UPRAVLJANJE PROJEKTIMA – deo I - MASINAC.org

UPRAVLJANJE PROJEKTIMA – deo IJedan od najizazovnijih zadataka (poslova) koji se postavlja pred menadžera jevođenje (upravljanje) projekata velikih razmera koji zahtevaju koordinaciju brojnihaktivnosti u toku njihove realizacije. Prilikom planiranja koordinacije postojećihaktivnosti, veliki broj detalja je potrebno uzeti u obzir kako pri formiranjuizvodljivog redosleda aktivnosti, tako i pri kontroli napretka izvršenja projekta.Kao pomoć menadžerima, pri rešavanju ovih problema dostupne su dve veomabliske tehnike operacionih istraživanja, PERT (Program Evaluation and ReviewTechnique) i CPM (Critical Path Method). Ove tehnike koriste mrežne dijagramepri planiranju, koordinaciji i određivanju međuzavisnosti aktivnosti projekta.Takođe one koriste i programske pakete za obradu svih potrebnih podataka vezanihza određivanje rasporeda aktivnosti i dalje za praćenje napretka u izvršavanjuprojekta. Među programskim paketima za upravljanje projektima, u upotrebi jenajviše rasprostranjen MS Project. *1PERT i CPM se mogu koristiti za praćenje realizacije različitih vrsta projekata i to:*21. Projektovanje i izgradnja nove fabrike,2. Projektovanje i razvoj novog proizvoda,3. Istraživački projekti svemirskih agencija (NASA),4. Produkcija filmova,5. Izgradnja broda,6. Projekti razvoj novih sistema naoružanja,7. Premeštanje velikih postrojenja,8. Održavanje nuklearnog reaktora,9. Instalacija i implementacija upravljačkog informacionog sistema,10. Vođenje reklamnih kampanja.Metode (tehnike) PERT i CPM su nezavisno jedna od druge razvijene krajem 50-tih godina prošlog veka, i od tada spadaju u red najšire korišćenih tehnikaoperacionih istraživanja.Originalne verzije PERT i CPM su se u nekim stvarima značajno razlikovale ali sutakođe imale dosta toga zajedničkog. Ove dve tehnike su se postepeno sjediniletokom proteklih godina. U stvari, današnji programski paketi često sadrže svevažne opcije i jedne i druge originalne verzije.Prema tome, u praksi se danas obično ova dva imena koriste naizmenično, ili sekombinuju u jedan akronim PERT/CPM. U narednom tekstu razlike između ovedve tehnike će biti naglašene samo u slučajevima kada se opisuju opcijekarakteristične samo za jednu od originalnih verzija (PERT ili CPM).VII-1

Radni primerPreduzeće Construction Co. je pobedilo na tenderu vrednom 5,4 miliona NJ zaizgradnju nove fabrike. Investitor očekuje da fabrika bude izgrađena odnosnospremna za rad u roku od godinu dana. U skladu sa tim ugovor sadrži sledećeklauzule vezane za bonuse odnosno penale:• Ako se fabrika izgradi i preda investitoru u roku od 40 nedelja preduzećeConstruction Co. će zaraditi bonus u iznosu od 150.000 NJ.• Ukoliko se fabrika ne završi u roku od 47 nedelja preduzeće ConstructionCo. je u obavezi da investitoru plati penale u iznosu od 300.000 NJ zbogkašnjenja radova.Preduzeće Construction Co. je za rukovodioca projekta odredilo svog najboljeggrađevinskog inženjera (menadžera), da bi osigurali završetak projekata izgradnjefabrike u predviđenom roku pa ako je moguće i nekoliko nedelja ranije. Pošto jezajednička ocena rukovodstva preduzeća Construction Co. i rukovodioca projektada je malo verovatno da se projekat izgradnje fabrike može završiti u roku of 40nedelja bez dodatnih troškova, odlučeno je da se inicijalna planiranja usmere naostvarivanje zadatog roka od 47 nedelja.Rukovodilac projekta treba da uskladi veliki broj različitih građevinskih aktivnostikoje izvode različite ekipe izvođača, u toku izgradnje fabrike. U tabeli VII-1prikazane su aktivnosti koje treba izvršiti pri izgradnji fabrike. U trećoj kolonitabele date su važne dodatne informacije vezane za raspored i koordinacijuizvođačkih ekipa.Važno: Za svaku datu aktivnost, njene neposredno prethodne aktivnosti (date utrećoj koloni tabele VII-1) su one aktivnosti koje moraju da budu završene prepočetka izvršavanja date aktivnosti. Slično, data aktivnost neposredno sledi svakusvoju neposredno prethodnu aktivnost. *3Npr. značenje prva tri polja u trećoj koloni je sledeće:1. Zemljani iskop ne treba da čeka ni na jednu drugu aktivnost.2. Zemljani iskop mora biti završen pre nego što se počne sa polaganjem temelja.3. Temelj mora biti u potpunosti postavljen pre nego što se počne sa grubimgrađevinskim radovima, itd.Kada datoj aktivnosti neposredno prethodi više od jedne aktivnosti, tada sveneposredno prethodne aktivnosti moraju biti završene pre početka date aktivnosti.VII-2

Tabela VII-1. Lista aktivnosti za Construction Co. projekat.Aktivnost Opis aktivnostiNeposrednoProcenjenoprethodnatrajanjeaktivnostA Zemljani iskop ÷ 2 nedeljeB Polaganje temelja A 4 nedeljeC Grubi građevinski radovi (zidanje) B 10 nedeljaD Postavljanje krova C 6 nedeljaE Postavljanje spoljašnjih vodovodnih cevi C 4 nedeljeF Postavljanje unutrašnjih vodovodnih cevi E 5 nedeljaG Postavljanje (spoljašnje) fasade D 7 nedeljaH Bojenje spoljašnje fasade E, G 9 nedeljaI Postavljanje električnih instalacija C 7 nedeljaJ Postavljanje drvenih oplata na zidove F, I 8 nedeljaK Postavljanje podova J 4 nedeljeL Krečenje (unutrašnje) J 5 nedeljaM Postavljanje spoljašnjih uređaja H 2 nedeljeN Postavljanje unutrašnjih uređaja K, L 6 nedeljaU cilju određivanja rasporeda (redosleda) aktivnosti na projektu, rukovodilacprojekta treba da se konsultuje sa nadzornikom (predradnikom) svake odangažovanih ekipa da bi se procenilo potrebno vreme trajanja svake aktivnostikada se ona izvodi na uobičajen način (definisan građevinskim normama). Ovaočekivana vremena su prikazana u poslednjoj (desnoj) koloni tabele VII-1.Prostim sabiranjem vremena trajanja svih aktivnosti dobija se zbir od 79 nedelja,što uveliko prelazi krajnji rok završetka projekta. Srećom, neke od aktivnosti moguda se izvode paralelno što značajno redukuje vreme potrebno za završetak projekta.Imajući u vidu sve informacije date u tabeli VII-1, rukovodilac projekta sa svojimtimom, treba da da odgovore na sledeća pitanja: *41. Na koji način grafički prikazati aktivnosti projekta da bi se što bolje sagledaonjihov redosled i međuzavisnost?2. Koje je ukupno vreme potrebno za završetak projekta, ako se ne dogodeneplanirana kašnjenja?3. Kada pojedine aktivnosti treba da počnu i da se završe (najkasnije) da bi seprojekat završio u planiranom roku.4. Kada pojedine aktivnosti mogu da počnu i da se završe (najranije), ako se nedogode neplanirana kašnjenja?5. Koje aktivnosti predstavljaju uska grla, kod kojih se moraju izbeći bilo kojakašnjenja u izvršenju da bi se izbeglo kašnjenje završetka projekta?6. Za ostale aktivnosti, koliko maksimalno kašnjenje se može tolerisati bezkašnjenja završetka projekta?VII-3

