zadaci

KAMATNI RAČUN
1

Kamate su naknada koju plaća dužnik za posuđeni iznos
(glavnicu) na određeno vrijeme.
Iznos kamata na 100 novčanih jedinica za neki
vremenski interval nazivamo kamatnjak ili kamatna
stopa, a taj vremenski interval razdoblje ukamaćivanja,
razdoblje kapitalizacije ili obračunski termin (najčešće
godina, polugodište, kvartal, mjesec ...).
Primjer:
Što znači da je
kamatnjak 8 godišnje ? (8%)
kamatnjak 3 kvartalno ? (3%)
2

Kamatna stopa propisuje se zakonom ili ugovorom
između dužnika i vjerovnika.
Kamate možemo obračunavati na dva osnovna načina:
� anticipativno - na početku obračunskog
razdoblja u odnosu na glavnicu s
kraja razdoblja
� dekurzivno - na kraju obračunskog razdoblja
u odnosu na glavnicu s početka
razdoblja
3

Primjer:
Na glavnicu od 100 EUR, posuđenu na mjesec
dana, obračunavamo 5% mjesečnih kamata.
POSUĐENO
VRAĆENO
DEKURZIVNO
100
105
ANTICIPATIVNO
95
100
4

Kamate mogu biti jednostavne i složene ovisno o
glavnici koju uzimamo za obračun kamata.
Ako se kamate za svaki obračunski termin obračunavaju
na istu vrijednost glavnice, imamo jednostavne kamate.
Ako se glavnica za obračun kamata za svako razdoblje
mijenja, imamo složene kamate.
U oba slučaja kamate možemo obračunavati dekurzivno
i anticipativno.
5

Primjer: 1000 novčanih jedinica ulažemo uz 10%
dekurzivnih godišnjih kamata na 3 godine.
VRIJEME
1.
2.
3.
JEDNOSTAVNE
KAMATE
1000
+ 100
1100
+ 100
1200
+ 100
SLOŽENE KAMATE
1000
+ 100
1100
+ 110
1210
+ 121
1300 1331
6

Po JKR kamate za tekuće obračunsko razdoblje računamo
u odnosu na vrijednost glavnice sa početka prvog
obračunskog razdoblja, koja je uvijek ista, pa su kamate,
uz fiksnu kamatnu stopu, za svako razdoblje jednake.
Po SKR kamate računamo u odnosu na vrijednost glavnice
sa početka tekućeg obračunskog razdoblja, koja se stalno
povećava, pa su kamate, uz fiksnu kamatnu stopu, za
svako razdoblje različite (sve veće). Razlog tome je
pojavljivanje kamata na kamate.
7

Primjena jednostavnog kamatnog računa:
Obračun kamata na
–štednju po viđenju
–vrijednosne papire (čekovi, mjenice, …)
–potrošačke kredite
Primjena složenog kamatnog računa:
Obračun kamata na
–oročenu štednju
–periodične uplate i isplate
–investicijske zajmove
8

OZNAKE:
JEDNOSTAVNI KAMATNI RAČUN
C ili C 0 - početna vrijednost glavnice
p - dekurzivna kamatna stopa
n - broj obračunskih razdoblja
I n - kamate
C n - konačna vrijednost glavnice (vrijednost
glavnice zajedno sa kamatama nakon n
obračunskih razdoblja )
Izraz za kamate dobijemo iz postotnog računa:
I
n
=
C ⋅ p ⋅ n
100
9

C n = C + I n =
C +
C p n
100
⎛ p ⋅ n ⎞
C n = C ⋅ ⎜1 +
100
⎟
⎝ ⎠
Ako je p godišnja kamatna stopa, formule su:
I =
n
I =
n
C p n
100
C p n
1200
(n u godinama)
(n u mjesecima)
10

C p n
36000
I n = (n u danima:
francuska metoda – godina ima
360 dana, dani po kalendaru;
I =
n
C p n
36500
njemačka metoda – godina ima
360 dana, svaki mjesec 30 dana)
(n u danima:
engleska metoda - godina ima
365 dana, prijestupna 366, dani
po kalendaru)
U gospodarskoj praksi naše zemlje najviše se koristi
engleska metoda.
11

Primjeri:
1. Dužnik je podmirio dug sa zakašnjenjem od dva
mjeseca zajedno sa zateznim kamatama iznosom od
3640 kuna. Koliki je dug a kolike kamate ako je
zatezni godišnji kamatnjak 24 ?
p = 24
n = 2
C n= 3640
___________________________________
C, I n = ?
⎛ p ⋅ n ⎞
C n = C ⋅ ⎜1 +
1200
⎟
⎝ ⎠
⎛ 24 ⋅ 2 ⎞
= C ⋅ ⎜1 +
1200
⎟
⎝ ⎠
=
3640
12

