Numerické řešení transsonického proudění v mříži pomocí ... - ČVUT

České vysoké učení technické v PrazeFakulta strojníDiplomová práceNumerické řešení transsonického prouděnív mříži pomocí upwind schématu nanestrukturovaných sítíchJiří Dobeš2000 Praha

Vysoká škola: ČVUT v Praze 6, Technická 4Fakulta: strojníÚstav: technické matematiky Školní rok: 1999/2000ZADÁNÍ DIPLOMOVÉ PRÁCE(PROJEKTU, UMĚLECKÉHO DÍLA, UMĚLECKÉHO VÝKONU)pro:obor:p. Jiřího DOBEŠEAplikovaná mechanikaNázev tématu:Numerické řešení transsonického proudění v mříži pomocíupwind schématu na nestrukturovaných sítíchPokyny pro vypracování:1. Formulujte úlohu obtékání rovinné axiální a radiální mříže popsanou systémem Eulerovýchrovnic.2. Vypracujte numerickou metodu řešení této úlohy založenou na použití obecné nestrukturovanésítě konečných objemů a modifikovaného Roeho Riemann solveru 1. a 2. řádupřesnosti včetně adaptace sítě. Odlaďte příslušné programy na dostupné výpočetní technice.3. Ověřte numerické metody pro vybrané případy axiálních a radiálních mříží z technicképraxe.4. Navrhněte vhodné rozšíření metody pro řešení vazkého transsonického proudění v mřížis algebraickým modelem turbulence.

Rozsah grafických prací:1. Zpracování výsledků numerického řešení.2. Porovnání výsledků s jinými metodami a experimentem.3. Dokumentovnání algoritmů adaptace sítě.Rozsah práce: cca 40 stran textu.Doporučená literatura:1. Toro E. F.: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. SpringerNY 1997.2. Hirsch, Ch.: Numerical Computation of Internal and External Flow. J. Wiley 1993.3. Sborníky z konferencí CFD dle doporučení vedoucího DP.Vedoucí diplomové práce: Doc. Ing. Jaroslav Fořt, CSc.Datum zadání diplomové práce: 2. 6. 2000Datum odevzdání diplomové práce: 15. 12. 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Vedoucí ústavu U201. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .DěkanV Praze dne: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Pohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracoval samostatně a uvedl jsem všechnu použitouliteraturu.V Praze12. prosince 2000. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Jiří Dobeš

ObsahPředmluvaPřehled užitého značenívvii1 Numerické metody typu upwind 11.1 Definice důležitých pojmů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Lineární rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Nelineární rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 TVD metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Upwind metody . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Nevazké proudění ve 2D 92.1 Eulerovy rovnice v konzervativním tvaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Formulace úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.1 Axiální lopatková mříž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2.2 Radiální lopatková mříž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.3 Kanál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Izoentropické vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Numerické řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.1 Bezrozměrný tvar Eulerových rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.4.2 Metoda konečných objemů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4.3 2D Roeho aproximativní Riemann solver . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4.4 Podmínka pro časový krok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4.5 Numerická aproximace okrajových podmínek . . . . . . . . . . . . . . 172.5 Metoda vyššího řádu přesnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.1 Zvýšení řádu aproximace v prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.2 Zvýšení řádu v čase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6 Adaptace sítě . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.6.1 Adaptační kritéria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.6.2 RG algoritmus adaptace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.7 Numerické výsledky 1. řádu aproximace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7.1 Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.7.2 Kompresorová mříž MAN GHH 1-S1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.7.3 Radiální turbínová mříž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.8 Numerické výsledky vyššího řádu aproximace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.8.1 GAMM kanál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28i

iiOBSAH2.8.2 Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.9 Adaptace – numerické výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.9.1 GAMM kanál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.9.2 Mříž DCA 8 % . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.9.3 Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Vazké proudění ve 2D 373.1 Navierovy-Stokesovy rovnice v konzervativním tvaru . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Formulace úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.2.1 Zakřivený kanál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3 Numerické řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.3.1 Bezrozměrný tvar Navierových-Stokesových rovnic . . . . . . . . . . . 383.3.2 Metoda konečných objemů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.4 Numerické výsledky řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.1 Zakřivený kanál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.4.2 Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424 Nevazké proudění ve 3D 474.1 Eulerovy rovnice v konzervativním tvaru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 Formulace úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2.1 Axiální statorová mříž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.3 Numerické řešení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.1 Metoda konečných objemů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.2 3D Riemann solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.3.3 Numerická aproximace okrajových podmínek . . . . . . . . . . . . . . 534.4 Numerické výsledky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545 Algebraické modely turbulence 595.1 Reynoldsovy rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595.2 Základní algebraické modely . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.1 Model Cebeciho a Smithe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.2.2 Model Baldwina a Lomaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2.3 Model Rostanda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.3 Model s diferenciální rovnicí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.3.1 Model Johnsona a Kinga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.4 Rozšíření modelů na 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.4.1 Modifikace modelu Baldwina a Lomaxe . . . . . . . . . . . . . . . . . 705.5 Závěr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Závěr 73Příloha 75A Některé používané matematické vztahy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75B Srovnání rychlostí některých počítačů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

Seznam obrázků2.1 Řešená oblast pro axiální lopatkové mříže . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.2 Řešená oblast pro radiální lopatkové mříže . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.3 Řešená oblast pro GAMM kanál . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Konečný objem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5 Schéma k výpočtu f na hraně konečného objemu . . . . . . . . . . . . . . . . 142.6 Uspořádání pro obecnou síť . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Algoritmus adaptace RG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.8 SE1050 – experiment ÚT ČSAV Ma 2 = 1,18, α = 19,3 ◦ . . . . . . . . . . . . . 232.9 Turbínová mříž SE1050 – Ma 2 = 1,18, α = 19,3 ◦ , 1. řád aproximace . . . . . 242.10 Kompresorová mříž MAN GHH 1-S1, Ma 1 = 0,6180, p 2 /p 1 = 1,1221, 1. řádaproximace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.11 Radiální turbínová mříž, 1. řád aproximace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.12 GAMM kanál Ma 1 = 0,675 – výsledky 1. a vyššího řádu aproximace . . . . . 292.13 Turbínová mříž SE1050 – Ma 2 = 1,18, α = 19,3 ◦ , vyšší řád aproximace . . . . 302.14 GAMM kanál Ma 1 = 0,675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.15 Mříž DCA 8 % Ma 1 = 0,946, 1. řád aproximace . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.16 Turbínová mříž SE1050 – Ma 2 = 1,18, α = 19,3 ◦ . 2x adaptovaná síť . . . . . . 353.1 Konečný objem pro vazký výpočet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Řešená oblast pro vazké proudění v zakřiveném kanále . . . . . . . . . . . . . 393.3 Zakřivený kanál – výpočetní síť 6109 elementů. . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Zakřivený kanál – Izočáry Machova čísla pro různé hodnoty Reynoldsova čísla 433.5 Turbínová mříž SE1050 – síť pro vazký výpočet . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.6 SE1050 vazký výpočet. Re = 2,6.10 5 , Ma 2 = 1,204. . . . . . . . . . . . . . . . 454.1 Řešená oblast – 3D statorová mříž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.2 Turbínová statorová mříž SE-3D1 – rozložení veličin na vstupu a výstupu . . 544.3 Turbínová statorová mříž SE-3D1 – pole Machova čísla . . . . . . . . . . . . . 554.4 Turbínová statorová mříž SE-3D1 – izočáry tlaku . . . . . . . . . . . . . . . . 564.5 Turbínová statorová mříž SE-3D1 – průběh Machova čísla na vstupu a výstupu 57iii

ivSEZNAM OBRÁZKŮ

PředmluvaSoučasný stav výpočtových metod v aerodynamice neumožňuje zachytit veškeré jevy, kteréprobíhají v tak složitých dějích, jako je proudění stlačitelných tekutin. Intenzivní rozvoj výpočetnítechniky v posledních letech umožnil značný pokrok ve využití numerických metodmatematického modelování. Ověření nebo predikce vlastností lopatkových mříží, ke kterým jetato práce nejvíce směrována, spolu s experimentálním měřením v aerodynamických tunelechumožňuje lepší návrh a případnou lepší účinnost těchto energeticky velice důležitých zařízení.Nedílnou součástí této diplomové práce je vyvinutí a naprogramování numerických metod.Tyto numerické metody patří mezi moderní metody využitelné ve dvou a trojrozměrném prouděnístlačitelných tekutin, zvláště při transsonických rychlostech a v uspořádání s komplexnígeometrií. Použití nestrukturované sítě s možností adaptace zvyšuje možnost přesnějšího zachyceníprobíhajících dějů.Úvodní kapitola je věnována některým důležitým vlastnostem rovnic, které jsou podstatnépro pochopení numerického řešení a objasnění chování tohoto řešení. Jsou zde věty týkajícíse TVD vlastností, stability řešení atd.Druhá a třetí kapitola se zabývá Eulerovými a Navierovými-Stokesovými rovnicemi, implementacířešení, diskretizací, zvýšením řádu přesnosti s ohledem na TVD vlastnosti atd.Dále je detailně popsán způsob výpočtu v jednotlivých případech buněk. Jsou zde uvedenynumerické výsledky a jejich srovnání s jinými dostupnými numerickými metodami a s experimentem.Čtvrtá kapitola se týká řešení trojrozměrného proudění na nestrukturované síti. Bohuželnebyl dostupný vhodný software pro generaci sítě, a tak je proudění řešeno na strukturovanésíti, na kterou se ovšem v programu pohlíží jako na nestrukturovanou.Pátá, závěrečná kapitola je věnována některým algebraickým modelům turbulence. Jsouzde uvedeny modely Cebeciho a Smithe, úprava Baldwina a Lomaxe, úprava navržená Rostandema model Johnsona a Kinga. Dále je uvažováno rozšíření na trojrozměrné případy geometriea s tím i modifikace B-L modelu Yershovem a Rusanovem pro použití v lopatkovýchstrojích.Na závěr bych chtěl poděkovat panu doc. Jaroslavu Fořtovi za obětavé odborné vedení mépráce a veškerý čas, který mi věnoval. Panu prof. Karlu Kozlovi za podporu a za vytvářenívýborných pracovních podmínek v našem ústavu a též spolupracovníkům, kteří mi pomáhalipři studiu a v odborné práci.v

viPŘEDMLUVA

Přehled užitého značeníA – Jacobiho maticeà – Roeho maticeC 1 – prostor funkcí se spojitými prvními derivacemiC0 1 – prostor funkcí z C 1 s kompaktním nosičemH – celková entalpieL n – prostor funkcí integrovatelných s n-tou mocninouMa – Machovo čísloPr – Prandtlovo čísloR – měrná plynová konstantaR – matice pravostranných vlastních vektorů Roeho maticeR – prostor reálných číselRe – Reynoldsovo čísloS – entropiea – rychlost zvukuc – charakteristický rozměrc p – měrná tepelná kapacita při konstantním tlakuc v – měrná tepelná kapacita při konstantním objemue – energie vztažená na jednotku objemu (def. vztah (2.2))f,g,h – vektory tokůl – délka hranym – vektor charakteristických proměnnýchm i – i-tá složka vektoru charakteristických proměnnýchp – tlakr – proměnná slope limiterut – čas(u,v,w) – složky rychlosti v kartézské souřadné soustavěv – vektor rychlosti v kartézské souřadné soustavěw – vektor konzervativních proměnných(x,y,z) – složky kartézského souřadného systémuΓ – hranice oblastiΛ – matice vlastních čísel Roeho maticeΩ – kontrolní objemα – úhel náběhuγ – adiabatický koeficientδ + – operátor dopředné diferenceδ − – operátor zpětné diferencevii

viiiPřehled užitého značeníη – dynamická vazkostλ i – i-té vlastní číslo Roeho maticeρ – hustotaµ(Ω) – velikost oblasti Ω∂Ω – hranice oblasti ΩHorní indexy˜· – (tilda) veličina vážená odmocninou z hustotyDolní indexy0 – klidový stav1 – veličina na vstupu2 – veličina na výstupuL – stav nalevo od rozhraníR – stav napravo od rozhraníOznačení ke kapitole 5F,G – vektory toků v souřadné soustavě (x,y)M – Machovo čísloR – měrná plynová konstantaR,S – vazké tokyPr – Prandtlovo čísloRe – Reynoldsovo čísloU,V – střední hodnoty rychlostíT – teplotaW – vektor konzervativních proměnnýchW – velikost rychlostia – rychlost zvukuc – charakteristický rozměrc p – měrná tepelná kapacita při konstantním tlakue – hustota energieh – entropiek – turbulentní kinetická energiel – délkové měřítkop – statický tlakq x ,q y – složky vektoru tepelného tokuu,v – složky rychlosti v souřadné soustavě (x,y)u τ – třecí rychlostt – čas(x,y) – souřadný systémδ – tloušťka mezní vrstvyδ 2 – impulzová tloušťka mezní vrstvy

ixδ W – tloušťka mezní vrstvy v úplavuγ – adiabatický koeficientη – dynamická vazkostν – kinematická vazkostκ – Kármánova konstantaλ – součinitel tepelné vodivosti tekutinyτ xx ,τ xy ,τ yy – složky tenzoru napětíρ – hustotaω – vířivostHorní indexy∗ – veličina zahrnující vazkost i turbulenci· – střední hodnota v čase˜· – střední hodnota vážená hustotou˜· – fyzikální veličina·′ – fluktuace k časové střední hodnotě·′′ – fluktuace ke střední hodnotě vážené hustotouDolní indexye – vnější hranice mezní vrstvyi – složky v souřadné soustavě (x,y)i – vnitřní oblast odpovídající nestlačitelnému prouděníw – stěnam, max – maximálnío – vnější oblastt – turbulentní

xPřehled užitého značení

Kapitola 1Numerické metody typu upwindpro řešení hyperbolických rovnicV této kapitole budou stručně nastíněny některé pojmy týkající se numerického řešenídiferenciálních rovnic. Nejprve se budeme věnovat lineárním skalárním případům pro víceprostorových proměnných. Definujeme některé základní pojmy (aproximace, stabilita) a uvedemeLaxovu větu týkající se konvergence. Dále budeme uvažovat nelineární skalární problémyv jedné prostorové proměnné. Uvedeme některé další pojmy (konzistence, konzervativita) aLaxovu-Wendroffovu větu, týkající se konvergence v nelineárním případě. Na závěr se zmínímeo TVD metodách (do kterých patří v této práci vyvinutá metoda).1.1 Definice důležitých pojmůUvažujme základní diferenciální úlohu ve tvaruAU(x) − F (x) = 0, x = (x 1 ,x 2 , . . . ,x n ) ∈ Ω (1.1)BU(x) − Φ(x) = 0, x ∈ ∂Ω, (1.2)kde Ω je oblast řešení. Úloha je zapsána v operátorové formě – A je určitý diferenciálníoperátor, operátor B vyjadřuje počáteční a okrajové podmínky.Tuto úlohu (1.1) budeme numericky řešit na síti s krokem h, budeme řešit soustavu síťovýchrovnicA h u h (x) − f h (x) = 0, x ∈ Ω h (1.3)B h u h (x) − Φ h (x) = 0, x ∈ ∂Ω h , (1.4)kde Ω h je množina síťových bodů. Označme dáleD A h (x) = (AU − F ) − (A hu h − f h ), x ∈ Ω h (1.5)D B h (x) = (BU − Φ) − (B hu h − Φ h ), x ∈ ∂Ω h . (1.6)Definice 1 (Aproximace) Diferenční úloha (1.3 – 1.4) aproximuje diferenciální úlohu (1.1– 1.2) na jejím řešení u(x), jestliže‖D A h ‖ → 0, ‖DB h ‖ → 0 (1.7)při ‖h‖ → 0.1

2 KAPITOLA 1. NUMERICKÉ METODY TYPU UPWINDAproximace má řád p, jestliže‖A h U − f h ‖ = O(h p ) (1.8)‖B h U − Φ h ‖ = O(h p ) (1.9)jestliže ‖h‖ → 0.Definice 2 (Stabilita) Diferenční úloha (1.3 – 1.4) je stabilní, jestliže je jednoznačně řešitelnáa ke každému ε > 0 existuje δ(ε) > 0 (nezávislé na h i ) a h 0 > 0 takové, že při‖ ˜f h − f h ‖ < δ, ‖˜Φ h − Φ h ‖ < δ (1.10)bude pro řešení ũ h úlohya úlohyplatitA h ũ h (x) − ˜f h (x) = 0, x ∈ Ω h (1.11)B h ũ h (x) − ˜Φ h (x) = 0, x ∈ ∂Ω h (1.12)A h u h (x) − f h (x) = 0, x ∈ Ω h (1.13)B h u h (x) − Φ h (x) = 0, x ∈ ∂Ω h (1.14)‖ũ h − u h ‖ ≤ ε (1.15)pro všechna h i < h 0 .Definice 3 (Konvergence) Řešení diferenční úlohy (1.3 – 1.4) u k konverguje k řešení diferenciálníúlohy (1.1 – 1.2) U, jestliže‖U − u h ‖ → 0 pro ‖h‖ → 0. (1.16)Jestliže při ‖h‖ → 0 platí‖U − u h ‖ → O(h p ), (1.17)řekneme, že diferenční řešení u h má řád konvergence rovný p.1.2 Lineární rovniceO konvergenci lineárních rovnic mluví Laxova věta:Věta 1 (Lax) Řešení diferenční úlohy (1.3 – 1.4) u h konverguje k řešení lineární diferenciálníúlohy (1.1 – 1.2) U, jestliže diferenční úloha (1.3 – 1.4) aproximuje diferenciální úlohu(1.1 – 1.2) a je stabilní.Tato věta nám dává možnost dokázat konvergenci řešení numerické metody pro lineárníúlohy. Pro nelineární případ je situace mnohem složitější.