7. Uvođenjem neizvesnosti u procenu vremena trajanja aktivnosti, kolika jeverovatnoća završetka projekta na vreme (do krajnjeg roka)?8. Ako se ulažu dodatna sredstva u cilju ubrzanja izvršenja projekta, koji jenajjeftiniji način da se dostigne ciljano vreme završetka projekta od 40nedelja?9. Na koji način se tekući troškovi mogu pratiti u cilju održavanja troškovaprojekta u okviru budžeta?Neophodnu pomoć pri traženju odgovora na ova postavljena pitanja, od značaja zadobro izvršenje projekta, daje upravo tehnika (metod) PERT/CPM.Korišćenje mrežnih dijagrama za vizuelni prikaz izvršenja projektaMrežni dijagrami imaju nezamenjivu ulogu vezanu za upravljanje projektima. Oniomogućavaju vizuelni prikaz međuzavisnosti aktivnosti, potreban za analizuprojekta i traženje odgovora na razna nastala pitanja.Mrežni dijagram projektaMrežni prikaz redosleda i međuzavisnosti aktivnosti na projektu naziva se mrežnidijagram projekta. *5Mrežni dijagram projekta se sastoji od određenog broja čvorišta (obično prikazanihpomoću malih krugova ili pravougaonika) i odgovarajućeg broja lukova (običnoprikazanih pomoću strelica) koje povezuju čvorišta. *6Kao što se može videti iz tabele VII-1, tri vrste informacija su potrebne da bi seopisao projekat. *71. Informacije o aktivnostima tj. raščlanjivanje projekta na pojedinačne aktivnosti(sa željenim nivoom detaljnosti).2. Međuzavisnost aktivnosti tj. identifikacija neposredno prethodnih aktivnosti zasvaku od aktivnosti.3. Informacija o vremenu trajanja aktivnosti tj. procena vrednosti trajanja svakeod aktivnosti.Mrežni dijagram projekta treba da pruži sve tri vrste informacija o projektu koji seanalizira. Dve različite vrste mrežnih dijagrama omogućuju potreban prikazprojekta. *8Prva vrsta je tzv. mrežni dijagram orijentisan lukovima (activity-on-arc –AOA),gde je svaka aktivnost prikazana lukom. U ovom slučaju čvorišta predstavljajudogađaje i koriste se da razdvoje posmatranu aktivnost od njenih neposrednoVII-4

prethodnih aktivnosti. Na ovaj način redosled lukova prikazuje međuzavisnostizmeđu pojedinih aktivnosti. *9Druga vrsta je tzv. mrežni dijagram orijentisan čvorištima (activity-on-node –AON) gde je svaka aktivnost prikazana čvorištem. Lukovi se u ovom slučajukoriste samo za prikazivanje međuzavisnosti aktivnosti, tj. u čvorište svakeaktivnosti koja ima neposredno prethodne aktivnosti ulaze lukovi iz svakeneposredno prethodne aktivnosti. *10Originalne verzije PERT i CPM su, u početku, koristile mrežne dijagrameorijentisane lukovima. Međutim, mrežni dijagrami orijentisani čvorištima imajuneke značajne prednosti u odnosu na mrežne dijagrame orijentisane lukovima, pripružanju iste vrste informacija, kao što su: *111. Mrežni dijagrami orijentisani čvorištima se daleko lakše konstruišu negomrežni dijagrami orijentisani lukovima.2. Mrežni dijagrami orijentisani čvorištima su lakši za razumevanje za neiskusnekorisnike (uključujući mnoge menadžere) od mrežnih dijagrama orijentisanihlukovima.3. Mrežne dijagrame orijentisane čvorištima je lakše menjati (ispravljati) uslučaju promena u projektu nego mrežne dijagrame orijentisane lukovima.Iz ovih razloga, mrežni dijagrami orijentisani čvorištima su postali veomapopularni u praksi kod iskusnih korisnika koji se bave upravljanjem projektima. Unarednom tekstu biće razmatrani samo mrežni dijagrami orijentisani čvorištima.Slika VII-1 prikazuje mrežni dijagram za projekat preduzeća Construction Co. Uskladu sa trećom kolonom u tabeli VII-1, na slici VII-1 prikazani su lukovi kojivode u svaku aktivnost (čvorište) iz svake od neposredno prethodnih aktivnosti.Pošto aktivnost A nema neposredno prethodnu aktivnost, uvodi se luk koji spajapočetno čvorište (START) i datu aktivnost. Slično, pošto aktivnosti M i N nemajuaktivnosti koje neposredno slede iza njih, uvode se lukovi koji iz tih aktivnostivode u završno čvorište (KRAJ). Prema tome, mrežni dijagram na pregledan načinprikazuje redosled i međuzavisnosti između aktivnosti (uključujući start i krajprojekta). Na osnovu poslednje (desne) kolone u tabeli VII-1, broj sa desne stranesvake aktivnosti (čvorišta) predstavlja procenjeno vreme trajanja (u nedeljama)date aktivnosti.U stvarnosti, za konstruisanje mrežnih dijagrama projekta obično se koriste neki odpostojećih softverskih paketa. U narednom tekstu biće prikazano kako seprimenom programa MS Project konstruiše mrežni dijagram projekta preduzećaConstruction Co.VII-5

Slika VII-1. Mrežni dijagram projekata preduzeća Construction Co.Primena Microsoft Project - aPrvi korak u primeni Microsoft Project-a (kraće MS Project) je unošenjeodgovarajućih informacija iz liste aktivnosti (tabela VII-1). Da bi se to uradilopotrebno je sa horizontalnog menija izabrati opciju View i sa padajućeg menijaizabrati opciju Table. Iz otvorenog pod-menija, izabrati opciju Entry da bi sepozvala prazna tabela u koju je potrebno uneti informacije. Izgled tabele, zaprojekat Construction Co. je prikazan na slici VII-2. Kao što je prikazano na sliciulazni podaci koje je potrebno uneti su: nazivi aktivnosti (Task names), trajanjesvake od aktivnosti (Duration), početak (Start) i kraj (Finish) svake od aktivnostikao i neposredno prethodne aktivnosti za svaku od aktivnosti (Predecessors).Nakon unosa ovih informacija program (MS Project) će automatski prikazatidijagram (sa desne strane) koji predstavlja plan izvršenja projekta.Podrazumevano vreme trajanja aktivnosti, u MS Project-u je u danima. Da bi seova opcija promenila potrebno je izabrati opciju Tools sa horizontalnog menija, pazatim Options sa padajućeg menija i konačno u opciji Schedule promeniti“Duration is entered in”.VII-6

