Nacrtna geometrija - MASINAC.org

5. Principi Konstruktivne geometrije5.1. ProjekcijeOsnovna ideja KONSTRUKTIVNE GEOMETRIJE sadržana je u grafičkom prikazivanjutrodimenzionih predmeta, definisanju njihovog međusobnog položaja, i konačno, određivanjugeometrijskih parametara, neophodnih za izradu.Problem prikazivanja trodimenzionih formi pomoću, najčešće, dvodimenzionog komunikacijskogmedija (papir, ekran, foto materijal, ...), rešava se primenom projekcija. Predmet prikazivanja običnose nalazi slobodno orijentisan u prostoru i iz pogodno izabrane tačke posmatranja, pomoćuprojekcijskih zraka, generiše se dvodimenzioni lik predmeta na projekcijskoj ravni (Sl. 5.1).Tačkom posmatranja može se smatrati i ljudsko oko, iz koga se zračno prostiru projekcijske linije,koje definišu izgled predmeta na zastoru. Pojmovi, činjenice i stavovi, posebno značajni za razumevanje razmatrane tematike, bićenaznačeni podebljanim slovima, a tumačenje manje poznatih pojmova nalazi se u tački 5.14.Sl. 5.1 Projektovanje iz tačkeSl. 5.2 Ortogonalno projektovanjeNešto drugačiji prilaz projektovanju postoji kada se tačka posmatranja preseli u beskonačnost ikada su projekcijski zraci međusobno paralelni, a zastor ima upravni položaj u odnosu na njih (Sl.5.2). Ovaj vid projektovanja zove se ortogonalno projektovanje i predstavlja suštinsku osnovunaučne discipline KONSTRUKTIVNA GEOMETRIJA (u daljem tekstu KG).5.2. Osnovi Konstruktivne geometrijeSvojstvo ortogonalnosti je jedan globalan fenomen koji se sreće i u srodnim naučnim disciplinama(vektorski, tenzorski račun), a u oblasti inženjerske grafike ima fundamentalni značaj jer pruža realnu,neiskrivljenu sliku jedne strane trodimenzione forme (Sl. 5.3). Da bi se dobio potpuni prikazprostornog objekta koristi se sistem od tri međusobno ortogonalne ravni. Time se jednovremenootkriva izgled tri strane predmeta (Sl. 5.4). Najčešće je kombinacija ove tri osnovne projekcijedovoljna da bi se definisao oblik i najsloženijih formi. U slučaju potrebe uvode se pomoćneprojekcijske ravni, izabrane na pogodan način.

40 Vizuelne komunikacijeSl. 5.3 Ortogonalna projekcija figureSl. 5.4 Prikaz figure u sistemu triortogonalne ravniOznake osnovnih projekcijskih ravni su F - FRONTALNA ravan, H - HORIZONTALNA ravan i P -PROFILNA ravan. Pomoćne projekcijske i konstruktivne ravni, za razliku od osnovnih (F, H, P),imaće oznake arapskih brojeva (1, 2 ... n).Tačka, kao osnovni element KG, nosiće oznaku nekog od velikih slova abecede A, B, C, D, ..., Z,osim rezervisanih simbola F, H, P. Prikaz tačke u pojedinim projekcijskim ravnima, odnosnoprojekcijama, biće naznačen originalnom oznakom tačke sa malim natpisanim indeksom A H , A P , B 1 ,C 2 , ... , koji određuje pripadnost projekcijskoj ravni.Povezivanjem dve tačke u prostoru formira se novi element KG, koji se naziva duž. Obeležava sepovezanom oznakom krajnjih tačaka AB, CD, ... . Jasno, duž prikazana u određenoj projekcijskojravni nosiće indeks pripadnosti baš toj ravni AB H , CD P , ... . Produžavanjem osnovnog pravca duži najednu i drugu stranu od krajnjih tačaka, dobija se prava. Njena dužina je beskonačna, a označava semalim slovima abecede a, b, c, d, ... , u izvornoj formi, odnosno a H , b F , c 1 , ... , u projekcijama. Pravane mora isključivo da bude definisana dvema tačkama, već može da leži i u preseku dve ravni. Tada taprava postaje trag ravni, jer je to fizički trag koji ostaje na mestu prodora jedne ravni kroz drugu.Označavanje i opis složenijih formi slede kroz naredna poglavlja.

41Konstruktivna geometrija** Pojedini, značajni stavovi koji se budu pominjali u daljem tekstu, nosićeredosledne brojne simbole u uglastoj zagradi []. Smisao ovog označavanjaje da se kasnije ne ponavljaju već opisane relacije i postupci, nego da sepozivanjem na konkretan prethodni stav pripremi podloga za složenijaobjašnjenja.5.3. Projekcijski triedar i koordinateTri međusobno ortogonalne ravni, u preseku, dele ukupni prostor na osam jednakih podprostora (Sl.5.5). Svaki od ovih podprostora omeđen je sa tri poluravni. Iz prikazanog sistema oktanata (osmineukupnog prostora) koristiće se jedan, i to onaj najpovoljniji za jednostavno prikazivanje i definisanjeelemenata KG.Različite konvencije u svetu preporučuju izbor različitih oktanata, ali za tehničku komunikaciju nanašim prostorima i u većem delu Evrope koristi se prvi oktant (Sl. 5.6). Izdvojen iz sistema oktanataon postaje osnovni projekcijski triedar 7 , zadržavajući položaj koordinatnog početka (O) i orijentacijuosa (x, y, z) kao i u izvornom sistemu. Raspored i nazive pojedinih projekcijskih ravni u osnovnomprojekcijskom triedru moguće je različito definisati, ali u razvijenoj formi (Sl. 5.8) najprirodnije je dafrontalni izgled bude u centru, da se profilni izgled nalazi sa strane, a horizontalni izgled upodnožju. Uputstvo za otvaranje osnovnog triedra dato je na slici (Sl. 5.7).Sl. 5.5 Sistem oktanataSl. 5.6 Osnovni triedarOvako postavljen ortogonalni projekcijski prostor pruža mogućnost koordinatnog definisanjaelemenata KG. Tačka A (Sl. 5.7, Sl. 5.8), kao osnovni element KG, jednoznačno je definisana uprostoru, kombinacijom odgovarajućih koordinata (x A , y A , z A ). Tako se, veoma jednostavno, iz čistoanalitičke forme (tri numeričke vrednosti x, y, z) može preći u potpuni, grafički prikaz (Sl. 5.7, Sl. 5.8)i obrnuto. Poplavom računarske tehnike i različitih programskih paketa u oblasti tehničke grafike,potvrdila se ispravnost orijentacije na vektorisani ortogonalni prostor, unutar koga se sa lakoćomizvode analitičke manipulacije.7 Triedar - sklop tri ravni

42 Vizuelne komunikacije5.4. Postupak formiranja projekcijePre nego što se dublje zađe u razotkrivanje metoda KG poželjno je istaći par činjenica koje, uprkossopstvene očiglednosti, ostaju ponekad zamagljene ili u drugom planu.Prvo, tačka predstavlja osnovni element KG, odnosno hijerarhijski najnižu gradivnu formu.Uspostavljanjem određenog rasporeda pojedinačnih i pogodno izabranih tačaka, veoma jednostavno seformira bilo koji složeniji oblik. Zbog toga je neobično važno da se elementarne operacije u KG,vezane za tačku, izuzetno temeljno prouče i savladaju.Drugo, linija (takođe i njena omeđena forma duž) predstavlja sledeći hijerarhijski element KG i imadvostruko značajnu ulogu. Osim što predstavlja sopstveni grafički odraz i parcijalni odraz delovasloženijih slika i figura, linija je simbol projekcijskog zraka. Stoga se, kod različitih manipulacijaelementima KG (prevođenje iz jedne u drugu projekcijsku ravan) koriste linije, odnosno snopovitankih, paralelnih zračnih linija 8 , da bi se izvele odgovarajuće transformacije.Treće, hijerarhijski još viši element KG je ravan, odnosno geometrijska slika kao omeđena formaravni. Potpuno srazmerno njenom hijerarhijskom značaju, definisan je i obim moguće primene. Takose ravan sreće u trostrukoj ulozi.zFAFAPPz AAxz AxA0yAyAyA HHySl. 5.7 Otvaranje osnovnog triedraSl. 5.8 Razvijen osnovni triedarSvojim parcijalnim delom (geometrijska slika) može da predstavlja zatvorenu ravansku formu, ili nekuod strana geometrijske figure. U oba ova slučaja, iako prikazana samo jednim svojim minornimdelom, ravan zadržava kompletnu određenost u čitavom prostoru. To omogućava jednostavnouspostavljanje relacija sa drugim elementima sadržanim u toj ili drugim ravnima.Druga uloga ravni, znatnim delom, već je opisanakroz izbor i postavku projekcijskih ravni.Formom, koja u potpunosti odgovaraprojekcijskom zastoru, ravan je idealan elementna koji se može projektovati izgled predmeta.Pošto se može sasvim slobodno orijentisati uprostoru, pogodnim izborom njenog položaja,8 Zračna linija - linija upravna na projekcijsku ravan, prikaz se sažima u tačku

43Konstruktivna geometrijauvodi se pomoćna projekcijska ravan u kojoj se formira lik predmeta baš u željenom pravcu.Treća uloga ravni je, slično liniji, vezana za formiranje projekcije. Veoma često, umesto primenepojedinačnih projekcijskih zraka (Sl. 5.9), u preslikavanju linijske forme neuporedivo efikasniji potezje primena zračne ravni 9 , koja je i inače određena nizomSl. 5.9 Korišćenje zračne ravni u projektovanju povezanih projekcijskih zraka.5.4.1. Osnovne projekcije tačkePojedini pojmovi KG najbolje se mogu dočarati korišćenjem analogije sa realnim objektima.Tako, obična kuglica ovešana o plafon sobe, može da predstavlja diskretnu tačku u prostoru. Pri tome,okolni zidovi i pod postaju projekcijske ravni (Sl. 5.10). Korišćenjem jakog svetlosnog izvora, ili jošbolje laserskog snopa, dobiće se senka, odnosno projekcija tačke na jednom od naspramnih zidova. Dabi to bila zaista ortogonalna projekcija važno je da svetlosni zrak bude upravan na zid (projekcijskuravan) i da dolazi iz izvora koji je dovoljno (teorijski beskonačno) udaljen od projektovane tačke. Tadva uslova:– ortogonalnost projekcijskog zraka na projekcijsku ravan– beskonačna udaljenost svetlosnog izvora[1][2]predstavljaju osnovne odrednice ortogonalne projekcije. Odstupanje od tih uslova (Sl. 5.10) neizbežnodonosi devijaciju projekcije, što dalje vodi projekcijskoj neodređenosti.Sl. 5.10 Projekcijski prostorSl. 5.10a Razvijene projekcijske ravniFRONTALNA senka, odnosno projekcija, dobiće se kada svetlosni izvor zauzme poziciju 1 (Sl. 5.10),koja svakako ispunjava pretpostavljene uslove dovoljne udaljenosti i ortogonalnosti. Sledeća,PROFILNA senka, dobiće se ako se svetlosni izvor preseli u poziciju 2. Bitno je uočiti da se i pozicija1 i pozicija 2 nalaze u istoj ravni zajedno sa tačkom A.Potpuna ravanska podudarnost ovihpoložaja upućuje na dva veoma važna9 Zračna ravan - ravan upravna na projekcijsku ravan, prikaz je sadržan u tragu ravni odnosno liniji

44 Vizuelne komunikacijezaključka kod projektovanja tačkeunutar osnovnog projekcijskog triedra.Prvo, projekcije tačke u dve susedneprojekcijske ravni nalaziće se uvek najednakom rastojanju od trećeprojekcijske ravni, odnosno njenogtraga (Sl. 5.10a). Ovu podjednakuudaljenost simbolizuje tanka veznalinija koja spaja dve susedneprojekcije, a paralelna je (//) trećojprojekcijskoj ravni.Sl. 5.11 Nedopuštene proizvoljnosti kod projektovanjaDrugo, vezna linija susednih projekcija tačke upravna je (⊥) na međusobni trag susednih projekcijskihravni (Sl. 5.10a).Uzajamna povezanost susednih projekcija opisana je za FRONTALNU i PROFILNU ravan. Potpunaanalogija važi i kod druga dva para susednih ravni FRONTALNA/HORIZONTALNA iPROFILNA/HORIZONTALNA.Kod ovih parova projekcija, svetlosni izvor se premešta na relaciji pozicija 1/pozicija 3, odnosnopozicija 2/pozicija 3 (Sl. 5.10). Paralelnost i upravnost veznih linija susednih projekcija simbolično jeprikazana na slici (Sl. 5.10a).Dalja razmatranja problema KG biće u najvećoj meri usmerena na prikaz osnovnih elemenata unutarprojekcijskog diedra 10 . To praktično znači da se iz osnovnog projekcijskog triedra izuzima jednaravan, pošto je dvoravanski prikaz dovoljno ilustrativan i sadržajan za primenu metoda KG. Osnovniprojekcijski diedar činiće FRONTALNA i HORIZONTALNA ravan.5.4.2. Pomoćne projekcije tačkeProjektovanje tačke, osim unutar osnovnog projekcijskog diedra, javlja se i u nešto složenijoj formi.To je slučaj kada se koristi pomoćna projekcijska ravan.Da bi se bliže pojasnio ovaj zahvat vratićemo se primeru sa ovešanom kuglicom i okolnim zidovima.Šta se dešava, ukoliko se u projekcijsku sobu unese paravan i pokuša projektovanje tačke na taj novizastor (Sl. 5.12).Pre nego što se nastave dalja razmatranja, korisno je još jednom istaći da:– novouvedena, pomoćna projekcijska ravan uvek zauzima upravan(ortogonalan) položaj u odnosu na jednu ili obe osnovne projekcijskeravni ili neku od prethodno definisanih pomoćnih ravni– projekcijski zraci kojima se preslikavaju postojeće tačke na novuprojekcijsku ravan imaju upravan položaj [1] na tu ravan.[3]10 Diedar - dvoravan

