Teorija redova (Teorija masovnog opsluživanja) - MASINAC.org

Teorija redova (Teorija masovnog opsluživanja)Redovi (čekanje) su deo svakodnevnog života. Svi mi čekamo u redovima da binpr. kupili kartu za bioskop, podigli novac u banci, platili na kasi u samoposluzi,poslali paket u pošti, krenuli na vožnju u zabavnom parku itd. Drugim rečimapostali smo naviknuti na značajno vreme provedeno u čekanju, ali ipak postanemouznemireni ako smo izloženi neobično dugom čekanju.Dakako, biti primoran na čekanje nije samo beznačajna lična neprilika. Količinavremena koju populacija jedne nacije potroši na čekanje u redovima je bitan faktoru dvema stvarima: kvalitetu života kao i efikasnosti nacionalne ekonomije. Npr. preraspada, S.S.S.R. je bio „poznat“ po užasno dugim redovima u kojima su građanistalno morali da čekaju samo da bi nabavili osnovne potrepštine. U Americi danas,procenjeno je da građani potroše 37,000,000,000 sati godišnje čekajući uredovima. Kada bi se umesto u čekanju to vreme moglo provesti produktivno, to biznačilo približno 20 miliona čovek-godina korisnog rada svake godine.Čak i ove zastrašujuće činjenice ne odražavaju pravu sliku uticaja koji izazivaprekomerno čekanje. Velika neefikasnost takođe se javlja zbog različitih vrstačekanja pored onih koji se odnose na stajanje ljudi u redovima. Npr. čekanjemašina na popravku (servis, održavanje) rezultuje se kroz izgubljenu (nerealizovanu) proizvodnju. Transportna sredstva (kamioni, brodovi, avioni) kojačekaju na istovar po pravilu odlažu kasniji transport. Avioni koji čekaju napoletanje ili sletanje mogu da ostvarivanje zacrtanog plana putovanja. Kašnjenje uprenosu podataka (telekomunikacije), zbog preopterećenih veza, može dovesti dogubitka podataka kao i do gubitka aktuelnosti podataka. Čekanje u jednom deluproizvodnog procesa ugrožava ostvarivanje plana proizvodnje. Kašnjenje upružanju usluga može da se rezultuje kroz gubitak budućeg posla.Teorija redova (masovnog opsluživanja) proučava čekanje u svim navedenimoblicima. Teorija redova koristi matematičke modele da opiše različite tipovesistema (koji sadrže neku vrstu redova) koji se javljaju u praksi. Matematičkeformule pokazuju kako će se odgovarajući sistem ponašati, uključujući i prosečnočekanje koje će se javiti, pod uticajem različitih okolnosti.Modeli teorije redova su veoma pogodni za određivanje kako da sistem masovnogopsluživanja radi na najefikasniji način. Prevelik kapacitet opsluživanja u sistemuprouzrokuje nepotrebne troškove. Sa druge strane nedovoljan kapacitetopsluživanja rezultuje se kroz prekomerno čekanje i druge neželjene posledice.Konačno, modeli teorije redova omogućuju pronalaženje odgovarajućeg balansaizmeđu troškova opsluživanja i vremena čekanja.IV-1

OSNOVNA STRUKTURA MODELA TEORIJE REDOVAOsnovni proces opsluživanjaOsnovni proces opsluživanja, pretpostavljen u najvećem broju modela teorijeredova (masovnog opsluživanja) sastoji se iz sledećeg. Klijenti, tj. jedinice kojezahtevaju opsluživanje, se generišu u vremenu iz izvora. Klijenti ulaze u sistemopsluživanja i staju u red. U određenim vremenskim trenucima klijenti iz reda seprihvataju na opsluživanje po nekom pravilu tj. disciplini opsluživanja ili discipliniu redu. Nakon toga se klijentu daje zahtevano opsluživanje kroz mehanizamopsluživanja, posle čega klijent napušta sistem opsluživanja. Ovaj proces prikazanje na slici IV-1. *1Slika IV-1. Osnovni proces opsluživanja.Izvor (dolazni tok klijenata - jedinica)Osnovna karakteristika izvora klijenata (jedinica) je njegova veličina. Veličinaizvora je ukupan broj klijenata koji mogu da zahtevaju opsluživanje s vremena navreme, tj. ukupan broj određenih potencijalnih klijenata. Populacija određenihpotencijalnih klijenata, koji zahtevaju opsluživanje u datom sistemu opsluživanja,naziva se dolazna populacija. *2Veličina dolazne populacije može se pretpostaviti da je konačna ili beskonačna(takođe se može reći da je izvor klijenata neograničen ili ograničen). Pošto suizračunavanja daleko jednostavnija u slučaju kad je izvor neograničen, ovapretpostavka se često usvaja čak i kada je stvarna veličina izvora neki relativnoveliki konačan broj. Ovu pretpostavku treba primeniti kod svakog modela teorijeredova osim ako se eksplicitno ne zahteva drugačije. Slučaj ograničenog izvora ilikonačne veličine dolazne populacije je analitički složeniji, jer broj klijenata koji senalazi u sistemu opsluživanja utiče na broj potencijalnih klijenata izvan sistema usvakom trenutku. Pretpostavka da je izvor ograničen se mora uvesti ako naintenzitet kojim izvor generiše nove klijente značajno utiče broj klijenata koji senalazi u sistemu opsluživanja.IV-2

Mehanizam opsluživanjaMehanizam opsluživanja se sastoji od jedne ili više faza (modula) opsluživanja, odkojih svaka sadrži jedan ili više paralelnih kanala za opsluživanje. Ako postojiviše od jedne faze (modula) opsluživanja, klijent tada može da bude opsluživankroz niz faza (kanali za opsluživanje postavljeni u red). U datoj fazi (modulu)opsluživanja, klijent pristupa jednom od paralelnih kanala za opsluživanje gde sekompletno opslužuje. Svaki model teorije redova mora da definiše međusobniraspored faza (modula) opsluživanja kao i broj kanala za opsluživanje u svakoj odfaza. Elementarni modeli teorije redova podrazumevaju jednu fazu (modul)opsluživanja sa jednim ili konačnim brojem kanala za opsluživanje. Vreme kojeprotekne od početka pa do završetka opsluživanja klijenta naziva se vremeopsluživanja. U svakom modelu sistema opsluživanja mora da bude definisanaraspodela vremena opsluživanja za svaki kanal za opsluživanje (po mogućstvu i zarazličite vrste klijenata), mada je uobičajeno da se pretpostavi ista raspodela za svekanale za opsluživanje. Raspodela vremena opsluživanja koja se najčešće koristi upraksi je eksponencijalna raspodela. *7Elementarni sistem opsluživanjaKao što je rečeno, teorija redova se može primeniti na veliki broj različitih situacijau kojima se zahteva čekanje u redu radi dobijanja određene vrste usluge.Najrasprostranjenija situacija je sledeća:Jednostruki red (koji s vremena na vreme može biti prazan) se formira ispred jednejedine faze (modula) opsluživanja, koja se sastoji od jednog ili više kanala zaopsluživanje. Svakog klijenta, generisanog od strane izvora, kompletno opslužujejedan kanal za opsluživanje, posle nekog vremena provedenog u redu. Opisanisistem opsluživanja je prikazan na slici IV-2.Slika IV-2. Elementarni sistem opsluživanja. *8IV-4

Kanal za opsluživanje ne mora da bude samo jedna osoba, kanal za opsluživanjemože da predstavlja i grupu ljudi koja udružuje snage da istovremeno izvedezahtevano opsluživanje klijenta. Čak šta više kanali za opsluživanje ne moraju bitiljud. U velikom broju slučajeva kanali za opsluživanje su mašine, vozila,elektronski uređaji itd. Takođe klijenti u redu ne moraju biti ljudi. Npr. to mogubiti delovi koji čekaju na obradu određenom vrstom mašine, ili kola koja čekajuispred servisne radionice.U stvarnosti nije čak ni neophodno da se red fizički formira ispred fizičke strukturekoja predstavlja odgovarajuću fazu opsluživanja. Umesto toga klijenti u redu moguda budu rasuti po određenoj oblasti, čekajući da kanal za opsluživanje „dođe“ donjih, npr. mašine koje čekaju na popravku. Jedan radnik ili grupa radnika (kanali zaopsluživanje) zaduženi za datu oblast predstavljaju fazu opsluživanja za datuoblast.Svi opisani modeli teorije redova su elementarnog tipa, kao što je prikazano naslici IV-2. U mnogima od njih se pretpostavlja da su vremena između dolazakaklijenata u sistem nezavisna i raspodeljena po istoj teorijskoj raspodeli, kao i da suvremena opsluživanja klijenata međusobno nezavisna i raspodeljena po istojteorijskoj raspodeli. Takvi modeli se uobičajeno označavaju kao: (Kendall – ovaobeležavanja) *9gde je M = eksponencijalna raspodela,D = konstantno vreme,E k = Erlang – ova raspodela (parametar oblika = k),G = raspodela opšteg tipa.Terminologija i označavanjeUkoliko se ne naglasi drugačije, koristi se sledeća standardna terminologija:Stanje sistema = definiše se preko broja klijenata u sistemu opsluživanja.Dužina reda = broj klijenata koji čekaju na početak opsluživanja tj.IV-5

stanje sistema minus broj klijenata koji se trenutnoopslužuje.N ws (t) {L(t)}= broj klijenata (jedinica) u sistemu opsluživanja uvremenskom trenutku t (t ≥ 0).p n (t) = verovatnoća da je tačno n klijenata (jedinica) u sistemuopsluživanja u vremenskom trenutku t.c = broj kanala za opsluživanje (paralelni kanali zaopsluživanje u pojedinim fazama opsluživanja) u sistemuopsluživanja.λ n = srednji intenzitet dolaska klijenata (jedinica) u sistem(očekivani broj dolazaka u jedinici vremena) ako jetrenutno n klijenata u sistemu opsluživanja.μ n = srednji intenzitet opsluživanja sistema (očekivani brojopsluženih klijenata u jedinici vremena) ako je trenutno nklijenata (jedinica) u sistemu opsluživanja.Ako je λ n konstantno za sve n, tada se ta konstanta obeležava sa λ. Analogno, kadaje srednji intenzitet opsluživanja μ n , za zauzete kanale opsluživanja, konstantan zasve n≥1, tada se ta konstanta obeležava sa μ (u ovom slučaju je μ n = c·μ za n ≥ c, tj.kad su svih c kanala zauzeti). U skladu sa napred iznetim 1/λ i 1/μ predstavljajusrednje vreme između dolaska dva uzastopna klijenta i srednje vreme opsluživanja,respektivno. Takođe, ρ = λ/(c·μ) predstavlja koeficijent iskorišćenja kanala zaopsluživanje tj. očekivani deo vremena koje je svaki kanal za opsluživanje, u datojfazi (modulu) opsluživanja, zauzet. *10Odgovarajuće standardno označavanje je potrebno i za opisivanje rezultata radasistema opsluživanja. Neposredno po početku rada sistema opsluživanja, na stanjesistema (broj klijenata u sistemu) veoma utiče početno stanje sistema opsluživanjatj. broj klijenata u sistemu na početku rada sistema opsluživanja. Vremenom tajuticaj opada dok potpuno ne nestane. Taj period rada sistema opsluživanja nazivase period nestacionarnog rada. Posle dovoljno dugog perioda vremena, stanjesistema postane praktično nezavisno od početnog stanja kao i od proteklogvremena. U tom slučaju sistem opsluživanja je dostigao stacionarni režim rada,koji se ogleda kroz činjenicu da raspodela verovatnoća stanja sistema ne zavisi odvremena tj. verovatnoće stanja sistema imaju konstantne vrednosti. *11 Teorijaredova se u najvećem broju slučajeva fokusira na analizu sistema opsluživanja ustacionarnom režimu rada, jer je slučaj nestacionarnog rada veoma komplikovan zaanalizu. Sledeće oznake se odnose na opisivanje rezultata rada – karakteristikasistema opsluživanja u stacionarnom režimu:p n = verovatnoća da je tačno n klijenata (jedinica) u sistemu opsluživanja.IV-6