Slika VII-2. Izgled tabele MS Project-a nakon unesenih aktivnosti za projekatConstruction Co. Sa desne strane je Gantt-ova karta koja prikazuje plan izvršenjaprojekta.Usvojeni standardni format datuma je tzv. kalendarski prikaz datuma (npr. 1/2/01).Prikaz datuma se može promeniti ako se izabere opcija Tools sa horizontalnogmenija, pa zatim Options sa padajućeg menija i konačno u opciji View potrebno jepromeniti “Date Format”. Za konkretan slučaj izabrano je da se vreme broji od 0.Prema tome, početno vreme prve aktivnosti je dato kao W1/1, što predstavljaskraćenicu za Nedelja 1 (Week), dan 1 (day). Npr., kako je trajanje prve aktivnosti(Zemljani iskop) 2 nedelje, njeno vreme završetka je dato kao W2/5 (Nedelja 2,dan 5).Dijagram sa desne strane (slika VII-2) predstavlja tzv. Gantt-ovu kartu iliGantogram. Ova vrsta dijagrama se veoma često primenjuje u praksi zaprikazivanje plan izvršenja projekta, pošto se na pregledan način prikazujuplanirani početci odnosno završetci pojedinih aktivnosti. (Na slici VII-2 sepretpostavlja da se početak projekta poklapa sa početkom kalendarske godine.)Strelice pokazuju međuzavisnost između pojedinih aktivnosti. Npr. pošto obeaktivnosti 5 i 7 neposredno prethode aktivnosti 8, strelice iz obe aktivnosti (5 i 7)vode do aktivnosti 8.Ulazna tabela projekta (slika VII-2) se uvek može prikazati izborom opcije Table:Entry sa padajućeg menija View.Izbor između različitih prikaza toka izvršenja projekta se vrši jednostavno pomoćumenija koji se nalazi sa leve strane ekrana (slika VII-2). Usvojeni standardni načinprikazivanja, u MS Project-u, je Gantt-ova karta. Opcija PERT chart prikazujemrežni dijagram projekta. Izborom ove opcije, aktivnosti se u početku poređaju ured jedna ispod druge, ali je pomoću miša moguće, pravougaonike kojipredstavljaju aktivnosti, po želji pomerati. Slika VII-3 prikazuje mrežni dijagramprojekta nakon što su pravougaonici, koji predstavljaju aktivnosti, raspoređeni naVII-7

ista mesta kao odgovarajuća čvorišta na slici VII-1 (osim što ne postojepravougaonici za početak odnosno završetak projekta). Unutar pravougaonika kojipredstavlja aktivnost nalaze sve potrebne informacije vezane za datu aktivnost.Imena aktivnosti se prikazuju u prvome redu, dok se u drugom redu prikazuje brojdate aktivnosti kao i njeno trajanje. Poslednji, treći red prikazuje planirani početakodnosno završetak date aktivnosti.Slika VII-3. Mrežni dijagram projekta Construction Co., prikazan koristeći MSProject.Planirane projekta korišćenjem PERT/CPM metodeRukovodilac projekta Construction Co. je odlučio da koristi PERT/CPM metod,odnosno MS Project, da bi dobio odgovore na postavljena pitanja. Primenommetode PERT/CPM mogu se dobiti odgovori na sledećih pet pitanja (pitanja 2 do6):2. Koje je ukupno vreme potrebno za završetak projekta, ako se ne dogodeneplanirana kašnjenja?3. Kada pojedine aktivnosti treba da počnu i da se završe (najkasnije) da bi seprojekat završio u planiranom roku.VII-8

4. Kada pojedine aktivnosti mogu da počnu i da se završe (najranije), ako se nedogode neplanirana kašnjenja?5. Koje aktivnosti predstavljaju uska grla, kod kojih se moraju izbeći bilo kojakašnjenja u izvršenju da bi se izbeglo kašnjenje završetka projekta?6. Za ostale aktivnosti, koliko maksimalno kašnjenje se može tolerisati bezkašnjenja završetka projekta?Mrežni dijagram projekta, prikazan na slici VII-1 omogućuje dobijanje odgovorana postavljenja pitanja dajući dve ključne informacije i to: redosled prema kom sepojedine aktivnosti moraju odigrati i (procenjeno) vreme trajanja svake odaktivnosti. Prvo će biti dati odgovori na pitanja 2 i 5.Kritični putKoje je vreme potrebno za realizaciju projekta? Kao što je u prethodnom teksturečeno suma trajanja svih aktivnosti iznosi 79 nedelja. Međutim, to nije odgovor napostavljeno pitanje jer se neke od aktivnosti mogu izvoditi uporedo. Umestoprostog zbira vremena trajanja svih aktivnosti, za određivanje potrebnog vremenaza realizaciju projekta, merodavna je dužina bilo koje putanje u mrežnomdijagramu.Putanja kroz mrežni dijagram je jedan od mogućih puteva koji se dobija pratećilukove (strelice) od početnog čvorišta (START) do krajnjeg čvorišta (KRAJ). *12Dužina putanje predstavlja zbir (procenjenih) vremena trajanja aktivnosti koje senalaze na putanji. *13Za mrežni dijagram, prikazan na slici VII-1, postoji šest različitih putanja čije sudužine trajanja prikazane u tabeli VII-2. Dužina putanja je u intervalu od 31nedelje pa do 44 nedelje, što predstavlja najdužu putanju.Između ovih šest mogućih putanja potrebno je izabrati onu koja će dati(procenjeno) vreme potrebno za realizaciju projekta.Pošto se aktivnosti na svakoj od mogućih putanja moraju izvršavati jedna iza drugebez preklapanja, vreme potrebno za realizaciju projekta ne može biti kraće oddužine date putanje. Međutim, vreme potrebno za realizaciju projekta može čakbiti i duže zato što neke od aktivnosti na putanji, sa više neposredno prethodnihaktivnosti, treba da čekaju završetak neposredno prethodnih aktivnosti koje su naputanji kao i onih neposredno prethodnih aktivnosti koje nisu na putanji. Kaoilustracija prethodne tvrdnje razmotriće se druga putanja u tabeli VII-2 i aktivnostH koja se nalazi na njoj. Ova aktivnost ima dve neposredno prethodne aktivnosti,jednu (aktivnost G) koja nije na razmatranoj putanji i drugu (aktivnost E) koja senalazi na razmatranoj putanji. Pošto se završi aktivnost C, samo 4 nedelje jeVII-9

potrebno za aktivnost E, dok je 13 nedelja potrebno za završetak aktivnosti D i G.Prema tome, vreme potrebno za realizaciju projekta mora biti značajno duže negošto je dužina druge putanje u tabeli VII-2.Tabela VII-2. Putanje i njihove dužine za mrežni dijagram projekta Construction Co.Međutim, vreme potrebno za realizaciju projekta ne može biti duže od dužinejedne određene putanje. Ta putanja je najduža putanja u mrežnom dijagramu.Aktivnosti na toj putanji se mogu izvršavati jedna nakon druge bez prekida(ukoliko to nije slučaj data putanja nije najduža). Prema tome, najduže vremepotrebno da se dostigne čvorište KRAJ jednako je dužini ove putanje. Dalje, svekraće putanje će dostići čvorište KRAJ ne kasnije od ovog vremena.(Procenjeno) vreme potrebno za realizaciju projekta jednako je dužini najdužeputanje u mrežnom dijagramu. Ova najduža putanja se naziva kritičan put. (Ako umrežnom dijagramu postoji više putanja sa istim najdužim trajanjem, sve onepredstavljaju kritične puteve.) *14Prema tome, za projekat Construction Co. dobija se sledeće:Kritični put: START →A→B→C→E→F→J→L→N→ KRAJ(Procenjeno) vreme potrebno za realizaciju projekta = 44 nedelje.Na ovaj način odgovoreno je na pitanja 2 i 5. Ako se ne dogode kašnjenja, ukupnovreme potrebno za realizaciju projekta je približno 44 nedelje. Aktivnosti nakritičnom putu predstavljaju uska grla – kritične aktivnosti, što znači da sekašnjenje u izvršavanju datih aktivnosti mora izbeći da bi se sprečilo produženjevremena potrebnog za realizaciju projekta. Ovo predstavlja veoma važnuinformaciju za rukovodioca projekta, jer on mora da usmeri najveći deo svogangažovanja na kritične aktivnosti kako bi se one izvršavale na vreme u ciljurealizacije projekta u planiranom roku. Dalje, ako rukovodilac projekta odluči daskrati vreme realizacije projekta (bonus, ako se projekat završi za 40 nedelja),aktivnosti na kritičnom putu su one aktivnosti na kojima treba vršiti odgovarajućeizmene da bi se skratilo njihovo trajanje.Za male mrežne dijagrame, kao što je mrežni dijagram prikazan na slici VII-1,pronalaženje svih putanja i određivanje najduže od njih je pogodan način zaVII-10