45Konstruktivna geometrijaSl. 5.12 Pomoćna ravan u projekcijskom prostorupomoćne ravni (paravana) (Sl. 5.12) dat je u prostornoj formi,a osnovni zadatak KG je da se to dočara ravanskim prikazom. Da bi se to izvelo primenjuje se čuvenipostupak obaranja ravni. Ideja se sastoji u sledećem. Nakon što je laserskim snopom zabeleženasenka tačke na paravanu (pomoćnoj ravni), on se rotira (obara) oko svog traga i polaže uHORIZONTALNU projekcijsku ravan. Jasno da je projekcijski zastor mogao da se postavi upravno ina frontalnu ravan, ali je mnogo lakše zamisliti da paravan stoji na podu nego na zidu.Treba uočiti da se u pomoćnoj ravni senka tačke nalazi:PrimerSl. 5.13 Prikaz pomoćne ravni uosnovnom diedru– na veznoj liniji iz A H koja je upravna na trag pomoćne ravni– na udaljenosti h od traga pomoćne ravni, što je inače jednakaudaljenost i od HORIZONTALNE ravni.[4]U slučaju čisto ravanskog prikaza, operacija primene pomoćne ravni izgledala bi kao na sledećoj slici(Sl. 5.13).Da bi sve odgovaralo formalnom sistemu prikazivanja i označavanja, osnovu slike čine FRONTALNAi HORIZONTALNA projekcijska ravan (Sl. 5.13), razdvojene međusobnim tragom. Na ovu podloguucrtana je frontalna projekcija tačke A F , a na veznoj liniji koja je upravna na trag F/H horizontalnaprojekcija A H . Pomoćna projekcijska ravan označena je tragom 1. Na veznoj liniji iz A H , koja jeupravna na trag pomoćne ravni 1, a na rastojanju h, nalazi se projekcija tačke A 1 u ravni 1.Obaranje paravana (pomoćne ravni) iz prethodnog primera, moglo se izvesti i na suprotnu stranu (Sl.5.14). To bi stvorilo priličnu konfuziju na slici, pa se zbog toga obično izbegava obaranje kojepreklapa prethodnu projekciju. Ponekad se, međutim, zbog skučenosti prostora vrši i ovakvonerezonsko obaranje.AaA 2

46 Vizuelne komunikacijeSl. 5.14 Nepreporučljiv smerobaranja ravniSl. 5.15 Druga pomoćna ravan5.4.3. Transformacija tačkeJedan od zadataka KG je i da se prikaže položaj tačke baš u pravcu određenog zraka, ili na određenojravni. Pošto smo naglasili da pomoćna ravan mora uvek da bude upravna na neku od prethodnodefinisanih ravni [3], to znači da se ne može direktno uvoditi potpuno proizvoljna ravan, koja neispunjava ovaj uslov. Do rešenja ovakvog zadatka dolazi se korišćenjem jedne ili više posrednihprojekcijskih ravni, pri čemu se postupno vrši transformacija tačke iz jedne u drugu ravan. Takosvaka sledeća ravan ispunjava uslov ortogonalnosti na prethodnu, a postupno se prilazi konačnoj,željenoj ravni.U praksi, to bi izgledalo kao kada bi na paravanu iz prethodnog primera postojala kosa nastrešnica (Sl.5.15), a nas interesuje položaj tačke projektovan na tu nastrešnicu.Sl. 5.16 Faza 1 - trag pomoćneravni 1Sl. 5.17 Faza 2 - vezna linija izreferentne ravniKod prvog obaranja, paravan je doveden u HORIZONTALNU ravan, a sa njim je oborena inastrešnica, koja je sada upravna na horizontalnu ravan. Sledeće obaranje vrši se oko traga nastrešnice,čime se dobija tražena senka tačke na nastrešnici paravana.Niz redoslednih operacija pri transformaciji tačke odvijao bi se prema sledećem.

47Konstruktivna geometrijaKorak 1. U osnovnom diedru, u kojem je definisana tačka A svojim projekcijama A H , A F , pojavljujese pomoćna ravan, ili ravan transformacije 1 prikazana svojim tragom (Sl. 5.16).Podrazumeva se da je ravan 1 upravna na jednu od projekcijskih ravni [3], u ovom slučajuna ravan H.Korak 2. Da bi se odredila projekcija tačke A u ravni 1, povlači se vezna linija iz prethodne projekcije(A H ), upravno na trag ravni [4] u kojoj se traži nova projekcija (Sl. 5.17).Korak 3. Završni potez transformacije predstavlja određivanje udaljenosti projekcije A 1 od traga ravni1. Čini se da je najjednostavnije zamisliti da su i FRONTALNA ravan i ravanTRANSFORMACIJE 1 ortogonalno "zabodene" u referentnu HORIZONTALNU ravan.Tada je očigledno:da se udaljenost tačke A od referentne ravni Hpodjednako ogleda i u prethodnoj F i novoj 1,ortogonalno zarivenoj ravni u H.[5]Formalno, pošto se rastojanje tačke A, od HORIZONTALNE ravni, već vidi u FRONTALNOJ ravni,dovoljno je tu dužinu (h) naneti od traga ravni 1 (Sl. 5.18) i dobiće se projekcija tačke A u ravni 1.Za ilustraciju već opisanog i dosta očiglednog stava [5] može da posluži i sledeći primer.Štap, vertikalno zaboden u horizontalnu podlogu, daće identičan gotički odraz u nizuvertikalno uspravljenih ogledala, koja ga okružuju. Potpuno je nebitno koju ravan, odnosno ogledaloizaberete da biste posmatrali štap. Njegova visina, odnosno rastojanje od referentne horizontalne ravnido vrha štapa biće svuda identični.Ponavljanjem postupka transformacije tačke A, u sledeću ravan 2, potvrdićemo uspostavljeni redosledkoraka.Sl. 5.18 Faza 3 - prenošenje rastojanjaiz prethodne u novu ravanSl. 5.19 Druga vezana transformacijatačkeUcrtan je trag nove ravni 2, koja je upravna naprethodnu transformacijsku ravan 1 [3]. Postavljenaje vezna linija iz pretodne projekcije A 1 [4], upravnona trag ravni 2 (Sl. 5.19).Sada sledi ključan momenat. Treba ponovo zamislitida su u trenutno referentnu ravan transformacije 1,

50 Vizuelne komunikacijeSTATUS ELEMENATA NGSIMBOLOZNAKAIZVORNA FORMAPROJEKCIJAZRACNA PROJEKCIJAPRAVA VELICINAA, AB, ABC, ...F H P 1 2A , A , A ,... A , AZPPVPRAVKOSVIDLJIVNEVIDLJIVTabela 5.3OPERACIJE NAD ELEMENTIMA NGSIMBOLOZNAKADEFINICIJAPROJEKTOVANJETRANSFORMACIJAROTACIJAdef.proj.transf.rot.Tabela 5.4

52 Vizuelne komunikacije5.6.3. Prava veličina dužiPrava veličina duži sagledava se u paralelnojprojekcijskoj ravni. [8]Iako se pominje samo duž i njena prava veličina, značaj ovog postulata je mnogo širi. Realna, odnosnoprava veličina geometrijske slike, stranice figure ili druge ravanske forme, pojaviće se jedino uparalelnoj projekcijskoj ravni (Sl. 5.23). Projektovanje na bilo koju drugu ravan donosi skraćenje,odnosno deformaciju realnog lika.Sl. 5.23 Prava veličina duži u paralelnoj ravniSl. 5.24 Presečni par duži/pravih5.6.4. Presečne Duži / PravePresečne duži/prave imaju jednu zajedničku tačku. [9]

53Konstruktivna geometrijaSl. 5.25a Preklopljene projekcije paralelnihpravihSl. 5.25b Zračne projekcije paralelnih pravihZajednička tačka presečnih duži/pravih biće okosnica u postupku projektovanja i transformacije parapresečnih elemenata (Sl. 5.24). Presečna tačka se u svim projekcijama nalazi na veznoj liniji izprethodne projekcije. Ovim se jasno ističe značaj te presečne tačke. Specijalan slučaj projekcijepresečnog para predstavlja ona projekcija u kojoj se duži/prave poklapaju.5.6.5. Paralelne Duži / PraveParalelne duži/prave su paralelne u svim projekcijama.[10]Bez obzira na orijentaciju projekcijske ravni ili pravac posmatranja, paralelne duži/prave uvekizgledaju paralelno.Izuzetak čine dva specijalna slučaja. Jedan, kada se obe paralelne duži/prave nalaze na pravcuprojekcijskog zraka (Sl. 5.25a). Tada se projekcije paralelnih duži/pravih poklapaju.Drugi specijalan slučaj nastaje kada su paralelne duži/prave upravne na projekcijsku ravan (Sl. 5.25b).Tada je njihova projekcija u formi dve tačke.5.6.6. Mimoilazne Duži / PraveMimoilazne duži/prave nisu presečne, niti paralelne. [11]

54 Vizuelne komunikacijeSl. 5.26 Mimoilazne duži/praveKrajnje kondenzovana formulacija ovog postulata ne otkriva svojim sadržajem sveobuhvatnost iznetogstava. Šematska ilustracija mimoilaznih duži/pravih (Sl. 5.26) poslužiće da se šire objasni specifičnostpoložaja mimoilaznosti u odnosu na presečnost ili paralelnost.Na slici (Sl. 5.26) jasno se uočava da se u obe osnovne projekcijske ravni F i H javlja fiktivni presek(tačke R/S i P/Q), pri čemu se ove kvazi presečne tačke ne nalaze na zajedničkoj veznoj liniji, kao štoje to slučaj kod stvarno presečnih elemenata.Takođe, prikazana je i jedna projekcijska ravan u kojoj se mimoilazne duži/prave vide u paralelnompoložaju. Ovo je ujedno i jedini projekcijski pravac u kojem su mimoilazne duži/prave paralelne, zarazliku od stvarnih paralelnih parova, koji su u svim projekcijskim pravcima paralelni.5.6.7. Upravnost presečnih Duži / PravihPrav ugao između upravnih presečnih duži/pravihvideće se u projekcijskoj ravni u kojoj se makarjedna od njih vidi u pravoj veličini. [12]

55Konstruktivna geometrijaSl. 5.27 Upravne presečne dužiIako je očiglednost ključni atribut postulata, za ovaj se ne može reći da je izvorno jasan i potpunorazumljiv. Osnovna ideja ovog postulata postaće znatno razumljivija nakon analize pogodno izabraneilustracije (Sl. 5.27).Polazni element u sledećem primeru predstavlja duž AB koja se vidi u pravoj veličini uHORIZONTALNOJ ravni [8]. Upravno na duž AB, bez nekog dodatnog uslova, postavljena je dužRQ. Presečna tačka označena je sa S. Takođe, kroz tačku S, duži AB, postavljena je i ravan 1, upravnona AB. Pošto je projekcija AB H paralelna AB, to će ravan 1 biti upravna i na AB H , a samim tim i njentrag u HORIZONTALNOJ ravni. Ovaj trag ravni 1 sadrži i projekciju RQ H , pa je samim tim i RQ Hupravno na AB H , što se tvrdi navedenim postulatom.Takođe, treba uočiti da sve upravne duži/prave, na duž AB u tački S, pripadaju ravni 1, tako da će sei njihove projekcije pojaviti upravno na AB H , jer su sadržane u horizontalnom tragu ravni 1.5.6.8. RavanPoložaj ravni, u prostoru, određen je kombinacijompoložaja grupe nižih elemenata KG. To mogu biti tri[13]

56 Vizuelne komunikacijenekolinearne tačke, duž/prava i zasebna tačka,presečni par duži/pravih, ili par paralelnihduži/pravih.Sl. 5.28 Trougao kao reprezent ravanske određenostiSuštinska kombinacija determinišućih nižih elemenata ravni sastoji se od tri nekolinearne tačke. Tosvakako asocira na trougao. U trouglu se, pak, mogu prepoznati sve ostale grupe navedenih elemenata(Sl. 5.28). Kombinacija duž i zasebna tačka može biti stranica trougla i naspramno teme, presečne dužibilo koje dve stranice, a svakoj od stranica može se pridružiti neka paralelna duž unutar trougla.5.6.9. Paralelnost Duž / Prava – RavanDuž/prava je paralelna ravni, ukoliko je paralelnamakar jednoj duži/pravoj te ravni. [14]

57Konstruktivna geometrijaSl. 5.29 Paralelnost prave i ravniSl. 5.29a Nepostojanje paralelnostiprave i ravniKod postavke relacija i određenih uslova među elementima KG, uputno je koristiti što jednostavnije,odnosno niže elemente KG. Shodno tome, u ovom postulatu odnos paralelnosti duži/prave sa ravni,uslovljen je paralelnošću nižih elemenata (dve duži/prave), od kojih jedan pripada ravni. Očiglednostovako definisanog uslova ilustrovana je slikom (Sl. 5.29).Da bi se otklonila dilema o univerzalnosti ovog postulata, prikazan je i suprotan slučaj (Sl. 5.29a).Ukoliko duž/prava nije paralelna ravni, nemoguće joj je naći odgovarajući paralelni element u tojravni. Svaka od izabranih duži/pravih biće ili presečna ili mimoilazna.5.6.10. Upravnost Duž / Prava – RavanDuž/prava je upravna na ravan, ukoliko je upravnana makar dve duži/prave te ravni. [15]Sl. 5.30 Upravnost prave i ravniSl. 5.30a Nepostojanje upravnostiprave i ravniKao i u prethodnom postulatu, uslov upravnosti duži/prave prema ravni definisan je upravnošću nižihelemenata. Jasno, kada je duž/prava upravna na ravan, u tački prodora postoji bezbroj upravnihduži/pravih te ravni (Sl. 5.30).U suprotnom, kada je ugao prodora duži/prave oštar (Sl. 5.30a), postoji samo jedna upravnaduž/prava ravni. Drugu upravnu duž/pravu nije moguće pronaći. Time je jednoznačno definisanaupravnost duži/prave na ravan.

