 � ) m � 1�
� 100 �
p ' �
�
r´ � 1 + � 1 +
�
�
100
100
1 1
� p �m
� �1
� � � r m .
� 100�
Dakle,
r´ �
1
r m �
m
r
1
� p �m
� 1 + �1
� � – 1 �
� 100�
tj. konformni kamatni faktor r’ dobiva se iz nominalnog jednostavnim ra�unanjem
m-tog korijena.
Analogno vrijedi i za anticipativno ukama�ivanje, tj. �´ � m
1
�
15

PRIMJER 8.
a) Odredite na koju vrijednost, nakon 5 godina, naraste iznos od 50000 EURA koji
je uložen na banci uz 4% polugodišnjih kamata.
b) Izra�unajte konformni mjese�ni kamatnjak i provjerite da li uz njegovu
primjenu i mjese�ni pripis kamata dobivamo istu kona�nu vrijednost.
c) Koliki bi bio odgovaraju�i godišnji konformni kamatnjak koji bi davao istu
koli�inu kamata (pa i istu kona�nu vrijednost).
RJEŠENJE:
a) Nominalni (zadani) kamatnjak je polugodišnji i on iznosi p = 4. Polugodišta
kroz 5 godina ima 10, pa imamo:
n � 5 � 2 � 10 (polugodišta), p � 4 (polugodišnji)
C10 � C0 � r 10 � 50000 � 1.04 10 � 50000 � 1.480244 � 74012.21
6 (mjeseci)
b) m �
� 6
1 (mjesec)
� 1 �
��
4 �6
�
p´�100
��1
� � � 1
�
� 100�(1.006558197 – 1) � 0.6558197
�
� 100�
�
�
�
n � 5 � 12 � 60 (mjeseci)
p´ � 0.6558197 (mjese�ni)
C60 � C0 � (r´) 60 � 50000 � 1.006558197 60 � 50000 � 1.480244 �
� 74012.21
što je isto kao i u prethodnom slu�aju.
Ra�un smo mogli provesti i elegantnije koriste�i samo konformni kamatni
faktor. Naime,
r´ � m
1
r � r´ �
1
( 1.
04)
6 ,
16

C60 � C0�(r´) 60 60
� 1 �
� 50000� �(
1.
04)
6 � � 50000 � (1.04)
� �
� �
10 � 74012.21
c)
6 (mjeseci)
m �
�
12 (mjeseci)
p´ � 100
1
2
�
1 �
��
p � m
�
�
�
�1
� � 1 � 100
� 100�
�
��
��
� 100 � (1.04 2 -1) � 8.16
�
2
� p � �
��1
� � � 1�
�
��
� 100�
��
Dakle, odgovaraju�i godišnji konformni kamatnjak je p´ = 8.16, pa imamo:
n � 5 (godina), p´ � 8.16 (godišnji)
C5 � C0 � (1.0816) 5 � 50000 � 1.480244 � 74012.21
Odgovaraju�i konformni kamatni faktor r’ iznosi
r´ � m
1
r � r 2 � (1.04) 2
pa smo kona�nu vrijednost mogli izra�unati i pomo�u njega, tj.
C5 � C0�(r´) 5 � 50000 �� �5 2
( 1.
04)
� 50000 � (1.04) 10 � 74012.21
Primijetimo još jednom razliku izme�u konformnog i relativnog kamatnjaka. U
slu�aju kada je m > 1 (�eš�i pripis kamata) relativni kamatnjak je ve�i od
konformnog i samim tim daje ve�e kamate i ve�u kona�nu vrijednost. Tako je
u prethodnom primjeru pod (b) m = 6 > 1 te imamo:
p = 4 � p´ = 0.65582,
p 4
pr � � � 0.666666...
m 6
17