C ⋅ 1.04 = 3640
C = 3500 kuna ⇒ I = 140 kuna
2. Tokom godine na štednoj knjižici imamo sljedeće
promjene:
10.05. UPLATA 6 000 kn
24.06. ISPLATA 4 200 kn
30.08. UPLATA 2 000 kn
12.11. ISPLATA 3 500 kn
Odredite stanje na toj štednoj knjižici 31.12. iste
godine ako je godišnji kamatnjak 6 ?
n
13

RJEŠENJE
Prvi način:
Imamo
Kamate računamo na stanje za razdoblje između
dviju uzastopnih promjena stanja.
p = 6, I =
n
C p n
36500
14

DATUM
10.05
24.06
30.08
12.11
31.12
OPIS
UPLATA
ISPLATA
UPLATA
ISPLATA
UKUPNO
IZNOS
6000
4200
2000
3500
-
STANJE
6000
1800
3800
300
300
01.01 DONOS 412.85
DANI
KAMATE
45 44.384
67 19.825
74 46.225
49 2.416
- 112.85
15

Drugi način:
Imamo
Kamate računamo na svaku uplatu i isplatu za
razdoblje od dana dospijeća do 31.12.
p = 6, I =
n
C p n
36500
16

DATUM
10.05
24.06
30.08
12.11
31.12
OPIS
UPLATA
ISPLATA
UPLATA
ISPLATA
UKUPNO
IZNOS
6000
4200
2000
3500
300
01.01 DONOS 412.85
DANI
KAMATE
235 +231.781
190 -131.178
123 +40.438
49 -28.191
- +112.85
17

POTROŠAČKI KREDIT
Potrošačke kredite daju banke kao i proizvodne i
trgovačke firme (poduzeća) za kupnju dobara ili
usluga na otplatu. Kamate se obračunavaju
anticipativno po jednostavnom kamatnom računu.
Kredit se otplaćuje jednakim mjesečnim ratama.
Obračun kredita:
KREDIT C
- UČEŠĆE U
ZADUŽENJE BEZ KAMATA C 1
+ KAMATE I
UKUPNO ZADUŽENJE C 2
MJESEČNA RATA =
UKUPNO ZADUŽENJE
BROJ RATA
2
C
R= m
18

Ako je q godišnja anticipativna kamatna stopa, tada je
C1 q
I = (m+1)
2400
Ako je p postotak učešća i
tada je
k =
q(m+1)
24
(kamatni koeficijent)
⎛ p ⎞ ⎛ k ⎞
C ⋅ ⎜1- ⋅ 1 + = R ⋅ m
100
⎟ ⎜
100
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
19

U izvodu koristimo da je
IZVOD FORMULA
1+2+3+ … +m = m(m+1)
2
Kamate obračunavamo svaki mjesec, anticipativno na
ostatak duga. Jedna mjesečna rata bez kamata je r=C 1 /m.
Uz godišnju anticipativnu kamatnu stopu q bit će:
1. MJ: . . . . I
2. MJ: . . . . I
1
2
=
mr ⋅ q ⋅1
1200
(m-1)r ⋅ q ⋅1
=
1200
20

3. MJ: . . . . I
.
.
.
m. MJ: . . . . I
Ukupne kamate:
.
.
.
3
=
m
(m-2)r ⋅ q ⋅1
1200
.
.
.
1r ⋅ q ⋅1
=
1200
I = I 1 + I 2 + … + I m
r ⋅
q
= [m+(m-1)+(m-2)+ ... +2+1]
1200
21

⋅ q m(m+1)
= ⋅
1200 2
C q m(m+1)
1 = ⋅ ⋅
m 1200 2
C1 q
= (m+1)
2400 ⋅
Ako je p postotak učešća, tada je
C ⋅ p ⎛ p ⎞
C 1 = C- = C ⋅ 1-
100
⎜
100
⎟
⎝ ⎠
22

gdje je
C ⋅ q
1
C 2 = C 1+I = C 1+
(m 1)
2400
+ =
C1 q(m+1) C1
= C 1+ ⋅ = C 1+
⋅ k =
100 24 100
⎛ k ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
= C1 1 +
100
k =
q(m+1)
24
KAMATNI KOEFICIJENT.
23

Kako je
ili
2 C
R =
m
tj. 2
⎛ k ⎞
C1 ⎜1+ = R ⋅ m
100
⎟
⎝ ⎠
C = R ⋅ m imamo
⎛ p ⎞ ⎛ k ⎞
C ⋅ ⎜1- ⋅ 1+ = R ⋅ m
100
⎟ ⎜
100
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
24