N ws {L} = srednji broj klijenata (jedinica) u sistemu = ∑ ∞ n ⋅ p n .n=0N w {L q } = srednji broj klijenata (jedinica) u redu = ∑ ∞ ( n − c) ⋅ p n .n=0t ws {W} = srednje vreme koje klijent (jedinica) provede u sistemu opsluživanjauključujući i vreme opsluživanja.t w {W q } = srednje vreme koje klijent (jedinica) provede u redu.Relacije koje povezuju N ws , N w , t ws i t wPod pretpostavkom da je λ n konstantno za sve n, dokazano je da u stacionarnomrežimu rada sistema opsluživanja važi:N ws = λ·t ws .Pošto je John D. C. Little 1 prvi dokazao gornju relaciju, ona se u literaturi čestonaziva i Little’s formula (Little-ova formula). Isti dokaz pokazuje da važi i:N w = λ·t w .Ako λ n nije konstantno za sve n, tada se λ u gornjim jednačinama može zameniti saλ – prosečnim intenzitetom dolaznog toka ( λ se još označava i kao λ eff –efektivni intenzitet dolaznog toka). U zavisnosti od modela sistema opsluživanja λodnosno λ eff se izračunava na odgovarajući način, u opštem slučaju važi:λ= ∑ ∞ λn ⋅ p n .n=0Dalje, pod pretpostavkom da je prosečno vreme opsluživanja – 1/μ konstantano zasve n≥1, sledi da je:t ws = t w + 1/μ.Prikazane relacije su od velike važnosti jer omogućuju da se svaka od četiriosnovne karakteristike sistema opsluživanja N ws , N w , t ws i t w odredi neposrednopošto se bilo koja od njih analitički odredi.Slučajni (stohastički) procesiStanje nekih sistema moguće je opisati između ostalog pomoću jedne ili viševeličina, u zavisnosti od odgovarajućeg parametra, a da se karakter zavisnosti1 J. D. C. Little, “A Proof for the Queueing Formula: L =λ·W,” Operations Research, 9(3): 383–387, 1961;IV-7

između odgovarajućeg parametra i posmatranih veličina ne može tačno odrediti. Uvećini slučajeva ta zavisnost se potčinjava statističkim zakonima koji omogućujuda se odrede verovatnoće realizacija posmatranih veličina. Drugim rečima,vrednosti posmatrane veličine ili veličina nisu unapred određene, već predstavljajuslučajne (stohastičke) veličine u zavisnosti od odgovarajućeg parametra. *12Parametar, od interesa za teoriju redova, u zavisnosti od koga se određuju slučajneveličine je vreme. U ovom slučaju skup realizacija određene slučajne veličine,može se posmatrati kao slučajna veličina koja se menja u vremenu, tj. može sesmatrati da je to slučajna funkcija vremena ili slučajni proces. Slučajni proces ilislučajna funkcija je takva funkcija vremenskog argumenta, čija je vrednost, prisvakoj datoj vrednosti argumenta, jedna slučajna veličina.Klasifikacija slučajnih (stohastičkih) procesa može se izvršiti na osnovu tripokazatelja: *13− prostora stanja slučajnog procesa,− parametra slučajnog procesa, i− statističke zavisnosti između slučajnih veličina za različite vrednosti parametraslučajnog procesa.Prostor stanja. Skup mogućih vrednosti (stanja) koje slučajna funkcija može dauzme je prostor stanja. U slučaju da su realizacije slučajne funkcije definisane nadiskretnom skupu, bilo da je on konačan ili beskonačan, tada se takav prostorstanja naziva diskretnim. Uobičajeno je da se diskretan prostor stanja poistovećujesa lancem. Ukoliko su realizacije slučajne funkcije definisane na neprekidnomintervalu, konačnom ili beskonačnom, tada se takav prostor stanja nazivakontinualnim. *14Parametar slučajnog procesa. Parametar slučajnog procesa može biti realan,kompleksan ili opšteg tipa npr. n-dimenzionalan, kao i diskretan odnosnokontinualan. Skup svih vrednosti parametra slučajnog procesa se naziva oblastdefinisanosti slučajnog procesa. Sa aspekta matematičke teorije parametarslučajnog procesa ne mora da ima fizičku interpretaciju, dok se u praksi slučajniprocesi često primenjuju pri izučavanju procesa koji protiču u vremenu. Iz tograzloga, u teoriji redova, parametar slučajnog procesa je vreme (t), dok se fiksnavrednost parametra slučajnog procesa naziva vremenski trenutak. *15Ako se promene vrednosti slučajne funkcije u prostoru stanja mogu odigravatisamo u određenim vremenskim trenutcima na vremenskoj osi tada je taj slučajanproces, slučajan proces sa diskretnim parametrom (vremenom). Ukoliko sevrednosti slučajne funkcije u prostoru stanja mogu menjati bilo kad u okvirukonačnog ili beskonačnog intervala na vremenskoj osi tada je to slučajan proces sakontinualnim parametrom (vremenom).IV-8

Statističke zavisnosti između slučajnih veličina. Mnogi interesantni slučajni(stohastički) procesi ne mogu se u potpunosti opisati postojećim matematičkimaparatom tj. nije moguće uspostaviti statističke zavisnosti između slučajnihveličina. U teoriji postoje određeni tipovi slučajnih procesa koje karakterišuodgovarajuća statistička zavisnost između slučajnih veličina, kao i odgovarajućauprošćenja i uvedene pretpostavke. Iz napred iznetog proizilazi da je za opsivanjestvarnog slučajnog procesa potrebno, od postojećih tipova slučajnih procesa,izabrati onaj koji ga u potpunosti ili najvernije opisuje. Od interesa za formiranjediferencijalnih jednačina stanja sistema opsluživanja su sledeći slučajni procesi:− slučajni proces Markov-a, i− proces "rađanja i umiranja" kao specijalni slučaj slučajnog procesa Markov-a.Slučajni proces Markov-aZa formiranje diferencijalnih jednačina stanja sistema opsluživanja potrebno jepoznavati slučajni proces Markov-a koji je definisan na diskretnom prostoru stanjasa kontinualnim vremenom.Definicija: Slučajni proces X(t) definisan na diskretnom prostoru stanja, formiraslučajni proces Markov-a sa kontinualnim vremenom (lanac Markov-a sakontinualnim vremenom) ako za sve cele brojeve n i bilo koji niz t 1 , t 2 , ... , t n+1 ,(t 1

− osobinu slučajnog procesa Markov-a, da je način na koji prethodna stanjaprocesa utiču na buduće stanje procesa, kompletno određen preko tekućegstanja procesa, kao i− činjenicu da nije definisano koliko dugo je proces u tekućem stanju (već samoukupno vreme τ i koje proces provede u stanju i),dobija se da preostalo vreme koje proces provede u stanju i mora da ima raspodelukoja zavisi samo od stanja i (tekućeg stanja) a ne od toga koliko dugo je proces biou stanju i.Na osnovu gore iznetog može se napisati:P[ τ i > s + t τi> s] = h(t)(2)gde je:s - vreme koje je proces već proveo u tekućem stanju,t - dodatno vreme (ostatak do ukupnog vremena koje će proces provesti u tekućemstanju),h(t) - funkcija čiji je argument dodatno vreme.Desnu stranu izraza (2), primenjujući formulu za uslovnu verovatnoću, moguće jenapisati u sledećem obliku:P[ ][ τ s t; s]P[ s t]P s t s i > + τi> τi> +τ i > + τi> ==P[ τi> s]P[ τi> s]što sledi iz činjenice da događaj τ i >s+t sadrži događaj τ i >s.Zamenom gornjeg izraza u izraz (2) dobija se:P[ τ i > s + t] = P[ τi> s] ⋅ h(t). (3)Ako se vremenu s dodeli vrednost nula (s=0) i uzimajući u obzir da je P[τ i >0]=1,dobija se da je:P[ τ i > t] = h(t).Dodeljivanje vrednosti nula vremenu s moguće je zbog početnih uslova tj. nijespecificirano koliko je proces već u stanju i što znači da vreme s može uzetiproizvoljnu vrednost.Na osnovu gornjeg izraza i izraza (3) može se napisati:P[ τ i > s + t] = P[ τi> s] ⋅ P[ τi> t](4)Diferenciranjem izraza (4) po s dobija se:dP[ τ i > t + s] dP[ τi> s]= ⋅ P[ τit]ds ds>(5)IV-10

gde je:dP τi> sds[ ]=dds( 1−P[ τ ≤ s]) = −f(s)iτigustina raspodele za τ i .Zamenom gornjeg izraza u izraz (5), dodeljivanjem vremenu s vrednosti nula (s=0)i sređivanjem izraza dobija se:dP[ τi> t]= −fτ (0) ⋅ ds .P[ τ t]ii >Integracijom gornjeg izraza u granicama od 0 do t dobija se:ln P[ τi> t] = −fτ (0) ⋅ t ; odnosnoP[ τ > t]i= efτii(0) ⋅tDiferenciranjem poslednjeg izraza po t i njegovim sređivanjem dolazi se dokonačnog izraza za gustinu raspodele vremena koje proces provede u stanju i:fτiifτi(0) ⋅t(t) = f (0) ⋅ e(6)τgde je:f τi (t) - gustina raspodele vremena koje proces provede u stanju i.Izraz (6) predstavlja gustinu eksponencijalne raspodele sa parametrom f τi (0) kojimože da zavisi samo od stanja i, čime je dokaz završen.Materija izneta u gornjem tekstu važi uopšte za slučajni proces Markov-a bezobzira da li je on nehomogen ili homogen (verovatnoće prelaska iz stanja u stanjezavise ili ne zavise od vremena).Verovatnoće prelaska – promene stanja i verovatnoće stanja slučajnog procesMarkov-aNehomogeni slučajni proces Markov-aKod nehomogenih slučajnih procesa, pa i kod nehomogenog slučajnog procesaMarkov-a, verovatnoće prelaska iz stanja u stanje – promene stanja zavise odvremena, tj. od položaja na vremenskoj osi. (videti ANNEX V) *17Verovatnoća prelaska, u zavisnosti od vremena, slučajnog procesa Markov-a sakontinualnim vremenom iz stanja i u trenutku s u stanje j u trenutku t definiše sekao uslovna verovatnoća: *18p ij (s,t) = P X(t) = j X(s) = i(7)[ ]IV-11

Verovatnoća stanja tj. verovatnoća da će se proces (sistem) naći u trenutku t ustanju j definiše se kao: *18p j (t) = [X(t)=j]; j=0,1, ... ,n. (8)Matrična diferencijalna jednačina koja definiše promenu verovatnoće stanja uzavisnosti od vremena, za slučaj nehomogenog slučajnog procesa Markov-a jeoblika: *19dp(t)= p(t) ⋅ Q(t)(9)dtgde je:p(t) = [p 0 (t), p 1 (t), ... , p n (t)] – vektor verovatnoća stanja u trenutku t,Q(t) – matrica intenziteta prelaska (tranzicije) u zavisnosti od vremena,nehomogeni slučaj. Matrica Q(t) = [q ij (t)] je kvadratna i dimenzije jen×n (n – broj diskretnih stanja slučajnog procesa Markov-a).Gde je sistem (proces) bio u početnom trenutku određuje se preko početnogvektora verovatnoća stanja p(0), potrebnog za rešavanje matrične diferencijalnejednačine (9) – početni uslovi. Ako je p k (0)=1 za k=i i p k (0)=0 za k ≠ i tada semože reći da je proces (sistem) bio u stanju i u trenutku 0. U tom slučaju p j (t) jeidentički jednako p ij (0,t).Homogeni slučajni proces Markov-aZa svaki slučajni proces, pa i za slučajni proces Markov-a, se kaže da je homogenako verovatnoće prelaska slučajnog procesa, iz stanja u jednom vremenskomtrenutku u neko drugo stanje u drugom vremenskom trenutku, ne zavise odpoložaja datih vremenskih trenutaka na vremenskoj osi, već zavise samo od dužineintervala između vremenskih trenutaka u kojima se proces nalazi na početkuodnosno na kraju posmatrane promene stanja (tranzicije) (videti ANNEX V). *20Na osnovu uslova homogenosti, verovatnoća prelaska iz stanja i u stanje j navremenskom intervalu τ, kod homogenog slučajnog procesa Markov-a sakontinualnim vremenom, definiše se kao sledeća uslovna verovatnoća: *21p ij ( τ ) = P X(t + τ)= j X(t) = i(10)[ ]gde je:t – proizvoljni vremenski trenutak.Verovatnoća stanja tj. verovatnoća da će se proces (sistem) naći u trenutku t ustanju j definiše se kao: *21IV-12