identifikaciju kritičnog puta. Međutim, to ne predstavlja efikasnu proceduru zavelike projekte odnosno mrežne dijagrame. Metoda PERT/CPM umesto toga usebi sadrži daleko efikasniju proceduru za određivanje kritičnog puta.Metoda PERT/CPM, pored toga što na efikasan način određuje kritičan put kodvelikih projekata, pruža mnoštvo informacija potrebnih za planiranje i redosledaktivnosti kao i za vrednovanje nastalih posledica ukoliko se bilo koja odaktivnosti ne izvrši u planiranom roku.Planiranje redosleda izvršenja aktivnostiProcedura planiranja redosleda izvršenja aktivnosti, kod metode PERT/CPM,počinje postavljanjem četvrtog pitanja tj.: Kada pojedine aktivnosti mogu da počnui da se završe (najranije), ako se ne dogode neplanirana kašnjenja? Da se nedogode neplanirana kašnjenja znači sledeće: (1) stvarno trajanje svake odaktivnosti treba da bude jednako njenom procenjenom trajanju i (2) svakaaktivnost treba da počne odmah nakon što se sve njene neposredno prethodneaktivnosti završe. Vremena početka i završetka svake od aktivnosti, ako se nedogode kašnjenja pri realizaciji bilo kog dela projekta, nazivaju se vremenajranijeg početka odnosno vreme najranijeg završetka aktivnosti. Ovavremena se označavaju na sledeći način: *15NrP = vreme najranijeg početka za datu aktivnost,NrZ = vreme najranijeg završetka za datu aktivnost,gde je:NrZ = NrP + (procenjeno) vreme trajanja aktivnosti.Umesto da se izvršavanje pojedinih aktivnosti veže za datume, mnogo je pogodnijeračunati broj proteklih vremenskih perioda (u slučaju projekta Construction Co. tivremenski period su nedelje) od početka realizacije projekta.Prema tome,Vreme početka realizacije projekta = 0.Pošto projekat Construction Co. počinje sa aktivnošću A, to je:Aktivnost A: NrP = 0,NrZ = 0 + vreme trajanja (2 nedelje)= 2,gde je vreme trajanja (u nedeljama) aktivnosti A dato na slici VII-1 (broj sa desnestrane aktivnosti). Aktivnost B može da počne odmah po završetku aktivnosti A,što znači:VII-11

Aktivnost B: NrP = NrZ aktivnosti A= 2NrZ = 2 + vreme trajanja (4 nedelje)= 6.Izračunavanje NrP za aktivnost B ilustruje prvo pravilo za određivanje NrP bilokoje aktivnosti koja ima samo jednu neposredno prethodnu aktivnost.Ako aktivnost ima samo jedno neposredno prethodnu aktivnost, tada je NrP dateaktivnosti = NrZ neposredno prethodne aktivnosti.Slika VII-4. Vremena najranijeg početka (NrP) i vremena najranijeg završetka(NrZ) za koje imaju samo jednu neposredno prethodnu aktivnost.Neposrednom primenom ovog pravila (zajedno sa izračunavanjem NrZ) dobija seNrP i NrZ za aktivnost C, nakon toga za aktivnosti D, E, I i na kraju za aktivnostiG i F. Na slici VII-4 prikazani su NrP i NrZ za svaku od ovih aktivnosti, sa desnestrane odgovarajućeg čvorišta. Npr.:Aktivnost G: NrP = NrZ aktivnosti D= 22,VII-12

NrP = 22 + vreme trajanja (7 nedelja)= 29,što znači da bi aktivnost G (Postavljanje (spoljašnje) fasade) trebala da počne posle22 nedelje i završi se posle 29 nedelja od početka realizacije projekta.Aktivnost H ima dve neposredno prethodne aktivnosti, aktivnost G i E, što značida početak aktivnosti H mora da čeka dok se obe aktivnosti G i E ne završe. Vremenajranijeg početka aktivnosti H se određuje na sledeći način:Neposredno prethodne aktivnosti aktivnosti H:NrZ aktivnosti G = 29.NrZ aktivnosti E = 20.Veći NrZ = 29.Prema tome,NrP aktivnosti H = Veći NrZ= 29.Izračunavanje NrP za aktivnost H ilustruje uopšteno pravilo za određivanje NrPbilo koje aktivnosti.Pravilo određivanja vremena najranijeg početka aktivnosti*16Vreme najranijeg početka bilo koje aktivnosti je jednakonajvećem vremenu najranijeg završetaka njenih neposrednoprethodnih aktivnosti.NrP = Najveći NrZ neposredno prethodnih aktivnosti.U slučaju da aktivnost ima samo jednu neposredno prethodnu aktivnost, ovopravilo postaje isto kao i prvo pravilo formulisano nešto ranije. Za primenu ovogpravila broj neposredno prethodnih aktivnosti nije od značaja tj. može bitiproizvoljno velik. Primenom gornjeg pravila na ostale aktivnosti na slici VII-4,kompletira se skup vrednosti za vremena NrP i NrZ aktivnosti, kao što je toprikazano na slici VII-5.Na slici VII-5 su takođe prikazani NrP i NrZ za čvorišta START i KRAJ. Razlogzašto je to urađeno je to što se ova čvorišta tretiraju kao fiktivne aktivnosti tj.aktivnosti koje ne zahtevaju vreme (njihovo vreme trajanja je jednako nuli). Začvorište START očigledno je NrP=0=NrZ. Za čvorište KRAJ, koristi se praviloodređivanja najranijeg početka za određivanje NrP na uobičajen način tj.Neposredno prethodne aktivnosti čvorišta KRAJ - fiktivne aktivnosti KRAJ:NrZ aktivnosti M = 40.NrZ aktivnosti N = 44.VII-13

Veći NrZ = 44.Prema tome,NrP fiktivne aktivnosti KRAJ = Veći NrZ= 44.NrZ fiktivne aktivnosti KRAJ = 44 + 0 = 44.Slika VII-5. Vremena najranijeg početka (NrP) i vremena najranijeg završetka(NrZ) svih aktivnosti (plus čvorišta START i KRAJ) za projekat Construction Co.Poslednje izračunavanje pokazuje da projekat Construction Co. bi trebao da buderealizovan u roku od 44 nedelje ako se sve odvija po planu i u skladu savremenima početka odnosno završetka aktivnosti, prikazanim na slici VII-5(odgovor na pitanje 2). Rukovodilac projekta sada može da iskoristi ovaj rasporedodvijanja aktivnosti da obavesti izvođače, zadužene za pojedine aktivnosti, kadatreba da počnu odnosno završe svoje radove.Ova procedura, koja podrazumeva izračunavanje svih vremena NrP i NrZaktivnosti počevši od početnih aktivnosti i krećući se napred u vremenu premakrajnjim aktivnostima, naziva se još i prolaz „unapred“ (forward pass) kroz mrežu.VII-14