1.3. Nelineární rovnice 31.3 Nelineární rovnice v jedné prostorové proměnnéUvažujme nelineární úlohu s počátečními podmínkami∂u∂t + ∂f(u)∂x= 0 (1.18)u| t=0 = u 0 , (1.19)kde f ∈ C 1 (R), u 0 ∈ C 1 (R).Definice 4 (Klasické řešení) Funkce u ∈ C 1 (R × R + ) splňující pro každé x ∈ R a t ∈ R +rovnici (1.18) a pro každé x ∈ R vztahlim u(x,t) = u 0(x) (1.20)t→0+se nazývá klasické řešení úlohy (1.18 – 1.19).Bohužel u nelineárních rovnic klasické řešení často neexistuje. Proto je třeba zavést pojemslabé řešení a v další části budeme vždy uvažovat slabé řešení.Definice 5 (Slabé řešení) Nechť f ∈ L ∞ (R) a u 0 ∈ L ∞ (R). Funkce u ∈ L ∞ (R × R + ) senazývá slabé řešení úlohy (1.18 – 1.19), jestliže pro každou testovací funkci φ ∈ C0 1(R × R+ )s kompaktním nosičem vyhovuje rovnici∫∫∂φR×R + ∂t u dx dt + ∂φR×R + ∂x∫Rf(u) dx dt = φ(x,0)u 0 (x) dx (1.21)Teď uvedeme Laxovu-Wendroffovu větu, která mluví o konvergenci nelineárních úloh proskalární rovnice. K tomu budeme potřebovat zavést ještě několik pojmů.Definice 6 (Konzervativní tvar) Řekneme, že metoda je v konzervativním tvaru, jestližeexistuje funkce F p + q + 1 proměnných taková, žeUi n+1 = Ui n − ∆t [F (Un∆x i−p ,Ui−p+1, n . . . ,Ui+q) n − F (Ui−p−1,U n i−p, n . . . ,Ui+q−1) n ] (1.22)Funkci F nazveme numerickým tokem.Definice 7 (Konzistence) Metodu (1.22) nazveme konzistentní s původním zákonem zachování(1.18 – 1.19) jestližeF (u,u, . . . ,u) = f(u), ∀u. (1.23)Definice 8 (Lipschitzovská spojitost numerického toku) Řekněme, že F je lipschitzovskáv bodě u, jestliže existuje konstanta K ≥ 0 taková, že pro všechna U n i−p ,U n i−p+1 , . . . ,U n i+qdostatečně blízká u platí|F (U n i−p, . . . ,U n i+q) − f(u)| ≤ K max−p≤j≤q ‖U i+j − u‖ (1.24)Řekneme, že F je lipschitzovsky spojitá, je-li lipschitzovská v každém bodě.

4 KAPITOLA 1. NUMERICKÉ METODY TYPU UPWINDDefinice 9 (Totální variace) Totální variací T V (u) funkce u(x) nazveme čísloT V (u) = supN∑|u(ξ j ) − u(ξ j−1 )|, (1.25)j=1když supremum provádíme přes všechna dělení reálné osy −∞ < ξ 0 < ξ 1 < . . . < ξ n < ∞.Věta 2 (Lax-Wendroff) Nechť je dána posloupnost sítí s indexy l = 1,2, . . . a se síťovýmiparametry ∆t l ,∆x l → 0 pro l → ∞. Označme U l (x,t) numerické řešení získané pomocíkonzistentní konzervativní metody na l-té síti. Nechť U l konverguje k funkci u pro l → ∞v tomto smyslu:1. pro každou množinu 〈a,b〉 × 〈0,T 〉 v rovině x-t platí∫ T ∫ b0a|U l (x,t) − u(x,t)| dx dt → 0 pro l → ∞, (1.26)2. pro každé T existuje R > 0 tak, žeT V (U l (.,t)) < R pro ∀t ∈ 〈0,T 〉, l = 1,2, . . . (1.27)Pak u(x,t) je slabé řešení zákona zachování.Laxova-Wendroffova věta nám říká, že pokud metoda konverguje, tak konverguje ke slabémuřešení. Neříká však, kdy konverguje. K tomu je potřeba ještě určitá forma stability –TV-stabilita.Definujme ještě totální variaci funkce dvou proměnných:Definice 10 (Totální variace funkce u(x,t)) Totální variace funkce u(x,t) je čísloT V T (u) = lim sup 1 ∫ Tε→0 ε0+ lim sup 1 ∫ Tε→0 ε0∫+∞−∞∫+∞−∞|u(x + ε,t) − u(x,t)| dx dt + (1.28)|u(x,t + ε) − u(x,t)| dx dt.Definice 11 (TV-stabilita) Numerická metoda je TV-stabilní, jestliže všechny aproximaceU ∆t pro ∆t < ∆t 0 leží v pevné množiněK = {u ∈ L ∞ : T V T (u| R×〈0,T 〉 ) ≤ R a supp(u(·,t)) ⊂ 〈−M,M〉 ∀t ∈ 〈0,T 〉}, (1.29)kde R,M ∈ R nezávisí na ∆t.Pomocí této definice se ovšem TV-stabilita ověřuje obtížně. Je však možné užít následujícívětu.

1.4. TVD metody 5Věta 3 Nechť je dána numerická metoda s konzervativním numerickým tokem F . Nechť prokaždá počáteční data u 0 existují ∆t 0 ,R > 0 tak, žeT V (U n ) ≤ R ∀n,∆t,∆t 0 < t 0 , n∆t ≤ T. (1.30)Pak je metoda TV-stabilní.Věta 4 Nechť U ∆t je řešení, získané numerickou metodou v konzervativním tvaru s lipschitzovskyspojitým numerickým tokem, konzistentní s nějakým skalárním zákonem zachování.Nechť je metoda TV-stabilní. Pak metoda konverguje pro ∆t → 0 ke slabému řešení problému(1.18 – 1.19).Nyní jsme schopni u skalárních metod určit konvergenci ke slabému řešení úlohy (1.18– 1.19). Slabé řešení však nebývá jednoznačné. Hledáme proto řešení, které odpovídá fyzikálnímuvýznamu rovnice (1.18 – 1.19), t.j. řešení, při němž neklesá entropie. Toto fyzikálnířešení lze získat jako limitní případ řešení u ε pro lim ε → 0 modifikované rovnice∂u∂t + ∂f(u)∂x = εu xx. (1.31)Tuto rovnici parabolického typu můžeme ve shodě s jejím fyzikálním významem nazývatrovnicí konvekce – difuze (rovnicí vazkého problému) (viz. Le Veque 1990 [15]).Poznámka 1 Matematický pojem „entropické slabé řešení lze obecně zavést pomocí nerovnicepro entropickou dvojici (viz. např. Le Veque 1990 [15]).1.4 TVD metodyJeden ze způsobů, jak zajistit TV–stabilitu je požadavek, aby totální variace s časemnenarůstala.Definice 12 (TVD metoda) Numerickou metodu Uin+1Variation Diminishing) metodou, jestliže platí= H(U n ; i) nazveme TVD (TotalT V (U n+1 ) ≤ T V (U n ) (1.32)pro všechny síťové funkce U n .TVD metody obecně nekonvergují k entropickému řešení, ale existuje podtřída TVD metodtzv. monotónní metody, které k němu konvergují.Definice 13 (Monotónní metody) Numerickou metodu Uin+1 = H(U n ; i) nazveme monotónnímetodou, jestliže(∀i : u n i ≥ v n i ) ⇒ (∀i : H(u n ; i) ≥ H(v n ; i)) (1.33)pro všechny síťové funkce U n .Poznámka 2 Monotónní metoda Uin+1 = H(U n ; i) je metoda, pro kterou platí:Jestliže pro libovolné dvě síťové funkce u a v, pro které platí u i ≥ v i pro všechna i, platítaké H(u n ; i) ≥ H(v n ; i), pak je metoda monotónní.

6 KAPITOLA 1. NUMERICKÉ METODY TYPU UPWINDVěta 5 Nechť u 0 ∈ L 1 (R)∩L ∞ (R) a u n+1i= H(U n ; i) je monotónní metoda v konzervativnímtvaru s konzistentním a lipschitzovsky spojitým numerickým tokem. Potom numerické řešeníkonverguje k entropickému řešení problému (1.18 – 1.19), když ∆x,∆t → 0.Věta 6 Monotónní metody jsou maximálně prvního řádu přesnosti.Cíl návrhu všech numerických metod je navrhnout metodu vyššího než prvního řádu přesnosti.Možnost konstrukce numerické metody pouze prvního řádu přesnosti činí monotónnínumerické metody v podstatě nepoužitelné. (Přesto, že je to třída, o které bezpečně víme, žekonverguje k entropickému řešení.)Věta 7 (Harten, 1983) Nechť obecná jednodimenzionální numerická metoda je ve tvaruu n+1i= u n i − C i−1Jestliže pro ∀i platíC i−1 + D2 i+122C i−12D i+12pak metoda (1.34) je TVD.(u n i − u n i−1) + D i+1 (u n − u n2 i+ 1 i ). (1.34)2≥ 0 (1.35)≥ 0 (1.36)≤ 1, (1.37)Tato věta nám umožňuje zkonstruovat jednodimenzionální TVD metodu. Až doposudjsme se u nelineárních případů věnovali pouze metodám v jedné prostorové proměnné. Vevíce prostorových proměnných lze zkonstruovat také TVD metodu, ale my se omezíme nanumerickou metodu konstruovanou pomocí jednodimenzionální TVD metody. Bylo dokázáno(Harten, Le Veque) že jakákoliv TVD metoda ve dvou prostorových proměnných je maximálněprvního řádu přesnosti (mimo určitých jednoduchých případů). Vyvíjená metoda tedy nebudeTVD, ale bude založena na jednodimenzionální TVD metodě a bude vyššího řádu přesnosti.1.5 Upwind metodyV této části bude popsána diskretizace pro jednoduchý případ lineární skalární rovnice.Mějme rovniciu t + au x = 0. (1.38)Úloha bude řešena na síti s krokem ∆x = x i+1 − x i . Označme u i = u(x i ). Nyní můžemenahradit diferenciální operátory diferenčními a rovnici řešit. Naskýtá se ovšem otázka vhodnévolby diferenčních operátorů. Nejpřímější náhrada centrálními diferencemiu x = u i+1 − u i−12∆x(1.39)vede na nestabilní schéma. Toto schéma by nekonvergovalo, výpočet by se rozkmital a zhroutil.Jestliže člen u x nahradíme tímto způsobem:u x = u i − u i−1∆xu x = u i+1 − u i∆xpro a > 0 (1.40)pro a < 0, (1.41)

1.5. Upwind metody 7u i je pak řekneme, že toto schéma je typu upwind.Volba tohoto schématu může být vhodná z hlediska, že operátor upwind diskretizace jižv sobě obsahuje tlumení. Rovnici (1.38) postupně přepíšeme takto:u t + a 2(ui+1 − u i∆xu t + a u i+1 − u i−12∆xu t + a − |a| u i+1 − u i+ a + |a| u i − u i−1)2 ∆x 2 ∆x− |a| (ui+1 − u i− u )i − u i−12 ∆x ∆x+ u i − u i−1∆x= ∆x |a|(u i+1 − 2u i + u i−12 ∆x 2 = ∆x |a|= 0 (1.42)= 0 (1.43))2 u xx∣ + O(∆x 3 )i(1.44)což je modifikovaná rovnice pro rovnici (1.38). Člen odpovídající ∆x|a|u xx /2 představujetlumení.Řešení získané pomocí upwind metody lze chápat jako řešení rovnice vazkého problému(1.31). Při náhradě časové derivaceu t = un+1 − u n∆tje schéma stabilní pro časový krok(1.45)∆t ≤ ∆x|a| . (1.46)Všechny výše uvedené věty se týkaly pouze jedné skalární rovnice. Teorie zabývající sesoustavami rovnic dosud nezná podobné věty. Dá se však očekávat, že kvalitní numerickámetoda pro řešení soustav rovnic vznikne spíše rozšířením kvalitní metody pro řešení skalárnírovnice, než metody, která nemá tak dobré vlastnosti ve skalárním případě.

8 KAPITOLA 1. NUMERICKÉ METODY TYPU UPWIND

Kapitola 2Dvojrozměrné nevazké proudění2.1 Eulerovy rovnice v konzervativním tvaruObecné nevazké proudění je popsáno systémem Eulerových rovnic. Eulerovy rovnice v konzervativníformě lze pro 2D proudění bez uvažování vnějších sil zapsat ve tvaru:w t + f x + g y = 0, (2.1)w =⎛⎜⎝ρρuρve⎞⎟⎠ ,⎛f = ⎜⎝ρuρu 2 + pρu v(e + p)u⎞⎟⎠ ,⎛g = ⎜⎝ρvρu vρv 2 + p(e + p)vkde w je vektor neznámých, ρ je hustota, (u,v) jsou složky rychlosti v kartézském souřadnémsystému, p je tlak, e je hustota celkové energie vztažená na jednotku objemu a f a g jsouvektory toků. Systém Eulerových rovnic je uzavřen vztahem pro celkovou energii ideálníhoplynue =pγ − 1 + 1 2 ρ(u2 + v 2 ), (2.2)kde γ je adiabatický koeficient.2.2 Formulace úlohy2.2.1 Axiální lopatková mřížMříž je tvořena nekonečným množstvím periodických profilů. Řešená oblast Ω je jednaperioda. Rozdělme její hranici ∂Ω na vstupní řez Γ 1 , výstupní řez Γ 2 , periodickou okrajovoupodmínku Γ P a profil Γ S (stěnu) (viz. obr. 2.1).Volba okrajových podmínek na řezech Γ 1 a Γ 2 je založena na analogii s jednorozměrnouúlohou v libovolném směru – příslušná soustava rovnic vznikne násobením rovnic (2.1) jednotkovýmvektorem ve směru ᾱ. Matice soustavy má potom čtyři vlastní čísla wᾱ, wᾱ, wᾱ + a,wᾱ − a, kde wᾱ je průmět vektoru rychlosti do směru ᾱ. Na vstupu při wᾱ| Γ1 < a| 1 Γ1 byměly být předepsány tři podmínky (do oblasti vstupují tři charakteristiky), na výstupu při1 Složka rychlosti ve směru normály je menší než místní rychlost zvuku.⎞⎟⎠ ,9

10 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2DPERIODICITAVSTUPSTENAPERIODICITAVYSTUPObrázek 2.1: Řešená oblast pro axiální lopatkové mřížewᾱ| Γ2 < a| Γ2 jedna podmínka, v případě wᾱ| Γ2 > a| Γ2 (výstupní rychlost ve směru kolmém naΓ 2 nadzvuková) pak žádná podmínka. V případě, že hledáme stacionární řešení rovnice (2.1),můžeme na vstupu nebo na výstupu zadat i větší množství podmínek, než vychází z tétoúvahy a čas t může mít význam pouze iteračního času. Okrajové podmínky proto můžeme jižod počátku iteračního řešení volit pevně podle známého výsledného průběhu řešení na Γ 1 aΓ 2 v ustáleném stavu.Úlohou je najít funkci w(x,y,t) na oblasti Ω ∈ R 2 × R + , která má tyto vlastnosti:• w ∈ C 1 (Ω \ B), kde B je množina konečného počtu křivek (rázových vln) míry 0.• w na křivkách nespojitosti B splňuje Rankien-Huginotovy podmínky.• w vyhovuje rovnici∫ t2w t + f x + g y dx dy dt = 0 (2.3)t 1∫∫Dpro libovolné t 2 > t 1 a libovolnou oblast D ⊂ Ω s dostatečně hladkou hranicí ∂Ω.• w| t=0 splňuje počáteční podmínky w| t0 = w 0 .• w splňuje tyto okrajové podmínky (předpokládáme podzvukovou složku rychlosti vesměru normály na hranici).– vstup – jsou zadány tři veličiny (klidová hustota ρ 0 , klidový tlak p 0 , úhel náběhuα).– výstup – je zadána jedna veličina (p 2 /p 0 ).– stěna – podmínka neprostupnosti. Normálová složka rychlosti je nulová.– periodicita – hodnota funkce w je rovna hodnotě funkce na odpovídající periodickéhranici.