p j (t) = [X(t)=j]; j=0,1, ... ,n. (11)Verovatnoće stanja procesa (sistema) određuju se na identičan način kao i u slučajunehomogenog slučajnog procesa Markov-a, stim što treba uzeti u obzir da matricaQ (matrica intenziteta prelaska) ne zavisi od vremena, tj. iz matrične diferencijalnejednačine: *22dp(t)= p(t) ⋅ Q(12)dtgde je:p(t) = [p 0 (t), p 1 (t), ... , p n (t)] – vektor verovatnoća stanja u trenutku t,Q – matrica intenziteta prelaska (tranzicije) koja u homogenom slučaju nezavisi od vremena tj. članovi matrice su konstantni. Matrica Q = [q ij ] jekvadratna i dimenzije je n×n (n – broj diskretnih stanja slučajnogprocesa Markov-a).Gde je sistem (proces) bio u početnom trenutku određuje se preko početnogvektora verovatnoća stanja p(0), potrebnog za rešavanje matrične diferencijalnejednačine (12) – početni uslovi. Ako je p k (0)=1 za k=i i p k (0)=0 za k ≠ i tada semože reći da je proces (sistem) bio u stanju i u trenutku 0. U tom slučaju p j (τ) jeidentički jednako p ij (τ).Za homogeni slučajni proces Markov-a kaže se da je "nesvodljiv" (irreducible)ukoliko se u svako stanje procesa može doći iz svakog drugog stanja (ne moradirektno) tj. pij(τ) > 0, gde je τ vremenski interval proizvoljne dužine. *23Homogeni slučajni proces Markov-a sa ovim svojstvima još se u literaturi naziva i"tranzitivnim".Ako je homogeni slučajni proces Markov-a nesvodljiv tj. tranzitivan tada,nezavisno od početnih uslova, uvek postoji sledeća granična vrednost:lim pij(τ)→ p jτ→∞tj. verovatnoće prelaska iz stanja u stanje (tranzicione verovatnoće) postaju jednakeverovatnoćama stanja sistema kad interval u kome se posmatra proces (sistem) težibeskonačnosti tj. kad τ→∞.Za slučajni proces Markov-a sa kontinualnim vremenom, koji je definisan nadiskretnom skupu kaže se da je ergodičan ako po isteku dovoljno velikog intervalavremena τ, verovatnoće stanja sistema (procesa) ne zavise od početnih uslova,početnog trenutka kao ni od dužine samog vremenskog intervala τ. *24IV-13

lim p ( τ)→τ→∞j p j(13)Potreban uslov da bi slučajni proces Markov-a sa kontinualnim vremenom (lanacMarkov-a) bio ergodičan je to da on bude nesvodljiv tj. tranzitivan, dok je dovoljanuslov da slučajni proces Markov-a sa kontinualnim vremenom bude homogen.Drugim rečima sistemi (procesi) za koje važi (13) postaju stacionarni, nezavisni odvremena tj. ulaze u stacionarni režim rada, gde su p j verovatnoće stanja procesa(sistema) u stacionarnom režimu rada.Vreme trajanja slučajnog procesa, odnosno rada sistema, može se uslovno podelitina dva intervala i to: interval (0, t stac ) i interval (t stac , ∞). Interval vremena (0, t stac )naziva se interval prelaznog režima rada sistema (nestacionarni režim), dok seinterval (t stac , ∞) naziva intervalom stacionarnog režima rada sistema. Veličina t stacje vremenski trenutak kada možemo smatrati da sistem prelazi iz nestacionarnog ustacionarni režim rada. Vremenski trenutak t stac se približno može odrediti izuslova: *25p j(τ)− p j⋅100≤ δ ; za ∀j = 0,1, ... ,n (14)p jgde je δ izraženo u procentima (%).Na osnovu kriterijuma (14) sistem (proces) ulazi u stacionarni režim rada (t stac )kada je relativna razlika svih verovatnoća stanja manja od δ procenata (npr. 5%,1% itd.). Ukoliko su parametri δ manji to je veličina t stac veća.Na osnovu izraza (13) dobija se:dp ( )lim j τ= 0 j = 0,1, ... ,ndττ→∞tj. nema promene verovatnoća stanja sistema (procesa) u vremenu pa je prvi izvodverovatnoća stanja po vremenu jednak nuli, tako da se verovatnoće stanja sistemaodređuju iz sistema linearnih algebarskih jednačina: *26p⋅Q=0 (15)gde je:p = [p 0 , p 1 , ... , p n ] – vektor verovatnoća stanja.Sistem linearnih algebarskih jednačina (15) jednoznačno određuje verovatnoćestanja sistema (procesa) u stacionarnom režimu rada uz normirajući uslov:IV-14

n∑j=0pj =1.U narednom tekstu biće razmatrani samo homogeni slučajni procesi Markov-a.Proces rađanja i umiranjaProces „rađanja i umiranja“ je specijalan slučaj slučajnog procesa Markov-a ukojem proces iz stanja k može preći samo u susedna stanja k+1, k–1 ili ostati utekućem stanju k. *27Proces rađanja i umiranja je adekvatan za modeliranje promena u veličini nekepopulacije. Kada se kaže da je procesu stanju k to znači da je populacija u tomtrenutku veličine k. Tada, promena stanja od k do k+1 bi značila "rađanje" unutarpopulacije, dok promena od k do k–1 bi značila "umiranje" unutar populacije.Shodno gore iznetom, λ k se definiše kao intenzitet rađanja tj. intenzitet sa kojim serađanja događaju kad je populacija veličine k. Slično, μ k se definiše kao intenzitetumiranja tj. intenzitet sa kojim se umiranja događaju kada je populacija veličine k.U ovom slučaju intenziteti rađanja i umiranja su nezavisni od vremena i zavisesamo od stanja k, tako da ovako definisan proces rađanja i umiranja predstavljahomogeni slučajni proces Markov-a sa kontinualnim vremenom tj. homogeni lanacMarkov-a sa kontinualnim vremenom tipa umiranja i rađanja.U skladu sa gornjim tekstom i oznakama dobija se da su elemanti matrice Qsledeći:q k,k+1 = λ k , odnosno q k,k–1 = μ k (16)i kako proces može da pređe iz stanja k samo u susedna stanja, tj. q kj = 0 za⏐k–j⏐>1, ili da ostane u istom stanju to je:q k,k = –(λ k + μ k ) (17)Pošto se ovde radi o teoriji redova, prikladnije je govoriti o dolasku i odlaskujedinica u sistem opsluživanja nego o rađanju i umiranju članova određenepopulacije. To znači da bi dolazak jedinice u sistem opsluživanja odgovarao"rađanju" unutar populacije dok bi odlazak jedinice iz sistema odgovarao"umiranju" unutar populacije. Takođe, λ k predstavlja intenzitet sa kojim jedinicedolaze u sistem opsluživanja ako se u njemu nalazi k jedinica, odnosno μ kpredstavlja intenzitet sa kojim jedinice napuštaju sistem opsluživanja ako se unjemu nalazi k jedinica.IV-15

U slučaju homogenog lanca Markov-a sa kontinualnim vremenom i n diskretnihmogućih stanja tipa rađanja i umiranja, matrica intenziteta prelaska (tranzicije) jeoblika:⎡− λ0⎢μ⎢ 1⎢ 0⎢.Q = ⎢⎢ .⎢⎢ .⎢ 0⎢⎢⎣0λ0− ( λ1+ μ1)μ2...000λ1− ( λ2+ μ2)...0000λ2...00..............μn−10000...− ( λn−1+ μn−1)μn0 ⎤0⎥⎥0 ⎥⎥.⎥. ⎥⎥. ⎥λ ⎥n−1⎥− μn⎥⎦n×n(18)Matrica Q je napisana pod pretpostavkom da je maksimalan broj jedinica kojemogu u jednom trenutku mogu da budu u sistemu opsluživanja n.Potrebno je naglasiti da su u homogenom lancu Markov-a tipa umiranja i rađanjaprocesi dolaska jedinica u sistem (rađanje) i odlaska jedinica iz sistema (umiranje)međusobno nezavisni, što sledi direktno iz osobine slučajnog procesa Markov-a.Na osnovu gore iznetog moguće je definisati verovatnoće događaja prelaskasistema (procesa) iz stanja k u susedna stanja: *28 (videti ANNEX VI)događaj B1: P[tačno 1 dolazak u (t,t+Δt)⏐k jedinica u sistemu] = λ k ⋅Δt + o(Δt)događaj D1: P[tačno 1 odlazak u (t,t+Δt)⏐k jedinica u sistemu] = μ k ⋅Δt + o(Δt)događaj B2: P[tačno 0 dolazaka u (t,t+Δt)⏐k jedinica u sistemu] = 1 – λ k ⋅Δt + o(Δt)događaj D2: P[tačno 0 odlazaka u (t,t+Δt)⏐k jedinica u sistemu] = 1 – μ k ⋅Δt + o(Δt)Iz verovatnoća gornjih događaja vidi se da su dolasci tj. odlasci jedinica iz sistemau grupama nemogući jer takvi događaji su reda o(Δt).Informacije sadržane u matrici intenziteta prelaska (tranzicije) Q mogu se prikazatipreko dijagrama (grafa) promene stanja sistema. U takvom dijagramu stanjesistema k je prikazano preko pravougaonika u čijoj sredini se nalazi broj k. Svakiintenzitet prelaska q ij (elementi matrice Q) koji je različit od nule je prikazan udijagramu preko strelice od i do j, iznad koje se nalazi q ij . Elementi na glavnojdijagonali matrice Q ne sadrže ni jednu novu informaciju tako da dijagram nesadrži lukove koji sistem iz stanja i prevode opet u stanje i. Izgled dijagramapromene stanja sistema prikazan je na slici IV-3. *29IV-16

Slika IV-3. Dijagram promene stanja procesa tipa "rađanja i umiranja".Sistem diferencijalnih jednačina koji opisuje promenu stanja sistema u vremenu sedobija zamenom matrice Q (18) u izraz (12) i sledećeg je oblika:dp (t)= −λ0⋅ p0() t + μ1p1()tdt;Mdpk(t)= λk−1 ⋅ pk−1tdt− λk+ μk⋅ pkt + μk+1 ⋅ pk+1 t ; k = 1, ..., n −M (19)dpn(t)= λn− 1 ⋅ pn−1() t − μn⋅ pn() t .dt() ( ) () () 1Za rešavanje sistema diferencijalnih jednačina (19) potrebno je definisati početneuslove oblika p k (0), k = 0,1, ... ,n koji treba da ispunjavaju uslov:n∑ pk = 1.k=0Jednokanalni sistem opsluživanja sa ograničenim redomKarakteristike jednokanalnog sistema opsluživanja sa ograničenim redom susledeće: *30− sistem ima jedan kanal za opsluživanje (c = 1) i konačan broj mesta u redu m.− vremenski intervali između dolazaka jedinica u sistem su raspodeljeni poeksponencijalnoj raspodeli sa parametrom λ tj. dolazni tok je proces rađanjaodnosno Poisson-ov proces. Intenziteti dolaska jedinica u zavisnosti od stanjasistema imaju sledeće vredosti:⎧λk = 0,1,...,mλk= ⎨⎩0k = m + 1− vreme trajanja opsluživanja jedinica raspodeljeno je po eksponencijalnojraspodeli sa parametrom μ tj. opsluživanje jedinica predstavlja proces umiranja.− Kendall - ova oznaka ovog sistema je M(λ)/M(μ)/1/m ili kraće M/M/1/m.− pravilo prihvatanja iz reda na opsluživanje je "prva prispela - prva opslužena"(FIFO).IV-17

Ukoliko jedinica pri dolasku u sistem zatekne prazan sistem (nema jedinica usistemu), tada ona biva prihvaćena u sistem i odmah počinje da se opslužuje. Dalje,ako jedinica koja dolazi u sistem zatekne u sistemu k jedinica k∈[1, m] tadajedinica biva prihvaćena u sistem i staje u red. Dok ako jedinica zatekne u sistemum+1 jedinicu (jedna se opslužuje a m ih je u redu) biva odbijena.Kao što je ranije u tekstu rečeno procesi dolaska jedinica (Poisson-ov proces tj.proces rađanja) i proces opsluživanja jedinica (proces umiranja) su nezavisnimeđusobno.Na osnovu prethodno iznetog u ovom poglavlju i uzimajući u obzir da suintenziteti prelaska iz stanja u stanje konstantni i ne zavise od vremena a ni odstanja sistema, matrica intenziteta prelaska (tranzicije) za slučaj jednokanalnogsistema sa ograničenim redom ima sledeći oblik:⎡− λ λ 0 0 . . 0 0 ⎤⎢μ − ( λ + μ)λ 0 . . 0 0⎥⎢⎥⎢ 0 μ − ( λ + μ)λ . . 0 0 ⎥⎢⎥. . . . . . . .Q = ⎢⎥(20)⎢ . . . . . . . . ⎥⎢⎥⎢ . . . . . . . . ⎥⎢ 0 0 0 0 . μ − ( λ + μ)λ ⎥⎢⎥⎢⎣0 0 0 0 . 0 μ − μ⎥⎦m+2×m+2Stanja sistema su: *31− stanje 0: nema jedinica u sistemu, kanal za opsluživanje je slobodan.− stanje 1: jedna jedinica je u sistemu i ona se opslužuje.− stanje m+1: m+1 jedinica je u sistemu, jedna se opslužuje i m ih je u redu.Na osnovu matrice Q (20) formira se dijagram promene stanja jednokanalnogsistema opsluživanja sa m mesta u redu: (IV-4) *32Slika IV-4. Dijagram promene stanja jednokanalnog sistema opsluživanja saograničenim redom.Zamenom matrice Q (20) u izraz (12) ili zamenom λ k = λ za ∀k i μ k = μ za ∀k usistem diferencijalnih jednačina (19) dobija se sistem diferencijalnih jednačina kojiopisuje stanja jednokanalnog sistema opsluživanja sa m mesta u redu:IV-18