ZADACI
1. Odobren je potrošački kredit od 48000 kn na 5 godina
otplate uz 30% učešća u gotovini i 18% kamata.
Odredite mjesečnu ratu.
Prvi način:
48 000
- 14 400
33 600
+ 15 372
48 972
48972
R = =
816.20 kn
60
48000 ⋅ 30
U= = 14400
100
C 1 = 33 600
q = 18
m = 5 . 12 = 60
33600 ⋅18
I= ( 60 + 1) = 15 372
2400
25

Drugi način:
q ⋅ (m+1) 18 ⋅ 61
k = = = 45.75 (%)
24 24
⎛ p ⎞ ⎛ k ⎞
C ⋅ ⎜1- ⋅ 1 + = R ⋅ m
100
⎟ ⎜
100
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 30 ⎞ ⎛ 45.75 ⎞
48000 ⋅ ⎜1- ⎟ ⋅ ⎜1 + ⎟ = R ⋅ 60
⎝ 100 ⎠ ⎝ 100 ⎠
⇒
R = 8 1 6 .2 0 k n
26

2. Odredite rok otplate za potrošački kredit od 12000 kn
dobiven uz 25% učešća i 12% godišnjih anticipativnih
kamata ako je mjesečna rata 798.75 kn.
Prvi način:
12 000
- 3 000
9 000
+ 45 m + 45
45 m + 9045
45 m+9045
798.75 = ⋅ m
m
12000 ⋅ 25
U= = 3000
100
C 1 = 9 000
q = 12
m = …
9000 ⋅12
I= ( m + 1) = 45 ⋅ (m + 1)
2400
798.75 m = 45 m + 9045 ⇒
m = 12 mjeseci
27

Drugi način:
q ⋅ (m+1) 12 ⋅ (m + 1)
k = = = 0.5 (m+1)
24 24
⎛ p ⎞ ⎛ k ⎞
C ⋅ ⎜1- ⋅ 1 + = R ⋅ m
100
⎟ ⎜
100
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 25 ⎞ ⎛ 0.5 (m+1) ⎞
12000 ⋅ ⎜1- ⋅ 1 +
= 798.75m
100
⎟ ⎜
100
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒
m = 1 2 m je s e c i
28

3. Koliki najveći iznos potrošačkog kredita može podići
osoba čija je plaća 5250 kn, na dvije godine otplate, uz
20% učešća i 9% godišnjih anticipativnih kamata ?
NAPOMENA: Mjesečna rata ne smije prelaziti 1/3 prosječnih
mjesečnih primanja !
Prvi način:
C
- 0.2 C
0.8 C
+ 0.075 C
0.875 C
1
R = ⋅ 5250 = 1750
3
C ⋅ 20
U= = 0.2 C
100
C 1 = 0.8 C
q = 9
m = 2 . 12 = 24
0.8 C ⋅ 9
I = ( 24 +1 ) = 0.075 C
2400
0.875 C
1750 = ⇒ C = 48 000 kn
24
29

Drugi način:
q ⋅ (m+1) 9 ⋅ 25
k = = = 9.375 (%)
24 24
⎛ p ⎞ ⎛ k ⎞
C ⋅ ⎜1- ⋅ 1 + = R ⋅ m
100
⎟ ⎜
100
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 20 ⎞ ⎛ 9.375 ⎞
C ⋅ ⎜1- ⋅ 1 + = 1750 ⋅ 24
100
⎟ ⎜
100
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒
C = 4 8 0 0 0 k n
30

4. Uz koje učešće je dobiven potrošački kredit od 24 000
kuna uz 6% godišnjih anticipativnih kamata na godinu
dana otplate, ako je mjesečna rata 1342 kune i 25 lipa?
Prvi način:
24 000
- U
C 1
+ 0.0325 C 1
1.0325 C 1
1.0325 C
U= ?
C 1 = …
q = 6
m = 12
C ⋅ 6
( )
1 I = 12 +1 = 0.0325 C1
2400
1
1342.25 = C 1 = 15 600 kn
12
⇒
U = 24 000 - 15 600 = 8 400 kn (35 %)
31

Drugi način:
q ⋅ (m+1) 6 ⋅13
k = = = 3.25 (%)
24 24
⎛ p ⎞ ⎛ k ⎞
C ⋅ ⎜1- ⋅ 1 + = R ⋅ m
100
⎟ ⎜
100
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ p ⎞ ⎛ 3.25 ⎞
24000 ⋅ ⎜1- ⋅ 1 + = 1342.25 ⋅12
100
⎟ ⎜
100
⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⇒
p = 3 5 %
32

P I T A NJ A
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
33