2.3. Izoentropické vztahy 11VSTUPPERIODICITAPERIODICITASTENAVYSTUPObrázek 2.2: Řešená oblast pro radiální lopatkové mřížeSTENAVSTUPVYSTUPSTENAObrázek 2.3: Řešená oblast pro GAMM kanál2.2.2 Radiální lopatková mřížPro radiální lopatkovou mříž je úloha v podstatě stejná. Odlišnost spočívá v tom, že naperiodické okrajové podmínce je třeba vhodně otočit odpovídající vektory rychlosti. Oblastřešení je vyznačena na obr. 2.2.2.2.3 KanálJako testovací případ pro testování vlastností numerické metody je v této práci pro svojijednoduchost a názornost zvolen tzv. GAMM kanál. Řešená úloha je opět velmi podobná, jense zde nevyskytují periodické podmínky. Řešená oblast je vyznačena na obr. 2.3.2.3 Izoentropické vztahyV některých případech je nutné umět přepočítat veličiny charakterizující plyn mezi sebou.Vychází se z předpokladu, že se změny dějí izoentropicky.Mějme několik základních vztahů:• Vztah pro rychlost zvuku v adiabaticky zbrzděném plynu:a 2 0 = a 2 + γ − 1 v 2 (2.4)2

12 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D• Rovnice charakterizující izoentropickou změnu:p · ρ −γ = konst. (2.5)• Vztah pro rychlost zvuku:a 2 = γrT = γpρ(2.6)Rovnici (2.5) upravíme takto:p · ρ −γ = p 0 · ρ −γ0 (2.7)( pp 0) 1γ= ρ ρ 0(2.8)Rovnici (2.6) podělím stejnou rovnicí, vyjádřenou pro klidový stav:a 2 0a 2 = p 0 ρ(2.9)p ρ 0Rovnici (2.4) podělím a (Machovo číslo Ma = v/a):a 2 0a 2 = 1 + γ − 1 Ma 2 (2.10)2Dosazením (2.8) do (2.9) a odečtením (2.9) a (2.10) dostaneme( ) 1p γp 0odkudp 0ppp 0=(= 1 + γ − 1 Ma 2 (2.11)21−γ1 + γ − 1 ) γMa 22(2.12)Podobně můžeme dostat vztahy(ρ= 1 + γ − 1 ) 1Ma 2 1−γρ 0 2(2.13)(a= 1 + γ − 1 ) −1Ma 2 2.a 0 2(2.14)2.4 Numerické řešení2.4.1 Bezrozměrný tvar Eulerových rovnicPro numerické řešení je užito bezrozměrných veličin, tzn. všechny veličiny byly normovány.Jako normovací veličiny byly zvoleny klidová hustota ρ 0 , klidový tlak p 0 a charakteristickýrozměr c. Fyzikální veličiny jsou označeny indexem f:ρ → ρ f /ρ 0f , (u,v) → (u f ,v f )/(p 1 20fρ − 1 20f ), p → p f /p 0f , e → e f /p 0ft → t f /(p 1 20fρ − 1 20f c f ), (x,y) → (x f ,y f )/c fPo dosazení do systému Eulerových rovnic (2.1) a rozepsání (je třeba derivovat jako složenéfunkce), vyjde systém v tom samém tvaru, jen neobsahuje fyzikální veličiny, ale normované.

2.4. Numerické řešení 13WifjObrázek 2.4: Konečný objem2.4.2 Metoda konečných objemůÚloha je řešena explicitní metodou ustalování. Pro diskretizaci v prostoru je užito metodykonečných objemů typu „cell centered. V metodě ustalování hledáme stacionární řešení jakolimitu nestacionárního řešení pro t → ∞ (při stacionárních okrajových podmínkách).Vyjděme ze systému rovnic (2.1). Pro každý časový úsek ∆t = t (n+1) − t (n) a každýlibovolný objem Ω i ⊂ Ω musí platit∫∫ ∫ t (n+1)∫∫ ∫ t (n+1)w t dt dx dy = −f(w) x + g(w) y dt dx dy. (2.15)t (n)t (n)Ω iΩ iTuto rovnici můžeme aproximovat prvním řádem přesnosti v čase (za použití věty o středníhodnotě)µ(Ω i ) wn+1 i− win ∫∫= − f(w n ) x + g(w n ) y dx dy. (2.16)∆tΩ iUžitím Greenovy věty dostávámewin+1 − wi n = − ∆t ∮f(w n ) dy − g(w n ) dx. (2.17)µ(Ω i )∂Ω iNumerické toky na pravé straně aproximujeme jejich střední hodnotou a tím dostanemew n+1i− w n i = − ∆tµ(Ω i )∑N ij=1f(w n ) j ∆y j − g(w n ) j ∆x j . (2.18)Tuto rovnici lze díky invariantnosti Eulerových rovnic vůči otočení přepsat jakow n+1i− w n i = − ∆tµ(Ω i )∑N ij=1f(w n ) nj l j ⃗n j , (2.19)kde f(w n ) nj je numerický tok ve směru vnější normály k hraně j (viz obr. 2.4).Hodnota numerického toku závisí pouze na hodnotě na jedné a druhé straně hrany konečnéhoobjemu.

14 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2Dy1f2xObrázek 2.5: Schéma k výpočtu f na hraně konečného objemu2.4.3 2D Roeho aproximativní Riemann solverNyní je třeba vypočítat hodnotu numerického toku ve směru kolmém na hranu konečnéhoobjemu.Na hranici konečného objemu je interpolován vektor proměnných w z buňky 1 (w l ) az buňky 2 (w r ) (viz obr. 2.5). Zvolme souřadný systém tak, že osa x je ve směru kolmém nahranu konečného objemu a osa y je ve směru tečném na hranu konečného objemu. Protože seřeší problém na hraně buňky rovnoběžné s osou y, vycházíme z rovnice:kdew t + f(w) x = 0, (2.20)w = (ρ,ρu,ρv,e) T (2.21)f = ( ρu,ρu 2 + p,ρu v,(e + p)u ) T(2.22)Rovnice se upraví na tvar∂w∂t + A∂w ∂x= 0, (2.23)kdeA = ∂f∂w(2.24)Pro Riemannův problém je potřeba najít takovou matici Ã, aby závisela pouze na w L aw R a měla následující vlastnosti:1. f i+1 − f i = Ã(w i,w i+1 ) · (w i+1 − w i )2. Pro w i = w i+1 = w musí býtÃ(w,w) = A(w) =∂f∂w (w)3. Ã má reálná vlastní čísla a lineárně nezávislé vlastní vektoryTěmto požadavkům vyhovuje Roeho matice, což je Jacobián ∂f∂w, kde prvky jsou průměryvážené odmocninou z hustoty.

2.4. Numerické řešení 15ũ =ṽ =˜w =˜H =√ρL u L + √ ρ R u R√ρL + √ (2.25)ρ R√ρL v L + √ ρ R v R√ρL + √ ρ R√ρL w L + √ ρ R w R√ρL + √ ρ R√ρL H L + √ ρ R H R√ρL + √ ρ Rã 2 = (γ − 1)( ˜H − 1 2Ṽ 2 ).à = (2.26)⎛⎜⎝0 1 0 0−ũ 2 + γ−1√ũ22+ ṽ 2 (3 − γ)ũ −(γ − 1)ṽ γ − 1−ũṽ ṽ ũ 0−ũ[γ ẽ˜ρ − (γ − 1)(ũ2 + ṽ 2 )] γ ẽ˜ρ − γ−12 (3ũ2 + ṽ 2 ) −(γ − 1)ũṽ γũMatici à lze rozložit na součin matice pravostranných vlastních vektorů a diagonálnímatice vytvořené z vlastních čísel matice Ãà = RΛR −1 , (2.27)kde Λ = diag(λ 1 ,λ 2 ,λ 3 ,λ 4 ), kde λ 1 = λ 2 = ũ, λ 3 = ũ + ã, λ 4 = ũ − ã jsou vlastní čísla maticeà aR =⎛⎞˜ρ1 02ã− ˜ρ2ã˜ρũ 0⎜2ã(ũ + ã) − ˜ρ2ã(ũ − ã)˜ρ⎝ ṽ −˜ρ2ãṽ− 2ãṽ˜ρ ⎟⎠ ,ũ 2 +ṽ 2˜ρ2−˜ρṽ2ã ( ˜H + ãũ) − ˜ρ2ã ( ˜H − ãũ)(2.28)√kde ˜H = ẽ+˜p˜ρa ã = (γ − 1)( ˜H − ũ2 +ṽ 22).Eulerovy rovnice se upraví takto:∂w∂w+ RΛR−1∂t ∂xR −1 ∂w −1 ∂w+ ΛR∂t∂xCharakteristické proměnné se definují vztahem= 0 |.R −1 (2.29)= 0 (2.30)∂m = R −1 ∂w (2.31)a rovnice (2.30) se přenásobí R.⎞⎟⎠

16 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D∂w∂t + RΛ∂m ∂x= 0 (2.32)Porovnáním s rovnicí (2.20) je zřejmé, žef = RΛm (2.33)a přímým výpočtem dostanemef = ∑ pλ p m p r (p) , (2.34)kde m p jsou složky vektoru m a r (p) jsou pravostranné vlastní vektory matice Ã.Upwind diskretizaci pro rovnici (2.23) lze napsat ve tvaruwi n+1 = wi n − ∆t∆x (A+ δ − wi n + A − δ + wi n ) = (2.35)= wi n − ∆t∆x (δ− fi+n + δ + fi −n ),kde δ − resp. δ + jsou operátory zpětné resp. dopředné diference.Diferenci δw je možné vyjádřit jako δw = ∑ p δm pr (p) a numerický tokδf = Aδw = A · ∑δm p r (p) = ∑ λ p δm p r (p) . (2.36)ppPotom celkový numerický tok pro rovnici (2.20) v i + 1 2lze napsat jakof i+12= fi + + fi+1 − = 1 2 (f i + f i+1 ) − 1 2 |A|(w i+1 − w i ) = (2.37)= 1 2 (f i + f i+1 ) − 1 ∑|λ p |δm p r (p) .2pŘešení linearizovaného Riemannova problému je složeno pouze z diskontinuit. Tato aproximacemůže být vhodná pro kontaktní nespojitosti a rázové vlny, kdy je nespojitý charaktervlny v pořádku, i když velikost skoku nemusí být správně aproximována linearizovaným řešením.Naproti tomu ve zřeďujících vlnách dochází ke spojité změně proměnných a v rostoucímčase se zmenšuje prostorový gradient veličin. Je zřejmé, že tato aproximace diskontinuitamije nesprávná. V praktickém výpočtu dochází k problémům, pouze je-li zřeďující vlna transsonická.Dochází k tvorbě nefyzikální, entropickou podmínku porušující nespojitosti. 2Odstranění této chyby je možné provést několika způsoby. Zde je použita metoda Hartenaa Hymana (1983) [11] – modifikace absolutní hodnoty vlastních čísel |λ| v rovnici (2.37).{|λ| mod |λ| pro |λ| ≥ δ=δ pro |λ| < δ , (2.38)kdeδ = max[0,(λ − λ L ),(λ R − λ)], (2.39)kde λ L , resp. λ R jsou vlastní čísla Jacobiánu ∂f L∂w R, resp.∂f R∂w R.2 Viz. poznámka o konvergenci k entropickému slabému řešení na str. 5.

2.4. Numerické řešení 17Souřadný systém v obecné poloze Pro použití hrany v obecném směru se musí provésttransformace souřadného systému. To se provede otočením rychlostí podle vzorcůu ot = u sin ϕ − v cos ϕ (2.40)v ot = u cos ϕ + v sin ϕ,při úhlu hrany ϕ s kladným směrem osy x. Zpětná transformace numerických toků probíhápodle vzorcůf 2 ot. zpet = f 2 sin ϕ + f 3 cos ϕ (2.41)f 3 ot. zpet = −f 2 cos ϕ + f 3 sin ϕ,kde f 2 resp. f 3 jsou druhé, resp. třetí složky vektoru f. Tento postup je možný z důvodůsměrové invariantnosti Roeho matice.2.4.4 Podmínka pro časový krokNutná podmínka stability řešení vychází z metody charakteristikmin(∆x i ,∆y i )∆t = min √ , (2.42)ia i + u 2 i + v2 ikde ∆x i resp. ∆y i jsou minimální rozměry elementu i ve směru x a y.2.4.5 Numerická aproximace okrajových podmínekVstup Do pomocné buňky je extrapolováno Machovo číslo na vstupu a z izoentropickýchvztahů a úhlu náběhu jsou určeny všechny hodnoty vektoru proměnných:Ma =√ρ 1u 2 1 + v2 1γp 1(2.43)Pomocí tohoto Machova čísla, a zadaných veličin ρ 0 , p 0 , α se určí nové hodnoty v buňce navstupu(ρ 1 = 1 + γ − 1 ) 1Ma 2 1−γρ0 (2.44)2(p 1 = 1 + γ − 1 ) γMa 2 1−γp0 (2.45)2√a 0 = γ p 0(2.46)ρ 0a 1 =(1 + γ − 1 ) −1Ma 2 2a02(2.47)u 1 = Ma a 1 cos α (2.48)v 1 = Ma a 1 sin α (2.49)e 1 =p 1γ − 1 + ρ u 2 1 + v2 112(2.50)

18 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2DVýstup Z poslední buňky na výstupu jsou extrapolovány hodnoty hustoty ρ, a rychlostí(u,v) a pomocí vztahu pro celkovou energii ideálního plynu (2.2) je z výstupního tlaku dopočítánavelikost celkové energie e.Stěna Podmínka na stěně je splňována metodou zrcadlení, kdy do pomocné buňky jsouvhodně přenášeny hodnoty w z poslední buňky u stěny. (Indexem T je značena tečná aindexem N normálová složka rychlosti ke stěně.)u T pom = u T (2.51)u Npom = −u N (2.52)Periodicita V případě axiálních lopatkových mříží se do pomocné buňky přenese odpovídajícíperiodická hodnota.2.5 Metoda vyššího řádu přesnosti2.5.1 Zvýšení řádu aproximace v prostoru1D případPro zvýšení řádu přesnosti a zároveň zachování TVD vlastností je zde použita tzv. MUSCLinterpolace (Monotone Upstream-centred Schemes for Conservation Laws) s limitery.Ve výše uvedeném odvození se rozložení veličin v konečném objemu aproximuje konstantníhodnotou. Pro zvýšení řádu se tato aproximace nahradí MUSCL interpolací.Pro výpočet Riemann solverem je třeba znát hodnotu na jedné a druhé straně hranicekonečného objemu. Místo konstantní hodnoty se proto na hranici konečného objemu nainterpolujepomocí lineární rekonstrukce hodnota veličiny. V jednorozměrném případě se totozapíše jakoU L = U ′ ∆x i + U 0 , (2.53)kde U L je naiterpolovaná hodnota na hranici (v tomto příkladu zleva), U ′ je derivace podle xa ∆x i je vzdálenost mezi bodem, ve které se vyčísluje derivace (středem konečného objemu)a hranicí konečného objemu.Pro aproximaci derivace U ′ se použije zpětná diference:U ′ = U i − U i−1x i − x i−1(2.54)Limitery Aby bylo numerické schéma stabilní a mělo TVD vlastnost, je potřeba použítnelineárních členů, zvaných limitery, zabraňujících oscilaci řešení. Jsou to například funkceΦ(r) proměnnér = U i+1 − U iU i − U i−1. (2.55)Limitery se použijí tak, že ve vztahu (2.54) se výraz U i −U i−1 nahradí výrazem (U i −U i−1 )Φ(r).

2.5. Metoda vyššího řádu přesnosti 19Obrázek 2.6: Uspořádání pro obecnou síť2D případPodívejme se nyní, jak se tato interpolace realizuje ve dvojrozměrné úloze.Ve výpočtu derivací pro interpolaci na hranu se postupovalo následujícím způsobem (vizobr. (2.6)).1. Najde se bod V ležící naproti hraně, na kterou budeme interpolovat. V případě elementůs lichým počtem hran je to bod přímo ve vrcholu a v případě sudého počtu hran je tobod ležící ve středu protější hrany.2. Z těžiště T elementu se vede přímka směrem na bod V a najde se element, do kteréhotato přímka dále vstupuje (el. 3 a v druhé polorovině el. 5).3. Z těžiště tohoto elementu se vede úsečka do těžiště elementu sousedícího s tímto elementemve směru průchodu přímky T-V.4. Určí se průsečík přímky a úsečky. Do tohoto průsečíku se lineární interpolací nainterpolujehodnota z těžiští obou elementů (z elementů 3 a 4 resp. 5 a 6).5. Z hodnoty v průsečíku a hodnoty v těžišti původního elementu (el. 1) se určí derivaceve směru přímky v těžišti elementu (el. 1, resp. el. 2).Nyní máme k dispozici vektor proměnných w v těžišti elementu a derivaci w ′ ve směruV-T. Hodnotu ˜w je možno určit jako˜w = w + w ′ ∆ i , (2.56)kde ∆ i je vzdálenost těžiště od hrany elementu, na kterou se interpoluje.

20 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2DLimiteryByl použit Van Leerův limiterΦ(r) =2r1 + rr > 0 (2.57)Φ(r) = 0 jinak.Proměnná r byla definována jakor = w A − w Bw B − w G, (2.58)kde index A znamená hodnotu v sousední buňce, B hodnotu v buňce, ve které počítámelimiter, G hodnotu nainterpolovanou do průsečíku mezi přímkami T 1 V a T 3 T 4 (pro limiterv buňce 1 obr. (2.6)).Limiter a MUSCL interpolace byly postupně použity pro všechny složky vektoru w.2.5.2 Zvýšení řádu v časePro výpočet hodnoty veličin v nové časové vrstvě lze použít dopřednou diferenciw t = wn+1 − w n. (2.59)∆tTento způsob má nevýhodu, že je pouze prvního řádu přesnosti. Místo tohoto lze použítvícekrokovou metodu Rungeho-Kutty (metoda přímek).Vycházíme z rovnicew t = −Res n,k , (2.60)kde Res n,k je výše popsaná diskretizace v prostorových proměnných.Obecná vícekroková metoda Rungeho-Kutty se zapíše jakow 0 k = w n k (2.61)wk r = wk 0 − ∆tα rRes r−1,k , r = 1, . . . ,M (2.62)w n+1k= wk M (2.63)Zde byla použita tříkroková metoda k koeficienty α 1 = 1 2 , α 2 = 1 2 , α 3 = 1.2.6 Adaptace sítěPři generaci sítě není většinou zohledněno výsledné proudové pole, takže vytvořená výpočetnísíť nemusí být např. z hlediska zachycení gradientů veličin optimální, proto se provylepšení sítě používá adaptace. Zde je užito lokální zjemnění sítě, tj. že se elementy vybranépodle vhodného kritéria rozdělí na menší.Pro adaptaci je potřeba nejdříve zvolit vhodné kritérium, které rozpozná například rázovévlny. Dále pro každý trojúhelník s indexem i je vyčíslena hodnota kritéria k i , a pro adaptacise vybere vhodný počet trojúhelníků s nejvyšší hodnotou kritéria.