Potrebno je naglasiti da dobijeni raspored izvođenja aktivnosti podrazumeva da jestvarno trajanje svake aktivnosti jednako njenom procenjenom trajanju. Postavljase pitanje: šta se dešava ako neka od aktivnosti potraje duže nego što jeprocenjeno? Da li će to odložiti realizaciju projekta u očekivanom roku? Možda,ali ne obavezno. To zavisi od same aktivnosti kao i od dužine kašnjenja.U narednom tekstu biće prikazan deo procedure, planiranja redosleda izvršenjaaktivnosti, kojim se određuje koliko kasnije, nego što je prikazano na slici VII-5,može pojedina aktivnost da počne odnosno da se završi bez odlaganja planiranogroka završetka projekta.Vreme najkasnijeg početka aktivnosti predstavlja najkasnije moguće vreme kadamože početi izvršenje date aktivnosti bez odlaganja planiranog roka završetkaprojekta (što znači da će vreme završetka fiktivne aktivnosti KRAJ biti jednakonjenom vremenu najranijeg završetka), pod pretpostavkom da neće biti naknadnihodlaganja završetka projekta. Vreme najkasnijeg završetka se definiše na istinačin kao i vreme najkasnijeg početka, stim što se umesto o početku govori ozavršetku date aktivnosti. Ova vremena se označavaju na sledeći način: *17NkP = vreme najkasnijeg početka za datu aktivnost,NkZ = vreme najkasnijeg završetka za datu aktivnost,gde je:NkP = NkZ – (procenjeno) vreme trajanja aktivnosti.Da bi se odredilo vreme najkasnijeg završetka aktivnosti koristi se sledeće pravilo:Pravilo određivanja vremena najkasnijeg završetka aktivnosti*18Vreme najkasnijeg završetka aktivnosti je jednako najmanjemvremenu od vremena najkasnijih početaka aktivnosti kojeneposredno slede datu aktivnost.NkZ = najmanji NkP od aktivnosti koje neposredno slede datu aktivnost.Pošto aktivnosti koje neposredno slede posmatranu aktivnost ne mogu da počnudok se posmatrana aktivnost ne završi, ovo pravilo kaže da se posmatranaaktivnost mora završiti na vreme da omogući da sve aktivnosti koje je neposrednoslede mogu da počnu do njihovog vremena najkasnijeg početka.Npr. posmatra se aktivnost M na slici VII-1. Aktivnost M, neposredno sledi samočvorište (fiktivna aktivnost) KRAJ. Posmatrana fiktivna aktivnost se mora izvršitido vremena 44 da bi se projekat završio u procenjenom roku tj. u okviru 44nedelje. Na osnovu toga se fiktivnoj aktivnosti KRAJ dodeljuju vremenanajkasnijeg početka odnosno završetka na sledeći način:VII-15

Fiktivna aktivnost KRAJ: NkZ = njen NrZ = 44NkP = 44 – 0 = 44.Primena pravila određivanja vremena najkasnijeg završetka aktivnosti na aktivnostM:Aktivnost M: NkZ = NkP za fiktivnu aktivnost KRAJ= 44,NkP = 44 – vreme trajanja (2 nedelje)= 42.Pošto je aktivnost M jedna od aktivnosti sa kojima se završava projekat, moguće jeautomatski, bez primene pravila određivanja vremena najkasnijeg završetka,postaviti da je njeno vreme najkasnijeg završetka jednako vremenu najranijegzavršetka fiktivne aktivnosti KRAJ.Kako aktivnost M jedina neposredno sledi aktivnost H, pravilo određivanjavremena najkasnijeg završetka može se primenjuje na aktivnost H na sledeći način:Aktivnost H: NkZ = NkP aktivnosti M= 42,NkP = 42 – vreme trajanja (9 nedelja)= 33.Procedura opisana u prethodnom tekstu, koja podrazumeva izračunavanje svihvremena NkP i NkZ aktivnosti počevši od krajnjih aktivnosti i krećući se unazad uvremenu prema početnim aktivnostima, naziva se još i prolaz „unazad“ (backwardpass) kroz mrežu.Na slici VII-7 prikazani su rezultati određivanja vremena NkP i NkZ svihaktivnosti. Primera radi prikazaće se određivanje vremena NkP i NkZ za aktivnostC, koju neposredno slede tri aktivnosti D, E, i I.Aktivnosti koje neposredno slede aktivnost C:Aktivnost D NkP = 20.Aktivnost E NkP = 16.Aktivnost I NkP = 18.Najmanji NkP = 16.Prema tome,NkZ aktivnosti C = Najmanji NkP (aktivnosti koje neposredno slede)= 16.Rukovodilac projekta zna da raspored odvijanja aktivnosti prikazan na slici VII-6predstavlja „poslednju šansu“ da se izbegne produženje roka završetka projekta.VII-16

Drugim rečima čak iako sve aktivnosti počnu i završe se u vremenima kako je toprikazano na slici VII-6 projekat će biti završen u procenjenom roku tj. za 44nedelje. Međutim kada je to moguće, da bi se ostavilo prostora za neplaniranakašnjenja, rukovodilac projekta će se radije pridržavati plana izvršenja aktivnostidefinisanog vremenima najranijeg početka odnosno završetka aktivnostiprikazanog na slici VII-5. Na ovaj način se obezbeđuju vremenske rezerve zaizvršenje pojedinih aktivnosti projekta.Slika VII-6. Vreme najkasnijeg početka (NkP) i vreme najkasnijeg završetka(NkZ) svih aktivnosti (plus čvorišta START i KRAJ) za projekat Construction Co.Ako se vremena najkasnijeg početka i završetka za datu aktivnost, prikazana naslici VII-6, razlikuju od odgovarajućih najranijih vremena prikazanih na slici VII-5, tada posmatrana aktivnost ima odgovarajuću vremensku rezervu. Drugim rečimavreme koje je na raspolaganju za izvršenje date aktivnosti je veće nego što je samovreme trajanja posmatrane aktivnosti. Poslednji deo procedure za planiranjeredosleda izvršenja aktivnosti, metode PERT/CPM, je identifikacija vremenskihrezervi i nakon toga korišćenje dobijenih informacija za određivanje kritičnogputa. (Odgovori na pitanja 5 i 6)VII-17