58 Vizuelne komunikacije5.7. Algoritamska definicijaDonošenje čak i najjednostavnijih odluka u svakodnevnom životu, mada zvuči paradoksalno, veoma jeslično rešavanju najsloženijih tehničkih problema.Idejno, prilaz rešavanju problema je identičan. Na jednoj, ulaznoj strani, nalaze se raspoloživečinjenice ili parametri problema, a na drugoj očekivano rešenje. Ukoliko su ulazni parametri dovoljnosadržajni da vode rešenju i ukoliko je forma traženog rešenja sasvim jasna, ostaje izbor metodologije idefinicija redosleda zahvata.Upravo na ovim zaključcima zasniva se algoritamsko 13 rešavanje problema KG. Pojednostavljeno, nabočnim stranama dijagrama nalaze se kvadratne kućice (Sl. 5.31). Ulazni parametri su levo, ajezgrovito formulisano ciljno rešenje, desno. U centralnom prozoru redosledno su prikazanepojedinačne sekvence zamišljenog procesa rešavanja problema. Da bi se očuvala izvorna ideja ostvarno algoritamskoj definiciji, treba poštovati tri zlatna pravila:– koristiti što više simboličko izražavanje– ne preskakati sekvence– ne detaljisati opis operacijaPOLAZNIPARAMETRI1. PRVA SEKVENCA2. DRUGA SEKVENCA.....n. ZAVRŠNA SEKVENCACILJNOREŠENJESl. 5.31 Struktura algoritamske definicijeVećina uobičajenih problema rešava se potpuno intuitivno, ili bez jasno definisanog redosledaoperacija. Tako organizovan rad ili razmišljanje, pruža veoma mršave rezultate kod osvajanja novihznanja. Zbog toga je veoma bitno, u periodu učenja, stvoriti naviku jasne formulacije idejnog procesarešavanja.Tokom daljih izlaganja, postupci i problemi KG biće detaljno tekstualno opisani, uz odgovarajućeilustracije. U zaključku, uvek će biti data algoritamska definicija problema. Takav pristup treba dapomogne u formiranju individualnog repertoara ideja i vezanih postupaka, koji će se koristiti zarešavanje širokog raspona, od sasvim jednostavnih do veoma složenih problema.Sledi primer (Sl. 5.32) algoritamske definicije već opisanog postupka transformacije tačke (poglavlje5.4.3., Sl. 5.16- Sl. 5.20).13 Algoritam - logički sled operacija

59Konstruktivna geometrija1. Pom. ravan 12. Vezna linija iz A H ,A F,H ⊥ na trag 1A 23. Položaj A 1 naveznoj liniji4. Pom. ravan 25. Vezna linija iz A 1⊥ na trag 26. Položaj A 2 naveznoj linijiSl. 5.32 Algoritamski opis transformacije tačke5.8. Metode Konstruktivne geometrijeDaleko najveći broj poznatih problema KG moguće je generalno svrstati u kategoriju onih koji serešavaju pogodno izabranim pogledom. Iza ove sažete formulacije krije se čitav niz pojedinačnihklasa problema:– prava veličina (u daljem tekstu PV) elementa– mesto i oblik međusobnog prodora– uzajamni položaj (rastojanje i ugao)– izgled elementa u pravcu zraka.Rešavanje svih pobrojanih problema teče tako što postoji jasna vizija položaja pogodno izabraneprojekcijske ravni, u kojoj će se pojaviti svi elementi traženog rešenja. Bez te jasne vizije običnonastaje besciljno lutanje, koje najčešće vodi pogrešnom rešenju.Ključni deo posla je, znači, završen kada se precizno utvrdi položaj konačne projekcijske ravni,odnosno izabrani pravac pogleda koji donosi rešenje. Metodologija, kojom će se izvesti "žoKGliranje"elemenata do konačne ravni, odnosno pogleda, zavisi od individualnog opredeljenja i stečenogiskustva. Na raspolaganju su dve metode: transformacija i rotacija.Suštinska razlika između ovih metoda sadržana je u činjenici da se kod transformacije uvodi pomoćnaravan u koju će se preprojektovati izabrani element, dok se kod rotacije element obrće u odnosu naosnovne projekcijske ravni, do položaja iz kojeg će se dobiti željena projekcija.Slična stvar se dešava kada želite da, u ogledalu, pogledate mladež koji vam se nalazi ispod desnoguva. Jedan način je da uzmete pomoćno ogledalo i pogodno ga postavite da biste videli mladež. Timeste transformisali lik mladeža u novu ravan. Druga varijanta je da zarotirate glavu ulevo i dovedetemladež u novi položaj. Iz tog položaja ćete, bez upotrebe pomoćnog ogledala, jasno videti mladež.5.8.1. TransformacijaOsnovna načela postupka transformacije već su prikazana u poglavlju 5.4.3. Transformacija tačke. Sobzirom na značaj ove metode u primeni, ključne operacije postupka biće ponovo istaknute krozprimer transformacije duži.

60 Vizuelne komunikacijeSl. 5.33 Duž u osnovnom diedru,pre transformacijeSl. 5.34 Faza 1 - uvođenje pomoćne ravni 1Početna slika (Sl. 5.33) sadrži prikaz slobodno orijentisane duži u osnovnom projekcijskom diedru.Korak 1. Prvi korak transformacije je izbor pomoćne ravni u koju će se izvesti preslikavanje duži.Uopšteno, ta nova ravan mora da ispuni uslov ortogonalnosti [3] na referentnu ravan, izkoje će se započeti transformacija. Dalje, očekuje se da, osim upravnosti na referentnu ravan,nova ravan ispuni još neki geometrijski uslov u odnosu na prikazane elemente. Najčešće jetaj uslov paralelnost, i to kada se traži PV elementa, odnosno upravnost, ako se očekujezračna projekcija. U ovom slučaju, nova ravan je upravna na frontalnu, to jest referentnuravan, a paralelna duži AB (Sl. 5.34).Korak 2. U drugom koraku, iz krajnjih tačaka duži biće povučene tanke vezne linije [4] upravno natrag nove ravni 1 (Sl. 5.35).Sl. 5.35 Faza 2 - vezne linijeSl. 5.36 Faza 3 - prenošenje rastojanjau novu ravan 1Korak 3. Sada dolazi ključna sekvenca transformacije. Trebaodrediti na kom rastojanju, od traga 1, će se naćitačke A i B u novoj ravni 1. Referentna ravan, uovom slučaju F, predstavlja podlogu u koju su, podpravim uglom, uglavljene i nova 1 i prethodna Hprojekcijska ravan. Tako se, sada, duž AB nalazi u"sendviču" između prethodne H i nove 1projekcijske ravni. Pri tako umetnutom položajuduži, jasno je da se rastojanja tačaka A i B, odSl. 5.37 Faza 4 - PV duži

61Konstruktivna geometrijareferentne ravni, podjednako vide i u prethodnoj i u novoj ravni [5]. Pošto sukarakteristična rastojanja tačaka JEDNAKA, jednostavno će se prvo preneti odstojanje atačke A od referentne ravni F, iz prethodne ravni H u novu ravan 1, a zatim, odstojanje btačke B (Sl. 5.36).1Korak 4. S obzirom da je pomoćna ravan 1 postavljena paralelno duži AB to će projekcija AB bitiujedno i prava veličina duži AB. Ovo će se naznačiti povezivanjem tačaka A i B debelomisprekidanom linijom (Sl. 5.37).Time je kompletiran postupak transformacije duži AB u paralelnu pomoćnu ravan 1.Kao dodatna ilustracija transformacije poslužiće postupak određivanja zračne projekcije (u daljemtekstu ZP) duži AB.Sl. 5.38 Faza 5 - uvođenje pomoćne ravni 2, upravno na PVDa bi se pronašla ZP duži AB, potrebno je izabrati novu projekcijsku ravan, koja će biti upravna naduž AB. U ovom momentu, to postaje srazmerno jednostavan zadatak jer je već određena PV dužiAB, pa će biti dovoljno izabrati novu ravan transformacije, upravno na PV duži AB (Sl. 5.38). Tako,sada, pomoćna ravan 1 postaje referentna ravan, ravan F prethodna ravan, a nova ravan, pomoćnaravan 2. Duž AB, odnosno njena PV, prikazana kao AB 1 , nalazi se u "sendviču" prethodne F i noveravni 2. To znači da se rastojanja tačaka A i B od referentne ravni 1, označena sa c i d (Sl. 5.39),prenose iz prethodne ravni F u novu ravan 2. I zaista, pošto su obe tačke A i B na istom rastojanju c i dod referentne ravni 1, a uz to se nalaze na istoj veznoj liniji, to će se prikaz čitave duži AB u ravni 2pojaviti kao tačka, odnosno ZP.Kroz opisani primer analizirana je dvostruka transformacija. U prvoj fazi dobijena je PV duži, a zatimnjena ZP. Ovo su, ujedno, i najčešći ciljni produkti postupka transformacije (PV i ZP).

62 Vizuelne komunikacijeSl. 5.39 Faza 6 - prenošenje rastojanja u novu ravan 2, ZPNa kraju, prikazan je algoritamski opis (Sl. 5.40) izvedenih transformacija.1. Pom. r. 1 // AB FF,HAB2. Transf. AB ∏ AB 13. Pom. r. 2 ⊥ AB 14. Transf. AB 1 ∏ AB 2ZP (AB)Sl. 5.40 Algoritamski opis transformacije duži u ZP5.8.2. RotacijaPostupak rotacije elementa KG izvodi se tako što se oko pogodno izabrane ose rotacije obavizakretanje izabranog elementa za određeni ugao rotacije. Najčešće se rotacija izvodi do položajaparalelnosti ili upravnosti u odnosu na projekcijske ravni ili neki, prethodno izabran, značajan reper.Na slici (Sl. 5.41) dat je prostorni prikaz rotacije slobodno orijentisane duži AB, oko ose rotacije BB H ,a do paralelnog položaja frontalnoj ravni. S obzirom na paralelnost novodobijenog položaja duži AB uodnosu na ravan F, to će se PV duži AB pojaviti u ravni F.Serijom ilustracija pojasniće se procedura rotacije.Početna slika (Sl. 5.42) prikazuje duž AB u osnovnom projekcijskom diedru.

63Konstruktivna geometrijaSl. 5.41 Rotacija dužiKorak 1. U prvom koraku vrši se izbor ose rotacije. Njen koordinatni položaj predstavlja stvarpotpuno slobodnog izbora, ali je zato prostorna orijentacija strogo uslovljena.Pravac ose rotacije mora biti upravan na neku odprojekcijskih ravni [16]Ovaj uslov diktiran je mogućnošću da se jedino u ravni ZP ose rotacije neposredno pratikretanje tačaka pri rotaciji. Na slici prostornog prikaza (Sl. 5.41) jasno se vidi da sve tačkerotiranog elementa opisuju kružnice, odnosno neki njihov segment, i to u ravnima koje suupravne na pravac ose rotacije.Sl. 5.42 Duž u osnovnom diedru,pre rotacijeSl. 5.43 Faza 1 - izbor ose rotacijeU izabranom primeru osa rotacije postavljena je kroz tačku B duži, upravno na ravan H, štoje i prikazano slikom (Sl. 5.43).

64 Vizuelne komunikacijeKorak 2. Sledećim korakom izvodi se rotacija duži AB, konkretnije tačke A, oko centra rotacije B H(Sl. 5.44). Ugao rotacije podešen je tako da se duž AB H zaokrene do paralelnog položajaravni F.Sl. 5.44 Faza 2 - zakretanje projekcijeduži za definisani ugaoSl. 5.45 Faza 3 - prenošenje rotiranogpoložaja, PVKorak 3. Dalje treba pronaći zarotiran položaj tačke A u frontalnoj projekciji. S obzirom da je rotacijaizvedena oko ose, upravne na horizontalnu ravan, sve tačke duži AB su putovale u ravnimaparalelnim ravni H (Sl. 5.41). Tako je i tačka A rotirana u ravni paralelnoj H, pa će se njennov položaj naći na zraku koji je paralelan tragu F/H (Sl. 5.45), a u preseku sa veznomHlinijom iz .A RKorak 4. Konačno, pošto je zarotirana duž A R B sada paralelna frontalnoj ravni, njena projekcijaA R B F , označena debelom isprekidanom linijom, predstavlja PV (Sl. 5.45).U prilogu se nalazi algoritamski opis (Sl. 5.46) postupka rotacije.ROTACIJA1. Izbor ose rotacijeBB H⊥ na H2. Rotacija A H okoAB F,H B H do // položajaPV (AB)prema F/H3. Pomoćni zrak izA F// F/H4. Vezna linija izHAR⊥ na F/H5. A R B F = PV (AB)Sl. 5.46 Algoritamski opis rotacije duži do PV5.9. Primena metoda Konstruktivne geometrijeUvodni deo prethodnog poglavlja sadrži jedan veoma značajan stav, a to je, da se najveći broj poznatihproblema KG rešava pogodno izabranim pogledom. Daljom razradom ove ideje pokazano je da sedo pogodno izabranog pogleda dolazi korišćenjem metoda KG, transformacije i rotacije. Iako su obe