2.6. Adaptace sítě 21JHFGCGDARRGBGEIObrázek 2.7: Algoritmus adaptace RG2.6.1 Adaptační kritériaKritérium na rozdíl hustotUrčí se absolutní hodnota maxima rozdílu hustot mezi testovaným a všemi sousednímitrojúhelníky.k i = max |ρ i − ρ j | (2.64)jV případě, že ve směru rychlosti klesá tlak, je k i nulové.Kritérium na rozdíl toků hybnostiToto kritérium bylo převzato z příspěvku Feistauer, Dolejší, Felcman, Kliková 1999 [8].Hodnota se určí jakok i = max[−(ρ i − ρ j )(v i ,n ij )] + /h i , (∗) + = max(∗,0), (2.65)jkde rozměr elementu h i byl určen jako odmocnina z plochy elementuh i = √ µ(Γ i ). (2.66)Kritérium na velikost trojúhelníkůTrojúhelník se označí pro adaptaci, jestliže jakýkoliv trojúhelník, který s ním má společnývrchol, má povrch menší než 1/4 povrchu tohoto trojúhelníku. Trojúhelník se označí proadaptaci, jestliže jakýkoliv trojúhelník, který s ním má společný vrchol a je červený (budevysvětleno níže), má povrch menší než 1/2 povrchu tohoto trojúhelníku. Toto kritérium bylopoužito při každé adaptaci automaticky.

22 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D2.6.2 RG algoritmus adaptaceNejdříve se trojúhelníky vybrané pro adaptaci označí jako „červené. Dále trojúhelník,který má dva sousedy červené se označí také jako červený. Soused červeného trojúhelníku seoznačí jako „zelený. Červené trojúhelníky se rozdělí na čtyři menší přidáním bodů uprostředstran a zelené se rozpůlí (viz obr. 2.7). Do nových elementů se nainterpoluje hodnotaz původních elementů.

2.7. Numerické výsledky 1. řádu aproximace 23Obrázek 2.8: SE1050 – experiment ÚT ČSAV Ma 2 = 1,18, α = 19,3 ◦2.7 Numerické výsledky 1. řádu aproximaceV této části budou prezentovány numerické výsledky metody prvního řádu přesnosti. Vesrovnání několika metod je prezentovaná metoda označena podle Riemann solveru jako „Roe.2.7.1 Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050Jako první příklad byla zvolena turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050 s úhlem náběhuα = 19,3 ◦ a výstupním Machovým číslem Ma 2 = 1,18. Interferometrické měření ÚT ČSAV jena obr. 2.8 (viz. Šťastný, Šafařík 1990 [6]).Diskretizace oblasti byla provedena Delaunayovskou triangulací 3 (viz obr 2.9(b)), početelementů v oblasti je 5646 a počet elementů podél lopatky je 250.Výsledné izočáry Machova čísla jsou zobrazeny na obr. 2.9(a). Izočáry ukazují velmi dobrézachycení rekompresní zóny, stejně jako vnitřní větve výstupní rázové vlny. Velmi dobře jetaké zachycena poloha rázové vlny. Při srovnání proudového pole s měřením ÚT ČSAV (obr.2.8) se ukazuje slabé zachycení vnější větve výstupní rázové vlny. To je dáno řádem metodya hrubou sítí v této části oblasti.Na obr. 2.16(d) je srovnání průběhu tlaku podél lopatky vypočtené různými nevazkýmimetodami. Je zde vidět poměrně dobrá shoda výpočtu s experimentem.3 Delaunayovská triagulace je v jistém smyslu optimální spojení vrcholů hranami. Bývá velmi často používánapři konstrukci jak dvojrozměrných, tak i trojrozměrných sítí. Blíže viz např. Weatherill, Hassan, Marcum,Marchant 1994 [17].

24 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D(a) Izočáry Machova čísla(b) Výpočetní síťObrázek 2.9: Turbínová mříž SE1050 – Ma 2 = 1,18, α = 19,3 ◦ , 1. řád aproximace

2.7. Numerické výsledky 1. řádu aproximace 252.7.2 Kompresorová mříž MAN GHH 1-S1Jako další příklad byla zvolena kompresorová mříž MAN GHH 1-S1 (viz. například Cyrus,Fořt 1999 [1]) s úhlem náběhu 17 ◦ , vstupním Machovým číslem Ma 1 = 0,6180 a tlakovýmpoměrem p 2 /p 1 = 1,1221.Diskretizace oblasti byla provedena Delaunayovskou triangulací. Síť je zobrazena na obr.2.10(a). Počet elementů v oblasti je 8149, počet elementů podél lopatky 200. Ze zadanýchúdajů byl pomocí izoentropických vztahů vypočten výstupní tlak p 2 /p 0 = 0,867251.Rozložení Machova čísla podél lopatky je znázorněno na obr. 2.10(b). Na obr. 2.10(c)je srovnání průběhu Machova čísla, vypočteného prezentovanou metodou, s výpočtem Ni-hoschématem. Všimněme si v podstatě totožného průběhu podél tlakové stěny lopatky. Rozdílymezi průběhem podél sací stěny jsou dány špatným zachycením náběžné hrany u Ni-hoschématu na H síti.2.7.3 Radiální turbínová mřížDalší řešenou úlohou v rámci spolupráce s průmyslovým závodem bylo řešení prouděnív radiální mříži. Byla počítána statorová radiální turbínová mříž ve dvou režimech – podzvukovéma transsonickém.Geometrie je zobrazena na obr. 2.11(a). Radiální turbínová mříž se může modelovat jakojedna perioda – výřez mezikruží. Médium proudí z vnějšku dovnitř. Je zadáno vstupní Machovočíslo, úhel náběhu vzhledem k radiále a tlakový poměr. Pro řešení nebyla k dispozicižádná experimentální data (nebylo dostupné experimentální zařízení). Výsledky řešení nelzenalézt ani v dostupné literatuře. Získané výsledky potvrzené nezávislými metodami jsou podkladempro zlepšení účinnosti vyráběného lopatkového stroje.Diskretizace byla provedena Delaunayovskou triangulací. Na obrázcích 2.11(b) a 2.11(c)je zobrazeno proudové pole pomocí izočár Machova čísla.Na obrázcích 2.11(d) a 2.11(e) je zobrazeno srovnání rozložení tlaku podél lopatky různýmimetodami. Při srovnání s metodou Ron-Ho-Niho na H síti vychází velmi podobný průběh.S metodou s Osherovým Riemann solverem je průběh v podstatě shodný.

28 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D2.8 Numerické výsledky získané metodou vyššího řádu aproximace2.8.1 GAMM kanálToto je dobře známý testovací příklad řešený mnoha autory (viz. například Fürst, Horák,Kozel, Vaněk 1999 [9] nebo Fürst 2000 [10]). Délka kanálu je 3, šířka 1 a kruhový obloukzasahuje do 0,1 šířky kanálu. Zleva proud vstupuje, zprava vystupuje a shora a zdola jsoustěny kanálu. Vstupní úhel je α = 0 ◦ , a vstupní Machovo číslo Ma 1 = 0,675.Pro první testování byla zvolena jednoduše algebraicky generovaná síť 30x90 čtyřúhelníků.Další test byl proveden na trojúhelníkové síti, která vznikla rozdělením čtyřúhelníků původnísítě kratší uhlopříčkou.Na obr. 2.12(a) až 2.12(d) je rozložení Machova čísla po výpočetní oblasti. Všimněmesi výrazně větší nadzvukové oblasti v případě aproximace vyššího řádu. Je vidět také lepšízachycení rázové vlny. To se zejména projeví na obr. 2.12(e), kde je vynesen průběh Machovačísla podél stěn – maximální Machovo číslo dosahuje u aproximace druhého řádu vyššíchhodnot.2.8.2 Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050Výpočet byl proveden na stejné síti, za stejných podmínek, jako u aproximace 1. řádu.Na obr. 2.13(b) vidíme ostřejší zachycení rázových vln, než tomu bylo na obr. 2.13(a).V tomto režimu jde o slabé (šikmé) rázové vlny, proto zde patrný rozdíl není příliš velký.Vyšší řád aproximace ale přispěl k rovnoměrnějšímu zachycení izočár v první třetině kanálu,než tomu bylo u aproximace prvním řádem. Na obr. 2.16(d) je srovnání průběhu tlaku podéllopatky při aproximaci prvním a vyšším řádem. Je zde patrné ostřejší zachycení rázové vlny.

2.8. Numerické výsledky vyššího řádu aproximace 29(a) 1. řád – čtyřúhelníky(b) 1. řád – trojúhelníky(c) vyšší řád – čtyřúhelníky(d) vyšší řád – trojúhelníky1.41 rad − ctyr.1 rad − troj.2 rad − ctyr.2 rad − troj.Ma0.90.40 0.5 1x(e) Rozložení Machova čísla podél stěn – srovnánímetod a sítíObrázek 2.12: GAMM kanál Ma 1 = 0,675 – výsledky 1. a vyššího řádu aproximace

30 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D(a) Izočáry Machova čísla – 1. řád(b) Izočáry Machova čísla – vyšší řádObrázek 2.13: Turbínová mříž SE1050 – Ma 2 = 1,18, α = 19,3 ◦ , vyšší řád aproximace (výpočetnísíť je zobrazena na obr. 2.9(b))

2.9. Adaptace – numerické výsledky 312.9 Numerické výsledky při použití adaptace2.9.1 GAMM kanálPro adaptaci bylo nejprve vypočteno proudění na rovnoměrné síti, která vznikla rozdělenímsítě 30x90 čtyřúhelníků na trojúhelníky. V prvním případě byla použita metoda prvníhořádu přesnosti a síť čtyřikrát adaptována kritériem podle rovnice (2.64). Výsledná síť a odpovídajícíizočáry jsou na obr. 2.14(d) a 2.14(f).Dále byla použita metoda vyššího řádu přesnosti a síť byla třikrát adaptována kritériempodle rovnice (2.64). Výsledná síť a odpovídající izočáry jsou na obr. 2.14(d) a 2.14(f) 4 .Na obr. 2.14(a) je znázorněn průběh Machova čísla podél stěn. Metoda prvního řádunezachytila správnou velikost maxima Machova čísla ani s použitím adaptace. Bez použitíadaptace dává metoda vyššího řádu srovnatelnou hodnotu maxima jako metoda prvního řádus použitím adaptace. Ale až použití adaptace spolu s metodou vyššího řádu dává správnouhodnotu maxima Machova čísla. Velkou výhodou je, že se před rázovou vlnou neobjevujíoscilace. 5 Za rázovou vlnou si všimněme tzv. Zierepovy singularity (lokální nárůst Machovačísla) (obr. 2.14(c)). Metoda prvního řádu bez použití adaptace tuto singularitu nezachytí.S použitím adaptace je tato singularita sice zachycena, ale rázová vlna se jeví jako slabší, nežby měla být. Až metoda vyššího řádu spolu s adaptací tuto singularitu zachytí velmi dobře.2.9.2 Mříž DCA 8 %Další testovacím případem je použití adaptace na mříži DCA 8 % se vstupním Machovýmčíslem Ma 1 = 0,946 a úhlem náběhu α = 45 ◦ . Mříž je tvořena dvoukruhovými profily, kterémají délku tětivy 1, tloušťku profilu 0,08 rozteč 1 a úhel nastavení β = 45 ◦ .Diskretizace oblasti byla provedena Delaunayovskou triangulací (viz obr. 2.15(a)). Na obr.2.15(c) jsou zobrazeny izočáry Machova čísla před použitím adaptace, vypočtené metodou 1.řádu.Byla použita adaptace s kritériem podle rovnice (2.65) a byly vybrány trojúhelníky s velikostíkritéria vyšším než 0,05k max . Výsledná síť po čtvrté adaptaci je zobrazena na obr.2.15(b) a izočáry Machova čísla jsou na obr. 2.15(d). Všimněme si velmi ostrého zachycenírázových vln.2.9.3 Turbínová mříž Škoda Plzeň SE1050Adaptace sítě byla také použita při řešení obtékání mříže SE1050. Síť byla dvakrát adaptovánas kritériem podle rovnice (2.64). Pro výpočet byla použita metoda vyššího řádu. Naobr. 2.16(a) vidíme velmi ostré zachycení rázových vln. Na obr. 2.16(c) je srovnání průběhutlaku podél lopatky vypočtené metodou prvního a vyššího řádu a vyššího řádu s použitímadaptace. Vidíme ostrý nárůst tlaku (x ≈ 0,8) odpovídající odrazu šikmé rázové vlny, kteráje zachycena velmi dobře. Neobjevují se zde žádné oscilace (jako například u Ron-Ho-Niho4 Různě velké oblasti znemnění sítě jsou dány zejména různým rozložením gradientů v původním řešení narovnoměrné síti, ale také tím, že byla testována optimální hodnota kritéria k max vzhledem k zvýšení přesnostivýpočtu v poměru k výpočetní náročnosti úlohy.5 To bylo sice odvozeno jako vlastnost TVD metod, ale tato metoda je TVD pouze v jedné dimenzi (v 1D),a dále všechny vztahy byly odvozeny pro rovnoměrnou síť. U reálných případů se nemusí všechny vlastnostiteoreticky odvozené pro rovnoměrné sítě zachovat. Zde jsou například velké změny velikosti elementů sítě díkyadaptaci.

32 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D1.41 rad2 rad1. rad − ad2. rad − ad1.351 rad2 rad1. rad − ad2. rad − ad0.940.891 rad2 rad1. rad − ad2. rad − adMa0.9MaMa0.841.250.791.150.5 0.52 0.54 0.56 0.58x0.740.54 0.56 0.58 0.6 0.62x0.40 0.5 1x(b) Detail kolem maximaMachova čísla(c) Detail oblastikonce rázové vlny(a) Průběh Machova čísla po stěnách(d) 4 x adaptovaná síť – výpočet 1. řádem přesnosti(e) 3 x adaptovaná síť – výpočet vyšším řádempřesnosti(f) Rozložení Machova čísla – výpočet 1. řádem přesnosti(g) Rozložení Machova čísla – výpočet vyšším řádem přesnostiObrázek 2.14: GAMM kanál Ma 1 = 0,675

2.9. Adaptace – numerické výsledky 33(a) Původní síť(b) 4 x adaptovaná síť(c) Izočáry Machova čísla bez adaptace(d) 4 x adaptováno – Izočáry Machova číslaObrázek 2.15: Mříž DCA 8 % Ma 1 = 0,946, 1. řád aproximace

34 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2Dschématu na obr. 2.16(d)). Na obr. 2.16(d) je zobrazeno srovnání průběhu tlaku podél lopatkys experimentem, výpočtem prezentovanou metodou, Ron-Ho-Niho metodou na O-Hsíti, výpočtem ENO metodou s Osherovým Riemann solverem na trojúhelníkové síti bez as použitím adaptace a TVD Mac Cormackovou metodou.

2.9. Adaptace – numerické výsledky 35(a) Izočáry Machova čísla(b) Výpočetní síť110.80.80.6p/p00.40.20ExperimentRoe − 1st orderRoe − 2nd orderRoe − 2nd order adapted0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x0.6p/p00.40.20ExperimentRoe − 1st orderRoe − 2nd orderRoe − 2nd order adaptedNi multiblock (0.4 0.04)Ni multiblock − lower art. visc. (0.2 0.01)OsherOsher, adaptedTVD MacCormack0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x(c) Srovnání průběhu tlaku vypočtenéprezentovanou metodou(d) Srovnání průběhu tlaku vypočtenérůznými nevazkými 2D metodamiObrázek 2.16: Turbínová mříž SE1050 – Ma 2 = 1,18, α = 19,3 ◦ . 2x adaptovaná síť

36 KAPITOLA 2. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D

Kapitola 3Dvojrozměrné vazké proudění3.1 Navierovy-Stokesovy rovnice v konzervativním tvaruW iW ijObrázek 3.1: Konečný objem – čerchovanou čarou je vyznačen pomocný objem pro výpočetderivací na hraně konečného objemuNejobecnějším modelem proudění stlačitelné vazké tekutiny je systém Navierových-Stokesovýchrovnic 1 , doplněný konstitučními vztahy. V konzervativním tvaru pro 2D proudění jej lze zapsatkdew t + f x + g y = r x + s y , (3.1)r = |0,τ xx ,τ xy ,u τ xx + vτ xy − q x | Ts = |0,τ xy ,τ yy ,uτ xy + vτ yy − q y | Tjsou vazké toky, napětí jsou vyjádřena vztahyτ xx = 2 3 η(2u x − v y )τ xy = η(u y + v x )τ yy = 2 3 η(−u x + 2v y )1 V literatuře je někdy zvykem označovat rovnice zachování hybnosti jako Navierovy-Stokesovy rovnice. Mybudeme označovat jako Navierovy-Stokesovy rovnice celý systém rovnic zachování hmoty, hybnosti a energie.37

38 KAPITOLA 3. VAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2Da dynamická vazkost je funkcí teplotyη = η(T ).Rovnice jsou uzavřeny vztahem pro hustotu energie (2.2).Složky vektoru toku tepla jsou podle Fourierova zákona dány vztahyq x = −λ ∂T∂x(3.2)q y = −λ ∂T∂y . (3.3)3.2 Formulace úlohyTato část je obdobná jako v kapitole 2.2, liší se pouze splňovaná soustava rovnic a okrajovápodmínka na stěně.Okrajová podmínka na stěně Na stěně je předepsána podmínka ulpívání – vektor rychlostije roven nulovému vektoru. Stěna je adiabatická.(u,v) = 0 (3.4)∂T∂⃗n = 0 (3.5)3.2.1 Zakřivený kanálAby se mohly použít izoentropické vztahy, které neplatí v mezní vrstvě, a aby bylo možnésledovat vývoj mezní vrstvy již od počátku, jsou na počáteční části kanálu předepsány periodickéokrajové podmínky. Viz obr. 3.2.3.3 Numerické řešení3.3.1 Bezrozměrný tvar Navierových-Stokesových rovnicPři numerickém výpočtu není zadána tepelná vodivost λ, ale Prandtlovo číslo Pr. Protoje třeba upravit vztahy (3.2) a (3.3).Pr = ηc pλ(3.6)Dosazením λ do (3.2):q x = − η Pr c ∂Tp∂x(3.7)Protože je c p konstanta, může se rovnice (3.7) přepsat jakoq x = − η Pr∂(c p T )∂x(3.8)

3.3. Numerické řešení 39PERIODICITAVSTUPSTENAPERIODICITASTENAVYSTUPObrázek 3.2: Řešená oblast pro vazké proudění v zakřiveném kanále

40 KAPITOLA 3. VAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2DNyní vyjděme ze vztahů:γ = c pc v(3.9)c p − c v = R (3.10)pρ= RT (3.11)Měrná tepelná kapacita c p se eliminuje z rovnice (3.8):pρT = R = c p − c v = c p − c pγ(pρ = c pT 1 − 1 )= c p Tγc p T = p γρ γ − 1( ) γ − 1γ(3.12)(3.13)(3.14)dosazením do vztahu (3.8)q x = − η Pr∂pγA obdobným způsobemq y = − η Pr∂ρ(γ−1). (3.15)∂xpγρ(γ−1). (3.16)∂yNavierovy-Stokesovy rovnice s proměnnými q x a q y podle vztahů (3.15–3.16) se nyní normujína normovací veličiny: klidová hustota ρ 0 , klidový tlak p 0 a charakteristický rozměr c.Fyzikální veličiny jsou označeny indexem f:ρ → ρ f /ρ 0f , (u,v) → (u f ,v f )/(p 1 20fρ − 1 20f ), p → p f /p 0f , e → e f /p 0ft → t f /(p − 1 20f ρ 1 20fc f ), (x,y) → (x f ,y f )/c f , η → η f /(c f ρ 1 20fp 1 20f)Výsledný tvar Navierových-Stokesových rovnic je stejný, jako před normováním, pouze proměnnéneznamenají fyzikální veličiny, ale normované.3.3.2 Metoda konečných objemůVyjděme z rovnic (3.1). Pro každý časový úsek ∆t = t (n+1) − t (n) a každý libovolný objemΩ i ⊂ Ω, s dostatečně hladkou hranicí, musí platit∫∫Ω i∫∫w t dt dx dy = −t (n)∫ t (n+1)+∫∫Ω iΩ i∫ t (n+1)t (n) (f(w) x + g(w) y)dt dx dy + (3.17)∫ t (n+1)t (n) (r(w) x + s(w) y)dt dx dy.