2m+1p0 + ρ ⋅ p0+ ρ ⋅ p0+ ... + ρ ⋅ p0= 1, odnosno:2 m+1p ⋅ (1 + ρ + ρ + ... + ρ ) 1; (26)0 =odakle se dobija izraz za verovatnoću nultog stanja sistema kao:1− ρp0=2 ; (27)m+21− ρZamenom (27) u (23) dobija se izraz za ostale verovatnoće stanja sistema:i 1− ρpi= ρ ⋅ ; (28)m+21− ρU slučaju opšteg modela jednokanalnog sistema opsluživanja zakon raspodeleverovatnoća stanja (broja jedinica u sistemu) je funkcija tri parametra (λ, μ, m), azamenom parametara λ i μ parametrom ρ (24), dobija se da je zakon raspodeleverovatnoća stanja jednokanalnog sistema opsluživanja funkcija dva parametra ρ im. *33i 1− ρP(X = i) = Pρ,m,i= ρ ⋅ , i=0,1,2, ... ,(m+1) (29)m+21− ρU narednom tekstu biće navedene neke od osnovnih karakteristika jednokanalnogsistema opsluživanja sa ograničenim redom i to: *34− Verovatnoća opsluživanja (P ops ),− Verovatnoća zauzetosti kanala za opsluživanje (P zk ) (srednji broj zauzetihkanala c z ),− Verovatnoća postojanja reda (P pr ),− Srednji broj jedinica u redu (N w ),− Srednji broj jedinica u sistemu (N ws ),− Zakon raspodele vremena koje jedinica provede u sistemu,− Srednje vreme koje jedinica provede u sistemu (t ws ),− Zakon raspodele vremena koje jedinica provede u redu, i− Srednje vreme koje jedinica provede u redu (t w ).Verovatnoća opsluživanja (P ops )Verovatnoća opsluživanja predstavlja verovatnoću da će jedinica koja zahtevaopsluživanje biti prihvaćena u sistem (biti opslužena) tj. neće dobiti otkaz. Da bi se22 112 1+ + + + = − m +m+ρρ ρ ... ρ1−ρ; suma prvih (m+2) članova geometrijskog reda.IV-20

jedinica prihvatila u sistem potrebno je da je makar jedno mesto u redu budeslobodno. Verovatnoća opsluživanja je jednaka:+− ρ= ∑m m 11P ops pi= 1−pm+1 = ; (30)m+2i=01− ρNa slici IV-5. prikazana je promena verovatnoće opsluživanja (P ops ) u zavisnostiod iskorišćenja kanala tj. sistema (ρ) i broja mesta u redu (m).P opsρSlika IV-5. Verovatnoća opsluživanja.mVerovatnoća zauzetosti kanala za opsluživanje (P zk )Verovatnoća zauzetosti kanala za opsluživanje predstavlja verovatnoću da kanal zaopsluživanje radi. Kanal za opsluživanje nije zauzet jedino u slučaju da je sistemprazan tj. kada se nalazi u stanju X=0. Ova karakteristika jednokanalnog sistemaopsluživanja predstavlja za jednokanalni sistem opsluživanja i srednji broj zauzetihkanala (c z ).Verovatnoća zauzetosti kanala za opsluživanje se definiše kao:Pzkm+1( 1− ρ )ρ⋅1−p0=m+21− ρ= ; (31)Na slici IV-6. prikazana je promena verovatnoće zauzetosti kanala za opsluživanje(P zk ) u zavisnosti od iskorišćenja kanala tj. sistema (ρ) i broja mesta u redu (m).IV-21

P zkmρSlika IV-6. Verovatnoća zauzetosti kanala za opsluživanje.Verovatnoća postojanja reda (P pr )Verovatnoća postojanja reda predstavlja verovatnoću da u sistemu postoje jedinicekoje čekaju u redu na opsluživanje. Takvo stanje nastaje kada se u sistemu nalazedve ili više jedinica tj. kada se sistem nalazi u stanjima X=2, X=3, ...., X=m+1.Verovatnoća postojanja reda je jednaka:P = p + p + ... + p + = 1−p − p , odnosno:Pprpr23m( 1− ρ )2ρ ⋅m+2− ρm101= ; (32)1Na slici IV-7. prikazana je promena verovatnoće postojanja reda (P pr ) u zavisnostiod iskorišćenja kanala tj. sistema (ρ) i broja mesta u redu (m).PprρSlika IV-7. Verovatnoća postojanja reda.mIV-22

Srednji broj jedinica u redu (N w )Srednji broj jedinica u redu predstavlja očekivanu popunjenost reda. Da bi seodredio srednji broj jedinica u redu potrebno je definisati slučajnu promenljivu“broj jedinica u redu” (X w ) i njen zakon raspodele verovatnoća. Zakon raspodeleverovatnoća slučajne promenljive X w je sledeći:⎛ 0 1 2 ... m ⎞⎜ r r r r ⎟X w : ⎜ p0p1p2... pm⎟(33)⎜⎟⎝p0+ p1p2p3... pm+1⎠gde su:p i (i=0,1, ...,m+1) – verovatnoće stanja jednokanalnog sistema opsluživanja,rip (i=0,1, ...,m) – verovatnoća da u redu ima 0,1,2, ...,m jedinica, i0,1,2, ...,m – realizacije slučajne promenljive X w .Srednji broj jedinica u redu dobija se kao matematičko očekivanje slučajnepromenljive X w .N wmri ⋅ pi= 0 ⋅ (p0+ p1)+ 1⋅p2+ 2 ⋅ p3+ ... + m ⋅ pm+1i=0Nw22 m−1ρ ⋅ p0⋅ (1 + 2 ⋅ρ + 3⋅ρ+ ... + m ⋅ρ )jer je p i = ρi⋅p 0 .= ∑ , odnosno= ; (34)Izraz u zagradi može se napisati na sledeći način:1+2⋅ρ + 32⋅ρ +... + mm−1⋅ρ =1m− ρ ⋅[ m ⋅(1− ρ)+ 1](1 − ρ)2; 3 (35)Zamenom izraza za p 0 (27) i izraza (35) u jednačinu (34) dobija se da je:m2 1− ρ ⋅[ m ⋅(1− ρ)+ 1]N w = ρ ⋅m 2(1 − ρ)⋅(1− ρ+ ; (36))Na slici IV-8. prikazana je promena srednjeg broja jedinica u redu (N w ) uzavisnosti od iskorišćenja kanala tj. sistema (ρ) i broja mesta u redu (m).3 Polazeći od sume geometrijskog reda oblika:12 11+ + + + = − m +m ρρ ρ ... ρ ,1−ρdiferenciranjem leve i desne strane po ρ dobija se:[ m ( ρ)]2 1 1 1 11+ 2⋅ + 3⋅ + + ⋅ = − mm−ρρ ρ ... m ρ⋅ ⋅ − +2( 1−ρ).IV-23

N wmρSlika IV-8. Srednji broj jedinica u redu.Srednji broj jedinica u sistemu (N ws )Srednji broj jedinica u sistemu predstavlja očekivanu popunjenost sistema. Srednjibroj jedinica u sistemu dobija se kao matematičko očekivanje, slučajnepromenljive čiji je zakon raspodele definisan izrazom (29) odnosno, zakonaraspodele verovatnoća stanja jednokanalnog sistema opsluživanja.m+1N ws = ∑ i ⋅ pi= 0⋅p0+ 1⋅p1+ 2⋅p2+ 3⋅p3+ ... + (m + 1) ⋅ pm+1, odnosnoi=02mNws= p0⋅ρ⋅(1+ 2⋅ρ + 3⋅ρ+ ... + (m + 1) ⋅ρ). (37)jer je p i = ρi⋅p 0 .Izraz u zagradi može se napisati na sledeći način:m+12m 1− ρ ⋅[ m ⋅(1− ρ)+ 2 − ρ]1+2⋅ρ + 3⋅ρ+ ... + (m + 1) ⋅ρ =; 4 (38)2(1 − ρ)Zamenom izraza za p 0 (27) i izraza (38) u jednačinu (37) dobija se da je:m+11− ρ ⋅[ m ⋅(1− ρ)+ 2 − ρ]Nws = ρ⋅; (39)m+2(1 − ρ)⋅(1− ρ )4 Polazeći od sume geometrijskog reda oblika:22 3 1 11+ + + + + = − m+m+ρρ ρ ρ ... ρ1−ρdiferenciranjem leve i desne strane po ρ dobija se:[ m ( ) ]11 1 221+ 2⋅ + 3⋅ + + + 1 ⋅ = − m+ρ ⋅ ⋅ − ρρ ρ ρ+ − ρm... ( m )2( 1−ρ).IV-24

Izraz (39) takođe se može dobiti sabiranjem izraza srednji broj zauzetih kanala (31)i izraza za srednji broj jedinica u redu (36) tj. kao:N ws = cz(Pzk) + Nw.Na slici IV-9. prikazana je promena srednjeg broja jedinica u sistemu N ws uzavisnosti od iskorišćenja kanala tj. sistema (ρ) i broja mesta u redu (m).N wsρSlika IV-9. Srednji broj jedinica u sistemu.mZakon raspodele vremena koje jedinica provede u reduDa bi se odredio zakon raspodele vremena koje jedinica provede u redu potrebno jeprvo odrediti verovatnoću da je vreme koje jedinica provede u redu (T r ) manje odnekog zadatog (t). U tu svrhu potrebno je definisati dva događaja: (slika IV-10)Slika IV-10. Presek događaja A i B.– događaj A: u redu ima k jedinica (X=x k , 0 ≤ k ≤ m-1; m=1,2,3, ...) i– događaj B: vreme koje jedinica provede u redu je manje od zadatog (T r

gde je:P(A) – verovatnoća događaja A, tj. da u redu ima k jedinica,P(B/A) – verovatnoća događaja B pod uslovom da se ostvario događaj A, tj. da jedata jedinica boravila u redu manje vreme od zadatog ako je u trenutku njenogdolaska u sistem u redu bilo k jedinica.Iz napred iznetog sledi:m 1P(Tr < t) = ∑ − P(X = k) ⋅ P(Tr< t / X = k)k=0(41)odnosno:P(Trm−11t k −μ⋅tk+1 − ρ μ ⋅(μ ⋅ t) ⋅e< t) = ∑ ρ ⋅ ⋅m+2 ∫k=0 1− ρ 0 k!⋅dt. (42)k 1− ρIzraz: P(X = k) = ρ ⋅ , predstavlja verovatnoću da se u redu nalazi km+21− ρjedinica u trenutku pristupanja posmatrane jedinice u sistem (u datom trenutku uredu može biti najviše m-1 jedinica tj. mora postojati barem jedno mesto u reduprazno).t k −μ⋅tμ ⋅ ( μ ⋅ t) ⋅ eIzraz: ∫⋅ dt predstavlja verovatnoću da će jedinica koja pristupa u0k!sistem čekati u redu opsluživanje jedinice koja se trenutno opslužuje i opsluživanjek jedinica ispred sebe, što znači da je vreme koje jedinica provodi u redu jednakozbiru k+1 slučajnih promenljivih od kojih svaka ima eksponencijalnu raspodelu saparametrom μ. Takva slučajna promenljiva ima Erlangovu raspodelu reda k+1(slika IV-11).P(T r