65Konstruktivna geometrijametode detaljno opisane, izostala je analiza idejnog procesa kod smisaonog struktuiranja operacija,zavisno od vrste i složenosti postavljenog problema.U tekstu koji sledi dat je pregled najopštijih klasa problema KG, sa metodskim opisom idejnogpristupa njihovom rešavanju i uz prikaz konkretne realizacije do konačnog rešenja.5.9.1. Prava veličina elemenata Konstruktivne geometrijeTačka predstavlja najniži hijerarhijski element KG, i kao što je pokazano nema fizičku dimenziju, paje stoga određivanje njene PV potpuno neinteresantno.Duž je sledeći konačni element KG, i ujedno prvi, čija je PV aktuelni problem. Rešavanje PV dužipokazano je u poglavlju 5.8. Metode KG i to transformacijom i rotacijom, tako da nema potrebeponavljati objašnjenja.Ravan je naredni element na hijerarhijskoj lestvici, ali je zbog svoje beskonačnosti neinteresantna usmislu traženja PV, pa to mesto ustupa geometrijskoj slici (u daljem tekstu GS). Rešavanje PV GS jevišestruko značajno, jer GS nije isključivo pojedinačni i zasebni element, već često i strukturni deosloženog geometrijskog tela (u daljem tekstu GT). Pošto se ne može govoriti o integralnom prikazuPV trodimenzionog GT, bar ne dok se raspolaže samo dvodimenzionim grafičkim mediumom, to sepri pomenu PV GT najčešće misli na PV neke od stranica, što praktično predstavlja PV GS.Ukratko, izložena analiza PV elemenata KG, ukazuje da se taj problem svodi na samo dva opštaslučaja, PV duži i PV GS.Posebnost trougla, kao najjednostavnije GS, već je istaknuta, tako da je većina primera koja sledi,orijentisana isključivo na analizu postupaka nad trouglom, što se potpuno analogno može uopštiti nabilo koji drugi poligon.Specifičnost manipulacije sa krivolinijskim GS (krug, elipsa) biće dodatno analizirana u problemimagde je to značajno.5.9.1.1. Transformacijom do prave veličine geometrijske slikePriprema strategije za pronalaženje PV GS polazi od postulata KG da se PV elementa vidi u paralelnojprojekcijskoj ravni [8]. Time je zacrtan konačan strateški cilj: "Pronaći ravan transformacije koja jeparalelna posmatranoj GS". Nažalost, sasvim jasno formulisano strateško opredeljenje, veoma čestopovlači niz taktičkih nepoznanica. Jedna od prvih je, kako pronaći ravan transformacije paralelnu GS.Srećom, odgovor na ovo pitanje je relativno jednostavan, a ujedno predstavlja i putokaz za rešavanjepostavljenog problema.Paralelnost ravni, odnosno GS uočava se u ravni njihove ZP.[17]Ovo praktično znači da treba pronaći ZP posmatrane GS i potom joj postaviti paralelnu pomoćnuravan transformacije, u kojoj će se videti prava veličina.Korak 1. Rešavanje problema PV GS počinje tako, što je kao reprezent GS, izabran slobodnoorijentisan trougao ABC u projekcijskom diedru (Sl. 5.47).Korak 2. Potom sledi jedan veoma značajan taktički potez. Zasnovan je na činjenici dasvaka GS sadrži bar jednu duž koja se u F ili H ravni vidi u PV. [18]Ovo implicitno znači da je ta duž paralelna F ili H ravni.

66 Vizuelne komunikacijeSl. 5.47 Trougao u osnovnom diedru,pre transformacijeSl. 5.48 Pomoćna duž trouglaprikazana u PVI stvarno, na sledećoj slici (Sl. 5.48) označena je pomoćna duž CD, paralelna H ravni, čija jeprojekcija CD H ujedno i PV duži CD. Sada je veoma lako doći do ZP duži CD, a time i doZP čitavog trougla. Za to je dovoljno postaviti pomoćnu ravan 1 upravno na PV duži CD iizvesti transformaciju trougla ABC u ravan 1 (Sl. 5.49).Sl. 5.49 ZP trougla u pomoćnojravni 1Sl. 5.50 PV trougla u paralelnoj ravni 2

67Konstruktivna geometrijaKorak 3. Konačno, u prilici smo da definišemo pomoćnu ravan 2, paralelno ZP trougla ABC i u njojodredimo PV trougla, kao što je i zamišljeno strateškom postavkom (Sl. 5.50).Algoritamski opis (Sl. 5.51) daje redosledni pregled sekvenci pri određivanju PV trouglatransformacijom.TRANSFORMACIJA1. Pom. duž CD ∈ Δ // H2. Pom. r. 1 ⊥ CD H(PV CD H )Δ F,H 3. Transf. Δ → Δ 1PV Δ(ZP Δ 1 )4. Pom. r. 2 // ZP Δ1 25. Transf. Δ → Δ2(PV Δ )Sl. 5.51 Algoritamski opis transformacije trougla do PV5.9.1.2. Rotacijom do prave veličine geometrijske slikeOsnovna ideja pri određivanju PV GS rotacijom je dovođenje te GS u paralelan položaj prema nekojod projekcijskih ravni. Paralelnost položaja GS sa projekcijskom ravni uočava se u ravni ZP GS [17].To praktično znači da prvo treba odrediti ZP GS, nakon čega će se izvesti njeno zakretanje, okoizabrane ose, do paralelnog položaja sa osnovnom projekcijskom ravni.Korak 1. S obzirom da je u prethodnom primeru pokazano kako se dolazi do ZP GS, biće korišćenidentičan postupak, s tom razlikom što će se krenuti iz ravni F, da bi se istakla potpunasloboda izbora početne ravni.Sl. 5.52 Zračna projekcija trougla upomoćnoj ravni 1Sl. 5.53 Osa rotacije S kroz teme C

68 Vizuelne komunikacijeIzvorna slika trougla ABC, u projekcijskom diedru, proširena je pomoćnom duži AD, koja sevidi u PV u ravni F i pomoćnom ravni 1, koja sadrži ZP trougla (Sl. 5.52).Korak 2. Sledeći korak predstavlja izbor ose rotacije. To može biti sasvim slobodno izabran zrak, poduslovom da je upravan na ravan ZP trougla [17], odnosno na ravan 1. Da bi se pokazalainvarijantnost metode od izbora položaja ose rotacije, koristiće se prvo zrak s, koji prolazikroz tačku C trougla i upravan je na pomoćnu ravan 1 (Sl. 5.53). Projekcija zraka s u ravni 1poklopiće se sa tačkom C. Pošto je ovim definisana osa rotacije trougla, potrebno jeodrediti i ugao rotacije. Postupak je zamišljen tako da se rotacija trougla izvede doparalelnog položaja ravni F. Trenutno, ugao koji zaklapa trougao ABC sa ravni F je α ioznačen je u pomoćnoj ravni 1 (Sl. 5.53). Dovođenje trougla ABC do paralelnog položajaravni F rotacijom značilo bi svesti ugao α na nulu. Na sledećoj slici to je pokazano. Zračnaprojekcija trougla zaokrenuta je oko ose rotacije s 1 za ugao α do paralelnog položaja ravni F(Sl. 5.54).Sl. 5.54 Rotacija zračne projekcijetrouglaSl. 5.55 Prenošenje rotiranih temena u FravanKorak 3. Sada nastupa ključni momenat postupka, jer treba odrediti položaj zarotiranih temenatrougla u ravni F.Kroz prethodne primere već je pokazano da se projekcije tačke u susednim ravnima nalazeuvek na veznim linijama, upravnim na međusobni trag [4]. Zbog toga su i povučene vezne1 1linije iz rotiranih tačaka i (Sl. 5.54).A RB RZa teme C trougla ne postoji dilema. Pošto se ionako nalazi na osi rotacije, ono se nećepomerati.Korak 4. Na redu su temena A i B. Putanje ovih tačaka pri rotaciji su segmenti kružnice, upravni naosu rotacije. Ova upravnost segmentnih putanja tačaka ĀĀ R i BB R naznačena je u frontalnojravni F zracima upravnim na osu rotacije s F (Sl. 5.55).Korak 5. Konačno, u preseku segmentnih putanja temena i veznih linija iz pomoćne ravni 1 naći će seF Fprojekcije rotiranih tačaka i (Sl. 5.55).A RKorak 6. Spajanjem rotiranih temena dobija se PV trougla ABC (Sl. 5.56).B RZaista, ako se želi provera zarotiranog položaja trougla, treba odrediti odgovarajuću projekciju uHORIZONTALNOJ ravni.

69Novi položaj temena A i B u ravni H, naći će sena veznim linijama [4] iz rotirane projekcije F(Sl. 5.57). Teme C ostalo je na istom mestu.Poštujući proceduru transformacije, ravan F je idalje referentna, ravan H prethodna, a pomoćnaravan 1 nova ravan. Pošto je trougao ABCrotacijom doveden do paralelnog položajaFRONTALNOJ ravni, to je rastojanje svakog odtri temena trougla od ravni F identično. Na slici(Sl. 5.57) ovo rastojanje od traga 1 označeno jesa a. Prenošenje položaja tačaka izvešće sesuprotno uobičajenom postupku transformacije ito iz nove ravni 1 u prethodnu ravan H (Sl. 5.57).Ovaj smer prenošenja je ispravan, s obzirom daje rotacijom izmenjen izvorni položaj trougla bašu ravni 1, a sada treba prikazati taj novi položaj,u prethodnoj ravni H. I zaista, u HORI-ZONTALNOJ ravni pojaviće se položaj trouglaABC paralelan FRONTALNOJ ravni.Sl. 5.56 Prava veličina trouglaKonstruktivna geometrijaDa bi se pokazalo kako je postupak rotacije, a i sam njegov ishod invarijantan od izbora ose rotacije,postaviće se nova osa rotacije s, sada kroz teme A trougla ABC. S obzirom da osa rotacije mora dabude upravna na ravan ZP [17], to će se nova osa poklopiti sa duži AD (Sl. 5.58). Pošto se radi oSl. 5.57 Prenošenje rotiranih temena u H ravanistom trouglu ABC, ugao prema ravni F biće i dalje α , i to je isti ugao za koji treba izvesti rotaciju doparalelnog položaja ravni F. Jedino se menja tačka, odnosno osa rotacije. Sada je to tačka zračneprojekcije ose s1 , koja se poklapa sa tačkom A 1 . Na slici (Sl. 5.58) prikazana je rotacija ZP trougla okoA 1 za ugao α , odnosno do paralelnosti sa ravni F. Dalje prenošenje položaja zarotiranih temena uFRONTALNU ravan teče kao i u prethodnom primeru.Povezivanjem zarotiranih temena A Fisprekidanom linijom (Sl. 5.59).FB RFC Rdobija se prava veličina trougla, što je i označenoKonačno, sledi algoritamski opis izvedene rotacije GS (Sl. 5.60).

70 Vizuelne komunikacijeSl. 5.58 Osa rotacije S kroz teme ASl. 5.59 Prava veličina trouglaROTACIJA1. Pom. duž AD ∈ Δ // F2. Pom. r. 1 ⊥ AD F(PV AD F )Δ F,H 3. Transf. Δ → Δ 1PV Δ4. Izbor ose rot. s ⊥ r. 15. Rot. Δ 1 oko s 1 dopoložaja // F(ZP Δ 1 )(Δ 1 )R6. Trasiranje putanje temena u Fpri rot.F7. Temena ΔRu preseku1veznih linija od ΔRitrasiranih putanja rot.F8. ΔR= PV Δ(zraci ⊥ na s)Sl. 5.60 Algoritamski opis rotacije trougla do prave veličine

71Konstruktivna geometrija5.10. Geometrijsko telo u pravcu zrakaNa sličan način kao što je trougao reprezent GS tako je i kocka reprezent GT. Upravo zbog toga inajveći broj problema KG, vezan za GT, biće analiziran na primeru kocke.2QSADBCABCSl. 5.61 Geometrijsko telo u pravcu zrakaProblem koji se ovde razmatra odnosi se na pravac posmatranja GT. S obzirom na uobičajenusloženost GT, potpuno je razumljivo, da ako vidite jednu njegovu stranu, još uvek nemate potpunojasnu sliku o tom predmetu. Zbog toga se često uvodi dodatni pogled na GT. Očigledan primer jekockica za igru (Sl. 5.61a).AADBBCCPod uslovom da ne poznajete pravilo po kojem seraspoređuju brojevi na kockici (zbir naspramnih stranauvek je 7), ne možete znati koji se broj nalazi naskrivenoj stranici kockice. Ovo je svakako prenaglašenojednostavan primer, ali je suština adekvatna.Na slici (Sl. 5.61) prikazana je kocka koja jednomsvojom stranom leži u HORIZONTALNOJ ravni,orijentisana na neki proizvoljan način. Pretpostavimo danas interesuje kako ta ista kocka izgleda u pravcuodređenog zraka QS (Sl. 5.61).Do rešenja se dolazi tako što se traži pomoćnaprojekcijska ravan, upravna na definisani zrak QS [1].Pošto je to ujedno i ravan ZP QS, a već smo pokazalikako se dolazi do ZP duži, ovim je uspostavljena idejnasmernica za rešavanje ovog problema. Naime, prvo ćeSl. 5.61a Izgled kockice za igru

72 Vizuelne komunikacijese postaviti pomoćna ravan 1, u kojoj se vidi PV zraka QS [8], a zatim pomoćna ravan 2 upravno naPV QS (Sl. 5.61), u kojoj ćemo dobiti izgled kocke u željenom pravcu.Tehnika rešavanja opisanog problema je relativno jednostavna i svodi se na dvostruku transformacijujedne duži i jedne kocke. Jedini problem može da predstavlja određivanje vidljivosti, pa ćemo se timemalo detaljnije pozabaviti.Oznake temena osnove, koja leži u H ravni, su ABCD, dok su naspramna temena gornje osnoveA B C D . Ovim tumačenjem već smo ušli u užu problematiku GT gde najčešće postoje donjaosnova, gornja osnova i izvodnice koje povezuju te dve osnove.Transformacijom zraka QS u paralelnu pomoćnu ravan 1 dobijena je njegova PV. Takođe i temenakocke ABCD A B C D transformisana su u pom. ravan 1, a prema već poznatim pravilima.Dilema oko vidljivosti postoji jedino kod izvodnica, jer se za razliku od njih, obe osnove, zbogupravnosti na ravan 1, preslikavaju zračno sa potpunom vidljivošću.Da se podsetimo, ortogonalno projektovanje zasnovano je na projekcijskim zracima, koji dolaze izbeskonačnosti [2] i osvetljavaju element KG. Pri tome se formira senka na zastoru, tako da suvidljive sve one konture ispred kojih ne postojifizička zapreka dolazećim projekcijskim zracima. [19]Upravo ti dolazeći projekcijski zraci na slici (Sl. 5.62) simbolizovani su ispunjenim strelicama. Jasnose uočava da se jedino na putu zraka koji osvetljava izvodnicu B B nalazi prepreka koju čini telokocke. Zbog toga je izvodnica B B 1 nevidljiva i označena tankom isprekidanom linijom.Sl. 5.62 Faza 1 - transformacija u ravan PV zrakaPovezivanjem transformisanih temena formira se lik kocke u ravni 1.