Ako je m < 1, tj. prelazimo na rje�i pripis kamata, relativni kamatnjak je
manji od konformnog. Tako u prethodnom primjeru pod (c) imamo:
p = 4 � p´ = 8.16
p 4
pr � � � 8.
m 1
2
PRIMJER 10.
Neka osoba uloži na banku po�etkom godine 2000 eura, zatim na kraju tre�eg
mjeseca još 1000 eura, te po�etkom devetog mjeseca još 1200 eura. Koliko �e ta
osoba imati na ra�unu 31.prosinca. ako je banka odobravala prvih 5 mjeseci 8%, a
preostalih 7 mjeseci 7% godišnjih kamata. Obra�un kamata je dekurzivan,
mjese�ni i konforman.
RJEŠENJE:
Za prvih 5 mjeseci mjese�ni konformni kamatnjak je
�
1 / 12
� p
100 1 1 � �
1 / 12
p1
' � ��
� � � 1�
� 100�
( 1.
08 � 1)
� 0.
643403,
��
� 100�
��
a konformni mjese�ni kamatni faktor je
1 / 12
r ' � 1.
08 � 1.
00643403.
1
Za preostalih 7 mjeseci je
� 1 / 12
� p
100 1 2 � �
1 / 12
p2
' � ��
� � � 1�
� 100�
( 1.
07 � 1 ) � 0.
5654145,
��
� 100�
��
2
1 / 12
r ' � 1.
07 � 1.
005654145 .
Prema tome kona�ni iznos je (vidi sliku):
18

S =
5 7
2 7
4
� ( r1'
) � ( r2'
) � 1000�
( r1'
) � ( r2'
) � 1200�
( r2'
,
2000 )
odnosno:
S=
5
12
7
12
2
12
7
12
2000 � 1.
08 �1.
07 � 1000�
1.
08 �1.
07 � 1200�
1.
07
S = 2000�1.03258679�1.040256737 +
+ 1000�1.012909457�1.040256737 +
+ 1200�1.022809122 =
= 2148.31 + 1053.69 + 1227.37 = 4429.37 €.
� ����������� ��� ��
�� ���
���
���
Primjer: Neka osoba uloži na po�etku godine nepoznat iznos. Nakon pola godine
uloži još tre�inu tog iznosa, a dva mjeseca nakon toga podigne polovinu svote s
kojom raspolaže u tom trenutku. Koliki je bio po�etni iznos ako na kraju godine
ima na ra�unu 12645.16 KN? Kapitalizacija je složena, dekurzivna i konformna, a
banka odobrava 18% kamata godišnje.
RJEŠENJE:
Neka je R iznos koji je uložen na po�etku godine. Izra�unajmo prvo koliko ta
osoba ima na štednji u trenutku podizanja polovine raspoložive svote, tj. na kraju
osmog mjeseca. Godišnji kamatni faktor je r � 1.18, a odgovaraju�i (konformni)
mjese�ni je:
4
12
19

1
r´ �
12 1 . 18 � ( 1.
18 ) 12 .
1
Svota R stoji, dakle, na štednji 8 mjeseci, a R , koja je uložena nakon pola
3
godine, stoji na štednji 2 mjeseca. Prema tome, iznos s kojim ta osoba raspolaže
krajem osmog mjeseca je:
S8 � R · (r´) 8 8
2
1 2
+ R · (r´) � R(
1 . 18 ) 12 1
+ R(
1 . 18 ) 12
3
3
S obzirom na to da se tada podiže polovina tog iznosa, na banci ostaje pola te
svote i do kraja godine (još 4 mjeseca) ta svota naraste na:
1
S8(
1 . 18 )
2
Dakle, imamo:
4
12
�
1
�R(
1.
18 )
2 �
�
odnosno:
8
12
2 � 4
1
� R(
1.
18 ) 12 �(
1,
18 ) 12 � 12645.16
3 �
�
�
6 �
1
�
1
R 1.
18 � ( 1.
18 ) 12 � � 12645.16,
2 � 3 �
�
�
iz �ega dobijemo R � 16400.
20

KONA�NE VRIJEDNOSTI VIŠE PERIODI�NIH
UPLATA (ISPLATA)
Razmotrimo sada slu�aj kada se više jednakih svota upla�uju (ispla�uju)
ravnomjerno u jednakim vremenskim intervalima kroz n razdoblja.
Pretpostavimo, tako�er, da je razdoblje kapitalizacije jednako vremenskom
razdoblju dospije�a izme�u tih uplata i da je kamatna stopa konstantna. Uplate
mogu biti po�etkom razdoblja pa govorimo o prenumerando uplatama
(isplatama), ili krajem razdoblja pa govorimo o postnumerando uplatama. Želimo
izra�unati kona�nu vrijednost svih tih uplata (isplata), tj. sve te jednake uplate R
zamijeniti jednom svotom na kraju n-tog razdoblja.
a) Prenumerando:
Neka je obra�un kamata dekurzivni i uplate su po�etkom razdoblja. Problem se
grafi�ki može predo�iti na sljede�i na�in:
8.2
R R R R R R S n
1 2 3 n–1 n
R·r
R·r 2
R·r n-2
R·r n-1
R·r n
Kona�na vrijednost Sn tih n prenumerando uplata jednaka je sumi svih uplata
pojedina�no, ali svedenih na kraj n-tog razdoblja, tj.
21