gde podintegralna funkcija predstavlja gustinu raspodele vremena koje jedinicaprovede u redu tj.:ρ ⋅ μ − λ m−μ⋅∑ − 1 k( ) t ( λ ⋅ t)f (t) = ⋅ e ⋅ ; (44)m + 21− ρk=0 k!Integracijom izraza (2.55) dobija se:ρ ⋅ − ρ ⎪⎧−m−1k(1 ) m 1λ ⋅ m−k−1k −μ⋅t( t)i ⎪⎫P (Tr< t) = ⋅ ⎨ ∑ ρ − e ⋅ ∑ ⋅ ∑ ρ+⎬ ; (45)m 21− ρ ⎪⎩ k=0k=0 k! i=0 ⎪⎭Sumiranjem geometrijskih nizova ρk (k=0,1, ... ,m-1) i ρi (i=0,1, ... ,m-k-1) dobijase:m −μ⋅t1e m 1 k− ρ− ( λ ⋅ t) m−kP(Tr< t) = ρ ⋅ − ρ ⋅ ⋅ ⋅ (1 − ρ )m+2 m+2∑ (46)1− ρ 1− ρk!Posle sređivanja izraza (46) dobija se konačni izraz za verovatnoću da vreme kojejedinica provede u redu bude manje od zadatog (t), odnosno raspodela vremenaboravka jedinica u redu:m −μ⋅t− ρ⎡m−1kλ ⋅m−1k1e( t) m ( μ ⋅ t) ⎤P (Tr< t) = F(t) = ρ ⋅ − ρ ⋅ ⋅ ⎢ ∑ − ρ ⋅ ∑ ⎥ (47)m+2 m+21− ρ 1− ρ ⎢⎣k= 0 k! k = 0 k!⎥⎦Potpun događaj u ovom slučaju je oblika:P(T r

srednji broj jedinica u redu (N w ), sa prosečnim intenzitetom dolaznog toka jedinicau sistem ( λ ):Nt = ww . (49)λU ovom slučaju prosečni intenzitet dolaznog toka se izračunava kao:m+1λ = ∑ λ ⋅(50)k=0kp k = λ ⋅ (p0+ p1+ ... + pm) + 0 ⋅ pm+1odnosno:λ = λ ⋅ 1−p ). (51)( m+ 1Na slici IV-12. prikazana je promena srednjeg vremena koje jedinica provede uredu (t w ), (odnosno veličine μ⋅t w ) u zavisnosti od iskorišćenja kanala tj. sistema(ρ) i broja mesta u redu (m).μ⋅t wρSlika IV-12. Srednje vreme koje jedinica provede u redu.mZakon raspodele vremena koje jedinica provede u sistemuDa bi se odredio zakon raspodele vremena koje jedinica provede u sistemupotrebno je prvo odrediti verovatnoću da je vreme koje jedinica provede u sistemu(T s ) manje od nekog zadatog (t). U tu svrhu potrebno je definisati dva događaja:(slika IV-13.)IV-28

Slika IV-13. Presek događaja A i B.– događaj A: u sistemu ima k jedinica (X=x k , 0 ≤ k ≤ m; m=0,1,2,3, ...) i– događaj B: vreme koje jedinica provede u sistemu je manje od zadatog (T s

sistemu jednako zbiru k+1 slučajnih promenljivih od kojih svaka imaeksponencijalnu raspodelu sa parametrom μ. Takva slučajna promenljiva imaErlangovu raspodelu reda k+1. (slika IV-14).P(T s

verovatnoća opsluživanja podrazumeva da će data jedinica biti opslužena ukolikoje prihvaćena u sistem nezavisno od vremena koje će ona provesti u sistemu.Srednje vreme koje jedinica provede u sistemu (t ws )Srednje vreme koje jedinica provede u sistemu predstavlja očekivano vreme kojeće data jedinica provesti u sistemu. Srednje vreme koje jedinica provede u sistemupredstavlja matematičko očekivanje kontinualne slučajne promenljive čija jefunkcija raspodele data izrazom (59) odnosno, dobija se integracijom gustineraspodele vremena koje jedinica provede u sistemu (56):∞μ − λm k( ) −μ⋅t( λ ⋅ t)t ws = ∫ t ⋅ ⋅ e ⋅+∑ ⋅ dt ; (60)m 20 1− ρk=0 k!Jednostavniji i brži način za određivanje srednjeg vremena koje jedinica provede uredu je primenom “Little” - ove formule, tj. deljenjem izraza (39), koji predstavljasrednji broj jedinica u sistemu (N ws ), sa prosečnim intenzitetom dolaznog tokajedinica u sistem ( λ ):Nt =wsws . (61)λU ovom slučaju, kao i u slučaju srednjeg vremena koje jedinica provede u redu,prosečni intenzitet dolaznog toka određuje se na osnovu izraza (51) tj.:λ = λ ⋅ 1−p ).( m+ 1Na slici IV-15. prikazana je promena srednjeg vremena koje jedinica provede usistemu (t ws ), (odnosno veličine μ⋅t ws ) u zavisnosti od iskorišćenja kanala tj.sistema (ρ) i broja mesta u redu (m).μ⋅t wsρSlika IV-15. Srednje vreme koje jedinica provede u sistemu.mIV-31

U narednom tekstu biće prikazane karakteristike jednokanalnog sistemaopsluživanja bez reda i jednokanalnog sistema opsluživanja sa beskonačnimredom. Osnovna ideja je da se odgovarajuće vrednosti, za broj mesta u redu (m=0ili m→∞), zamene u izraze za verovatnoće stanja i osnovne karakteristikejednokanalnog sistema opsluživanja sa ograničenim redom da bi se dobilekarakteristike jednokanalnog sistema opsluživanja bez reda i karakteristikejednokanalnog sistema opsluživanja sa beskonačnim redom (slika IV-16).M/M/1/mjednokanalni sistemkonacan red (m)M/M/1/0jednokanalni sistembez reda (m=0)M/M/1/jednokanalni sistembeskonacan red (m )Slika IV-16. Relacije između jednokanalnih sistema. *35Jednokanalni sistem opsluživanja bez redaModel jednokanalnog sistema opsluživanja bez reda obeležava se po Kendall -ovoj oznaci sa M/M/1/0.Karakteristike ovog modela sistema su:− sistem ima jedan kanal za opsluživanje,− sistem nema red (sistem sa otkazima),− dolazni tok jedinica je prost sa intenzitetom λ, intenziteti dolaska jedinica uzavisnosti od stanja sistema imaju sledeće vredosti:⎧λk = 0λk = ⎨ ,⎩0k = 1− jedinica se opslužuju sa intenzitetom μ.Razlikuju se samo dva stanja sistema sa stanovišta statusa jedinice koja zahtevaopsluživanje i to:− u trenutku dolaska jedinice na opsluživanje u sistemu ima 0 jedinica, tada sejedinica prihvata u sistem i direktno ide na opsluživanje.− u trenutku dolaska jedinice na opsluživanje u sistemu je jedna jedinica koja seopslužuje, tada jedinica koja dolazi dobija otkaz.IV-32

Moguća stanja sistema su:− stanje 0: u sistemu nema jedinica, kanal za opsluživanje je slobodan,− stanje 1: jedna jedinica je u sistemu i ona se opslužuje.U skladu sa prethodnim tekstom i činjenicom da su intenzitet dolaska jedinica iintenzitet opsluživanja jedinica konstantni, tj. ne zavise ni od stanja sistema ni odvremena, matrica intenziteta prelaska (tranzicije) Q, za jednokanalni sistem bezreda, je oblika:⎡− λ μ ⎤Q = ⎢ ⎥(64)⎣ λ − μ⎦2×2Na osnovu matrice Q (64) formira se dijagram promene stanja jednokanalnogsistema opsluživanja bez reda: (slika IV-17.)Slika IV-17. Dijagram promene stanja sistema M/M/1/0.Na osnovu dijagrama stanja (slika IV-17.) postavlja se sistem diferencijalnihjednačina promene verovatnoća stanja sistema u vremenu. (p i = P(X=i), i=0,1)() tdp 0 = −λ ⋅ p0() t + μ p1()tdt⋅dp 1 () t= λ ⋅ p0() t − μ p1()tdt⋅(65)U stacionarnom režimu rada koji podrazumeva da je: t → ∞ tj. p′ i (t) = 0 (i=0,1) zahomogenu slučaj Markov-a (λ = const., μ = const.) sistem diferencijalnih jednačina(65) prelazi u sistem algebarskih jednačina.0 = −λ ⋅ p 0 + μ ⋅ p 1 ;0 = λ ⋅ p 0 − μ ⋅ p 1 ; ; (66)Rešavanjem sistema algebarskih jednačina (66) uz normirajući uslov (sumaverovatnoća stanja sistema je jednaka jedinici: p 0 +p 1 =1), ili zamenom parametara:m=0, i=0,1; u izraz za zakon raspodele jednokanalnog sistema opsluživanja (29),dobija se zakon raspodele verovatnoća stanja jednokanalnog sistema opsluživanjabez reda:IV-33

ili1p 0 = ; 1 + ρρp 1 = ; 1 + ρ1−i⎛ 1 ⎞ ⎛P(X = i) = ⎜ ⎟ ⋅⎜⎝1+ ρ ⎠ ⎝1ρ+ ρi⎞⎟ ;i = 0,1⎠(67)što predstavlja Bernulijev zakon raspodele verovatnoća.Osnovne karakteristike jednokanalnog sistema opsluživanja bez reda, prikazane unarednom tekstu, određene su zamenom odgovarajućih parametara u izraze zakarakteristike jednokanalnog sistema opsluživanja sa ograničenim redom.Verovatnoća opsluživanja (P ops )Zamenom vrednosti nula za parametar m (m=0) u izraz (30), dobija se izraz zaverovarnoću opsluživanja jednokanalnog sistema opsluživanja bez reda:1P ops = ; (68)1 + ρšto predstavlja izraz za verovatnoću p 0 .Na slici IV-18. prikazana je promena verovatnoće opsluživanja (P ops ) u zavisnostiod iskorišćenja kanala tj. sistema (ρ).P opsSlika IV-18. Verovatnoća opsluživanja.ρVerovatnoća zauzetosti kanala za opsluživanje (P zk )Zamenom vrednosti nula za parametar m (m=0) u izraz (31), dobija se izraz zaverovarnoću zauzetosti kanala za opsluživanje jednokanalnog sistema opsluživanjabez reda:IV-34

ρP zk = ; (69)1 + ρšto predstavlja izraz za verovatnoću p 1 .Na slici IV-19. prikazana je promena verovatnoće zauzetosti kanala zaopsluživanje (P zk ) u zavisnosti od iskorišćenja kanala tj. sistema (ρ).P zkρSlika IV-19. Verovatnoća zauzetosti kanala za opsluživanje.Srednji broj jedinica u sistemu (N ws )Zamenom vrednosti nula za parametar m (m=0) u izraz (39), dobija se izraz zasrednji broj jedinica u sistemu jednokanalnog sistema opsluživanja bez reda:ρN ws = ; (70)1 + ρšto takođe predstavlja izraz za verovatnoću p 1 .Na slici IV-20. prikazana je promena srednjeg broja jedinica u sistemu (N ws ) uzavisnosti od iskorišćenja kanala tj. sistema (ρ).N wsSlika IV-20. Srednji broja jedinica u sistemu.ρIV-35

Zakon raspodele vremena koje jedinica provede u sistemuZamenom vrednosti nula za parametar m (m=0) u izraz (59), dobija se izraz zazakon raspodele vremena koje jedinica provede u jednokanalnom sistemuopsluživanja bez reda:−μ⋅t1 eP(Ts < t) = F(t) = − ; (71)1+ ρ 1+ ρdok se gustina raspodele vremena koje jedinica provede u jednokanalnom sistemubez reda dobija zamenom vrednosti nula za parametar m (m=0) u izraz (56):1 −μ⋅tf (t) = ⋅ μ ⋅ e ; (72)1+ ρSrednje vreme koje jedinica provede u sistemu (t ws )Srednje vreme koje jedinica provede u sistemu predstavlja dobija se deljenjemizraza (70), koji predstavlja srednji broj jedinica u sistemu (N ws ), sa prosečnimintenzitetom dolaznog toka jedinica u sistem ( λ ):1 1 ρ 1+ ρ ρ 1t ws = ⋅ Nws= ⋅ = ⋅ = ; (73)λ λ 1+ ρ λ 1+ ρ μgde je:λ= λ ⋅10 + 0 ⋅ p = λ ⋅ .1+ ρp 1Na slici IV-21. prikazana je promena vremena koje jedinica provede u sistemu(t ws ), (odnosno veličine μ⋅t ws ) u zavisnosti od iskorišćenja kanala tj. sistema (ρ).μ⋅t wsSlika IV-21. Srednje vreme koje jedinica provede u sistemu.ρIV-36