73Konstruktivna geometrijaSledeći korak predstavlja definisanje ravni 2 upravno na PV zraka QS (Sl. 5.63). Pošto je to urađeno,sledi konačna transformacija kocke u ravan 2. Ovo se izvodi teme po teme i to prema poznatomreceptu. Kada su sva temena transformisana u ravan 2 povezaćemo ih provizorno, tankim linijama. Toće biti privremeno rešenje, dok se ne odredi konačna vidljivost kontura.Sl. 5.63 Faza 2 - transformacija u ravan upravnu na PV zrakSlično kao i kod prethodne transformacije naznačićemo pravac i smer dolazećih projekcijskih zraka uravni 1 (Sl. 5.64). Snop zraka koji osvetljava donju osnovu ABCD nema nikakvih fizičkih zapreka,tako da je ta osnova u potpunosti vidljiva i to je označeno debelim konturnim linijama koje povezujutačke A 2 , B 2 , C 2 , D 2 (Sl. 5.64). Za gornju osnovu situacija nije tako očigledna. Analiziraćemo vidljivosttemena postupno jedno za drugim. Teme A je nesumnjivo vidljivo, tako da se izvodnica A A 2 možeodmah pojačati debelom linijom.Za teme B nije baš sasvim očigledno da li je vidljivo ili ne. Međutim, ako se pogledaHORIZONTALNA projekcija dolazećih zraka, što je označeno nesenčenim strelicama (Sl. 5.64),potpuno je jasno da je i to teme vidljivo.

74 Vizuelne komunikacijeSledeće teme po redu je C . Odmah se uočava da dolazeći zrak ne osvetljava direktno teme C , i to jesasvim jasno i u ravni 1 i u ravni H. Zbog toga su sve linije konture, koje polaze iz temena Coznačene nevidljivim, odnosno tankim isprekidanim linijama.Konačno, temeDSl. 5.64 Faza 3 - vidljivost konačne projekcije geometrijskog telaodgovarajuća izvodnica D D biti vidljiva.direktno je osvetljeno dolazećim zrakom, što se vidi u H ravni, tako da ćeOstalo je još da se izvrši globalna procena vidljivosti gornje osnove. Najjednostavnije je još jednompogledati projekciju dolazećih zraka u H ravni. Ivice A B i A D nalaze se direktno izložene frontuzraka, što znači da su vidljive, dok se u pozadini nalaze C B i C D . Saglasno ovoj proceni označenaje vidljivost preostalog dela konture (Sl. 5.64), i time je kompletirano prikazivanje GT u pravcudefinisanog zraka.Sledi algoritamski opis izvedenih operacija (Sl. 5.65).

4. Transf. GT 1 → GT 2 (ZP QS)75Konstruktivna geometrija1. Pom. r. 1 // QS H2. Transf. QS → QS 1F,HGTGT → GT 1 2GT(PV QS)QS F,H 3. Pom. r. 2 ⊥ QS 1 2(ZP QS = QS )25. Vidljivost GTSl. 5.65 Algoritamski opis transformacije geometrijskog tela u pravcu zraka5.11. Klasični problemi međusobnog položajaUspešnost ovladavanja određenom stručnom ili naučnom disciplinom meri se sposobnošću zarešavanje konkretnih problema i zadataka. Upravo zbog toga, u ovom odeljku biće prezentirana jednagrupa najopštijih problema međusobnog položaja elemenata KG, što treba da posluži kao putokaz zarešavanje većine sličnih zadataka.Sl. 5.66 Ugao koji zaklapaju dva trougla

76 Vizuelne komunikacijeKao što je već naglašeno u više navrata, rešavanje problema KG najčešće se svodi na definiciju PV iliZP nekog od posmatranih elemenata KG.5.11.1. Ugao presečnih ravniU ovom zadatku kao reprezent presečnih ravni biće korišćena kombinacija dva trougla, spojena pojednoj zajedničkoj stranici (Sl. 5.66). Jednim od postulata KG [13] istaknuto je da trougao nosipotpunu određenost ravni u kojoj je sadržan. Zbog toga je i moguće poistovetiti problem ugla izmeđupresečnih ravni sa ovako prikazanim problemom. Dodirna stranica trouglova, u opštem slučaju,reprezent je traga dve presečne ravni. Kao što je pokazano slikom (Sl. 5.66), realna veličina traženogugla videće se u ravni ZP dodirne stranice, a ujedno i posmatranih trouglova.Pošto je već analizirano kako se određuje ZP duži (Sl. 5.33- Sl. 5.39), ovaj problem može se smatratirutinskim zadatkom.Sl. 5.67 Određivanje ugla između dve ravniPrvo se postavlja pomoćna ravan 1 u kojoj će se pojaviti PV dodirne stranice (Sl. 5.67). Nakon togaizvodi se transformacija oba trougla u tu ravan i potom nova transformacija u pomoćnu ravan 2upravnu na PV dodirne stranice (Sl. 5.67).Algoritamski opis postupka određivanja ugla između dve ravni sledi na zasebnoj slici (Sl. 5.68).

77Konstruktivna geometrija1. Pom. r. 1 // dodirnoj stranici2. Transf. →(PV dod. s)3. Pom. r. 2 ⊥ PV dod. s4. Transf. →5.(ZP dod. s)Sl. 5.68 Algoritamski opis određivanja ugla između presečnih ravni5.11.2. Ugao presečnih duži / pravihOsećaj za pojmovnu analogiju je osobina koja je retko kome urođena. Najčešće je nose veliki naučnicii istraživači kao dar prirode. Međutim, dugotrajnim prikupljanjem iskustva, odnosno napornimvežbanjem, razvija se osećaj za prepoznavanje sličnosti problema i pojava, što doprinosi lakšemstrukturnom raščlanjavanju i potpunijoj analizi.Tako se ugao između presečnih duži/pravih može posmatrati kao ugao koji zaklapaju dve stranicetrougla (Sl. 5.69). Jasno je da će se taj ugao realno videti u projekciji PV trougla. Pošto je problemodređivanja PV trougla analiziran u tački 5.9.1.1. - Transformacijom do prave veličine geometrijskeslike i tački 5.9.1.2. - Rotacijom do prave veličine geometrijske slike, to će se samo ukratkokomentarisati postupak rešavanja, ilustrovan sa par slika.Sl. 5.69 Presečne duži/prave

78 Vizuelne komunikacijeOsnovnu sliku čine presečne duži AB i CD sazajedničkom tačkom S (Sl. 5.70). Kao i kod određivanjaPV trougla iskoristiće se osobina [18] da uvek postojineka duž koja se vidi u PV. U ovom slučaju to će bitiduž BG paralelna H. Pošto je određena PV pomoćneduži, postavlja se ravan 1 upravno na PV duži (Sl. 5.70).Sledi transformacija presečnih duži u ravan 1 , čime ćese dobiti njihova ZP (Sl. 5.71). Konačno, postavlja sepomoćna ravan 2 paralelno ZP presečnih duži (Sl. 5.71).Transformacijom duži AB i CD u ravan 2 dobija senjihova PV i presečni ugao α koji one zaklapaju (Sl.5.72). Uobičajeno je da se presečnim uglom smatramanji od dva suplementna ugla.Sl. 5.70 Faza 1 - pomoćna duž u PVSl. 5.71 Faza 2 - transformacija upom. r. ZPSl. 5.72 Faza 3 - transformacija upom. r. PVU nastavku se nalazi algoritamski opis postupka određivanja ugla presečnih duži/pravih (Sl. 5.73).

5. Transf. x 1 → x 2 (PV x)79Konstruktivna geometrijax F,H1. Pom. duž BG // H(PV BG H )2. Pom. r. 1 ⊥ PV BG3. Transf. x → x 1(ZP x 1 )4. Pom. r. 2 // ZP x 1xSl. 5.73 Algoritamski opis određivanja presečnog ugla duži/pravih5.11.3. Prodor duži / prave kroz ravanZadatak koji će biti razmatran u ovoj tački otvara jednu novu klasu problema, PRODORE. Iako će tagrupa problema biti zasebno analizirana, interesantno je proučiti baš ovaj slučaj, jer se prvi put koristipojam prodorna ravan (u daljem tekstu PR).Prodorna ravan je vrsta pomoćne ravni, koja na posmatranomelementu ocrtava granicu potencijalnog prodora. [20]Sl. 5.74 Prodor duž/prava - trougao

80 Vizuelne komunikacijeNa slici (Sl. 5.74) prikazan je slobodno orijentisan trougao ABC i duž DE koja prodire kroz trougao.Pošto su to najčešće nezavisno definisani elementi (Sl. 5.75), tačka, odnosno mesto prodora nije samopo sebi određeno. Upravo zbog toga uvodi se PR koja, u ovom slučaju, sadrži duž DE i napredmetnom trouglu ABC ocrtava granicu KL potencijalnog prodora. Ukoliko prodor duži DE, kroztrougao ABC, zaista postoji, mora se naći unutar traga KL koji je ostavila PR.Sl. 5.75 Duž i trougaoSl. 5.76 Tačka prodora duž - trougaoPošto je PR 1 upravna na H i uz to sadrži duž DE, to će se njen horizontalni trag poklopiti saprojekcijom DE H (Sl. 5.76). Sada se mogu odrediti projekcije graničnih tačaka prodora K H i L H kojeleže u preseku PR 1 i stranice AB odnosno stranice BC trougla (Sl. 5.74 i Sl. 5.76). Frontalneprojekcije graničnih tačaka prodora naći će se u preseku veznih linija iz K H i L H sa odgovarajućimstranicama AB F i BC F .Konačno, stekli su se uslovi da se odredi mesto prodora duži DE kroz trougao ABC. Kako tačkaprodora S mora jednovremeno da pripada i duži DE i duži KL, to će se naći u njihovom preseku (Sl.5.74), što se jasno vidi u FRONTALNOJ projekciji (Sl. 5.76). Povlačenjem vezne linije iz S F uHORIZONTALNU ravan, na preseku sa KL H naći će se S H (Sl. 5.76).Sl. 5.77 Tačka prodora prava - ravanSl. 5.78 Vidljivost prodorne duži uH ravni

81Konstruktivna geometrijaPre nego što se odredi vidljivost prodornih elemenata, odnosno šta je čime zaklonjeno u kombinacijiduž - trougao, analiziraćemo jedan uopšteniji, hipotetičan problem.Kako bi izgledao prodor duž - trougao ili prava - ravan da se, kojim slučajem, duž DE nalazila maloviše udaljena od HORIZONTALNE ravni, odnosno da ne postoji presek DE F i KL F (Sl. 5.77). U ovojvarijanti potrebno je malo šire sagledati problem. Tako sada trougao ABC treba posmatrati kaoreprezent ravni, u kojoj je sadržan, a duž DE kao jedan segment prave kojoj pripada. Tada će sesvakako pojaviti prodor prave kroz ravan. Izuzetak bi bio ako su ovi elementi paralelni.Pošto se problem sada posmatra uopšteno, granica potencijalnog prodora nije više duž KL, već topostaje čitava prava k , međusobni trag ravni trougla i PR 1 (Sl. 5.77). Na drugoj strani umesto dužiDE pojaviće se prava d . U preseku ove dve prave, a u FRONTALNOJ ravni, nalazi se tačka prodoraS F , dok će se S H naći na odgovarajućoj veznoj liniji (Sl. 5.77).Nakon što je pokazano rešavanje uopštenog problema prodora prave kroz ravan, vratićemo seodređivanju vidljivosti kod prodora duž - trougao.Sasvim je jasno da duž kao jednodimenzioni element ne može da zakloni vidljivost trougla, pa se ovajzadatak svodi na određivanje zaklonjenih i nezaklonjenih delova duži.Dalje, izvesno je da je van granica trougla duž potpuno vidljiva i ti se delovi mogu odmah izvućidebelom linijom.Prvo ćemo odrediti vidljivost u H ravni. Nevidljiv će biti onaj deo koji se nalazi ispod površinetrougla, dok će onaj iznad nje biti vidljiv. Granica vidljivo - nevidljivo nalazi se u tački prodora S.Procena šta je ispod, a šta iznad, izvodi se u FRONTALNOJ ravni (Sl. 5.78).Pošto se i duž DE i duž KL trougla nalaze u istoj ravni PR 1, to se jasno uočava da je jedan segment naDS F , duži DE ispod KS F , pa je samim tim taj deo nevidljiv. To ćemo označiti tankom isprekidanomlinijom uz postojeću liniju KS H . Drugi segment na SE F , duži DE nalazi se iznad SL F , pa će taj deo bitividljiv i označen punom linijom uz liniju SL H .Na red je došlo određivanje vidljivosti u ravni F.Sl. 5.79 Vidljivost prodorne duži uF ravniSl. 5.80 Kompletna vidljivost prodoraduž - trougaoU ovom slučaju biće vidljiv onaj deo duži koji se nalazi ispred površine trougla, dok će onaj iza bitinevidiljiv. Granica vidljivog i nevidljivog ponovo je u tački S. Upoređivanje pozicije ispred - iza