3.4. Numerické výsledky řešení 41Úpravami popsanými v kapitole 2.4 tento systém převedeme na⎛wi n+1 − wi n = ∆t ⎝−µ(Ω i )∑N ij=1∑N if(w n ) nj l j ⃗n j +j=1(r(w n ) j ∆y j − s(w n ) j ∆x j) ⎞ ⎠ . (3.18)Vektor numerického toku vyřešíme Roeho Riemann solverem, jak bylo popsáno v kapitole2.4.3. Pro získání hodnoty ve středu buňky v další časové vrstvě nyní stačí pouze dosadit zavazké toky.Pro výpočet derivací, které se vyskytují ve vazkých tocích se použije Greenova věta přespomocné objemy, zobrazené na obr. 3.1.Pro řešení se použije úprava na vyšší řád přesnosti v čase i v prostoru, což sníží numerickouvazkost.Pro výpočet dynamické vazkosti η se může použít Sutherlandův vztahη = η 0 (T/T 0 ) 3 2T 0 + T ST + T S, (3.19)kde η 0 je vazkost při T 0 = 273 K, T S je Sutherlandova konstanta, která se pro vzduch v rozsahuteplot (0, 300 o C) rovná 114 K, nebo se předpokládají malé změny teploty a vazkost seaproximuje jako konstatní.3.4 Numerické výsledky řešeníPozor!Následující numerické výsledky dokumentují chování numerické metody. Numerickámetoda je testována při různých Reynoldsových číslech, i při těch, při kterýchjiž laminární proudění není stabilní. Zde uvedené výsledky tedy často nemajífyzikání význam.3.4.1 Zakřivený kanálPrvním testovacím případem je proudění v zakřiveném kanálu. Počítáno bylo pro Machovočíslo v izoentropickém případě Ma izo = 0,675. Pomocí izoentropických vztahů byl vypočtenpoměr p 2 /p 0 = 0,737. Prandtlovo číslo bylo zadáno standardně Pr = 0,7. Dále byla zadánadynamická viskozita, tak jak je uvedeno v následující tabulce:Režim I II III IVp 2 /p 0 0,737 0,737 0,737 0,737η/(c √ ρ 0 p 0 ) 2,5.10 −3 2,5.10 −5 2,5.10 −6 2,5.10 −7Pr 0,7 0,7 0,7 0,7Re 80 2.10 4 2,5.10 5 2,4.10 6Ma 1 0,187 0,508 0,653 0,673Ma 2 0,245 0,570 0,663 0,674

3.4. Numerické výsledky řešení 43(a) Re = 80 (b) Re = 2.10 4(c) Re = 2,5.10 5 (d) Re = 2,4.10 6Obrázek 3.4: Izočáry Machova čísla pro různé hodnoty Reynoldsova čísla

44 KAPITOLA 3. VAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2DObrázek 3.5: Turbínová mříž SE1050 – síť pro vazký výpočet

3.4. Numerické výsledky řešení 45(a) Výpočet prezentovanou metodou(b) Výpočet metodou s TVD Mac Cormackovýmschématem (Fürst 2000 [10])Obrázek 3.6: SE1050 vazký výpočet. Izočáry Machova čísla. Re = 2,6.10 5 , Ma 2 = 1,204.

46 KAPITOLA 3. VAZKÉ PROUDĚNÍ VE 2D

Kapitola 4Trojrozměrné nevazké proudění4.1 Eulerovy rovnice v konzervativním tvaruEulerovy rovnice v konzervativní formě lze pro 3D proudění bez uvažování vnějších silzapsat ve tvaru:w t + f x + g y + h z = 0, (4.1)⎛w =⎜⎝ρρuρvρwe⎞⎟⎠ ,⎛f = ⎜⎝ρuρu 2 + pρuvρuw(e + p)u⎞⎟⎠ ,⎛g = ⎜⎝ρvρuvρv 2 + pρuw(e + p)v⎞⎟⎠ ,⎛h = ⎜⎝ρwρuwρvwρw 2 + p(e + p)w⎞⎟⎠ , (4.2)kde w je vektor neznámých, ρ je hustota, (u,v,w) jsou složky rychlosti v kartézském souřadnémsystému, p je tlak, e je celková energie vztažená na jednotku objemu a f, g a h jsou vektorytoků. Systém Eulerových rovnic je uzavřen vztahem pro celkovou energii ideálního plynue =pγ − 1 + 1 2 ρ(u2 + v 2 + w 2 ), (4.3)kde γ je adiabatický koeficient.4.2 Formulace úlohy4.2.1 Axiální statorová mřížMříž je tvořena k lopatkami umístěnými radiálně v určité vzdálenosti od osy. Na obrázku4.1 si popíšeme jednotlivé okrajové podmínky. Vstupní řez tvoří strana AIPH, výstup tvoříDEML, stěny jsou tvořené prostorovými n-úhelníky ABCDEFGH, IJKLMNOP, BCKL aGFNO. Periodická okrajová podmínka je předepsána na stěnách ABJI, HGOP a CDLK,FEMN. Tyto stěny spolu svírají úhel 2π/k.Úlohou je najít funkci w(x,y,z,t) na oblasti Ω ∈ R 3 × R + , která má tyto vlastnosti:• w ∈ C 1 (Ω \ B), kde B je množina konečného počtu křivek (rázových vln) míry 0.• w na křivkách nespojitosti B splňuje Rankien-Huginotovy podmínky.47

48 KAPITOLA 4. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 3DONPJKMILGHABCFEObrázek 4.1: Řešená oblast – 3D statorová mřížD• w vyhovuje rovnici)(w t + f x + g y + h z dx dy dz dt = 0 (4.4)t 1∫∫∫D∫ t2pro libovolné t 2 > t 1 a oblast D ⊂ Ω.• w| t=0 splňuje počáteční podmínky w| t0 = w 0 .• w splňuje tyto okrajové podmínky (předpokládáme podzvukovou složku rychlosti vesměru normály na hranici).– vstup – jsou zadány tři veličiny v závislosti na vzdálenosti R od osy otáčení (klidováhustota ρ 0 , klidový tlak p 0 , úhel náběhu α vzhledem k ose otáčení).– výstup – je zadána jedna veličina v závislosti na vzdálenosti R od osy otáčení(p 2 /p 0 ).– stěna – podmínka neprostupnosti. Normálová složka rychlosti je nulová.– periodicita – hodnota funkce w je rovna hodnotě odpovídajícím způsobem pootočenémvektoru na odpovídající periodické hranici.

4.3. Numerické řešení 494.3 Numerické řešení4.3.1 Metoda konečných objemůVyjděme z rovnic (4.1). Pro každý časový úsek ∆t = t (n+1) − t (n) a každý libovolný objemΩ i ⊂ Ω musí platit∫∫∫Ω i∫ t (n+1)t (n) w t dt dx dy dz = (4.5)∫∫∫= −Ω i∫ t (n+1)t (n) (f(w) x + g(w) y + h(w) z)dt dx dy dz.Úpravami obdobnými k úpravám uvedeným v kapitole 2.4.2 převedeme tyto rovnice na tvarw n+1i− w n i = − ∆tµ(Ω i )∑N ij=1f(w n ) nj S j ⃗n j , (4.6)kde f(w n ) je numerický tok ve směru vnější normály ⃗n j a S j je povrch plochy S j . Objemkonečného objemu je µ(Ω i ). Pro výpočet hodnoty vektoru neznámých w v další časové vrstvěje třeba určit velikost numerického toku ve směru normály.4.3.2 3D Riemann solverMějme Eulerovy rovnice ve 3D pro řešení Riemannova problému zapsané v konzervativnímtvaruw t + f(w) x = 0, (4.7)s počátečními podmínkami{wL prow(x,0) =w R prox < 0x > 0 , (4.8)kde⎛w =⎜⎝ρρuρvρwe⎞⎟⎠⎛f =⎜⎝ρuρu 2 + pρu vρu wu(e + p)⎞⎟⎠ . (4.9)Mějme Jacobiho matici toku Eulerových rovnic (4.7)A(w) = ∂f∂w . (4.10)Podle pravidla o derivování smíšené funkce je možno rovnici (4.7) přepsat do tvaruw + A(w)w x = 0. (4.11)

50 KAPITOLA 4. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 3DRoe 1981 [18] nahradil Jacobiho matici A(w) v rovnici (4.11) konstantní maticíà = Ã(w L,w R ), (4.12)která závisí pouze na stavu w L vlevo od rozhraní a stavu w R vpravo od rozhraní. Tím seRiemannův problém popsaný soustavou rovnic (4.7) převede na linearizovaný aproximativníRiemannův problémw t + Ãw x = 0, (4.13)který je dále řešen exaktně.Pro hyperbolickým systémem o m rovnicích musí matice à mít následující vlastnosti:• A) Hyperbolicita systému: Matice à musí mít reálná vlastní čísla ˜λ i = ˜λ i (w L ,w R ),i = 1, . . . ,m a lineárně nezávislé pravostranné vlastní vektory˜R (1) , ˜R(2) , . . . , ˜R (m) . (4.14)• B) Konzistence s exaktním JacobiánemÃ(w,w) = A(w) (4.15)• C) Konzervativita podél nespojitostíf(w R ) − f(w L ) = Ã(w R − w L ) (4.16)U lineárního problému (4.13) je známo, že stavy nalevo w L a napravo w R od rozhraní lzevyjádřit pomocí lineární kombinace vlastních vektorů ˜R(i)w L =m∑a ˜R(i) i , w R =i=1m∑b ˜R(i) i , (4.17)i=1kde a i a b i jsou reálné koeficienty.Z tohoto je zřejmé, že je možno rozdíl stavů∆w = w R − w L (4.18)vyjádřit jako lineární kombinaci vlastních vektorů∆w = w R − w L =m∑˜α ˜R(i) i , (4.19)i=1kde ˜α i = ˜α i (w R ,w L ) je koeficient pro R (i) . Řešení w i+1 (x/t) v bodě x = 0 je možno napsat2jakow i+1 (0) = w L + ∑˜λi ˜α ˜R(i) i2≤0(4.20)nebow i+1 (0) = w R − ∑˜λi ˜α ˜R(i) i . (4.21)2≥0

4.3. Numerické řešení 51Najděme nyní odpovídající numerický tok.Rovnici (4.7) jsme nahradili lineární rovnicí (4.13), kterou lze alternativně zapsat jakomodifikovaný konzervativní systéms tokemw t = f(w) x = 0 (4.22)f(w) = Ãw. (4.23)Numerický tok nelze jednoduše vypočítat jakof i+12= Ãw i+ 1 2(0), (4.24)protože například při nadzvukovém proudění zprava bychom dostali tok f i+1 ≠ f L . Z integrálníchvztahů (viz například Toro 1997 [14]) lze odvodit, že lze použít kterýkoliv z ekvivalentních2vzorcůf i+12= f L + ∑˜λi ≤0˜α i˜λi ˜R(i)(4.25)f i+12= f R − ∑˜λi ≥0˜α i˜λi ˜R(i)(4.26)f i+12= 1 2 (f L + f R ) − 1 2m∑˜α i˜|λi | ˜R (i) . (4.27)i=1Uvedené vztahy (4.13) až (4.27) jsou platné pro jakýkoliv hyperbolický systém a jakoukolivlinearizaci. Eulerovy rovnice jsou jen speciálním případem pro m = 5.Nyní je třeba najít střední hodnoty ˜α i , ˜λ i a ˜R (i) .Aproximativní Roeho Riemann solverPro konstrukci matice à je vhodné zvolit si vektor parametrů Q tak, aby vektor konzervativníchproměnných w i vektor toků f se daly vyjádřit jakow = w(Q), f = f(Q), (4.28)tak, že jsou maximálně kvadratickou funkcí parametrů Q (pak bude možné použít maticovýpočet). Změny∆w = w R − w L , ∆f = f(w R ) − f(w L ) (4.29)budou vyjádřeny vyjádřit jako funkce změny∆Q = Q R − Q L . (4.30)Dále budou střední hodnoty získány jako střední hodnoty parametru Q. Nyní najděme matice˜B a ˜C tak, aby platilo∆w = ˜B∆Q, ∆f = ˜C∆Q. (4.31)Tím získáme vztah∆f = ( ˜C ˜B −1 )∆w (4.32)

52 KAPITOLA 4. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 3Da z toho je zřejmé, žeà = ˜C ˜B −1 . (4.33)Aplikujme tento postup na Eulerovy rovnice (4.7).Vektor parametrů je zvolen⎛ ⎞ ⎛ ⎞q 11q 2˜Q =⎜ q 3⎟⎝ q 4⎠ = √ uρ⎜ v⎟⎝ w ⎠ . (4.34)q 5 HH = e + pρ(4.35)Matice ˜B a ˜C jsou voleny takto:⎛˜B = 1 2 ⎜⎝⎛˜C = 1 2 ⎜⎝2˜q 1 0 0 0 0˜q 2 ˜q 1 0 0 0˜q 3 0 ˜q 1 0 0˜q 4 0 0 ˜q 1 0˜q 5γγ−1γ ˜q 2γ−1γ ˜q 3γ−1γ ˜q 4˜q 1γ⎞⎟⎠(4.36)⎞˜q 2 ˜q 1 0 0 0γ+1γ ˜q 2 − γ−1γ ˜q 3 − γ−1γ ˜q γ−14 γ ˜q 10 ˜q 3 ˜q 2 0 0⎟0 ˜q 4 0 ˜q 2 0 ⎠ . (4.37)0 ˜q 5 0 0 ˜q 2γ−1γ ˜q 5Roeho matice à se vypočte ze vztahu (4.33). Její vlastní čísla jsou˜λ 1 = ũ − ã, ˜λ2 = ˜λ 3 = ˜λ 4 = ũ, ˜λ5 = ũ + ã (4.38)a jim odpovídající vlastní vektory⎛ ⎞⎛1˜R (1) ũ − ã=⎜ ṽ⎟⎝ ˜w ⎠ , ˜R(2) =⎜⎝˜H − ũ ã⎛˜R (4) =⎜⎝0001˜w⎞⎞⎛1ũṽ⎟˜w ⎠ , ˜R(3) =⎜⎝12Ṽ 2⎛⎟⎠ , ˜R(5) =⎜⎝1ũ + ãṽ˜w˜H + ũ ã⎞0010ṽ⎟⎠ ,⎞⎟⎠ , (4.39)kde Ṽ 2 = ũ 2 + ṽ 2 + ˜w 2 .