Jednokanalni sistema opsluživanja sa beskonačnim redomModel jednokanalnog sistema opsluživanja sa beskonačnim redom obeležava se poKendall - ovoj oznaci sa M/M/1/∞.Karakteristike ovog modela sistema su:− sistem ima jedan kanal za opsluživanje (c = 1) i beskonačan broj mesta u redum→∞.− vremenski intervali između dolazaka jedinica u sistem su raspodeljeni poeksponencijalnoj raspodeli sa parametrom λ tj. dolazni tok je proces rađanjaodnosno Poisson-ov proces. Intenziteti dolaska jedinica u zavisnosti od stanjasistema imaju sledeće vredosti:λ k = λ za k=0,1,2, ..., ∞.− vreme trajanja opsluživanja jedinica raspodeljeno je po eksponencijalnojraspodeli sa parametrom μ tj. opsluživanje jedinica predstavlja proces umiranja.− jedinice se iz reda na opsluživanje prihvataju po pravilu “prva prispela - prvaopslužena” (FIFO disciplina).Razlikuju se dve grupe stanja sistema sa stanovišta statusa jedinice koja zahtevaopsluživanje i to:− u trenutku dolaska jedinice na opsluživanje u sistemu ima 0 jedinica, jedinica setada prihvata u sistem i direktno ide na opsluživanje.− u trenutku dolaska jedinice na opsluživanje u sistemu ima jedna ili više jedinica(i=1,2,...,∞), jedinica se tada prihvata u sistem, staje u red i čeka na opsluživanje.Sistem se može naći u nekom od sledećih stanja:− stanje 0: u sistemu nema jedinica, kanal za opsluživanje je slobodan i u redunema jedinica,− stanje 1: u sistemu se nalazi jedna jedinica i ona se opslužuje, dok u redu nemajedinica,− stanje i: (i=2,3, ... ,∞) u sistemu se nalazi i jedinica od kojih se jedna jedinicaopslužuje a ostale jedinice se nalaze u redu i čekaju na opsluživanje.U skladu sa prethodnim tekstom i činjenicom da su intenzitet dolaska jedinica iintenzitet opsluživanja jedinica konstantni, tj. ne zavise ni od stanja sistema ni odvremena, matrica intenziteta prelaska (tranzicije) Q, za jednokanalni sistem sabeskonačnim redom, je oblika:IV-37

⎡− λ λ 0 0 0 . ⎤⎢μ − ( λ + μ)λ 0 0 .⎥⎢⎥Q = ⎢ 0 μ − ( λ + μ)λ 0 . ⎥(74)⎢⎥⎢0 0 μ − ( λ + μ)λ .⎥⎢⎣. . . . . . ⎥⎦Na osnovu matrice Q (74) formira se dijagram promene stanja jednokanalnogsistema opsluživanja sa beskonačnim redom: (slika IV-22.)Slika IV-22. Dijagram promene stanja sistema M/M/1/∞.Na osnovu dijagrama stanja (slika IV-22.) postavlja se sistem diferencijalnihjednačina promene verovatnoća stanja sistema u vremenu. (p i = P(X=i), i=1,2, ...,∞)dp 0 (t)= −λ ⋅ p0(t)+ μ p1(t)dt⋅ ;. . . . . (75)dpi(t)= λ ⋅ pi−1(t)− ( λ + μ)⋅ pi(t) + μ ⋅ pi+1(t); za i=1,2, ... ,∞dtU stacionarnom režimu rada koji podrazumeva da je: t → ∞ tj. p′ i (t) = 0 (i=0,1,2,... ,∞) za homogenu slučaj Markov-a (λ = const., μ = const.) sistem diferencijalnihjednačina (75) prelazi u sistem algebarskih jednačina.0 = −λ ⋅ p 0 + μ ⋅ p 1 ;. . . . . (76)= λ ⋅ p − ( λ + μ)⋅ p + μ ⋅ p ; za i=1,2, ... ,∞0 i−1i i+1Rešavanjem sistema algebarskih jednačina (76) uz normirajući uslov (sumaverovatnoća stanja sistema je jednaka jedinici: ∑ ∞ p i = 1), ili nalaženjem limesai=0zakona raspodele jednokanalnog sistema opsluživanja (29) kad m→∞, poduslovom da je ρ

iP(X = i) = ρ ⋅ (1 − ρ);i = 0,1,2 ,..., ∞(77)što predstavlja Geometrijsku raspodelu verovatnoća.Osnovne karakteristike jednokanalnog sistema opsluživanja sa beskonačnimredom, prikazane u narednom tekstu, određene su nalaženjem limesaodgovarajućih izraza za karakteristike jednokanalnog sistema opsluživanja saograničenim redom kada m→∞.Verovatnoća opsluživanja (P ops )Nalaženjem vrednosti limesa izraza (30) kada m→∞, dobija se vrednost zaverovatnoću opsluživanja jednokanalnog sistema opsluživanja sa beskonačnimredom:⎛ m+1 ⎞⎜ 1− ρP⎟ops = lim⇒m→∞⎜m+2 ⎟⎝1− ρ ⎠P ops = 1; (78)što znači da će svaka jedinica koja pristupi u sistem biti prihvaćena u sistem iopslužena.Verovatnoća zauzetosti kanala za opsluživanje (P zk )Nalaženjem vrednosti limesa izraza (31) kada m→∞, dobija se izraz zaverovatnoću zauzetosti kanala za opsluživanje jednokanalnog sistema opsluživanjasa beskonačnim redom:⎛ m+1 ⎞⎜ 1− ρP⎟zk = lim ρ ⋅ ⇒m→∞⎜m+2 ⎟⎝ 1− ρ ⎠P = ρ; (79)zkšto predstavlja opterećenje kanala a u ovom slučaju i sistema.Na slici IV-23. prikazana je promena verovatnoće zauzetosti kanala zaopsluživanje (P zk ) u zavisnosti od iskorišćenja kanala tj. sistema (ρ).IV-39

P zkSlika IV-23. Verovatnoća zauzetosti kanala za opsluživanje.ρVerovatnoća postojanja reda (P pr )Nalaženjem vrednosti limesa izraza (32) kada m→∞, dobija se izraz zaverovatnoću postojanja reda jednokanalnog sistema opsluživanja sa beskonačnimredom:⎛ m ⎞⎜ 2 1− ρP⎟pr = lim ρ ⋅ ⇒m→∞⎜m+2 ⎟⎝ 1− ρ ⎠Ppr2= ρ ; (80)Na slici IV-24. prikazana je promena verovatnoće postojanja reda (P pr ) uzavisnosti od iskorišćenja kanala tj. sistema (ρ).P prρSlika IV-24. Verovatnoća postojanja reda.Srednji broj jedinica u redu (N w )Nalaženjem vrednosti limesa izraza (36) kada m→∞, dobija se izraz za srednji brojjedinica u redu jednokanalnog sistema opsluživanja sa beskonačnim redom:IV-40

[ m ⋅ (1 − ρ)+ 1] ⎞⇒⎛ m⎜ 2 1− ρ ⋅N⎟w = lim ρ ⋅m → ∞⎜m+2 ⎟⎝ (1 − ρ)⋅ (1 − ρ ) ⎠2ρNw = ; (81)1 − ρNa slici IV-25. prikazana je promena srednjeg broja jedinica u redu (N w ) uzavisnosti od iskorišćenja kanala tj. sistema (ρ).N wρSlika IV-25. Srednji broj jedinica u redu.Srednji broj jedinica u sistemu (N ws )Nalaženjem vrednosti limesa izraza (39) kada m→∞, dobija se izraz za srednji brojjedinica u sistemu jednokanalnog sistema opsluživanja sa beskonačnim redom:m+11− ρ ⋅[ m ⋅(1− ρ)+ 2 − ρ]Nws = ρ⋅m+2(1 − ρ)⋅(1− ρ )ρN ws = ; (82)1 − ρNa slici IV-26. prikazana je promena srednjeg broja jedinica u sistemu (N ws ) uzavisnosti od iskorišćenja kanala tj. sistema (ρ).N wsSlika IV-26. Srednji broj jedinica u sistemu.ρIV-41

Zakon raspodele vremena koje jedinica provede u reduNalaženjem vrednosti limesa izraza (47) kada m→∞, dobija se zakon raspodelevremena koje jedinica provede u redu jednokanalnog sistema opsluživanja sabeskonačnim redom:m −μ⋅t− ρ⎡m−1kλ ⋅m−1k1e( t) m ( μ ⋅ t) ⎤P(Tr< t) = F(t) = ρ⋅ − ρ⋅ ⋅ ⎢ ∑ − ρ ⋅ ∑ ⎥m+2 m+21− ρ 1− ρ ⎢⎣k= 0 k! k = 0 k!⎥⎦−(μ−λ)⋅tP(T < t) = F(t) = ρ ⋅[1− e ]; (83)rdok se gustina raspodele vremena koje jedinica provede u redu jednokanalnogsistema opsluživanja sa beskonačnim redom dobija nalaženjem vrednosti limesaizraza (44) kada m→∞:=⎛⎜ μ − λm−μ⋅tlim ρ ⋅ ⋅ e ⋅⎜∑ − →∞ m+2⎝ 1− ρk =1( λ ⋅ t)kk⎞⎟ ⇒⎟⎠f (t)m 0 !−(μ−λ)⋅tf (t) = ρ ⋅ ( μ − λ)⋅ e ; (84)gde je:∑ ∞k=0( λ ⋅ t)k!k→λe .Srednje vreme koje jedinica provede u redu (t w )Srednje vreme koje jedinica provede u redu dobija se promenom Little-oveformule tako što se izraz (81) za srednji broj jedinica u redu podeli sa λ, tj.:Nt w λw = = ; (85)λ μ ⋅ ( μ − λ)U slučaju sistema opsluživanja sa beskonačnim redom prosečni intenzitet dolaznogtoka λ ima vrednost λ, odnosno:∞λ = ∑ λk ⋅ pk= λ ⋅ (p0+ p1+ ... + p∞) = λ ,k=0jer je:∑ ∞ pk = 1.k=0IV-42

Na slici IV-27. prikazana je promena srednjeg vremena koje jedinica provede uredu (t w ) (odnosno veličine μ⋅t w ) u zavisnosti od iskorišćenja kanala tj. sistema(ρ).μ⋅t wρSlika IV-27. Srednje vreme koje jedinica provede u redu.Zakon raspodele vremena koje jedinica provede u sistemuNalaženjem vrednosti limesa izraza (59) kada m→∞, dobija se zakon raspodelevremena koje jedinica provede u jednokanalnom sistemu opsluživanja sabeskonačnim redom:P(Ts⎛ m+1 −μ⋅t⎡⎜ − ρm k1 e( λ ⋅ t)mm+1< t) = F(t) = lim − ⋅ ⎢ ∑ −ρ ⋅ ∑m→∞⎜m+2 m+2⎝1− ρ 1− ρ ⎢⎣k=0 k!k=0( μ ⋅ t)k!−(μ−λ)⋅tP(Ts< t) = F(t) = 1−e ; (86)k⎤⎞⎥⎟⇒⎥⎟⎦⎠dok se gustina raspodele vremena koje jedinica provede u jednokanalnom sistemusa beskonačnim redom dobija nalaženjem vrednosti limesa izraza (56) kada m→∞:⎛⎞⎜ μ − λm k−μ⋅t( λ ⋅ t)f (t) = lim ⋅e⋅ ⎟ ⇒⎜ +∑m→∞m 2⎟⎝1− ρk=0 k!⎠−(μ−λ)⋅tf (t) = ( μ − λ)⋅ e ; (87)gde je:∑ ∞k=0( λ ⋅ t)k!k→λe .IV-43