82 Vizuelne komunikacijemoguće je izvesti u HORIZONTALNOJ ravni. Da bi to bilo precizno i efikasno određeno, potrebno jepronaći graničnu liniju trougla, u odnosu na koju će se izvesti procena ispred - iza. Za definiciju ovelinije poslužiće PR 2 (Sl. 5.79), koja sadrži DE a upravna je na F ravan. Pomoću PR 2 određene sudve nove granične tačke R i Q koje u H ravni definišu front vidljivosti po principu ispred - iza (Sl.5.79).Jednostavnim poređenjem uočava se da je deo na DS H , duži DE H ispred referentne linije RQ H , štoznači vidljivo u F ravni. Segment na SE H je iza linije RQ H , pa je samim tim nevidljiv. Vidljivi deoprodorne duži unutar trougla označen je dodatnom tankom linijom a nevidljivi deo dodatnomisprekidanom linijom (Sl. 5.79).Sada je moguće povezati obe slike koje parcijalno definišu vidljivost u H (Sl. 5.78) i F (Sl. 5.79) ravni.Time se dobija jedinstvena slika (Sl. 5.80) prodora duži kroz trougao i odgovarajuća vidljivost.Sledi algoritamski opis određivanja prodora duž – trougao (Sl. 5.81).1. Prod. r. 1, sadržiDE, ⊥ na H2. Pom. duž KL H u\ F,H , Δ F,H preseku PR 1 i Δ H3. Tačka prodora S upreseku KL F4. Vidljivosti DE FSl. 5.81 Algoritamski opis određivanja prodora duž - trougao5.11.4. Normala iz tačke na duž / pravuOvaj zadatak može se svrstati u klasu elementarnih problema. Uz kratko podsećanje na jedan odpostulata [12], o upravnosti presečnih duži/pravih, relativno jednostavno se dolazi do rešenja.Pošto je poznato da se upravnost presečnih duži vidi u projekcijskoj ravni u kojoj je jedna od njih uPV, to je za rešavanje ovog problema dovoljno pronaći pomoćnu ravan 1 u kojoj se predmetna dužvidi u PV. Nakon transformacije i duži i tačke u ravan 1 dovoljno je povući normalu koja povezujetačku i duž i problem je rešen. Prenošenjem presečne tačke S u F i H ravan dobiće se kompletan prikazu osnovnim projekcijskim ravnima.Postupak je ilustrovan slikom (Sl. 5.83) i opisan priloženim algoritmom (Sl. 5.82).1. Pom. r. 1 // AB HM F,H , / F,H 2. Transf. AB → AB 1 ,M → M 1(PV AB)3. Normala iz M 1na AB 1Sl. 5.82 Algoritamski opis određivanja normale iz tačke na duž

83Konstruktivna geometrijaSl. 5.83 Normala iz tačke na duž5.11.5. Normala iz tačke na ravanSmisao ovog zadatka je da se iz slobodno izabrane tačke M postavi normala na ravan, koju u ovomslučaju, predstavlja trougao ABC (Sl. 5.84).Sl. 5.84 Faza 1 - određivanje zračne projekcije geometrijske slike

84 Vizuelne komunikacijeUvek kada je potrebno odrediti ugao nekog elementa prema ravni ili GS , makar taj ugao bio i prav,inicijalna ideja je da se pronađe ZP te ravni odnosno GS. Ako se to uspešno izvede, onda je veomajednostavno rešiti postavljeni problem.Kao što je već u više navrata pokazano, do ZP GS dolazi se tako što se odredi pomoćna duž GS u PV[18], a zatim se postavi pomoćna ravan 1 upravna na tu duž (Sl. 5.84). Transformisani lik GS u ravni 1biće ustvari ZP. Sada je dovoljno da se iz tačke M 1 povuče upravan zrak na ZP GS (Sl. 5.84).Sl. 5.85 Faza 2 - normala na ZP GS i tačke prodoraOvim ipak nije u potpunosti rešen postavljeni problem. Potrebno je još definisati položaj prodornetačke S 1 i u osnovnim projekcijskim ravnima. Jasno je da će se S H naći na veznoj liniji iz S 1 , međutimnedostaje još jedno zrnce inventivnosti da se precizno odredi pozicija te tačke.Problem može da se analizira na dva načina. Prvo, pošto su i pom. ravan 1 i zrak MS upravni na GS,znači da su međusobno paralelni. Ta paralelnost se vidi u H ravni, pa će duž MS H biti paralelna tragupomoćne ravni 1, što je i označeno na slici (Sl. 5.85).HAnalizirano na drugi način, MS je upravno na GS, što posredno znači da će i MS biti upravno na dužCD H , koja se vidi u PV [12]. Ovaj odnos upravnosti je takođe označen na slici (Sl. 5.85). Proveraispravnosti ovakvog pristupa može se izvesti i u FRONTALNOJ ravni. Tačka prodora S F naći će se naveznoj liniji iz S H , a na visini a.Izborom pomoćne duži AE, tako da je AE paralelno F ravni, dobiće se AE u PV. I zaista, ako seizvede provera upravnosti MS F na AE F uočiće se da su te dve duži pod pravim uglom (Sl. 5.85).To praktično znači da, ukoliko nas ne interesuje tačka prodora normale kroz ravan odnosno GS, tajupravni zrak može se odmah povući iz slobodno izabrane tačke upravno na duž koja se vidi u PV.U rešenju ovog zadatka (Sl. 5.85) data je i vidljivost normale MS. Čitaocima je ostavljeno dasamostalno analiziraju prikazanu vidljivost.Sledi algoritamski opis rešenja normale na ravan (Sl. 5.86).F

85Konstruktivna geometrijaF,HΔF,HM1. Pom. duž CD // H(PV CD H )2. Pom. r. 1 ⊥ PV CD3. Transf. Δ, M → Δ 1 , M 1 MS ⊥ Δ(ZP Δ)4. Duž MS 1 ⊥ ZP Δ5. Prenošenje S 1 → S H , S F6. VidljivostSl. 5.86 Algoritamski opis određivanja normale na ravan5.11.6. Ugao duži / prave prema ravniIdejnu postavku ovog zadatka analiziraćemo za krajnje pojednostavljen položaj odnosnih elemenata.Upravo zbog toga osnovni trougao postavljen je paralelno H ravni. U odnosu na njega prodornaduž/prava je sasvim slobodno orijentisana.Sl. 5.87 Ugao duži/prave prema ravni

86 Vizuelne komunikacijeNa slici (Sl. 5.87) sasvim jasno se uočava da je ugao α između duži i ravni trougla vidljiv u pravojveličini u pomoćnoj ravni 1, koja je paralelna duži, a upravna na ravan trougla. Ovaj zaključak jepresudan za idejno rešenje problema.Sl. 5.88 Faza 1 - transformacija 1, 2 do prave veličine trouglaZnači, potrebno je naći onu pomoćnu ravan, koja će biti upravna na PV trougla, a paralelnaprodornoj duži. U toj ravni videće se ugao prodorne duži/prave prema ravni.Sl. 5.89 Faza 2 - transformacija 3 prave veličine duži

87Konstruktivna geometrijaRešavanje postavljenog zadatka sada se izvodi rutinski. Za slobodno orijentisan trougao (Sl. 5.88) većje pokazano u tački 5.9.1.1. Transformacijom do prave veličine geometrijske slike, kako se dolazi doPV. Tokom rešavanja zadatka potrebno je da se pri svim usputnim transformacijama prenosi iprodorna duž. Kada se došlo do PV trougla (Sl. 5.89), dovoljno je postaviti pomoćnu ravan 3 paralelnoDE 2 , pa će se u njoj pojaviti traženi ugao α.Sledi algoritamski opis određivanja ugla duži/prave prema ravni (Sl. 5.90).F,HΔF,M/1. Pom. duž CD // H2. Pom. r. 1 ⊥ PV CD H13. Transf. Δ, → Δ , _ 1(PV CD H )(ZP Δ)4. Pom. r. 2 // ZP Δ5. Transf. Δ, → Δ , _ 2 (PV Δ)26. Pom. r. 3 // _ 2 37. Transf. Δ, → Δ , _ 3(ZP Δ, PV _)Sl. 5.90 Algoritamski opis određivanja ugla duži/prave prema ravni5.11.7. Rastojanje mimoilaznih duži / pravihPojam međusobnog rastojanja elemenata KG je parametar koji je sasvim precizno definisan kaoduž koja je upravna na dva, konačno razmaknuta elementa.Za suštinsko sagledavanje postavljenog problema poslužićemo se imaginacijom. Dve mimoilazneduži/prave mogu se posmatrati kao elementi koji se nalaze u dve međusobno paralelne ravni (Sl. 5.91).Interesantno je, takođe, uočiti da se ti elementi mogu rotacijom, u prikazanim ravnima, dovesti i uparalelan položaj (Sl. 5.91).Nezavisno od toga da li je položaj elemenata paralelan ili mimoilazan, rastojanje će im biti identičnod, što je i označeno na slici (Sl. 5.91).Ovo svojstvo definisane udaljenosti mimoilaznih elemenata u paralelnim ravnima biće iskorišćeno zarešavanje postavljenog problema.Početnu sliku čine dve slobodno izabrane mimoilazne duži AB i CD (Sl. 5.92). Do rešenja će se doćiuz pomoć ravni koja sadrži duž AB, a uz to je i paralelna CD. Za njenu definiciju iskoristićemopomoćnu duž EG, koja je presečna sa AB [13], i ujedno paralelna CD [14]. Ovim potezom, parpresečnih duži AB i EG definiše novu ravan koja je paralelna CD (Sl. 5.93).U zračnoj projekciji ove ravni pojaviće se traženo rastojanje d mimoilaznih duži AB i CD. Do ZPravni dolazi se na poznati način [18], korišćenjem pomoćne duži AL koja se vidi u PV (sl. 94).Pomoćna ravan transformacije 1 sadržaće paralelne projekcije AB 1 i CD 1 mimoilaznih duži natraženom rastojanju d.[21]

88 Vizuelne komunikacijeSl. 5.91 Mimoilazne duži/prave u paralelnim ravnimaUkoliko se želi precizan položaj tačke iz koje je definisana udaljenost mimoilaznih duži, dovoljno jeizvesti još jednu transformaciju u paralelnu ravan 2, gde će se pojaviti PV AB i PV CD. Na mestunjihovog prividnog preseka odmerava se rastojanje d.Sl. 5.92 Mimoilazne dužiSl. 5.93 Faza 1 - definicija ravni kojasadrži jednu duž a paralelna jedrugojU ravni 2 definisan je takođe i relativni ugao α za koji su zakrenute duži AB i CD od imaginarnogpoložaja paralelnosti (sl. 94).

89Konstruktivna geometrijaSl. 5.94 Faza 2 - ZP paralelne ravni i PV mimoilaznih dužiSledi algoritamski opis određivanja rastojanja mimoilaznih duži/pravih (Sl. 5.95).1. Pom. duž EG × AB, // CDF,HABCD F,H2. Pom. duž AL ∈ AB, EG // H3. Pom. r. 1 ⊥ PV AL4. Transf. AB, CD → AB 1 , CD 1H(PV AL ) d1(AB // CD 1 )Sl. 5.95 Algoritamski opis određivanja rastojanja mimoilaznih duži/pravih5.12. KOSA RAVANDefinicija ravni i njenog položaja prema ostalim elementima KG do sada je uglavnom rešavanakorišćenjem nižih elemenata KG, kao i jednostavnih GS.Na ovom mestu otvara se jedna nova klasa problema, poznata kao KOSA RAVAN (u daljem tekstuKR). Takva ravan će najčešće biti predstavljena svojim tragovima prema ravnima osnovnog,projekcijskog diedra (Sl. 5.96). Označavanje KR izvešće se arapskim brojem 4 ili više, jer su nižibrojevi rezervisani za pomoćne transformacijske ravni (1, 2, 3).Pre nego što se započne šira analiza klasičnih problema KR, interesantno je izneti par činjenica kojepomažu bližem poimanju njenog značaja i smisla.

90 Vizuelne komunikacijeSl. 5.96 Tragovi kose ravniNagib KR je ugao koji ta ravan zaklapa sa osnovnom projekcijskom ravni, najčešćeHORIZONTALNOM. Ugao nagiba KR vidi se u ravni koja je upravna na trag KR (Sl. 5.97). Ovajugao može se takođe uočiti i između linije nagiba i njene projekcije (duž AB, Sl. 5.97).Sl. 5.97 Nagib kose ravniSl. 5.97a Karakteristične linije kose ravniNajkraća i najstrmija putanja od tačke A (Sl. 5.97) do podnožja KR vodi baš linijom nagiba. Upravozbog toga skijaši takmičari biraju baš tu stazu u svom pohodu ka cilju. Za razliku od njih, početnici seodlučuju za bilo koju drugu, jasno uvek manje strmu stazu (Sl. 5.97a). Granični slučaj blage staze jeputanja čiji je nagib nula.To je paralela tragu KR (Sl. 5.97a). Ovo je ujedno i druga karakteristična linija KR, pored linijenagiba.Treća značajna linija je normala KR, takođe označena na slici (Sl. 5.97a).