Sn � R · r + R · r 2 + ... + R · r n–2 + R · r n–1 + R · r n �
� R (r + r 2 + ... r n–2 + r n–1 + r n )
Izraz u zagradi predstavlja sumu prvih n �lanova geometrijskog niza �iji je prvi
�lan a1 � r, a tako�er je i kvocijent q � r, pa imamo: Sn � R · r ·
Relacija za Sn može pisati i u obliku financijskih tablica:
Sn � R III
n p
b) Postnumerando
�
r � 1
r � 1
n
.
Razmotrimo sada slu�aj ako su uplate krajem razdoblja. Dakle, na po�etku prvog
razdoblja nema nikakve uplate ali se javlja jedna nova krajem posljednjeg
razdoblja. Problem se sada može grafi�ki prikazati kao na slici (8.3)
8.3
Kona�na vrijednost svih postnumerando uplata (vrijednost na kraju posljednjeg
razdoblja) jednaka je:
R R R R R
1 2 3 n–1 n
Sn ’
R
R
R·r
R·r 2
R·r n-2
R·r n-1
22

Sn´ �R + R · r + R · r 2 + ... + R · r n–2 + R · r n–1 �
� R (1 + r + r 2 + ... + r n–2 + r n–1 ).
Budu�i da je izraz u zagradi ponovo suma geometrijskog niza, ali sada s prvim
�lanom a1 � 1 i kvocijentom q � r, imamo:
Sn´ � R ·
r � 1
r � 1
n
,
Vidimo da izme�u kona�ne vrijednosti prenumerando i postnumerando isplata
postoji veza:
PRIMJER 10.
Sn � Sn´ · r.
a) Neka osoba upla�uje na banku po�etkom svakog mjeseca svotu od 1000 KN.
Koliko �e nakon godine dana imati na ra�unu ako je obra�un kamata dekurzivni uz
godišnji kamatnjak p = 15, te uz primjenu konformne kamatne stope?
b) Koliko bi ta osoba imala na ra�unu nakon godine dana ako su uplate bile krajem
mjeseca?
RJEŠENJE:
a) Izra�unajmo prvo konformni mjese�ni kamatnjak:
� 1 � � 1 �
��
15 �12
� � �
p´ � 100·
��1
� � � 1
�
� 100·
�
� 100
�1.
1512
� 1�
� 1.1714917,
�
�
�
� �
� � �
odnosno konformni kamatni faktor
23

1 1
r´ � r 12 � 1.
15 12 � 1.011714917.
Potrebno je izra�unati kona�nu vrijednost 12 prenumerando uplata od po 1000 KN,
pa imamo:
1
R � 1000, p �1.1714917, (r � 1. 1512
� 1.011714917),
r � 1
Sn � R · r ·
r � 1
n
n
� R · III p
12
� 1 �
�(
1.
15)
12 � � 1
1 � �
S12 � 1000 · 1. 15 12 ·
� �
�
1
( 1.
15)
12 � 1
0.
15
� 1000 � 1.011714917 · � 12954.19 KN.
0.
011714917
b) Sada se radi o postnumerando uplatama pa je:
r 1
Sn´ � R ·
r 1
n
� n 1
� R · ( III p
�
� + 1)
12
� 1 �
�(
1.
15)
12 � � 1
� �
S12´�1000·
� �
0.
15
� 1000 · � 12804.19
1
0.
011714917
( 1.
15)
12 � 1
Naravno da ve�i iznos imamo na ra�unu kod prenumerando uplata budu�i da
smo po�eli upla�ivati mjesec dana ranije. Vrijednost za S12´ mogli smo dobiti i
Sn iz relacije Sn = Sn´� r, odnosno Sn´ � , pa je
r
S12´ �
S12
12954.
19 12954.
19
� �
� 12804.19 KN
r
1 1.
011714917
( 1.
15)
12
24