Određivanje vremenskih rezervi u planu izvršenja aktivnostiDa bi se odredile vremenske rezerve, pogodno je kombinovano prikazati najkasnijavremena početka i završetka aktivnosti (prikazana na slici VII-6) i najranijavremena početka i završetka aktivnosti (prikazana na slici VII-5). Na primeruaktivnosti M, biće prikazan način označavanja odgovarajućih vremena, za svakuaktivnost, na mrežnom dijagramu, tj. *19(Slova P i Z ispred zagrada označavaju da su u zagradama prikazana vremenapočetka odnosno završetka aktivnosti) Slika VII-7, na gore opisan način prikazuje,vremena najranijih odnosno najkasnijih početaka i završetaka svih aktivnostiprojekta, što omogućuje da se na lak način vidi koliku vremensku rezervu imasvaka od aktivnosti.Vremenska rezerva predstavlja razliku između vremena najkasnijeg završetka ivremena najranijeg završetka date aktivnosti. Korišćenjem uvedenih oznakavremenska rezerva se može izraziti kao: *20Vremenska rezerva = NkZ – NrZ.(Pošto je NkZ – NrZ = NkP – NrP, bilo koja od prikazanih razlika se može koristitiza izračunavanje vremenskih rezervi.)Npr.,Vremenska rezerva aktivnosti M = 44 – 40 = 4.Gornji izraz pokazuje da početak izvršenja aktivnosti M može da kasni do 4nedelje, u odnosu na vreme njenog najranijeg početka, a da se pri tome ne odložizavršetak projekta u procenjenom vremenu od 44 nedelje. Ovo ima smisla, jer seprojekat završava kada se obe aktivnosti M i N završe, a vreme najranijegzavršetka aktivnosti N (44) je 4 nedelje kasnije nego vreme najranijeg završetkaaktivnosti M (40). Dok se god aktivnost N izvršava po planu, kašnjenja u završetkuprojekta neće biti tj. projekat će se završiti za 44 nedelje čak iako se pojavenepredviđena kašnjenja, pri početku izvršavanja (npr. zbog toga što su prethodneVII-18

aktivnosti trajale duže nego što je procenjeno) i u toku samog izvršavanjaaktivnosti M, ne duža od 4 nedelje.Slika VII-7. Mrežni dijagram projekta prikazuje NrP i NkP (u gornjim zagradama)odnosno NrZ i NkZ (u donjim zagradama) za svaku od aktivnosti projektaConstruction Co. Tamnije strelice prikazuju kritičan put izvršenja projekta.U tabeli VII-3 prikazane su vremenske rezerve za svaku od aktivnosti projekta.Potrebno je naglasiti da neke aktivnosti imaju vremensku rezervu nula, što znači daće bilo koje kašnjenje u izvršenju tih aktivnosti odložiti planirani završetakprojekta. Na ovaj način metod PERT/CPM identifikuje koje se aktivnosti nalaze nakritičnom putu.Svaka aktivnost za vremenskom rezervom jednakom nuli se nalazi na kritičnomputu mrežnog dijagrama, što znači da bilo koje kašnjenje koje se dogodi nakritičnom putu dovodi do odlaganja planiranog završetka projekta. *21Prema tome, kritičan put je:START →A→B→C→E→F→J→L→N→ KRAJ.Kritičan put je na slici VII-7 prikazan tamnijim strelicama. Rukovodilac projektamora da obrati posebnu pažnju na aktivnosti na kritičnom putu tj. da konstantnoprati njihovo izvršavanje da bi se izvršenje projekta odvijalo po planu.VII-19

Tabela VII-3. Vremenske rezerve za aktivnosti projekta Construction Co.AktivnostVremenska rezervaNkZ – NrZKritičan putA 0 DaB 0 DaC 0 DaD 4 neE 0 DaF 0 DaG 4 neH 4 neI 2 neJ 0 DaK 1 neL 0 DaM 4 neN 0 DaNeizvesnost u proceni trajanja aktivnostiSledeće pitanje koje se postavlja pred rukovodioca projekta je:7. Uvođenjem neizvesnosti u procenu vremena trajanja aktivnosti, kolika jeverovatnoća završetka projekta na vreme (do krajnjeg roka – 47 nedelja)?Radi podsećanja, Construction Co. prema ugovoru mora da plati velike penale(300.000 NJ) u slučaju da se probije krajnji rok završetka projekta. Radi toga,rukovodilac projekta treba da zna koja je verovatnoća da se projekat završi u roku.Ako ta verovatnoća nije velika, rukovodilac projekta će morati da razmotriodgovarajuće (najčešće skupe) mere da bi se smanjilo trajanje pojedinih aktivnosti.Verovatnoća završetka projekta u roku na neki način predstavlja proveru odnosnoosiguranje da je procenjeno vreme trajanja projekta od 44 nedelje, dobijenometodom PERT/CPM, realno. Međutim, rukovodilac projekta zna da je ovaprocena bazirana na pretpostavci da će stvarno vreme trajanja svake aktivnosti bitijednako upravo procenjenom vremenu trajanja aktivnosti (u najgorem slučaju samoaktivnosti na kritičnom putu). Kako kompanija nema mnogo prethodnih iskustavau realizaciji ove vrste projekata, postoji značajna neizvesnost u vezi vremenatrajanja svake od aktivnosti. U praksi, vreme trajanja svake aktivnosti je slučajnapromenljiva raspodeljena po odgovarajućoj raspodeli.VII-20

Originalna verzija metode PERT, neizvesnost u vremenu trajanja aktivnosti uzimau obzir preko tri različite procene vremena trajanja aktivnosti kako bi se odredilaraspodela verovatnoća trajanja aktivnosti.Određivanje vremena trajanja aktivnosti po metodi PERTTri različita vremena trajanja aktivnosti, koja se trebaju proceniti su: *22Najverovatnije vreme (m) = procena najverovatnijeg vremena trajanjaaktivnosti,Optimističko vreme (o) = procena vremena trajanja aktivnosti podnajpovoljnijim uslovima za izvršenje,Pesimističko vreme (p) = procena vremena trajanja aktivnosti podnajnepovoljnijim uslovima za izvršenje.Kao polazna pretpostavka uvodi se to da se trajanje svih aktivnosti ponaša pozakonu Beta raspodele. Položaj procenjenih vremena trajanja aktivnosti nadijagramu gustine Beta raspodele je prikazano na slici VII-8. *23Slika VII-8. Pretpostavljena raspodela vremena trajanja aktivnosti (Beta raspodela)po metodi PERT, gde je: m = najverovatnije, o = optimističko, i p = pesimističkovreme trajanja aktivnosti.Osnovni razlog izbora Beta raspodele, za raspodelu vremena trajanja aktivnosti, sesastoji u tome što se sve moguće vrednosti trajanja aktivnosti nalaze u intervalu [o,p]. Proceni najverovatnijeg vremena trajana aktivnosti (m) odgovara slučajnapromenljiva raspodeljena po Beta raspodeli koja ima najveću verovatnoćurealizacije. Za određivanje srednjeg vremena trajanja aktivnosti (μ) i disperzije (σ2)(srednjeg kvadratnog odstupanja) vremena trajanja aktivnosti takođe se koristi Betaraspodela na način opisan u narednom tekstu (videti ANNEX VII). Za većinuraspodela verovatnoća, pa i za Beta raspodelu, važi da se praktično sve realizacijeslučajne promenljive nalaze unutar intervala (μ – 3·σ) i (μ + 3·σ). (Npr. zaNormalnu raspodelu, 99.73 % realizacija slučajne promenljive se nalazi unutar togintervala) Prema tome, raspon između najmanjeg i najvećeg vremena trajanjaaktivnosti grubo iznosi 6·σ. Otud aproksimativna formula za izračunavanje σ2 je:VII-21