4.3. Numerické řešení 53Symbol ˜. je označení pro Roeho průměrování podle vzorcůũ =ṽ =˜w =˜H =√ρL u L + √ ρ R u R√ρL + √ (4.40)ρ R√ρL v L + √ ρ R v R√ρL + √ ρ R√ρL w L + √ ρ R w R√ρL + √ ρ R√ρL H L + √ ρ R H R√ρL + √ ρ Rã 2 = (γ − 1)( ˜H − 1 2Ṽ 2 ).Pro výpočet numerických toků nyní potřebujeme vyjádřit rozdíl stavů jako lineární kombinacistředovaných vlastních vektorů∆w =5∑˜α ˜R(i) i . (4.41)i=1Z rovnic (4.39) jasně plyne, že rovnice (4.41) se rozepíše∆u 1 = ˜α 1 + ˜α 2 + ˜α 5 (4.42)∆u 2 = ˜α 1 (ũ − ã) + ˜α 2 ũ + ˜α 5 (ũ + ã)∆u 3 = ˜α 1 ṽ + ˜α 2 ṽ + ˜α 3 + ˜α 5 ṽ∆u 4 = ˜α 1 ˜w + ˜α 2 ˜w + ˜α 4 + ˜α 5 ˜w∆u 5 = ˜α 1 ( ˜H − ũã) + 1 2Ṽ 2 ˜α 2 + ˜α 3 ṽ + ˜α 4 ˜w + ˜α 5 ( ˜H + ũã),kde ∆u i je i-tá složka vektoru ∆w. Toto je soustava rovnic, kterou lze velmi snadno řešit.˜α 3 = ∆u 3 − ṽ ∆u 1 (4.43)˜α 4 = ∆u 4 − ˜w∆u 1 (4.44)˜α 2 = γ − 1 (ã 2 ∆u 1 ( ˜H)− ũ 2 ) + ũ ∆u 2 − ∆u 5 (4.45)˜α 1 = 12ã (∆u 1(ũ + ã) − ∆u 2 − ã˜α 2 ) (4.46)˜α 5 = ∆u 1 − (˜α 1 + ˜α 2 ) (4.47)Zde je ∆u 5 modifikováno na∆u 5 = ∆u 5 − (∆u 3 − ṽ ∆u 1 )ṽ − (∆u 4 − ˜w∆u 1 ) ˜w. (4.48)4.3.3 Numerická aproximace okrajových podmínekVstup Na poloměru, na kterém leží vstupní buňka, je zadána hodnota klidového tlaku,klidové hustoty a úhlu náběhu. Dále je do pomocné buňky extrapolováno Machovo číslo navstupu. Z izoentropických vztahů a zadaných hodnot na vstupu jsou určeny všechny hodnotyvektoru proměnných.

54 KAPITOLA 4. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 3D20.80.71.5UHEL [RAD]1PHIETATHETAP2/P00.60.50.40.50.300.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8R0.20.7 0.9 1.1 1.3 1.5 1.7 1.9R(a) Úhly na vstupu k ose x, y a z.(b) Rozložení tlaku na výstupuObrázek 4.2: Turbínová statorová mříž SE-3D1 – rozložení veličin na vstupu a výstupu v závislostina poloměruVýstup Z poslední buňky na výstupu jsou extrapolovány hodnoty hustoty ρ a složky rychlostí(u,v,w). Pomocí vztahu pro celkovou energii ideálního plynu (2.2) je z výstupního tlakuna poloměru na kterém se nachází buňka dopočítána velikost celkové energie e.Stěna Podmínka na stěně je splňována metodou zrcadlení, kdy jsou do pomocné buňkyvhodně přenášeny hodnoty w z poslední buňky u stěny.Periodicita Do pomocné buňky se přenese odpovídajícím způsobem pootočená hodnotaz odpovídající periodické buňky.4.4 Numerické výsledkyJako 3D testovací příklad byla zvolena turbínová statorová mříž Škoda Plzeň SE-3D1.Na vstupu byly zadány úhly nabíhajícího proudu v závislosti na poloměru (viz obr. 4.2(a)).Dále byly zadány normované klidové veličiny ρ 0 = 1 a p 0 = 1. Na výstupu byl zadán tlakovýpoměr výstupního tlaku ke klidovému tlaku p 2 /p 0 v závislosti na poloměru (viz obr. 4.2(b)).Výpočet byl proveden pro medium s adiabatickým koeficientem γ = 1,12.Protože v době řešení problému nebyl dostupný vhodný 3D generátor nestrukturovanésítě, úloha byla řešena na strukturované síti typu H, skládající se z 90x24x17 šestistěnnýchelementů. Síť byla sice strukturovaná, ale v programu k ní bylo přistupováno jako k nestrukturované.Na obrázku 4.3 jsou zobrazena pole Machova čísla v pěti řezech v celkovém pohledu.Na obrázku 4.4 jsou zobrazeny izočáry tlaku v řezech extrapolované na spodní stěnu u patylopatky, uprostřed lopatky a extrapolované na stěnu u špičky lopatky. Na obr. 4.4(a) jsou zobrazenyvýsledky výpočtu provedeného prezentovanou metodou. Na obr. 4.4(b) jsou zobrazenyvýsledky výpočtu metodou založenou na TVD Mc Cormackově schématu (viz. Fořt, Fürst,Halama, Kozel 1997 [5]). Při srovnání těchto výsledků se můžeme všimnout málo ostrýchrázových vln. To je způsobeno tím, že metoda je pouze prvního řádu přesnosti a obsahuje

4.4. Numerické výsledky 55SE-3D1 ⏐ 22 Aug 2000 ⏐2ZYX1.5Z1M1.61.41.210.80.60.40.200.50.5Obrázek 4.3: Turbínová statorová mříž SE-3D1 – pole Machova čísla – celekv sobě vysoké tlumení. Dalším faktorem přispívajícím k tomuto výsledku je velmi hrubá síť.Pro lepší zachycení rázových vln by bylo vhodné použít lepší sítě a případně její adaptace.Na obr. 4.5 je zobrazeno porovnání vypočtených průběhů Machova čísla na vstupu avýstupu v závislosti na poloměru. Nižší Machovo číslo na výstupu je opět dáno vysokoudissipativností upwind schématu prvního řádu a hrubou výpočetní sítí.

56 KAPITOLA 4. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 3DRez u patylopatkyRez u patylopatkyRez uprostredlopatkyRez uprostredlopatkyRez u spickylopatkyRez u spickylopatky(a) Roe 1. řád aproximace(b) TVD Mc Cormack (viz. Fořt, Fürst,Halama, Kozel 1997 [5])Obrázek 4.4: Turbínová statorová mříž SE-3D1 – izočáry tlaku v jednotlivých řezech – srovnánívýpočtů prezentovanou metodou a metodou založenou na TVD Mc Cormackově schématu

4.4. Numerické výsledky 570.390.37Roe 1st orderTVD Mc Cormack1.4Roe 1st orderTVD Mc Cormack0.351.2Ma0.330.31Ma10.290.270.80.250.8 1 1.2 1.4 1.6R(a) Vstup0.60.8 1.3 1.8R(b) VýstupObrázek 4.5: Turbínová statorová mříž SE-3D1 – srovnání průběhu Machova čísla na vstupua výstupu v závislosti na poloměru

58 KAPITOLA 4. NEVAZKÉ PROUDĚNÍ VE 3D

Kapitola 5Algebraické modely turbulenceTato kapitola diplomové práce je věnována různým algebraickým modelům turbulence.Vyskytují se zde okamžité, střední a fluktuační hodnoty veličin a tomu muselo být přizpůsobenoznačení veličin.Pro výpočet turbulentního proudění se nejčastěji používají středované Navierovy-Stokesovyrovnice doplněné modelem turbulence. Zde jsou popsány algebraické modely Cebeciho a Smithe,úprava Baldwina a Lomaxe, úprava navržená Rostandem a model Johnsona a Kinga.Je uvažováno rozšíření na trojrozměrné případy geometrie a s tím modifikace B-L modeluYershovem a Rusanovem pro použití v lopatkových strojích.5.1 Reynoldsovy rovniceLaminární proudění je zcela popsáno Navierovými-Stokesovými rovnicemi (3.1). Turbulentníproudění popisují tyto rovnice (3.1) pouze v případě, že hodnoty proměnných nejsoustředními hodnotami, ale okamžitými hodnotami veličin (Přímá numerická simulace – DirectNumeric Simulation). Pro usnadnění výpočtu je možné proměnné rozložit na časovou středníhodnotu a fluktuaci (Reynolds 1874 [19]), takže např. pro složky rychlosti platíU i = U i + u ′′i , (5.1)kde je střední hodnota dána vztahem∫1 t0 +∆tU i = limU i (t) dt. (5.2)∆t→∞ ∆t t 0Použití prostého časového středování v rovnicích pro proudění stlačitelné kapaliny nevedek jejich výraznému zjednodušení, protože ve výrazech se objevují nenulové fluktuace ρu ′′i .Proto lze použít středování podle Favra 1965 [20] entalpie a složek rychlosti s hustotou jakováhovou funkcíkde jeU i = Ũi + u ′ i (5.3)Ũ i = ρU iρ(5.4)59

60 KAPITOLA 5. ALGEBRAICKÉ MODELY TURBULENCEstřední hodnota složek rychlosti. Při středování podle (5.1) je u ′′i = 0 a ρu′′ i ≠ 0 zatímco přistředování podle (5.3) je u ′′i ≠ 0 a ρu′′ i = 0.Navierovy-Stokesovy rovnice, ve kterých hodnoty proměnných znamenají střední hodnoty,se označují jako středované Navierovy-Stokesovy rovnice (Reynolds Averaged Navier-Stokesequations – RANS).Ve středovaných Navierových-Stokesových rovnicích se předpokládá podle Cebeciho, Stewartsona,Whitelawa 1983 [21], že∂p ∂pU j =∂x Ũj(5.5)j ∂x j∂U i ∂Ũiτ ij = ¯τ ij∂x j ∂x j(5.6)∂(τ ij U i ) = ∂ (¯τ ij Ũ i ).∂x j ∂x j(5.7)Výrazy ve středovaných Navierových-Stokesových rovnicích, které vyjadřují práci tlakovýchsil a disipaci (5.5), (5.6), se podle Cebeciho, Smithe 1983 [22] a Příhody 1990 [23] zanedbávají.Pro adiabatické proudění v tenké smykové vrstvě se zanedbáním fluktuací teploty lze napsatρ ′′ρ= (γ − 1)¯M2 u′′U , (5.8)kde ¯M je místní Machovo číslo¯M 2 =Ū 2. (5.9)γR ¯T(Příhoda 1990 [23]). Fluktuace tepelné vodivosti a dynamické vazkosti η = f(T ) se podlePříhody 1990 [23] a Morkovina 1962 [25] zanedbávají.Pro řešení středovaných Navierových-Stokesových rovnic při Machově čísle menším než 0,5jsou rozdíly mezi způsoby středování nepodstatné (Příhoda 1990 [23]), protože většina modelůturbulence byla odvozena pro nestlačitelné tenké smykové vrstvy, jsou dále označovány středníhodnoty vodorovnou čarou, i když složky rychlosti a entalpie v středovaných Navierových--Stokesových rovnicích jsou střední hodnoty ze vztahu (5.3).Podle Boussinesqovy hypotézy (Boussinesq 1877 [26]) lze vyjádřit turbulentní přenos hybnostipomocí turbulentní vazkosti. Pro dvojrozměrnou mezní vrstvu je turbulentní vazkostdefinována vztahem−¯ρu ′ v ′ = η t∂Ū∂y(5.10)a pro teplotní mezní vrstvu se podle Reynoldsovy analogie vyjadřuje vazba mezi−¯ρh ′ v ′ = λ t∂ ¯T∂y . (5.11)Středované Navierovy-Stokesovy rovnice tedy mají tvarW t + F x + G y = R x + S y , (5.12)

5.2. Základní algebraické modely 61kdeW = |ρ,¯ρŪ,¯ρ ¯V ,ē| TF = |¯ρŪ,¯ρŪ 2 + ¯p,¯ρŪ ¯V ,(ē + ¯p)Ū|TG = |¯ρ ¯V ,¯ρŪ ¯V ,¯ρ ¯V 2 + ¯p,(ē + ¯p) ¯V | TR = |0,¯τ ∗ xx,¯τ ∗ xy,Ū ¯τ ∗ xx + ¯V ¯τ ∗ xy − ¯q ∗ x| TS = |0,¯τ ∗ xy,¯τ ∗ yy,Ū ¯τ ∗ xy + ¯V ¯τ ∗ yy − ¯q ∗ y| T¯τ ∗ xx = ¯τ xx − ρu ′ u ′ = (¯η + η t )[2Ūx − 2 3 (Ūx + ¯V y )]¯τ ∗ yy = ¯τ yy − ρv ′ v ′ = (¯η + η t )[2 ¯V y − 2 3 (Ūx + ¯V y )]¯τ xy ∗ = ¯τ xy − ρu ′ v ′ = (¯η + η t )(Ūx + ¯V y )( ¯η¯q x ∗ = ¯q x + ρh ′ u ′ = −c pPr + η )t ¯T xPr t( ¯η¯q y ∗ = ¯q y + ρh ′ v ′ = −c pPr + η )t ¯T y .Pr tPr t je turbulentní Prandtlovo čísloPr t = η tc pλ t, (5.13)které se považuje za konstantu. Číslo Pr t pro vzduch činí Pr t = 0,9 (Příhoda 1991 [24]).Tímto se problém redukuje na určení turbulentní vazkosti η t nebo ν t = η t /ρ. Pro η t = 0rovnice (5.12) popisují laminární proudění.5.2 Základní algebraické modely5.2.1 Model Cebeciho a SmitheZákladní algebraický model byl navržen Cebeci a Smithem (Cebeci, Smith 1974 [22]).Mezní vrstva je rozdělena na dvě oblasti. Ve vnitřní oblasti platí univerzální zákon stěny a vevnější oblasti platí zákon úplavu.Turbulentní vazkost je ve vnitřní oblasti (0 ≤ y ≤ y c ) dána vztahemν ti = l 2 ∣ ∣∣∣ ∂Ū∂y∣ . (5.14)Prandtlova směšovací délka se vypočte vztaheml = F D κy. (5.15)Vliv blízkosti stěny je zahrnut van Driestovou funkcí F D (van Driest 1956 [37])(F D = 1 − exp − y )A(5.16)s parametremA = A + ν wu τ(5.17)

62 KAPITOLA 5. ALGEBRAICKÉ MODELY TURBULENCEPro κ = 0,4 byla určena empirická konstanta A + = 26 pro obtékání desky při vysokýchReynoldsových číslech (Příhoda 1991 [24]). Třecí rychlost u τ se podle Příhody 1990 [23] určíze vztahu√|τ w |u τ = sign(τ w ) · , (5.18)ρ wkde funkce sign bere v úvahu směr tečného napětí na stěně. Tečné napětí na stěně se určí jakoτ w = ∂Ū∂y∣ . (5.19)y=0Ve vnější oblasti (y ≥ y c ) je použit Clauserův vztahν to = αŪeδ ∗ i F k , (5.20)kde pro dostatečně velká Reynoldsova čísla je parametr α = 0,016 až 0,0168 (Příhoda 1991[24]). Funkce F k je dána jakoF k =[ ( y) ] 6 −11 + 5,5(5.21)δa vyjadřuje intermitentní charakter turbulence ve vnější oblasti mezní vrstvy. V rovnici (5.20)je Ūe rychlost vnějšího proudu a δ ∗ i je kinematická pošinovací tloušťkaδ ∗ i =∫ δ0(1 − ¯ρŪ¯ρ e Ū e)dy. (5.22)Hranice obou oblastí je v bodě y c , kde platí ν to = ν ti . Obecně lze položitν t = min(ν ti ,ν to ) (5.23)(Příhoda 1991 [24]).Cebeci modifikoval původně konstantní hodnotu α ve vztahu (5.20) (Cebeci 1971 [41]).Do tohoto vztahu se nedosazuje α konstantní, ale dosadí se modifikovaná α mod vypočtenájakoα mod = α 1 + 1,55(5.24)1 + ΠΠ = 0,55[1 − exp(−0,243 √ ψ − 0,298ψ)], (5.25)kde ψ = Re δ2 /425 − 1. Reynoldsovo číslo impulzové tloušťky mezní vrstvy je vypočteno jakoRe δ2 = Ūeδ 2ν w. (5.26)Nevýhodou tohoto modelu je požadavek znalosti rychlostní tloušťky δ, součinu Ūeδi∗třecí rychlosti u τ .a

5.2. Základní algebraické modely 63Příklad postupu výpočtu1. Vypočte se kinematická vazkost na stěně ν w pomocí vzorce (3.19). V případě výpočtuúplavu se určí kinematická vazkost v ose úplavu.2. Vypočte se tečné napětí na stěně τ w nebo v ose úplavu pomocí Newtonova zákona(5.19).3. Vypočte se třecí rychlost u τ pomocí vztahu (5.18).4. Ze vztahu (5.17) se určí A s parametrem A + = 26, dosadí se do vztahu pro F D (5.16)a z rovnice (5.15) se určí směšovací délka l s Kármánovou konstantou κ = 0,4.5. Vypočte se turbulentní vazkost ve vnitřní oblasti ν ti vztahem (5.14).6. Určí se rychlost vnějšího proudu Ūe jakoŪ e = 0,95 · Ū∞. (5.27)7. Určí se tloušťka mezní vrstvy δ jako místo, kde platíŪ(y)| y=δ = Ūe. (5.28)8. Vypočte se hodnota F k ze vztahu (5.21).9. Určí se pošinovací tloušťka mezní vrstvy δ ∗ i podle rovnice (5.22).10. Určí se turbulentní vazkost ve vnější oblasti ν to podle rovnice (5.20) s parametremα = 0,0168.11. Výsledná turbulentní vazkost ν t se určí podle vztahu (5.23).5.2.2 Model Baldwina a LomaxeModel Baldwina a Lomaxe je podobný C-S modelu. Ve vnitřní oblasti se turbulentní∂Ūvazkost počítá podle rovnice (5.14), jen příčný gradient rychlosti∂yje nahrazen vířivostíω = ∂Ū∂y − ∂ ¯V∂x , tzn.∣ ∣∣∣ν ti = l 2 ∂Ū∂y − ∂ ¯V∂x ∣ . (5.29)Ve vnější oblasti platíν to = αC CP F W F k , (5.30)kde C CP je přídavná konstanta. Funkce F W je definována jakoF W = y max F max pro obtékání stěny (5.31)F W = C W K y max∆U 2F maxpro úplav. (5.32)