91Konstruktivna geometrijaKao što će kasnije biti pokazano i objašnjeno, ove tri međusobno upravne linije su vitalno značajne zavećinu definicija KR.5.12.1. Paralele kose ravniPod pojmom paralela KR podrazumeva se ona linija KR koja je paralelna horizontalnom, odnosnofrontalnom tragu KR. Formiranje paralele moguće je zamisliti kao posledicu prodora pomoćne ravniparalelne H ili F kroz KR (Sl. 5.98, Sl. 5.98a, Sl. 5.99, Sl. 5.99a). Paralela horizontalnom tragu KRbiće ujedno i paralela H ravni i biće označavana sa h , dok će paralela frontalnom tragu KR i F ravninositi oznaku f.Sl. 5.98 Kosa ravan i h paralelaSl. 5.98a Projekcija h paraleleOve linije su neobično važne, jer pomažu lociranju tačaka na KR. Rezon je veoma sličan korišćenjumreže meridijana i paralela na geografskoj karti. Za primer ćemo uzeti duž AB za koju znamo da ležiu KR 4, ali je poznata samo jedna, na primer, horizontalna projekcija AB H (Sl. 5.100).Sl. 5.99 Kosa ravan i f paralelaSl. 5.99a Projekcija f paralele

92 Vizuelne komunikacijeDo frontalne projekcije će se doći primenom h paralela (Sl. 5.100) koje će pojedinačno definisativisinu tačaka A F i B F , dok će se egzaktan položaj odrediti u preseku sa veznim linijama iz A H i B H .Rešenje je moglo da se nađe i korišćenjem f paralela (Sl. 5.101). Postupak bi bio identičan.Sl. 5.100 Duž u kosoj ravni - definicijapomoću h paralelaSl. 5.101 Duž u kosoj ravni - definicijapomoću f paralelaU ovako jednostavnom zadatku sasvim je svejedno da li će se koristiti h ili f paralela. Međutim, kodsloženijih problema, što će biti pokazano kroz dalja razmatranja, neka od paralela imaće prioritet, sobzirom na određenu individualnu osobenost. Pod ovim se misli na činjenicu daduži i delovi GS koji leže na h paraleli, prikazani su u PVu H ravni. [22]Analogno tome,duži i delovi GS koji leže na f paraleli, prikazani su u PVu F ravni. [23]Kao ilustracija iznetih stavova poslužiće jedan veoma jednostavan zadatak.Trougao ABC leži u KR 4. Odrediti tragove KR 4, ako su date obe projekcije trougla (Sl. 5.102).Sl. 5.102 Trougao i definicija kose ravni

93Konstruktivna geometrijaStav [22] iskoristićemo kao ideju za rešavanje ovog zadatka. Pošto odredimo pomoćnu duž trougla uPV u H ravni [18], a na osnovu [22], odmah znamo jednu h paralelu, odnosno pravac prostiranja traga4 H . Važno je da sada lociramo položaj tog traga u ravni H. Za ovo ćemo iskoristiti ZP trougla upomoćnoj ravni 1, koja će nam otkriti tačku G kao prodorno mesto KR 4. Povlačenjem paralele sa PVduži CD kroz tačku G dobijen je trag 4 H (Sl. 5.102).FU sledećem potezu odredićemo pomoćnu duž AE, koja se u F ravni vidi u PV [18]. Trag 4 , na osnovu[23], biće paralelan PV AE, a polaziće iz tačke preseka 4 H sa F/H tragom.Alogoritamski opis rešenja nalazi na sledećoj slici (Sl. 5.103).F,HΔ1. Pom. duž CD // H2. Pom. r. 1 ⊥ PV CD3. Transf. Δ, → Δ 1 , _ 14. 4 H // PV CD,× 4 1 , 15. Pom. duž AE // F6. 4 F // PV AE(PV CD H1(ZP Δ )F(PV AE )Sl. 5.103 Algoritamski opis definicije tragova kose ravni5.12.2. Duž / prava kroz kosu ravanKao dva nezavisna elementa u prostoru, KR , odnosno duž/prava su individualno definisani. Međutim,ako postoji njihov kontakt, u ovom slučaju prodor, interesantno je locirati to mesto.Sl. 5.104 Duž kroz kosu ravanSl. 5.106 Prodor duži kroz kosu ravanNa slici (Sl. 5.104) prikazani su KR 4 i duž AB. Da bi se odredila tačka prodora, poslužićemo seprodornom ravni 1. Izbor položaja PR 1 izveden je tako, da ona sadrži duž AB i uz to je upravna na

94 Vizuelne komunikacijena H (Sl. 5.105). Trag koji PR 1 ocrtava na KR 4 označen je sa KL. U preseku AB i KL nalazi setačka prodora S F . Horizontalna projekcija S H nalazi se u preseku vezne linije iz S F i projekcije ABH(Sl. 5.106).FFSl. 5.105 Prodorna ravan u traženju prodora duži kroz kosu ravanSledi algoritamski opis prodora duži kroz KR (Sl. 5.107).4F,HF,HAB1. PR 1(AB ∈ PR 1, PR 1 ⊥ H)2. Trag PR 1, 4 → KL3. × KL F , AB F → S FSl. 5.107 Algoritamski opis prodora duži kroz kosu ravanIskoristićemo pojmovnu sličnost prikazanog problema i ideje o normali na KR. Pošto se radi oduži/pravoj koja ortogonalno prodire kroz KR pomoću nove PR 1 ocrtaćemo odgovarajući trag ilocirati tačku prodora S (Sl. 5.108). Kroz tu tačku povućićemo h i f paralelu. Iz upravnosti normale nna KR 4 sledi [15] upravnost i na h odnosno f paralelu. S obzirom da se i h i f vide u PV uodgovarajućim projekcijama i da su paralelne odnosnim tragovima KR, to prema [12]normala na KR upravna je i na njene tragove u osnovnimprojekcijama [24]

95Konstruktivna geometrijaSl. 5.108 Normala na kosu ravanIlustraciju iznetog stava čitalac može da potraži povezivanjem pojmova analiziranih u tački 5.11.5.Normala iz tačke na ravan.5.12.3. Obaranje kose ravniJedno od uvek aktuelnih inženjerskih opredeljenja je težnja da se najkraćim putem dođe do rešenja. Uželji da se to što efikasnije izvede, nastaju različite metode i postupci koji znatno olakšavaju analizuodređenih problema. Tako se pomoću obaranja KR veoma jednostavno i lako dolazi do PV elementasadržanog u njoj. Umesto višestepene transformacije, dovoljno je izvesti nešto specifičniju rotaciju itraženo rešenje se javlja na crtežu.Objašnjenje postupka izvešćemo uz odgovarajuću ilustraciju (Sl. 5.109). Kao osnova poslužiće KR 4,definisana svojim tragovima 4 F i 4 H , i slobodno izabrana tačka A u njoj (Sl. 5.109). Kroz tačku Apovučena je h paralela koja prodire F ravan u tački D. Radi povezivanja pojmova označena je i korenatačka C tragova KR 4.Dodatnu slikovitost u postupku obaranja pružiće PR 1 koja je upravna na trag 4 H . Ovaj trag će ujednoposlužiti kao osa rotacije (Sl. 5.109).Obaranje počinje tako što se pomoćna tačka D koja se nalazi na tragu 4 F rotira oko 4 H . Ova rotacijaoznačena je kružnim segmentom od početnog položaja D do konačnog položaja D O uHORIZONTALNOJ ravni. Tačka D je tokom rotacije putovala kroz PR 1, pa će se tako horizontalnaprojekcija njene kružne putanje poklopiti sa PR 1 H . Dalje, duž CD, koja povezuje tačku D i osurotacije leži u F ravni i vidi se u PV, tako da će se u oborenom položaju pojaviti u istoj PV, ali sadakao duž CD O .

96 Vizuelne komunikacijeSl. 5.109 Postupak obaranja kose ravniOboreni trag 4 O je praktično poklopljen sa CD O i označen debelom isprekidanom linijom, štosimbolizuje PV. Iz tačke D O može se, takođe, povući oborena paralela h O koja je i dalje paralelna tragu4 H . Pošto se tačka A nalazi na h paraleli, sada će se i njena oborena projekcija A O naći na h O , odnosnou preseku vezne linije iz A H i h O (Sl. 5.109).Sl. 5.110 Obaranje kose ravni

97Konstruktivna geometrijaPojednostavljeno, procedura obaranja KR 4 prikazana je i sledećoo slikom (Sl. 5.110). Iz pomoćnetačke D H povučena je vezna linija upravno na 4 H , pa je zatim iz korena tragova KR 4 opisan krugpoluprečnika CD, do preseka sa veznom linijom. Kroz presečnu tačku povučen je trag oborene ravni4 O . U preseku oborene paralele h O i vezne linije iz A H nalazi se tačka A O .5.12.4. Geometrijska slika u kosoj ravniRešavanje problema GS u KR može se smatrati gotovo rutinskim zadatkom, ako se prethodnoovladalo obaranjem KR i njenim paralelama. Prikaz PV GS na osnovu F/H projekcije, ili obrnuto,određivanje F/H projekcije prema zadatoj PV GS predstavljaju samo primenu već proučenemetodologije.U daljem izlaganju biće pokazano rešavanje dva elementarna problema.Jedan se odnosi na definiciju PV trougla koji se nalazi u KR 4, a prikazan je HORIZONTALNOMprojekcijom (Sl. 5.111).Sl. 5.111 Prava veličina trougla u kosoj ravniPrvo će se pomoću snopa h paralela odrediti frontalna projekcija trougla, a potom će te iste paralelebiti iskorišćene da se u oborenoj KR 4 odrede pojedinačna tačke A O , B O i C O . Njihovim povezivanjemdobija se PV trougla ABC (Sl. 5.111).Sledeći zadatak nešto je drugačiji i u postavci i u rešavanju. Potrebno je odrediti F/H projekciju kruga,ako je poznat položaj centra O H 1i poluprečnik r kruga.

98 Vizuelne komunikacijeFNa poznat način odrediće se O1i oboreni položaj centra O1/O. Iz oborenog položaja centra može senacrtati PV kruga sa zadatim poluprečnikom r (Sl. 5.112).Sl. 5.112Sada je potrebno ponovo pokrenuti zrnca inženjerske inventivnosti i povezati neke od prethodnihstavova, da bi se iskristalisalo idejno rešenje zadatka. Čak i bez velikog poznavanja KG jasno je da ćese krug iz KR 4 pojaviti kao elipsa u F/H projekciji. Dalje, izgled elipse biće definisan pomoću njenevelike i male poluose, što su inače ekstremne dimenzije svake elipse.Ovim su konačno pripremljene kockice za mozaik rešenja. Prvo, velika poluosa elipse biće projekcijaonog poluprečnika kruga koji je pri projektovanju pretrpeo najmanje ili nikakvo skraćenje.Podsećanjem na stavove [22] i [23], zaključujemo da će se velika poluosa elipse pojaviti u H ravni naF,Hh paraleli, a u F ravni na f paraleli, kroz centar O1, jer su to elementi GS koji se vide u PV. Nasuprottome, poluprečnik kruga koji leži na liniji nagiba, zbog najveće strmine, pretrpeće najveće skraćenje ipreslikaće se u malu poluosu elipse. Pošto su definisani ključni pravci, po kojima su orijentisanekarakteristične ose elipse, može se pristupiti preslikavanju.Jedna od novina, koja se prvi put uvodi na ovom mestu je numeracija karakterističnih tačaka konturemalim arapskim brojevima, dovoljno različitim od oznake ravni. Ovakvo markiranje je neophodno dabi se pojedinačno pratila svaka tačka pri preslikavanju.

99Konstruktivna geometrijaPočećemo od tačaka 1 i 2, koje definišu prečnik na h paraleli, koji će se preslikati u H projekciju usvojoj PV (Sl. 5.112). Sledeće tačke su 3 i 4, i one se nalaze na liniji nagiba upravno na h paralelu. Napoznati način ove tačke se iz oborenog položaja prenose u H ravan. Pomoću ove četiri tačke može sekomletirati elipsa u H projekciji.Slede tačke koje definišu elipsu u F ravni. Prečnik 56 nalazi se na f paraleli i preslikava se u PV u FFravan. Odmah može da se povuče odgovarajuća f paralela kroz centar O1i da se na rastojanju r odF Fcentra definišu tačke 5 i 6 . Jasno, položaj ovih tačaka može da se traži i standardnim postupkom. Nakraju, preostao je prečnik kruga 78 koji se najvećim skraćenjem preslikava na liniju nagiba u F ravni.Dovoljno je pronaći položaj jedne od tačaka 7 F ili 8 F Fna ortogonalnom pravcu iz O1na f paralelu, paće se druga tačka pojaviti na simetričnoj poziciji.FPovezivanjem tačaka 5 do 8 F formira se elipsa u F ravni.S obzirom na jednostavnost redoslednih operacija kojima se izvodi preslikavanje GS iz KR ili u KR,nije neophodno prikazati algoritamski opis. Svakako, oni čitaoci, koji to smatraju interesantnim, mogusamostalno da postave osgovarajući algoritamski opis.5.12.5. Geometrijsko telo na kosoj ravniSledeći stepenik u gradaciji problema KR je prikaz GT koje svojom osnovom leži u KR. Suštinski,ovaj i slični zadaci predstavljaju neznatno proširenje prethodno analiziranog problema.Sl. 5.113Poslužićemo se primerom pravog cilindra dužine l, čija se kružna osnova nalazi na KR 4. Znatan deoovog zadatka već je rešen kroz problem GS u KR. Nastavak teče tako, što je potrebno definisati