22 ⎛ p − o ⎞σ = ⎜ ⎟ . *24 (1)⎝ 6 ⎠Na sličan način se dobija i aproksimativna formula za μ:o + 4 ⋅ m + pμ =. *24 (2)6Intuitivno se može zaključiti da će očekivano vreme trajanja aktivnosti μ biti ublizini m ili se poklapati sa m ako su vrednosti za o i p simetrične u odnosu na m.MS Project pruža opciju za izračunavanje očekivanog vremena trajanja svake odaktivnosti μ, koristeći formulu (2). Izbor tabele: PA_PERT Entry sa menija View,omogućuje se unošenje tri različita procenjena vremena trajanja svake aktivnosti(najverovatnije vreme trajanja aktivnosti je označeno kao očekivano vremetrajanja). Izborom: PERT Analysis sa menija View, otvara se alat (Toolbar) kojiomogućuje vršenje raznih analiza sa ovim procenjenim vremenima trajanja.Izborom opcije “Calculate PERT”, preračunava se vreme trajanja aktivnosti (μ)“Duration”, prema formuli (2). Sledeća mogućnost je da se prikažu Gantt-ove kartezasnovane na svakoj od tri procene vremena trajanja aktivnosti.Rukovodilac projekta treba sada da zahteva od nadzornika (predradnika) svake odangažovanih ekipa, odgovorne za izvođenje date aktivnosti, tri procene vremenatrajanja aktivnosti (optimističko, pesimističko i najverovatnije). Tri procenevremena trajanja aktivnosti (o, m, p), za projekat Construction Co. su date u tabeliVII-4 (kolone 2, 3 i 4).Dve poslednje kolone, u tabeli VII-4, prikazuju srednje vreme i disperziju trajanjasvake od aktivnosti, izračunate pomoću formula (1) i (2). U ovom slučaju, sveizračunate srednje vrednosti trajanja aktivnosti se poklapaju sa procenjenimvremenima trajanja aktivnosti datim u Tabeli VII-1. Prema tome, pošto su srednjavremena trajanja aktivnosti jednaka njihovim procenjenim vremenima trajanja,vreme potrebno za realizaciju projekta će i dalje biti 44 nedelje, 3 nedelje manje odkrajnjeg roka.Međutim, ovaj zaključak nije preterano ohrabrujući u smislu potvrde vremenapotrebnog za realizaciju projekta. Obično, stvarna vremena trajanja aktivnostiuzimaju vrednosti oko srednjih vrednosti trajanja aktivnosti. Prema tome,neizbežno je da trajanje neke od aktivnosti bude veće nego što je njeno srednjevreme trajanja. U nekim slučajevima moguće je da stvarno vreme trajanjaaktivnosti bude veoma blisko pesimističkom vremenu trajanja aktivnosti, što možeda značajno produži vreme potrebno za realizaciju projekta.VII-22

Tabela VII-4. Srednje vreme i disperzija trajanja aktivnosti projekta Construction Co.Da bi proverio pesimistički (najgori) scenario, rukovodilac projekta ponovorazmatra mrežni dijagram projekta ovog puta sa vremenima trajanja svih aktivnostijednakim pesimističkom vremenu trajanja (data u četvrtoj koloni tabele VII-4).Tabela VII-5 prikazuje šest mogućih putanja kroz mrežu (prethodno prikazane utabeli VII-2) kao i njihove dužine dobijene korišćenjem pesimističkih procenavremena trajanja aktivnosti. Četvrtoj putanji, koja je predstavljala kritičan put(slika VII-5), se sada povećala dužina sa 44 nedelje na 69 nedelja. Međutim,dužina prve putanje, koja je u prethodnom slučaju bila 40 nedelja (tabela VII-2) sesada povećala na 70 nedelja. Pošto je to sada najduža putanja, ona predstavljakritičan put za pesimističku procenu vremena trajanja aktivnosti, što dovodi do(pesimističkog) vremena potrebnog za realizaciju projekta od 70 nedelja.Tabela VII-5. Putanje i njihove dužine za projekat Construction Co. u slučajupesimističkih vremena trajanja aktivnosti.Razmatrajući ovaj zabrinjavajući (mada malo verovatan) pesimistički scenario,rukovodilac projekta, je svestan da je ostvarivanje krajnjeg roka za završetakVII-23

projekta od 47 nedelja daleko od izvesnog. Postavlja se pitanje kolika jeverovatnoća da se, pod ovim uslovima, projekat završi do krajnjeg roka.Uvodeći tri aproksimacije metodom PERT/CPM je moguće izračunati ovuverovatnoću.Aproksimacije pri određivanju verovatnoće završetka projektaDa bi se izračunala verovatnoća da vreme potrebno za realizaciju projekta neće bitiduže od 47 nedelja, potrebno je znati sledeće informacije o raspodeli vremenatrajanja projekta:1. Koliko je matematičko očekivanje μ p (srednja vrednost) raspodelevremena trajanja projekta,2. Kolika je disperzija σ 2 p (srednje kvadratno odstupanje) raspodelevremena trajanja projekta, i3. Koji je oblik raspodele vremena trajanja projekta.Vreme potrebno za realizaciju projekta je jednako dužini (ukupno proteklo vreme)najduže putanje u mrežnom dijagramu projekta. Međutim, bilo koja od šestmogućih putanja prikazanih u tabeli VII-5 može biti najduža (a samim tim ikritičan put), što zavisi od toga koje će vreme trajanja aktivnosti, izmeđuoptimističke i pesimističke procene vremena trajanja, biti stvarno vreme trajanjaaktivnosti. Pošto bi rad sa svim mogućim putanjama u mrežnom dijagramu bioveoma komplikovan metoda PERT/CPM se fokusira na jednu jedinu putanju tzv.srednji (prosečni) kritični put.Srednji (prosečni) kritičan put je putanja u mrežnom dijagramu koja bi bilakritičan put ako su vremena trajanja svih aktivnosti jednaka njihovim srednjimvrednostima (μ). *25U ovom slučaju kritičan put za projekat Construction. Co. je:START →A→B→C→E→F→J→L→N→ KRAJ.kao što je i prikazano na slici VII-7.Aproksimacija 1: Pretpostavlja se da je srednji kritičan put najdužaputanja u mrežnom dijagramu projekta. Ovo predstavlja samo grubuaproksimaciju, pošto ova pretpostavka nije održiva u praktičnimslučajevima kada vreme trajanja nekih aktivnosti nije jednako njihovimsrednjim vremenima trajanja. Na sreću, u slučajevima kada pretpostavkaVII-24

nije održiva, stvarna najduža putanja obično nije mnogo duža negosrednji kritičan put (kao što se može videti iz tabele VII-5).Aproksimacija 1 omogućava izračunavanje μ p , dok je za određivanjejoš jedna aproksimacija.2σ p potrebnaAproksimacija 2: Pretpostavlja se da su vremena trajanja aktivnosti nasrednjem kritičnom putu statistički nezavisna. Ova pretpostavka bimogla da se održi ako bi se aktivnosti u praksi izvodile nezavisno jednaod druge. Međutim, ova pretpostavka postaje samo gruba aproksimacijaako okolnosti koje uslove da trajanje jedne aktivnosti odstupi od njenogsrednjeg vremena trajanja, izazovu slično odstupanje i kod neke drugeaktivnosti.Uzimanjem u obzir prethodne dve aproksimacije, moguće je na relativno2jednostavan način izračunati μ p i σ p.2Izračunavanje μ p i σ p: Uzimajući u obzir aproksimaciju 1,matematičko očekivanje raspodele vremena trajanja projekta se približnomože izračunati na sledeći način: *26μ p = suma vremena trajanja svih aktivnosti na srednjem kritičnom putu.Uzimanjem u obzir i aproksimaciju 1 i aproksimaciju 2, disperzijaraspodele vremena trajanja projekta se približno može izračunati kao:*272σ p= suma disperzija vremena trajanja svih aktivnosti na srednjemkritičnom putu.Tabela VII-6. Izračunavanje μ p i2σ p za projekat Construction Co.VII-25