64 KAPITOLA 5. ALGEBRAICKÉ MODELY TURBULENCEPodle Hunga, Buninga 1995 [33] je potom skutečné F W minimum těchto dvou funkcí. F maxje maximum funkceF = y|ω|F D (5.33)a y max je vzdálenost od stěny v místě F max . Tloušťka smykové vrstvy je vyjádřena jakoδ = y maxC KL, (5.34)takže funkce (5.21) má tvar[ (F k = 1 + 5,5C KL) ]y 6 −1. (5.35)y max∆U je rozdíl mezi maximální a minimální výslednou rychlostí v daném řezu x = konst.Hodnoty konstant C CP a C KL závisejí na Machově číslu a proto musejí být vhodně zvoleny.Baldwin a Lomax 1978 [28] používají pro standardní hodnoty κ = 0,4, A + = 26 a α = 0,0168konstanty C CP = 1,6, C KL = 0,3, C W K = 0,25. Weisshaar, Reister 1984 [39] doporučují prostlačitelné proudění konstantu C CP = 1,2.V některých případech (supersonické obtékání rohu, interakce šikmé rázové vlny s meznívrstvou) má funkce (5.33) více než jedno lokální maximum. Volba maxima blíže ke stěnězpůsobuje prudké zvýšení turbulentní vazkosti, proto musí být voleno maximum dále odstěny.Příklad postupu výpočtu1. Vypočte se kinematická vazkost na stěně ν w pomocí vzorce (3.19). V případě výpočtuúplavu se určí kinematická vazkost v ose úplavu.2. Vypočte se tečné napětí τ w na stěně nebo v ose úplavu pomocí Newtonova zákona(5.19).3. Vypočte se třecí rychlost u τ pomocí vztahu (5.18).4. Ze vztahu (5.17) se určí A s parametrem A + = 26, dosadí se do vztahu pro F D (5.16)a z rovnice (5.15) se určí směšovací délka l pomocí Kármánovy konstanty κ = 0,4.5. Vypočte se turbulentní vazkost ve vnitřní oblasti ν ti vztahem (5.29).6. Určí se maximum F max a poloha maxima y max v řezu x = konst. funkce (5.33)F = y∂Ū∣ ∂y − ∂ ¯V( [∂x ∣ 1 − exp − yu ])τA + . (5.36)ν w7. Určí se hodnota F k ze vztahu (5.35) s parametrem C KL = 0,3.8. Určí se rozdíl ∆U mezi maximální a minimální výslednou rychlostí v daném řezux = konst.9. Určí se F W jako minimum ze vztahů (5.31) a (5.32) s parametrem C W K = 0,25.10. Určí se turbulentní vazkost pro vnější vrstvu ν to podle vztahu (5.30) s parametremC CP = 1,6 a α = 0,0168.11. Výsledná turbulentní vazkost ν t se určí podle vztahu (5.23).

5.2. Základní algebraické modely 655.2.3 Model RostandaPři nepřesném určení δ dochází k značným chybám v určení turbulentní vazkosti. ProtoRostand 1988 [27] navrhl převést součin Ūeδi ∗ v rovnici (5.20) integrací per partes do tvaruŪ e δ ∗ i =∫ δ0(Ūe − Ū) dy = ∫ δ0y ∂Ū∂ykterý lze pro přilehlé proudění nahradit vztahemŪ e δ ∗ i =∫ δ0dy, (5.37)y|ω| dy. (5.38)Při proudění při velkých Reynoldsových číslech klesá velmi rychle se vzdáleností od stěnynejen vířivost ω, ale i součin y|ω|, takže při výpočtu integrálu (5.38) stačí jen hrubý odhadδ. Ten se získá pomocí maxima funkceF = y|ω|. (5.39)Tloušťka δ se nahradí vzdáleností od stěny y 1 , ve které platí F (y 1 ) = χF max a χ je podlePříhody 1990 [23] vhodné volit 0,5. Pro určení funkce F k (5.21) se zavádí délkové měřítko∫ y10y 2 |ω| dyl k = ∫ y10y|ω| dy , (5.40)které slouží ke stanovení tloušťky smykové vrstvyδ = l kC k, (5.41)kde C k je empirická konstanta C k = 0,45 (Rostand 1988 [27]). Do rovnice (5.16) se dosadí zaA ze vztahu√ ρA = A + ν . (5.42)τ wPro proudění s odtržením je smykové napětí na stěně τ w nahrazeno lokální hodnotou τ.Pro výpočet smykového proudění s odtržením se podle Příhody 1990 ukazuje vhodné použítkombinace algebraického k-ε modelu turbulence podle Goldberga 1986 [38] s C-S modelem.Příklad postupu výpočtu1. Vypočte se tečné napětí τ w na stěně nebo v ose úplavu pomocí Newtonova zákona(5.19).2. Ze vztahu (5.42) se určí A s parametrem A + = 26, dosadí se do vztahu pro F D (5.16)a z rovnice (5.15) se určí směšovací délka l s hodnotou Kármánovy konstanty κ = 0,4.3. Vypočte se turbulentní vazkost ve vnitřní oblasti ν ti vztahem (5.14).4. Určí se maximum F max funkce (5.39).5. Určí se vzdálenost od stěny y 1 ze vztahu, při kterém je splněna rovnostF (y 1 ) = χF max (5.43)s parametrem χ = 0,5.

66 KAPITOLA 5. ALGEBRAICKÉ MODELY TURBULENCE6. Určí se délkové měřítko l podle vztahu (5.40).7. Vypočte se tloušťka smykové vrstvy δ podle vztahu (5.41) s použitím konstanty C k =0,45.8. Vypočte se hodnota F k ze vztahu (5.21).9. Součin Ūeδ ∗ i se určí podle vztahu (5.38).10. Určí se turbulentní vazkost ve vnější oblasti ν to podle rovnice (5.20) s parametremα = 0,0168.11. Výsledná turbulentní vazkost ν t se určí podle vztahu (5.23).5.3 Algebraický model s diferenciální rovnicí pro rychlostníměřítko5.3.1 Model Johnsona a KingaTento model navržený Johnsonem a Kingem 1985 [29] je přechodem od modelů s turbulentnívazkostí k modelům se smykovým napětím. Algebraické vztahy pro turbulentní vazkostjsou použity pro určení rozložení smykového napětí napříč mezní vrstvou, ale velikost smykovéhonapětí je určena pomocí obyčejné diferenciální rovnice pro maximum smykového napětí.Turbulentní vazkost ve vnitřní oblasti je dána vztahemν ti = F 2 Dκy(−uv m ) 1 2 . (5.44)Ve funkci (5.17),(5.16) je použita konstanta A + = 15.Ve vnější oblasti se předpokládá průběh turbulentní vazkosti ve tvaruν to = K o F k , (5.45)kde funkce F k je dána rovnicí (5.21). Parametr K o je funkcí rychlostního měřítka (−uv m ) 1 2 aurčí se z definičního vztahu pro turbulentní smykové napětí ve vzdálenosti y m od stěny∂Ū−uv m = ν tm ∂y ∣ , (5.46)mpřičemž ν tm je maximum ν t z rovnice (5.55).Rovnice pro rychlostní měřítko (−uv m ) 1 2 je podle Příhody 1990 [23] odvozena z transportnírovnice pro turbulentní kinetickou energii k, kterou lze pro maximální hodnoty k m přizanedbání vazké difuze psát ve tvaru[dk m∂ŪŪ m = −uv m } {{ dx}∂y ∣ − ∂ (v k + p ) ] − ε m . (5.47)} {{ m∂y ρ }{{}}m} {{ } disipacekonvekce produkce turbulentní difusePředpokládá se konstantní poměr turbulentního smykového napětí a turbulentní energiea 1 = −uvk . (5.48)

5.3. Model s diferenciální rovnicí 67Tím se rovnice (5.47) upraví na obyčejnou diferenciální rovnici pro maximální hodnotu smykovéhonapětí −uv m . Rychlost disipace ε m je aproximována podleε m = (−uv m) 3 2L m. (5.49)Při předpokladu místní rovnováhy, t.j. při zanedbání difuze a konvekce dostaneme jednoduchývztah odpovídající Prandtlovu vztahu se směšovací délkou(−uv m ) 1 ∂Ū2 eq = L m ∂y ∣ . (5.50)mDélkové měřítko je aproximováno vztahyL mδL mδ= κ y mδpro y mδ= 0,09 pro y mδ > 0,225.Byla zavedena proměnná≤ 0,225 (5.51)g = (−uv m ) − 1 2 (5.52)a po úpravě podle Příhody 1990 [23] je rovnice (5.47) ve tvaru[ (dgdx = a 11 − g )LC mδ( ) 1]D+ (2ŪmL m g eq a 1 0,7 −y mδ)∣ 1 − νto2, (5.53)ν toeq ∣kde index eq označuje rovnovážné hodnoty smykového napětí a turbulentní vazkosti ve tvaruν toeq = 0,0168Ūeδ ∗ i F k . (5.54)Při výpočtu byly použity hodnoty a 1 = 0,25 a C D = 0,5.Při řešení rovnice (5.53) se použije místní linearizace, tzn., že všechny veličiny kroměg a g eq jsou aproximovány hodnotami z předchozího kroku x. Tento postup je také použitpři určení (−uv m ), (−uv m ) eq a turbulentní vazkosti ve vnitřní oblasti. Počáteční podmínkymaximální hodnoty (−uv m ) a y m jsou určeny z C-S modelu.Výsledná turbulentní vazkost se vypočte jako(ν t = ν to[1 − exp − ν )]ti. (5.55)ν toPro ν ti ≪ ν to je ν t ≈ ν ti a pro ν ti ≫ ν to je ν t ≈ ν to , takže není potřeba určovat bod y cpřechodu mezi vnitřní a vnější oblastí smykové vrstvy.Příklad postupu výpočtu1. Výpočet J-K modelem musí začínat v oblasti, kde nedochází k velkým změnám rychlostníhoměřítka (−uv m ) 1 2 po proudu. Nejprve je třeba použít C-S model pro určenípočátečních podmínek pro diferenciální rovnici (5.53). Čímž se vyčíslí hodnoty v řezux = x 0 .(a) Vypočte se kinematická vazkost na stěně ν w pomocí vzorce (3.19). V případě výpočtuúplavu se určí kinematická vazkost v ose úplavu.

68 KAPITOLA 5. ALGEBRAICKÉ MODELY TURBULENCE(b) Vypočte se tečné napětí na stěně τ w nebo v ose úplavu pomocí Newtonova zákona(5.19).(c) Vypočte se třecí rychlost u τ pomocí vztahu (5.18).(d) Ze vztahu (5.17) se určí A s parametrem A + = 26, dosadí se do vztahu pro F D(5.16) a z rovnice (5.15) se určí směšovací délka l s hodnotou Kármánovy konstantyκ = 0,4.(e) Vypočte se turbulentní vazkost ve vnitřní oblasti ν ti vztahem (5.14).(f) Určí se rychlost vnějšího proudu Ūe jakoŪ e = 0,95Ū∞ (5.56)(g) Určí se tloušťka mezní vrstvy δ jako místo, kde platíŪ(y)| y=δ = Ūe. (5.57)(h) Vypočte se hodnota F k ze vztahu (5.21).(i) Určí se pošinovací tloušťka mezní vrstvy δ ∗ i podle rovnice (5.22).(j) Určí se turbulentní vazkost ve vnější oblasti ν to podle rovnice (5.20) s parametremα = 0,0168.(k) Výsledná turbulentní C-S vazkost ν t se určí podle vztahu (5.55).2. Nyní se vypočte rozložení (−uv m ) v závislosti na x.(a) Určí se maximální C-S turbulentní vazkost ν tm a odpovídající rychlost Ūm v řezux = x 0 ve vzdálenosti y m z předcházejících vazkostí určených podle vztahu (5.55).(b) Ze vztahu (5.46) se určí −uv m pro počáteční podmínku do rovnice (5.53).(c) Ze vztahu (5.17) se určí A s parametrem A + = 15, dosadí se do vztahu pro F D(5.16) s y = y m .(d) Určí se L m ze vztahů (5.51) nebo (5.52) s hodnotou Kármánovy konstanty κ = 0,4.(e) Určí se F km ze vztahu (5.21), kam se za y dosadí y m .(f) Určí se hodnota K 0 vyjádřená ze vztahů (5.46) a (5.45) jakoK 0 =−uv m. (5.58)∣mF km∂Ū∂y(g) Vypočte se turbulentní vazkost ve vnější oblasti ν to ze vztahu (5.45), kam se za F kdosadí F km .(h) Vypočte se turbulentní vazkost v rovnovážném stavu ν toeqse dosadí F km .ze vztahu (5.54), za F k(i) Ze vztahu (5.50) se určí (−uv m ) 1 2 eq .(j) Provede se substituce g = (−uv m ) − 1 2 a g eq = (−uv m ) − 1 2eq .(k) Numericky se řeší rovnice (5.53) s tím, že všechny veličiny kromě g a g eq jsouaproximovány hodnotami z předchozího kroku x. Tím se získá rozložení (−uv m ) − 1 2v závislosti na x. Parametr a 1 = 0,25 a C D = 0,5.

5.4. Rozšíření modelů na 3D 693. Nyní se mohou vypočítat samotné turbulentní vazkosti. Z předchozích výpočtů se použijepouze závislost maxima smykového napětí na x −uv m (x) = g(x) −2 . Ostatní veličinybyly použity pouze pro výpočet počátečních podmínek a budou vyčísleny znovu v požadovanýchmístech proudu.(a) Vypočte se kinematická vazkost na stěně ν w pomocí vzorce (3.19). V případě výpočtuúplavu se určí kinematická vazkost v ose úplavu.(b) Vypočte se tečné napětí na stěně τ w nebo v ose úplavu pomocí Newtonova zákona(5.19).(c) Vypočte se třecí rychlost u τ pomocí vztahu (5.18).(d) Ze vztahu (5.17) se určí A s parametrem A + = 15, dosadí se do vztahu pro F D(5.16).(e) Vypočte se turbulentní vazkost ve vnitřní oblasti vztahem (5.44) s hodnotou Kármánovykonstanty κ = 0,4.(f) Určí se rychlost vnějšího proudu Ūe jakoŪ e = 0,95Ū∞. (5.59)(g) Určí se tloušťka mezní vrstvy δ jako místo, kde platíŪ(y)| y=δ = Ūe. (5.60)(h) Vypočte se hodnota F k ze vztahu (5.21).(i) Vypočte se turbulentní vazkost ve vnější oblasti ze vztahu (5.45).(j) Určí se výsledná turbulentní vazkost podle vztahu (5.55).5.4 Rozšíření modelů turbulence na tři rozměryAlgebraické modely turbulence byly odvozeny pro dvourozměrné proudění, kde je dominantníjen jedna složka Reynoldsova napětí. Pro obecné proudění ve 3D zatím nejsou algebraickémodely turbulence uspokojivě rozvinuty. Lze použít stávajících 2D modelů s drobnýmiúpravami. Velikost vektoru vířivosti se určí jako√ (∂ Ū|ω| =∂y − ∂ ¯V ) 2 ( ∂ ¯V+∂x ∂z − ∂ ¯W ) 2 ( ∂ ¯W+∂y ∂x − ∂Ū ) 2. (5.61)∂zObjevují se zde problémy při určení vhodné náhrady za vzdálenost od stěny, pro kteroubyly stávající modely odvozeny, zejména v rozích u dvou stěn. Podle Hunga a Buninga 1985[33] je vzdálenost od stěny určena jakoy w =2yzy + z + √ y 2 + z 2 (5.62)a podle Scholtysika 1996 [30] je tato vzdálenost určena jakoy w =1(( 1 y )3 + ( 1 z )3) 1/3 , (5.63)kde y a z znamenají nejbližší vzdálenosti ke stěnám.Pro určení ν t se použijí předchozí vztahy.

70 KAPITOLA 5. ALGEBRAICKÉ MODELY TURBULENCE5.4.1 Modifikace modelu Baldwina a LomaxeTato modifikace byla navržena Yershovem a Rusanovem 1998 [34] pro výpočet turbulentnímezní vrstvy v podmínkách složité 3D geometrie s odtržením a úplavem v lopatkovýchstrojích.Je zvolen křivočarý souřadný systém tak, že osa x směřuje ve směru proudu podél lopatky,osa y je kolmá na povrch lopatky a z je ve směru podél výšky lopatky.Algebraické modely turbulence nezachycují přechod z laminárního do turbulentního proudění.U této modifikace je předpokládáno, že proudění je turbulentní, jestliže turbulentnívazkost je více než 14 krát větší než molekulární vazkost nerozrušeného proudu. V opačnémpřípadě se předpokládá proudění laminární.Modifikace pro odtržení mezní vrstvyOproti B-L modelu, ve kterém se U min bere 0, je zde U min rovno minus maximální hodnotarychlosti zpětného proudu. Dále podle Kinseyho 1988 [36] se koeficient C W v recilkulační zóněmodifikujeC Wmod = C W (1 + D W y sep /c), (5.64)kde y sep je tloušťka zpětného proudu a c charakteristický rozměr. D W podle Yershova aRusanova 1998 [35] bývá 50.V oblasti odtržení se napětí na stěně τ w nahradí integrální střední hodnotou podél profiluv délce L podle vzorce¯τ w =1L(z)∫ L0τ w (z) dz, (5.65)kde L je délka lopatky.Historie turbulence se zahrne pomocí relaxačního vztahuν t(i) = (1 − χ)˜ν t(i) + χν t(i−1) , (5.66)kde ν t(i) je vypočtená vazkost, ˜ν t(i) je vazkost, která vyšla výpočtem z této modifikace B-Lmodelu a ν t(i−1) je vazkost o jednu buňku výše směrem proti proudu. Relaxační parametr χbývá kolem 0,1 až 0,3.Modifikace pro výpočet úplavuZ důvodu obtížného určování tloušťky smykové vrstvy pro 3D proudění je vhodnější určovatvazkost vnější vrstvy jakoη CL = maxy (η te)F k , (5.67)kde η te je turbulentní vazkost na odtokové hraně a F k je Klebanoffova intermitentní funkcedaná rovnicí (5.21), do které se tloušťka úplavu odhadne jakoδ = min(y max /C k ,2δ W ), (5.68)δ W je tloušťka mezní vrstvy v úplavu, t.j. vzdálenost mezi osou úplavu a bodem v úplavu,.kde vířivost nabývá maximální hodnoty. Většinou platí δ = 2δ W . Osa úplavu je určena jakoplocha, kde je rychlost minimální a entropická funkce dosahuje svého maxima.