Srednje vreme koje jedinica provede u sistemu (tws)Srednje vreme koje jedinica provede u sistemu dobija se promenom Little-oveformule tako što se izraz (82) za srednji broj jedinica u sistemu podeli sa λ, tj.:N 1 ρ 1t =wsws = ⋅ = ; (88)λ λ (1 − ρ)μ − λU slučaju sistema opsluživanja sa beskonačnim redom prosečni intenzitet dolaznogtoka λ ima vrednost λ, odnosno:∞λ = ∑ λk ⋅ pk= λ ⋅ (p0+ p1+ ... + p∞) = λ ,k=0jer je:∑ ∞ pk = 1.k=0Na slici IV-28. prikazana je promena srednjeg vremena koje jedinica provede usistemu (t ws ) (odnosno veličine μ⋅t ws ) u zavisnosti od iskorišćenja kanala tj.sistema (ρ).μ⋅t wsρSlika IV-28. Srednje vreme koje jedinica provede u sistemu.Višekanalni sistem opsluživanja sa ograničenim redomModel višekanalnog sistema opsluživanja sa ograničenim redom obeležava se poKendall - ovoj oznaci sa M/M/c/m.Karakteristike ovog modela sistema su: *36− sistem ima c kanala za opsluživanje i m mesta u redu,− vremenski intervali između dolazaka jedinica u sistem su raspodeljeni poeksponencijalnoj raspodeli sa parametrom λ tj. dolazni tok je proces rađanjaIV-44

odnosno Poisson-ov proces. Intenziteti dolaska jedinica u zavisnosti od stanjasistema imaju sledeće vredosti:⎧λk = 0,1,...,c + m −1λk= ⎨⎩0k = c + m− vreme trajanja opsluživanja jedinica raspodeljeno je po eksponencijalnojraspodeli sa parametrom μ. Svaki kanal opslužuje jedinice sa istim intenzitetom.Intenzitet opsluživanja sistema u zavisnosti od stanja sistema imaju sledećevredosti:⎧k⋅ μ 0 ≤ k ≤ cμk= ⎨⎩c⋅μ k ≥ c− jedinice se iz reda na opsluživanje prihvataju po pravilu “prva prispela - prvaopslužena” (FIFO disciplina).Razlikuju se tri grupe stanja sistema sa stanovišta statusa jedinice koja zahtevaopsluživanje i to: *37− u trenutku dolaska jedinice na opsluživanje u sistemu ima od 0 do (c-1) jedinica,jedinica se tada prihvata u sistem i direktno ide na opsluživanje.− u trenutku dolaska jedinice na opsluživanje u sistemu ima od c do (c+m-1)jedinica, jedinica se tada prihvata u sistem, staje u red i čeka na opsluživanje.− u trenutku dolaska jedinice na opsluživanje u sistemu ima (c+m) jedinica (sistemje pun), tada se jedinica ne prihvata u sistem već biva odbijena.Sistem se može naći u nekom od sledećih stanja:− stanje 0: u sistemu nema jedinica, svi kanali su slobodni i u redu nema jedinica,− stanje k (k=1,2, ... ,c): u sistemu se nalazi k jedinica i sve se opslužuju, u redunema jedinica,− stanje c+r (r=1,2, ... ,m): u sistemu se nalazi (c+r) jedinica od kojih se c jedinicaopslužuje a r jedinica se nalazi u redu i čeka na opsluživanje.U skladu sa prethodnim tekstom i činjenicom da su intenzitet dolaska jedinica iintenzitet opsluživanja jedinica konstantni, tj. ne zavise ni od stanja sistema ni odvremena, matrica intenziteta prelaska (tranzicije) Q, za višekanalni sistem saograničenim redom, je oblika:IV-45

⎡− λ⎢μ⎢⎢ 0⎢⎢.⎢ 0⎢⎢ 0⎢ 0⎢Q = ⎢ .⎢ 0⎢⎢ 0⎢0⎢⎢ .⎢⎢0⎢ 0⎢⎣ 0λ−[λ + μ]2⋅μ.000.000.000...............000.λ−[λ + k ⋅μ](k + 1) ⋅μ.000.000...............000.000.λ−[λ + c ⋅μ]c ⋅μ.000...............000.000.000.λ−[λ + c ⋅μ]c ⋅μ0 ⎤0⎥⎥0 ⎥⎥.⎥0 ⎥⎥0 ⎥0 ⎥⎥. ⎥0 ⎥⎥0 ⎥0⎥⎥. ⎥⎥0⎥λ ⎥⎥− c ⋅μ⎦(c+m+1) × (c+m+1)(89)Na osnovu matrice Q (89) formira se dijagram promene stanja višekanalnogsistema opsluživanja sa ograničenim redom: *38 (slika IV-29.)Slika IV-29. Dijagram promene stanja sistema M/M/c/m.Na osnovu dijagrama stanja (slika IV-29) postavlja se sistem diferencijalnihjednačina promene verovatnoća stanja sistema u vremenu. (p i = P(X=i), i=1,2, ... ,c+m)dp 0 (t)= −λ ⋅ p0(t)+ μ p1(t)dt⋅ ;. . . . . . .dpk(t)= λ ⋅ pk−1(t)− [ λ + k ⋅ μ] ⋅ pk(t) + (k + 1) ⋅μ ⋅ pk+1(t); za k=1,2, ... ,(c–1)dt. . . . . . .dpc+ r (t)= λ ⋅ pc+r−1(t)− [ λ + c ⋅μ] ⋅ pc+r (t) + c ⋅ μ pc+r+1(t)dt⋅ ; za r=0,1,2, ...,(m–1). . . . . . .IV-46

dpc+ m (t) = λ ⋅ pc+m−1(t)− c ⋅ μ pc+m (t)dt⋅ ; (90)U stacionarnom režimu rada koji podrazumeva da je: t → ∞ tj. p′ i (t) = 0 (i=1,2, ..., c+m) za homogenu slučaj Markov-a (λ = const., μ = const.) sistem diferencijalnihjednačina (90) prelazi u sistem algebarskih jednačina.0 = −λ ⋅ p 0 + μ ⋅ p 1 ;. . . . . . .0 = λ ⋅ pk−1− [ λ + k ⋅ μ] ⋅ pk+ (k + 1) ⋅ μ ⋅ pk+1; za k=1,2, ... ,(c–1). . . . . . .0 = λ ⋅ pc+ r−1− [ λ + c ⋅μ] ⋅ pc+r + c ⋅ μ ⋅ pc+r+1; za r=0,1,2, ... ,(m–1). . . . . . .0 = λ ⋅ pc+ m−1− c ⋅μ ⋅ pc+m ; (91)Za rešavanje sistema (91) potrebno je da zbir svih verovatnoća stanja bude jednakjedinici (normirajući uslov):c∑ +mp k ∑pc+ r = 1; (92)k= 0 r=1Prvi korak u analitičkom rešavanju sistema (91) je da se preko verovatnoće stanjap 0 izraze sve ostale verovatnoće stanja:k1 ⎛ λ ⎞pk= ⎜ ⎟ ⋅ p0; k=1,2, ..., ck! ⎝ μ ⎠rr c⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞ ⎛ λ ⎞ 1pc+ r = ⎜ ⎟ ⋅ pc= ⎜ ⎟ ⋅⎜⎟ ⋅ ⋅ p0; r=1,2, ..., m. (93)⎝ c ⋅ μ ⎠ ⎝ c ⋅ μ ⎠ ⎝ μ ⎠ c!Parametar ρ predstavlja iskorišćenje kanala za opsluživanje i definiše se kao:λρ =(94)c ⋅μZamenom izraza (93) u izraz (92) i primenjujući (94) dobija se:2c(c ⋅ρ)(c ⋅ ρ)(c ⋅ρ)2 mp0 + (c ⋅ρ)⋅ p0+ ⋅ p0+ ... + ⋅ p0+ ⋅ ( ρ + ρ + ... + ρ ) ⋅ p0= 1,2!c! c!tj.:cIV-47

ccm(c ⋅ ρ)(c ⋅ ρ)1− ρp0 ⋅ ( ∑ + ⋅ρ ⋅ ) = 1; 5 (95)k! c! 1− ρk=0kodakle se izraz za verovatnoću stanja sistema p 0 dobija kao:1p 0; (96)k c m(c ⋅ ρ)(c ⋅ ρ)1− ρ∑ + ⋅ ρ ⋅k! c! 1−= ck= 0ρZamenom izraza (96) u izraze (93) ostale verovatnoće stanja sistema se dobijajukao: *39⎧ i(c ⋅ρ)⎪ ⋅ p0;za i = 0,1,2,...,cP(X = i) = P = i!c ,m, ρ,i⎨(97)i−cc⎪ρ⋅ (c ⋅ρ)⎪⋅ p0;za i = c + 1,c + 2,...,c + m⎩ c!Izraz (97) predstavlja zakon raspodele verovatnoća stanja višekanalnog sistemaopsluživanja sa ograničenim redom. Zakon raspodele verovatnoća stanja je uosnovi funkcija četiri parametra: broja kanala (c), broja mesta u redu (m),intenziteta dolaznog toka (λ) i intenziteta opsluživanja (μ). Zamenom parametaraλ, μ i c parametrom ρ dobija se da je zakon raspodele verovatnoća stanja,višekanalnog sistema opsluživanja sa ograničenim redom, funkcija tri parametra ito: c, m i ρ.Osnovne karakteristike višekanalnog sistema opsluživanja sa ograničenim redom:*40− Verovatnoća opsluživanja (P ops ),− Srednji broj zauzetih kanala (c z ),− Verovatnoća postojanja reda (P pr ),− Srednji broj jedinica u redu (N w ),− Srednji broj jedinica u sistemu (N ws ),− Raspodela vremena koje jedinica provede u redu,− Srednje vreme koje jedinica provede u redu (t w ),− Raspodela vremena koje jedinica provede u sistemu, i− Srednje vreme koje jedinica provede u sistemu (t ws ).51+ ρ + ρ2+ ... + ρm−1m1− ρ= ; suma prvih m članova geometrijskog niza.1− ρIV-48

Verovatnoća opsluživanja (P ops )Verovatnoća opsluživanja predstavlja verovatnoću da će jedinica koja zahtevaopsluživanje biti prihvaćena u sistem (i biti opslužena) tj. neće biti odbijena.Jedinica će biti prihvaćena u sistem ako ima makar jedno mesto u redu prazno.Verovatnoća opsluživanja se izračunava na sledeći način:c + m∑ − 1mP ops = pi= 1−pc+ m = 1− ρ ⋅ pc; (98)i=0Srednji broj zauzetih kanala (c z )Srednji broj zauzetih kanala predstavlja očekivani broj kanala za opsluživanje kojirade. Srednji broj zauzetih kanala se izračunava na sledeći način:cmc km(c ⋅ρ)1− ρc z = ∑ k ⋅ pk+ c ⋅ ∑ pc+m = p0⋅ ∑ k ⋅ + c ⋅ ρ ⋅ ⋅ pc; (99)k=0 r=1k=0 k! 1− ρVerovatnoća postojanja reda (P pr )Verovatnoća postojanja reda predstavlja verovatnoću da ima jedinica u redu koječekaju na opsluživanje. To su stanja sistema kada ima c+1 ili više jedinica usistemu tj. c+1, c+2, ...., c+m. Verovatnoća postojanja reda se izračunava nasledeći način:Ppr= pc+ 1 + pc+2 + ... + pc+m = 1−p0− p1−,...,−pc, tj.:mmm+1r 1− ρPpr = ∑ pc+ r = pc⋅ ∑ρ= pc⋅ ; (100)r=1r=1 1− ρSrednji broj jedinica u redu (N w )Srednji broj jedinica u redu predstavlja očekivanu veličinu reda. Da bi se odrediosrednji broj jedinica u redu potrebno je definisati slučajnu promenljivu “brojjedinica u redu” (X w ) i njenu raspodelu verovatnoća. Raspodela verovatnoćaslučajne promenljive X w je:IV-49

⎛⎞⎜⎟⎜ 0 1 2 ... m ⎟⎜ r r r rX ⎟w : p⎜0 p1p2... pm(101)c⎟⎜⎟⎜ ∑ pkpc+1 pc+2 ... pc+m ⎟⎝ k=0⎠gde je:p i (i=0,1, ...,c+m) – verovatnoće stanja sistema,rp i (i=0,1, ...,m) – verovatnoće da ima 0,1,2, ...,m jedinica u redu, i0,1,2, ...,m – realizacije slučajne promenljive X w .Srednji broj jedinica u redu izračunava se kao matematičko očekivanje slučajnepromenljive X w .mcrN w = ∑ i ⋅ pi= 0 ⋅ ∑ pk+ 1⋅pc+1 + 2 ⋅ pc+2 + ... + m ⋅ pc+m , i.e.i=0 k=0mmr2m−1Nw= ∑ r ⋅ pc+ r = pc⋅ ∑ r ⋅ ρ = pc⋅ρ ⋅ (1 + 2 ⋅ ρ + 3⋅ρ+ ,..., + m ⋅ρ); 6r=1r=1m1− ρ ⋅[m⋅ (1 − ρ)+ 1]Nw= ρ ⋅ pc⋅. (102)2(1 − ρ)Srednji broj jedinica u sistemu (N ws )Srednji broj jedinica u sistemu predstavlja očekivani broj jedinica u sistemu, imože se odrediti kao matematičko očekivanje slučajne promenljive čija jeraspodela verovatnoća definisana izrazom (97) tj. opštim zakonom raspodeleverovatnoća stanja višekanalnog sistema opsluživanja:c+mN ws = ∑ i ⋅ pi= 0 ⋅ p0+ 1⋅p1+ 2 ⋅ p2+ 3⋅p3+ ... + (c + m) ⋅ pc+m , (103)i=0Srednji broj jedinica u sistemu takođe se može dobiti kao:N ws = cz+ Nw.6 Zbir prvih m članova geometrijskog reda: 1prvi izvod gornjeg izraza:12 1+ + + + = − m +m ρρ ρ ... ρ ,1−ρ[ m ( ρ)]2 1 1 1 11+ 2⋅ + 3⋅ + + ⋅ = − mm−ρρ ρ ... m ρ⋅ ⋅ − +2( 1−ρ).IV-50