Srednja vremena trajanja svih aktivnosti za projekat Construction Co. data su utabeli VII-4, dok su u tabeli VII-6, u drugoj i trećoj koloni, prikazana srednjavremena trajanja odnosno disperzije vremena trajanja aktivnosti koje se nalaze nasrednjem kritičnom putu. Sabiranjem vrednosti u drugoj odnosno trećoj kolonitabele VII-6 dobija se:2μ p = 44, σp= 9.Sledeća aproksimacija se odnosi na oblik raspodele vremena trajanja projekta.Aproksimacija 3: Pretpostavlja se da je raspodela vremena trajanjaprojekta Normalna raspodela, slika VII-9. Uzimajući u obziraproksimacije 1 i 2, jedna od verzija centralne granične teoremepotvrđuje da je ova pretpostavka opravdana ako broj aktivnosti nasrednjem kritičnom putu nije mnogo mali (npr. ne manji od 5). Što višeima aktivnosti na kritičnom putu aproksimacija je bolja. *28Slika VII-9. Raspodela vremena trajanja projekta Construction Co. aproksimiranaNormalnom raspodelom. Osenčena površina na slici predstavlja verovatnoću da ćese projekat završiti do krajnjeg roka od 47 nedelja.Uvođenjem prikazanih aproksimacija, stekli su se uslovi za (približno)izračunavanje verovatnoće završetka projekta Construction Co. za 47 nedelja.Izračunavanje verovatnoće završetka projekta do određenog vremenaOznake korišćene u narednom tekstu imaju sledeće značenje:T = vreme trajanja projekta (u nedeljama), raspodeljeno (približno) poNormalnoj raspodeli sa matematičkim očekivanjem μ p = 44 i2disperzijom σ p = 9,d = krajnji rok za završetak projekta = 47 nedelja.VII-26

Radi lakšeg izračunavanja verovatnoće završetka projekta do određenog vremena,potrebno je pretpostavljenu Normalnu raspodelu vremena trajanja projektaN(μ p , σ p ) = N(44,3) svesti na standardizovanu Normalnu raspodelu tj. N(0,1), nasledeći način:d − μp47 − 44Kα = = = 1.σ 3pPrema tome, za standardizovanu Normalnu raspodelu, verovatnoća da će seprojekat završiti u predviđenom roku izračunava se na sledeći način (uzimajući uobzir aproksimacije 1, 2 i 3): (videti ANNEX VIII)P(T ≤ d)= P(T s ≤ K α )= P(T s > K α ) = 1 – 0.1487 ≈ 0.84Važno: Verovatnoća P(T ≤ d) predstavlja samo grubu aproksimacijustvarne verovatnoće da će se projekat završiti u planiranom roku. Osimtoga, zbog uvođenja aproksimacije 1, dobijena verovatnoća je običnoveća od stvarne verovatnoće završetka projekta u planiranom roku. Zbogtoga, rukovodilac projekta treba da shvati P(T ≤ d) samo kao grubooptimističko merilo da se projekat završi u roku tj. da neće biti potrebnopreduzimanje odgovarajućih (skupih) mera radi smanjenja vremenatrajanja pojedinih aktivnosti.Procedura izračunavanja P(T ≤ d) se može na relativno lak način realizovatikoristeći Microsoft Excel. Slika VII-10 prikazuje primenu Excel-a za izračunavanjeP(T ≤ d) za Construction Co. projekat. U prvoj koloni tabele (B) nalaze se imena(oznake) aktivnosti. U sledeće tri (C, D, E) kolone unose se optimističko vreme(o), srednje vreme (m) i pesimističko (p) vreme trajanja aktivnosti. Dalje, u petoj(F) i šestoj (G) koloni izračunava se srednje vreme trajanja aktivnosti (μ) idisperzija vremena trajanja aktivnosti (σ2), na osnovu formula (2) i (1). Nakon togase definiše srednji kritičan put, tako što se u krajnju desnu kolonu (H) tabele u redu kojem je aktivnost koja se nalazi na srednjem kritičnom putu, unosi *. U poljeK12 se unosi krajnji rok za završetak projekta (d). U poljima K7 i K8 nalaze seizračunate vrednosti za srednje vreme trajanja projekta (μ p ) i disperziju vremena2trajanja projekta ( σ p) (sabiraju se ona vremena trajanja aktivnosti odnosnodisperzije trajanja aktivnosti koje u svom redu imaju *). Na kraju se u polju K10izračunava verovatnoća završetka projekta u planiranom roku P(T ≤ d) (vidi slikuVII-10).Pošto je P(T ≤ d) = 0,84 verovatno optimistička aproksimacija verovatnoćezavršetka projekta u planiranom roku, rukovodilac projekta zna da je stvarnaverovatnoća završetka projekta u planiranom roku samo 70 do 80 procenata. Prematome, pošto postoji velika šansa da kompanija ne plati penale u iznosu od 300.000VII-27

NJ tj. da će završiti projekat u planiranom roku, rukovodilac projekta odlučuje daispita koliko bi koštalo smanjenje vremena trajanja projekta na 40 nedelja, kako bikompanija možda mogla da zaradi bonus u iznosu od 150.000 NJ.Slika VII-10. Izračunavanje verovatnoće završetka projekta u predviđenom roku.VII-28

PITANJA:1. Koje se tehnike koriste za kontrolu izvršenja projekta – upravljanje projektima.2. Navesti vrste projekata čija se realizacija može pratiti tehnikama PERT i CPM(min 5.3. Koji uslov moraju da ispune neposredno prethodne aktivnosti pre početkaizvršenja posmatrane aktivnosti.4. Pitanja koja se postavljaju pred projektni tim (rukovodioca projekta) napočetku projekta.5. Šta predstavlja mrežni dijagram.6. Iz čega se sastoji mrežni dijagram.7. Navesti tri vrste informacija koje su potrebne da bi se opisao projekat.8. Vrste mrežnih dijagrama.9. Mrežni dijagram orijentisan lukovima.10. Mrežni dijagram orijentisan čvorištima.11. Prednosti mrežnog dijagrama orijentisanog čvorištima u odnosu na mrežnidijagram orijentisan lukovima.12. Šta predstavlja putanja kroz mrežni dijagram.13. Čemu je jednaka dužina putanje kroz mrežni dijagram.14. Šta predstavlja kritičan put.15. Šta predstavljaju vremena najranijeg početka odnosno završetka aktivnosti.16. Pravilo određivanja vremena najranijeg početka aktivnosti.17. Šta predstavljaju vremena najkasnijeg početka odnosno završetka aktivnosti.18. Pravilo određivanja vremena najkasnijeg završetka aktivnosti.19. Označavanje karakterističnih vremena na mrežnom dijagramu.20. Šta predstavlja vremenska rezerva aktivnosti.21. Koji uslov ispunjavaju aktivnosti koje se nalaze na kritičnom putu.22. Na osnovu koja tri vremena trajanja aktivnosti se, po metodi PERT, određujesrednje vreme trajanja aktivnosti.23. Po kojem pretpostavljenom teorijskom zakonu raspodele se ponaša trajanjesvih aktivnosti projekta.24. Formule za određivanje srednjeg vremena trajanja aktivnosti i disperzijevremena trajanja aktivnosti.25. Šta predstavlja srednji kritičan put.26. Izračunavanje matematičkog očekivanja (srednje vrednosti) raspodele vremenatrajanja projekta.27. Izračunavanje disperzije raspodele vremena trajanja projekta.28. Koja je pretpostavljena raspodela vremena trajanja projekta.VII-29