5.5. Závěr 71Pro výpočet η t v blízkosti úplavu se použije vzorecη t = η CL + (η te − η CL ) exp −x20δ te, (5.69)kde η CL je vazkost vypočtená vzorcem (5.67), η te je hodnota vazkosti na odtokové hraně z B-Lmodelu, x je v tomto případě vzdálenost od odtokové hrany a δ te je tloušťka mezní vrstvy naodtokové hraně.Turbulentní vazkost v 3D případu s vlivem několika stěn je určena jako průměr turbulentníchvazkostí s vlivem pouze jedné stěny, vážený vzdáleností od jednotlivých stěn.5.5 ZávěrUvedené modely jsou použitelné pro turbulentní proudění bez odtržení, kdy nedocházík prudkým změnám okrajových podmínek. Nevýhodou těchto modelů je nutnost splněnípodmínky místní rovnováhy, která zanedbává vliv historie na vývoj proudění ve smykovévrstvě.V roce 1986 porovnal Coakley [40] algebraický C-S model, B-L model, J-K model se třemirůznými alternativami dvouparametrického k-ε modelu. Jako testovací případ bylo zvolenoobtékání profilu RAE 2822 při různých režimech. Ukázalo se, že pro přilehlé podkritické prouděníjsou rozdíly mezi modely velmi malé, ale zvětšují se při nadkritickém režimu v blízkostirázové vlny. Nejlepší shodu s experimentem, zejména při proudění s odtržením, dává J-Kmodel.Pro výpočet proudu uvažující odtržení a určitou aproximaci přechodu do turbulence jemožné použít modifikaci B-L modelu navrženou Yershovem a Rusanovem. Snadnost numerickérealizace je srovnatelná s řešením laminárního proudění.Na závěr bych chtěl upozornit na práci Dolejší, Feistauer, Felcman [42], ve které je popsánokonkrétní požití modelu Cebeciho a Smithe, Baldwina a Lomaxe na nestrukturované síti. Jsouzde srovnány výsledky na turbínové mříži SE1050. V této práci jsou také další odkazy naliteraturu týkající se implementace algebraických modelů turbulence na nestrukturovanýchsítích.

72 KAPITOLA 5. ALGEBRAICKÉ MODELY TURBULENCE

ZávěrNedílnou součástí této diplomové práce je vyvinutí a naprogramování numerických metod.Tyto metody ukazují na mnoho důležitých vlastností. Jsou to zejména:• Metoda prvního řádu dosahuje menších maxim Machova čísla a vyhlazuje řešení. Použitíadaptace na metodu prvního řádu nezmění celkový charakter řešení, ale zaostřízachycení rázových vln.• Upwind metoda vyššího řádu lépe vystihne oblasti s vyšším gradientem a správně zachytísílu rázových vln. Pro dosažení velikosti maxima Machova čísla před rázovou vlnou,jak tomu bývá u centrálních schémat, je třeba použít adaptace. Výhodou popsanéhoschématu je TVD vlastnost, která zabraňuje oscilacím řešení zejména v blízkosti rázovýchvln a neobsahuje konstanty závislé na konkrétním počítaném případě. Výhodounavržené implementace MUSCL interpolace je její kompaktní support, takže docházík menšímu vyhlazení řešení.• Popsaná metoda pro výpočet vazkého proudění je schopná zachytit velký rozsah Reynoldsovýchčísel.Vyvinuté metody se ukazují jako vhodné pro výpočet transsonického proudění, což byloověřeno pro případ lopatkových mříží. Výhodou je možnost použití nestrukturované sítě. Toje výhodné při výpočtu na oblastech se složitou geometrií a dále je možné použít adaptaci naoblastech, které původní síť nedostatečně vystihla.Vyvinuté numerické metody byly použité pro výpočet radiální turbínové statorové mříže.Řešení nebylo možné nalézt v dostupné literatuře ani nebyla k dispozici žádná experimentálnídata. Získané výsledky potvrzené nezávislými metodami byly podkladem pro zlepšeníúčinnosti vyráběného lopatkového stroje.Pro další vývoj navrhuji:• pro dvojrozměrné metody:– u vazkého výpočtu použít model turbulence– vyvinout pokročilejší algoritmy adaptace– dosáhnout zrychlení výpočtu paralelní implementací programu a/nebo implicitnímetodou výpočtu• pro trojrozměrnou metodu:– vyvinout metodu vyššího řádu– použít plně nestrukturovanou síť73

74 ZÁVĚR– vyvinout algoritmy adaptace– vyvinout vazkou metodu s modelem turbulence

PřílohaANěkteré používané matematické vztahyVěta 1 (Greenova věta) Nechť ¯Ω je omezená uzavřená oblast v rovině s hranicí kladněorientovanou vzhledem k Ω. Nechť její hranici tvoří konečná jednoduchá po částech hladkáuzavřených křivka k. NechťP (x,y),Q(x,y),∂P∂y (x,y),∂Q∂x (x,y)jsou spojité v ¯Ω. Pak∮∫∫(P dx + Q dy) =kΩ( )∂Q ∂P(x,y) −∂x ∂y (x,y)dx dy. (5.70)aPomocí této věty a věty o střední hodnotě se přímo dají vypočítat derivace∂Q∂x = 1 ∫∫∮∂Q1dx dy = Q dy = 1 ∑¯Q i ∆y i (5.71)µ(Ω) Ω ∂x µ(Ω) ∂Ω µ(Ω)i∂P∂y = 1 ∫∫∂Pµ(Ω) Ω ∂y∮1dx dy = − P dx = − 1 ∑¯P i ∆x i , (5.72)µ(Ω) ∂Ω µ(Ω)ikde ¯P resp. ¯Q znamená střední hodnotu.Věta 2 (Gaussova-Ostrogradského) Nechť funkceP (x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z), a , ∂P∂y ,∂Q∂x ,∂R∂zjsou spojité v uzavřené oblasti ¯V , jehož hranici tvoří jednoduchá, konečná, po částech hladkáplocha s orientovanou hranicí S. Nechť vnější normála n má směr vně oblasti. Pak∫∫∫ ( ∂P∂y + ∂Q∂x + ∂R )∫∫dx dy dz = (P dy dz + Q dz dx + R dx dy) (5.73)∂znebo∫∫∫VV( ∂P∂y + ∂Q∂x + ∂R )∂z∫∫dx dy dz =SS75(P ∂x∂n + Q ∂y∂n + R ∂x∂n) dS. (5.74)

76 PŘÍLOHABSrovnání rychlostí některých počítačůV následující tabulce je srovnání doby potřebné pro vypočtení 10 000 iterací metodouprvního řádu na čtyřúhelníkové síti 90x30 elementů GAMM kanálu, jak je popsána v kapitole2.4. Je použit vždy pouze jeden procesor. Program byl napsán ve Fortranu 90 ve dvojitépřesnosti a přeložen s nejvyšší možnou optimalizací.Jméno CPU f Operační RAM čas[MHz] systém [MB] [s]rusalka.it.cas.cz Alpha ? Digital UNIX 2048 119.7remus.it.cas.cz Alpha ? Digital UNIX 1024 136.3gin.fsid.cvut.cz RS12000 300 IRIX 6.5 3072 161.8spe110.civ.cvut.cz Power3 64b 200 AIX 4.3.2 1024 200.3olda.fsik.cvut.cz HP-PA 9000/782 ? HP-UX 10.20 750 468.2kid.fsik.cvut.cz Pentium III 450 Linux 265 648.7petanque.fsik.cvut.cz Pentium II 400 Linux 256 840.4spe101.civ.cvut.cz Power3 32b 332 AIX 4.3.2 1024 1000.8hal.ruk.cuni.cz MIPS R10000 195 IRIX 6.4 2048 1081obelix.ruk.cuni.cz Alpha 21064 190 Digital UNIX 256 1950lenochod.fsik.cvut.cz Pentium 200 Linux 64 2205Z tohoto srovnání není možno obecně usoudit na rychlost jednotlivých procesorů, protožeje silně závislá na určité úloze, ale je možné si udělat představu o rychlosti, jakou budepracovat podobný program na různých počítačích.

Literatura[1] Cyrus V., Fořt J.: Příspěvek k návrhu osového kompresoru pro energetické účely.Vnitřní aerodynamika lopatkových strojů. A.S.I. 3. seminář. 1999[2] Dobeš J., Fořt J., Fürst J., Halama J., Kozel K.: Comparsion of Several NumericalMethods for Internal Transsonic Flow Problems. GAMM 2000. Göttingen.[3] Dobeš J., Fořt J., Fürst J., Halama J., Kozel K.: Numerical Solution of 3DFlow Fields Utilized for Problems of Flow Through Transonic Stages. First InternationalConference on CFD. Kyoto 2000.[4] Dobeš J., Fořt J., Fürst J., Halama J., Kozel K.: Computations of Transonic FlowThrough Axial and Radial Cascades. NMICM 2000. MFF UK. Praha 2000. V tisku.[5] Fořt J., Fürst J., Halama J., Kozel K.: Numerické řešení 3D turbínové mříže II.Zpráva č. 201-97-127. Vnitřní zpráva U201 FSI ČVUT. 1997[6] Šťastný M., Šafařík P.: Experimental Analysis Data on the Transsonic Flow Pastthe Plain Turbine Cascade. ASME Paper No. 90-GT-313. New York 1990.[7] Dvořák R., Kozel K.: Matematické modelování v aerodynamice. ČVUT, Praha. 1996.ISBN 80-01-01541-6[8] Feistauer M., Dolejší V, Felcman J, Kliková A: Adaptive Mesh Refinement forProblems of Fluid Dynamics. Colloquium Fluid Dynamic ’99. Institute of ThermomechanicsAS CR. Praha 1999. ISBN-80-85918-52-8[9] Fürst J., Horák J., Kozel K., Vaněk D.: Central and Upwind TVD Schemes Appliedin Internal Aerodynamics of Transsonic Internal Flows. Topical Problems of FluidDynamic ’99. Institute of Thermomechanics AS CR. Praha 1999. ISBN-8085918-47-1[10] Fürst J.: Numerické řešení transsonického proudění užitím moderních schémat metodykonečných objemů a konečných diferencí. Disertační práce. FSI ČVUT, Praha. 2000.Připraveno k tisku[11] Harten A., Hyman J. M.: Self Adjusting Grid Methods for One-dimensional HyperbolicConservation Laws. J. COMPUT. PHYS., 50:235–269, 1983. Odkaz z [14].[12] Horák J.: Užití TVD schémat typu upwind k řešení Euleroých a Navier-Stokesovýchrovnic. Diplomová práce FJFI ČVUT. Praha 1996.[13] Steinert W., Eisenberg B., Starken H.: Design and Testing of a Controlled DisusionAirfiol Cascade for Industrial Axial Flow Compressor Aplication. ASME 90-GT-140 199077

78 LITERATURA[14] Toro E. F.: Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics. Springer NY1997. ISBN 3-540-61676-4[15] Le Veque R. J. Numerical Methods for Conresvation Laws. Basel; Boston; Berlin.Birkhäuser 1990. ISBN 3-7643-2464-3[16] Weatherill N. P.: Computational Fluid Dynamics. Mesh Generation in CFD. VonKarman Institute for Fluid Dynamic: Lecture series 1989–04. 1989[17] Weatherill N. P., Hassan O., Marcum D. L., Marchant M.J.: Grid Generation.Grid Generation by the Delaunay triangulation. Von Karman Institute for Fluid Dynamic:Lecture series 1994–02. 1994[18] Roe, P. L.: Approximate Riemann Solvers, Parameter Vectors, and Difference Schemes.J. Comput. Phys., 43:357–372, 1981. Odkaz z [14].Literatura ke kapitole 5[19] Reynolds O.: On the Dynamic Theory of Incompressible Viscous Flow and the Determinationof the Criterion. Phil. Trans. of Royal Soc. London, Ser.A, Vol. 186, 1874.123–161 (Odkaz z [23])[20] Favre A.: Équations des gaz turbulents compressibles. Jour. de Mécanique, Vol. 4, 1965,No. 3, 361–390, No. 4, 391-421 (Odkaz z [23])[21] Cebeci T., Stewartson K., Whitelaw J. H.: The Calculation of Two-DimensionalFlow Past Airfoils. Numerical and Physical Aspect of Aerodynamic Flows II. (ed. CebeciT.), Springer, Berlin 1983, l – 40 (Odkaz z [23])[22] Cebeci T., Smith A. M. O.: Analysis of Turbulent Boundary Layers. Academic Press,New York. 1974 (Odkaz z [23])[23] Příhoda J.: Algebraické modely turbulence a jejich použití při řešení středovanýchNavier-Stokesových rovnic. Zpráva číslo Z–1153/90. ÚT ČSAV, Praha. 1990[24] Příhoda J.: Popis modelů turbulence s turbulentní vazkostí pro dvourozměrné proudněnístlačitelné tekutiny. Zpráva číslo Z–1177/91. ÚT ČSAV, Praha. 1991[25] Morkovin M.V.: Effects of Compressibility on Turbulent Flows. in: Mécanique de laturbulence (ed. Favre A.). Paris 1962, 367–380. (Odkaz z [23])[26] Boussinesq J.: Theórie de l’ écoulement tourbillant. Mem. Press. Acad. Sci. Paris. Vol23, 46, 1877. (Odkaz z [23])[27] Rostand P.: Algebraic Turbulence Models for Computation of the Two-DimensionalHigh Speed Flows Using Unstuctured Grids. NASA CR-181741. 1988 (Odkaz z [23])[28] Baldwin B., Lomax H.: Thin Layer Approximation and Algebraic Model for SeparatedTurbulent Flows. AIAA Paper 78-257. 1978 (Odkaz z [23])

LITERATURA 79[29] Johnson D. A., King L. S.: A Mathematically Simple Turbulence Closure Model forAttached and Separated Turbulent Boundary Layers. AIAA Jour. 23, 11, 1985, 1684–1692 (Odkaz z [23])[30] Scholtysik M.: On the Solution of Reduced Form of Navier-Stokes Equations (PNS)for Internal Incompressible Flows. Swiss federal inst. of technology, Zurich. 1996.[31] Hung C. M., Mac Cormack R. W.: Numerical Solution of Three-Dimensional ShockWave and Boundary-Layer Interaction. AIAA., vol. 16, pp. 1090–1096. 1979.[32] Müller B.: Navier-Stokes Simulation of Subsonic Turbulent Flow Through a WindTunnel Test Section. Computational Fluid Dynamics ’94. J. Wiley & Sons Ltd. 1994. pp.857–863[33] Hung C. M., Buning P. G.: Simulation of Blunt-Fin-Inducted Shock-Wave and TurbulentBoundary-Layer Interaction. J. Fluid Mech. 1985, vol. 154, pp. 163–185.[34] Yershov S. V., Rusanov A. S.: Modification of Algebraic Turbulence Model Used inCode FlowER, in Modeling Turbulence in Technical Applications, Copybooks of instituteof fluid-flow machinery, Gdansk, Poland, 486. 1997 (odkaz z [35].)[35] Yershov S. V., Rusanov A. S., Gardzilewicz A., Lampart P.Numerical Simulation of 3D Flow in Axial Turbomachines. 1998Świrydczuk J.:[36] Kinsey D. W., Easter F. E.: Navier-Stokes Solution for Thick Supercritical Airfoilwith Strong Shocks and Massively Separated Flow. AAIA Paper No. 0706 (1988) (Odkazz [35])[37] van Driest E. R.: On Turbulent Flow Near a Wall. Jour. Aero. Sci. Vol. 23, 1956,1007–1011. (Odkaz z [23]).[38] Goldberg M. C.: Separated Flow Treatment with a New Turbulence Model. AAIAJour. 24, 10, 1986. 1711–1713[39] Weisshaar E., Reister H.: Test und Vergleich von Turbulenzmodellen für dieGrenzschicht- und Navier-Stokes-Gleichungen. Interner Bericht 221–84 A 12, DFVLR–AVA, Göttingen. 1984 (Odkaz z [32]).[40] Coakley T. J.: Impact of Turbulence Modelling on Numerical Accuracy and Efficiencyof Compressible Flow Simulations. Proc. Int. Conf. on Numerical Methods in FluidDynamic (e.d. Zhuang. F. G., Zhu Y. L.), Springer Berlin, 1986, 186–191[41] Cebeci T.: Calculation of Compressible Turbulent Boundary Layers with Heat and MassTransfer. AIAA J. 9, 6, 1971. 1091–1097 (Odkaz z [23]).[42] Dolejší V., Feistauer M., Felcman J.: Algebraic Turbulence Models for UnstructuredMeshes. Institute of Numerical Mathematics, Fac. of Math. and Phys. Charles UniversityPraha. http://www.karlin.mff.cuni.cz/~dolejsi/articles/turb.ps.gz