Raspodela vremena koje jedinica provede u reduDa bi se odredio zakon raspodele vremena koje jedinica provede u redu potrebno jeprvo odrediti verovatnoću da je vreme koje jedinica provede u redu (T r ) manje odnekog zadatog (t). U tu svrhu potrebno je definisati dva događaja: (slika IV-30)– događaj A: u redu ima k jedinica (X=c+k, 0 ≤ k ≤ m–1) i– događaj B: vreme koje jedinica provede u redu je manje od zadatog (T r

tk −c⋅μ⋅tc ⋅ μ ⋅ (c ⋅μ ⋅ t) ⋅ eIzraz: ∫⋅ dt , predstavlja verovatnoću da će jedinica kojak!0pristupa u sistem čekati u redu opsluživanje jedne od c jedinica koje se trenutnoopslužuju i opsluživanje k jedinica u redu ispred sebe, što znači da je vreme kojejedinica provodi u redu jednako zbiru k+1 slučajnih promenljivih od kojih svakaima eksponencijalnu raspodelu sa parametrom c·μ. Takva slučajna promenljivaima Erlangovu raspodelu reda k+1 (slika IV-31.)P(T r

dok je gustina raspodele slučajne promenljive: vreme koje jedinica provede u redu,određena izrazom (109):c⋅ρm−μ⋅∑ − 1 k(c ) 1t ( λ ⋅ t)f (t) = ⋅ p0⋅ ⋅ (c ⋅ μ − λ)⋅ e ⋅ ; (109)c! 1− ρk=0 k!Potpun događaj u ovom slučaju je oblika:P(T r

– događaj A: u sistemu ima k jedinica (X=k, 0 ≤ k ≤ c+m) i– događaj B: vreme koje jedinica provede u sistemu je manje od zadatog (T s

k+2 eksponencijalno raspodeljene slučajne promenljive sa parametrom c·μ –intenzitet opsluživanja. Takva slučajna promenljiva, vreme koje jedinica provede usistemu, ima Erlangovu raspodelu reda k+2. (slika IV-33.)E k+2Slika IV-33. Raspodela vremena koje jedinica provede u sistemu.Rešenja integrala u prethodnom izrazu su:t−(k+1) ⋅μ⋅t−(k+1) ⋅μ⋅t∫ (k + 1) ⋅ μ ⋅ e ⋅ dt = 1−e0tk+1 −c⋅μ⋅tk 1 ic ⋅μ ⋅ (c ⋅μ ⋅ t) ⋅ e+ (c ⋅ μ ⋅ t)∫⋅ dt = 1−∑(k + 1)!0i=0 i!−c⋅μ⋅t⋅ ei izraz (112) može da napiše u sledećem obliku:c−1m−1c−1m−1k+1 i−(k+1) ⋅μ⋅t(c ⋅ μ ⋅ t) −c⋅μ⋅tP(Ts< t) = ∑ pk+ ∑ pc+k − ∑ pk⋅ e − ∑ pc+k ⋅∑⋅ ek=0 k=0 k=0k=0 i=0 i!i.e.c−1m−1k+1 i−(k+1) ⋅μ⋅t(c ⋅μ ⋅ t) −c⋅μ⋅tP(Ts< t) = Pops− ∑ pk⋅ e − ∑ pc+k ⋅ ∑ ⋅ e(113)k=0k=0 i=0 i!gde:c−1m−1∑p k + ∑pc+k predstavlja verovatnoću opsluživanja P ops .k=0 k=0Posle elementarnih transformacija izraz (113) se može napisati kao:P(Ts⎡ c−1k(c ⋅ρ)−(k+1) ⋅μ⋅tt) = Pops− p0⋅ ⎢ ⋅ e⎢⎣k=0 k!c −c⋅μ⋅t(c ⋅ ρ)⋅ e+ρ ⋅ c!< ∑ ∑ ∑m−1k+ 1 i( λ ⋅ t) (k+1) −i⎤⋅⋅ρ ⎥k=0 i=0 i! ⎥⎦(114)Dvostruka suma u izrazu (114) kože se napisati u sledećem obliku:IV-55

m−1k+ 1 i(m 1) k( t)m k + −λ ⋅ (k+1) −i( λ ⋅ t) 1− ρ∑∑ ⋅ ρ = ∑ ⋅−1. (115)k=0 i=0 i!k=0 k! 1− ρZamenom izraza (115) u izraz (114), i nakon elementarnih transformacija, konačanizraz za verovatnoću da će jedinica koja uđe u sistem u njemu ostati manje odzadatog vremena (t) tj. funkcija raspodele vremena koje jedinica provede usistemu, za višekanalnog sistema opsluživanja sa ograničenim redom, je oblika:⎪⎧c−1k(c ⋅ρ)−(k+1) ⋅μ⋅tP(Ts< t) = Pops− p0⋅ ⎨ ∑ ⋅ e +⎪⎩ k=0 k!(116)c −c⋅μ⋅t⋅ρ ⋅ ⎡ ⎛ m k⎞⎤⎪⎫⎢ ⎜ λ ⋅m k(c ) e1 ( t) m+1 (c ⋅μ ⋅ t)+⋅ −1+⋅− ρ ⋅⎟⎥⎬ρ ⋅ ⎢ − ρ ⎜∑∑c! 1⎟⎣ ⎝ k= 0 k!k=0 k!⎠⎥⎦⎪⎭Odavde sledi da je verovatnoća da jedinica provede u sistemu neko zadato vreme(t) manja od verovatnoće opsluživanja (P ops ), jer verovatnoća opsluživanjapodrazumeva da će data jedinica biti opslužena ukoliko je prihvaćena u sistemnezavisno od vremena koje će ona provesti u sistemu.Gustina raspodele slučajne promenljive: vreme koje jedinica provede u sistemu, uslučaju višekanalnog sistema opsluživanja sa ograničenim redom, je oblika:⎪⎧c−1k(c ⋅ ρ)−(k+1) ⋅μ⋅tf (t) = μ ⋅ p0⋅ ⎨ ∑ ⋅ (k + 1) ⋅ e +⎪⎩ k=0 k!(117)c−1⋅ρm−1k+1(c ) −c⋅μ⋅t( λ ⋅ t) ⎪⎫+ ⋅ c ⋅ e ⋅ ∑ ⎬(c −1)!k=0 (k + 1)! ⎪⎭Srednje vreme koje jedinica provede u sistemu (t ws )Srednje vreme koje jedinica provede u sistemu predstavlja očekivano vreme kojejedinica provede u sistemu i može se dobiti direktno primenom Little–ove formuletj. kada se srednji broj jedinica u sistemu (N ws ) podeli sa prosečnim intenzitetomdolaska jedinica u sistem ( λ ):Nt = wsws .λU slučaju višekanalnog sistema opslužuvanja sa ograničenim redom prosečniintenzitet dolaznog toka se izračunava kao:c+mλ = ∑ λk ⋅ pk= λ ⋅ (p0+ p1+ ... + pc+m−1)+ 0 ⋅ pc+m = λ ⋅ (1 − pc+m ) .k=0IV-56

Slika IV-34. prikazuje veze između prikazanih modela teorije redova. Prikazana jeosnovna ideja koja se sastoji u tome da se izrazi za verovatnoće stanja sistema iosnovne karakteristike svih modela mogu dobiti jednostavnom zamenomodgovarajućih vrednosti za broj kanala za opsluživanje (c = 1,2,...,∞) i broj mesta uredu (m = 0,1,2,...,∞) u odgovarajuće izraze za višekanalni sistem opsluživanja saograničenim redom.M/M/c/mvisekanalni sistem (c)ogranicen red (m)M/M/1/mjednokanalni sistemkonacan red (m)M/M/c/0visekanalni sistem (c)bez reda (m=0)M/M/c/visekanalni sistem (c)beskonacan red (m )M/M/beskonacan broj kanalaM/M/1/0jednokanalni sistembez reda (m=0)M/M/1/jednokanalni sistembeskonacan red (m )Slika IV-34. Veze između modela teorije redova. *41IV-57

PITANJA:1. Osnovni proces opsluživanja.2. Koja je osnovna karakteristika dolaznog toka klijenata – izvora i kakav izvormože da bude.3. Raspodela broja generisanih klijenata u sistemu opsluživanja do nekogodređenog vremenskog trenutka.4. Raspodela vremena između dva uzastopna dolaska klijenata u sistemopsluživanja.5. Šta predstavlja red u sistemu opsluživanja i kakav može da bude.6. Koje vrste disciplina u redu postoje.7. Mehanizam opsluživanja.8. Elementarni sistem opsluživanja (skica).9. Kendall-ovo označavanje sistema opsluživanja.10. Koeficijent iskorišćenja kanala za opsluživanje.11. Razlika između stacionarnog i nestacionarnog režima rada sistemaopsluživanja.12. Šta predstavlja slučajni proces.13. Klasifikacija slučajnih procesa.14. Prostor stanja slučajnog procesa.15. Parametar slučajnog procesa.16. Definicija slučajnog procesa Markov-a sa kontinualnim vremenom idiskretnim stanjima.17. Osnovna karakteristika nehomogenih slučajnih procesa.18. Verovatnoća prelaska i verovatnoća stanja kod nehomogenih slučajnihprocesa.19. Matrična diferencijalna jednačina za definisanje promene verovatnoće stanja uzavisnosti od vremena, kod nehomogenih slučajnih procesa.20. Osnovna karakteristika homogenih slučajnih procesa.21. Verovatnoća prelaska i verovatnoća stanja kod homogenih slučajnih procesa.22. Matrična diferencijalna jednačina za definisanje promene verovatnoće stanja uzavisnosti od vremena, kod homogenih slučajnih procesa.23. Kada je homogeni slučajni proces Markov-a "nesvodljiv".24. Kada je homogeni slučajni proces Markov-a ergodičan.25. Uslov za prelazak sistema iz nestacionarnog u stacionarni režim rada.26. Određivanje verovatnoća stanja sistema u stacionarnom režimu rada.27. Šta predstavlja proces rađanja i umiranja.28. Verovatnoće prelaska, procesa rađanja i umiranja, ako je sistem u stanju k.29. Dijagram promene stanja procesa tipa "rađanja i umiranja".30. Karakteristike jednokanalnog sistema opsluživanja sa ograničenim redom.31. Karakteristična stanja jednokanalnog sistema opsluživanja sa ograničenimredom.32. Dijagram promene stanja jednokanalnog sistema opsluživanja sa ograničenimredom.IV-58

33. Izraz za verovatnoće promene stanja jednokanalnog sistema opsluživanja saograničenim redom.34. Nabrojati osnovne karakteristika jednokanalnog sistema opsluživanja saograničenim redom.35. Relacije između jednokanalnih sistema.36. Karakteristike višekanalnog sistema opsluživanja sa ograničenim redom.37. Karakteristična stanja višekanalnog sistema opsluživanja sa ograničenimredom.38. Dijagram promene stanja višekanalnog sistema opsluživanja sa ograničenimredom.39. Izraz za verovatnoće promene stanja višekanalnog sistema opsluživanja saograničenim redom.40. Nabrojati osnovne karakteristika višekanalnog sistema opsluživanja saograničenim redom.41. Veze između modela teorije redova.42. Jednokanalni sistem opsluživanja sa ograničenim redom.43. Izračunavanje osnovnih karakteristika jednokanalnog sistema opsluživanja saograničenim redom.44. Jednokanalni sistem opsluživanja bez reda.45. Izračunavanje osnovnih karakteristika jednokanalnog sistema opsluživanja bezreda.46. Jednokanalni sistem opsluživanja sa neograničenim redom.47. Izračunavanje osnovnih karakteristika jednokanalnog sistema opsluživanja saneograničenim redom.48. Višekanalni sistem opsluživanja sa ograničenim redom.49. Izračunavanje osnovnih karakteristika višekanalnog sistema opsluživanja saograničenim redom.IV-59