SADAŠNJE (PO�ETNE) VRIJEDNOSTI VIŠE
PERIODI�NIH UPLATA (ISPLATA)
Više jednakih svota R koje se javljaju u jednakim vremenskim razmacima
zamjenjujemo sada jednom svotom koja dospijeva odmah, tj. izra�unavamo im
sadašnju vrijednost. Uplate, odnosno isplate, opet mogu biti po�etkom ili krajem
razdoblja pa razlikujemo dva slu�aja.
a) Postnumerando
Problem možemo postaviti i na sljede�i na�in: koliko bi trebali uplatiti danas
ako želimo tijekom sljede�ih n razdoblja (godina) na kraju svakog razdoblja
predi�i R nov�anih jedinica? Grafi�ki, taj problem možemo prikazati ovako (slika
8.4):
8.4
A n
R· �
r2 R· �
r
R· �
r n-1
R· �
r n
R R R R R R
1 2 3 n–1 n
25

Sadašnja vrijednost An tih n postnumerando uplata (isplata) jednaka je:
An �
1 1
1 1
R � � R � � ... � R � � R � =
r 2
n�1
n
r r r
n
� 1 �
� � � 1
1 1 1 1 1
= R � ( � � ... � � ) �
� r
R � �
�
�
r 2 n�1
n
r r r r 1
� 1
r
n
r � 1
= R � � R ·
n IV
r ( r � 1)
n p
b) Prenumerando
U slu�aju kada su uplate (isplate) po�etkom razdoblja, problem se grafi�ki može
predstaviti ovako (slika 8.5):
8.5
An ’
R R R R R
R·
1 2 3 n–1 n
�
r2 R· �
R
R
r
R· �
r n-2
R· �
r n-1
Sadašnja vrijednost tih n prenumerando uplata jednaka je:
n
� 1 �
� � � 1
1 1 1
An´ �
...
� r
R � R � � R � � � R � � R �
�
r 2
n�1
r r 1
� 1
r
26

n
r �1
An
'�
R�
n�1
r ( r �1)
�1
odnosno pomo�u financijskih tablica: An´ � � ( IV � 1)
n R p
Vidimo da i ovdje postoji veza izme�u sadašnjih vrijednosti prenumerando i
postnumerando uplata:
PRIMJER 11.
An´ � r · An
a) Koliki bi iznos trebali danas uplatiti na banku ako želimo nakon svakih
mjesec dana (kroz sljede�e dvije godine) osigurati isplatu od po 1000 KN?
Banka odobrava godišnji dekurzivni kamatnjak p = 10, uz konformni
obra�un kamata.
b) Koliki bi bio taj iznos ako želimo te iste isplate osigurati po�etkom svakog
od ta 24 mjeseca?
RJEŠENJE:
a) Potrebno je izra�unati sadašnju vrijednost 24 mjese�ne postnumerando isplate
od po 1000 KN. Izra�unajmo prvo konformni mjese�ni kamatnjak:
� 1 � � 1 �
��
p �12
� � �
p´ � 100 ·
��1
� � � 1
�
� 100 ·
�
� 100
�1.
1012
� 1�
� 0.797414
�
�
�
� �
� � �
odnosno
1 1
r´ � r12 � 1.
1012
� 1.00797414
Sadašnja vrijednost te 24 postnumerando isplate je
An � R ·
n
IVp � R ·
n
r � 1
.
n
r ( r � 1)
27

24
� 1 �
� 12
( 1.
10)
�
� 1
� �
�
A24 � 1000 ·
� ��
�
1
24
� �
�(
1.
10)
12 � � 0.
00797414
� �
� �
2
( 1.
10)
� 1
= 1000 ·
� 21764.57
2
( 1.
10)
� 0.
00797414
Dakle, da bismo osigurali 24 isplate od po 1000 KN krajem svakog mjeseca uz
godišnji kamatnjak p = 10, moramo na banku uplatiti 21764.57 KN.
b) Potrebno je izra�unati sadašnju vrijednost 24 prenumerando isplate, tj.
n
r �1
An
'�
R�
n�1
r ( r �1)
24
� 1 �
�(
1.
10)
12 � � 1
� �
A24´� 1000 ·
� �
= 21938.12
1
23
� �
�(
1.
10)
12 � � 0.
00797414
� �
� �
Dakle, želimo li isplate po�eti primati odmah (po�etkom mjeseca) iznos koji treba
uplatiti je nešto ve�i, odnosno iznosi 21938.12 KN.
Naravno da smo taj rezultat mogli dobiti i koriste�i relaciju
An´ = r � An, tj.
A24´ � 1.00797414 · 21764.57 � 21938.12
28