100 Vizuelne komunikacijepoložaj centra gornje osnove O 1, koji se nalazi na rastojanju l od centra donje osnove O 1 (Sl. 5.113).Pošto se radi o pravom cilindru, znači da je njegova centralna osa upravna na ravan osnove. Ovo će seprikazati u pomoćnoj ravni 1 , upravnoj na KR 4 , koja sadrži ZP osnove cilindra. Dužina l naneće sena ortogonalni pravac ose iz tačke O 1 1 i tako će se dobiti centar gornje osnove O 1 H1. Položaj O 1naćiće se na odgovarajućoj normali iz O H 1 [24], a u preseku sa veznom linijom iz O 1 1(Sl. 5.113).FHFProjekcija O1će se naći u preseku vezne linije iz O1i normale iz O1[24]. Izgled gornje osnove jeu obe F/H projekcije identičan izgledu donje osnove, s tim što je celokupna kontura gornje osnovevidljiva.Pošto se definišu bočne izvodnice, koje su paralelne osi cilindra i taKGiraju obe osnove, može seodrediti vidljivost u H ravni, dok se kriterijum ispred-iza koristi za definiciju vidljivosti u F ravni.Oni čitaci koji ne mogu neposredno da procene vidljivost kontura GT, upućuju se na detaljnijeproučavanje tačke 5.10. Geometrijsko telo u pravcu zraka.Sl. 5.114

101Konstruktivna geometrija5.13. RAZVIJENE POVRŠINEDosadašnja razmatranja problema KG prvenstveno su bila usmerena na poimanje prostornih relacijaodgovarajućih elemenata i metodološki izbor pravca posmatranja, koji će voditi ka potpuno jasnodefinisanom rešenju problema. Često idejni proces objedinjuje niz apstraktnih operacija, da bi se tek unekom od završnih koraka promolio izgled konačnog rešenja.Za razliku od toga, problem razvijenih površina sasvim je egzaktan i blizak elementarnom tehničkomrazmišljanju, slično veštini krojenja. Pojednostavljeno, razvijanje površine GT svodi se na određivanjePV elementarnih činilaca konture GT i njihovo svođenje u jednu ravan. Mogućnost praktične primeneznanja iz ove oblasti ne znači da je ona manje sofisticirana u odnosu na ostale, već znači da se moženeposredno pretočiti u ideje o oblikovanju GT.Kako je postupak razvijanja površine usko vezan za GT, to ćemo dalja razmatranja započetipojmovnom definicijom GT i klasifikacijom pojavnih varijanti.5.13.1. Definicija geometrijskog telaJedna od specifičnosti inženjerske struke je i način posmatranja određenog objekta, zavisno od prirodepostavljenog problema. Sledeći primer o palidrvcu otkriva prirodu te specifičnosti. Sa aspektaprimenjenih materijala, oblik palidrvca potpuno je nebitan i analiziraju se samo fizičke i hemijskeosobine štapića i zapaljive smese. Nasuprot tome, kod statičke analize u fokusu će biti greda izloženaodređenom opterećenju, dok će dizajner, u duhu KG, palidrvce posmatrati kao kombinaciju prizme ikalote.Jasno, postoje i mnoge druge interpretacije čak i ovako jednostavnog objekta, ali ovaj primer pokazujeda je domen analiza KG isključivo oblik GT.Čak šta više, u analizama koje slede, oblikom GT se smatra onastruktura GT definisana isključivo površinom koja zatvaranjegovu konturu. [25]Ako bi se ovom stavu podvrglo obično kokošije jaje, to bi značilo da nas, u smislu KG, prvenstvenointeresuje ljuska i njen oblik, bez obzira na unutrašnji sadržaj. Treba imati na umu da se i fizičkadebljina ljuske zanemaruje i u razmatranjima učestvuje isključivo površina koja predstavlja spoljnukonturu.Sinteza oblika GT može se izvesti na više načina. Jedan je da se kroz konturu osnove, koju predstavljaizabrana GS, postavi niz ili pramen izvodnica koje će se seći u nekoj konačnoj tački - vrhu,formirajući tako kupasti ili piramidalni oblik (sl. 113), ili će se seći u beskonačnosti, formirajućicilindričan, odnosno prizmatičan oblik (sl. 113a). Zbog korišćenja pramena izvodnica koje prolazekroz osnovu, ovako oblikovana površ, koja još uvek nije GT, naziva se pramenastom. Na ovommestu postavićemo jedan prioritet koji možda i nije matematički sasvim prihvatljiv, ali je inženjerskiopravdan. Slično prioritetu koji smo zbog konačnosti forme dali duži u odnosu na pravu, i sada ćemozaključiti dapramenasta forma počinje svojom donjom osnovom izavršava se paralelnom, gornjom osnovom ili presečnomtačkom izvodnica, odnosno vrhom. [26]Ilustracija ovog stava prikazana je slikom (sl. 114), na kojoj je istaknuta konačnost forme GT. Uslučaju kada je ta forma zatvorena, radi se o GT, odnosno ako nedostaje osnova ili osnove, radi sesamo o omotaču GT. Ako je omotač formiran oko poligonalne osnove, dobiće se rogljasto GT, u

102 Vizuelne komunikacijesuprotnom, to će biti oblo GT. Dalje, duž koja povezuje centar donje i gornje osnove, odnosno vrhpramenastog GT, naziva se osovina. Ukoliko je osovina pramenastog GT ortogonalna na osnovu, tadaje to pravo GT (sl. 115), odnosno ako je nagnuta, radi se o kosom GT (sl. 115a).Takođe, GT može da bude zarubljeno, i to, ako je nekom ravni odsečen gornji deo osnovnog oblikapramenastog GT (sl. 116).Za razliku od postupka pramenastog formiranja GT, drugi način je da se GT oblikuje rotiranjem GSoko izabrane ose. Time se dobija obrtno GT (sl. 117), što odgovara zanatskoj izradi grnčarije ilimašinskoj obradi na strugu.Jedna klasa oblih pramenastih tela (kupa, cilindar i njihove kombinacije) može da se formira i kaopramensto i kao obrtno GT. To su uglavnom tela koja se dobijaju rotacijom poligonalne GS (sl. 118).Iako mogu da imaju dvojno poreklo, ova GT smatraju se pramenastim. Grupi obrtnih GT pripadajuona GT koja se formiraju isključivo postupkom rotacije.Postoji i jedna specifična grupa GT nazvana poliedri. Njihov oblik nastaje povezivanjem nizaelementarnih poligona (sl. 119). Kada su ti poligoni pravilni i identični, nastaju pravilni poliedri. Uovu grupu spada relativno mali broj GT: tetraedar, heksaedar, oktaedar, dodekaedar i ikosiedar (sl.119a-e). Imena su potekla iz starogrčkog, numeracijom broja stranica 14 . Od ostalih poliedaranajpoznatija je fudbalska lopta (sl. 120), sačinjena kao kompozicija pravilnog petougla i šestougla.14 Tetraedar - četvorostrani, heksaedar - šestostrani, oktaedar - osmostrani,dodekaedar - dvanaestostrani, ikosiedar - dvadesetostrani

103Konstruktivna geometrijaGlamurozni sjaj dragog i poludragog kamenja nastaje upravo zbog uspešno uklopljenih prelamajućihpovršina poliedra (sl. 121).U prilogu ove tačke (sl. 122) prikazana je osnovna podela GT i najčešće varijacije.5.13.2. Mreže geometrijskih telaRazvijanjem površine GT najčešće se dobija mozaik elementarnih GS, sačinjen od ravanskog prikazaosnove/osnova i omotača GT. Ova ravanska forma naziva se mreža GT. Isecanjem linija po obodnojkonturi mreže i savijanjem ivica unutar nje, prelazi se iz razvijenog ravanskog oblika u prostornuformu GT (sl. 123a, b). Završna operacija je spajanje otvorenih ivica, čime se dobija konačnazatvorena forma GT (sl. 123c).Stvar se osetno usložnjava ukoliko je omotač obla površ. Pri tome, izgled osnove ne predstavljaproblem, jer je to kružna, ravanska GS (sl. 124a). Međutim, razvijenu površinu omotača trebadefinisati tako, da se kasnije pri oblikovanju GT njena kontura precizno i u potpunosti zatvori okoosnove (sl. 124b,c).Još složeniji slučaj, koji je nemoguće egzaktno rešiti ravanskom mrežom, tiče se obrtnih GT. U tojvarijanti obično se primenjuje određena inženjerska aproksimacija koja nudi prihvatljivo približnorešenje. Tako se i fudbalska lopta formira kao poliedar iz mreže niza pravilnih petougla i šestougla (sl.120). Takođe, najbolja geografska interpretacija zemaljske kugle dobijena je _________________kartom, gde je zemljina lopta iskriškana u mrežu segmenata, slično kori pomorandže (sl. 125).Upravo zbog nemogućnosti da se egzaktno definiše ravanska mreža, nećemo se baviti analizomobrtnih GT, već će se razmatranja usmeriti na pravilne poliedre i pramensta GT.PRAVILNI POLIEDARPošto se radi o klasi GT koja su formirana spajanjem identičnih i pravilnih GS (trougao, kvadrat,petougao), priložene su samo ilustracije GT i odgovarajuće mreže, bez posebnih komentara i analiza(sl. 126-130).PIRAMIDAPiramida je pramenasto GT formirano oko poligonalne osnove sa izvodnicama koje se spajaju u vrhu.Pri analizi njene mreže i omotača osnova se obično postavlja u horizontalnu ravan, tako da je većunapred poznata njena PV. Omotač, svih formi nezarubljene piramide, sastoji se od niza povezanihtrouglova, čiji broj odgovara broju stranica osnove.Pošto je trougao, za razliku od svih ostalih mnogougla, jednoznačno određen ako je poznata veličinasve tri njegove stranice, to ćemo ovu osobinu iskoristiti za formiranje omotača piramide. U samojpostavci zadatka već je definisana PV osnove, čime se zna i po jedna stranica svih trouglova uomotaču. Znači, dovoljno je odrediti PV izvodnica nad temenima osnove i dobiće se kompletna mrežapiramide.Ovo ćemo pokazati na primeru jedne kose četvorostrane piramide (sl. 131). PV izvodnica dobiće senjihovom pojedinačnom rotacijom do položaja paralelnog F ravni (sl. 131). Uklapanje četvorougaoneosnove u mrežu piramide (sl. 131a) izvešćemo uz pomoć jedne od njenih dijagonala d da bismo jerealno preslikali.U nastavku ovog zadatka istu piramidu ćemo zarubiti kosom ravni 4 (sl. 132) i potom razviti njenumrežu (sl. 132a). Najefikasniji način da se formira mreža zarubljene piramide je da se na omotaču oneizvorne i nezarubljene odmeri dužina odsečenih izvodnica i potom povežu nova temena A B C D .Realna dimenzija gornje osnove dobiće se obaranjem KR 4.

104 Vizuelne komunikacijeRazvijanje površine piramide nije detaljno objašnjavano, jer su ideje i metodologija već izneti krozprethodna poglavlja. Za one koji nisu dovoljno sigurni i vešti u primeni odgovarajućeg postupka,preporučuje se dodatno proučavanje tačaka 5.12.2 Duž/prava kroz kosu ravan i 5.12.3 Obaranjekose ravni.PRIZMAPostupak razvijanja površine rogljastih GT znatno je olakšan činjenicom da se unapred zna oblikelemenata omotača. Kao što su to kod piramide bili trouglovi, tako su kod prizme četvorougli. Ukolikose radi o pravoj prizmi, omotač je formiran od niza pravougaonika. Za razliku od toga, kosa prizmaima omotač sastavljen od romboidnih četvorougla, a zarubljena od trapezoidnih elemenata. Zajedničkoim je da izvodnice, koje su inače paralelne u strukturi samog GT, ostaju paralelne i u njegovoj mreži.Praktični značaj ovog zaključka pokazaćemo na primeru razvijanja mreže kose četvorostrane prizme(sl. 133). Osnova leži u H ravni, a nagib izvodnica je slobodno izabran.Idejna postavka rešenja polazi od toga da treba definisati pomoćnu ravan 1 paralelno izvodnicamaprizme (sl. 133). Uloga ove ravni je da se sagleda PV izvodnica. U sledećem koraku postavlja seravan 2 upravno na izvodnice (sl. 133) i ona sadrži ZP prizme. Važno je uočiti da se u ravni 2pojavljuju PV međusobnog rastojanja izvodnica (a, b, c, e), koje su od vitalnog značaja za formiranjeomotača prizme. Pomoćna ravan 2, zbog preglednosti crteža, izmeštena je izvan tela prizme.Rastojanja pojedinačnih temena gornje osnove od ravni ZP označena su sa (l , l , l , l ) što jeA B C Dkasnije iskorišćeno za formiranje mreže (sl. 133a).Ponekad se, zbog uštede prostora, pomoćna ravan 2 postavlja u telu prizme, što ne menja suštinurazvijanja omotača.Mreža prizme kompletira se tako što su, već nacrtanom omotaču, dodate donja i gornja osnova,preslikane uz pomoć dijagonale d.Postupak razvijanja mreže nešto je složeniji kada je u pitanju kosa zarubljena prizma. Razlika se javljautoliko što su dužine izvodnica međusobno različite i zasebno definisane. Uz to, PV gornje osnovedobija se obaranjem ravni kojom je zarubljena prizma.Algoritam razvijanja mreže obične kose prizme izgledao bi saglasno sledećoj slici (sl. 134).1. Pom. r. 1 // A A2. Transf. →3. Pom. r. 2 ⊥ A A 14. Transf. →5. Formiranje mrežeiz elemenatai(ZP )KUPAsl. 134 Algoritamski opis razvijanja mreže prizmeVećina ljudi, čak i bez ikakvog poznavanja KG, sposobna je da napravi novogodišnju kapu, odnosnoomotač prave kupe. To pokazuje da je, u nekim slučajevima, dovoljan intuitivni osećaj da bi se rešioodređeni zadatak. Međutim, ako biste istim tim ljudima, malo strože definisali problem, na primer daosnova kupe ima određen prečnik i da izvodnice zahvataju zadati ugao, vrlo mali broj bi umeo da

105Konstruktivna geometrijaartikuliše intuitivni osećaj u ponovljivu tehničku metodologiju. Upravo zbog toga prikazane suosnovne relacije vezane za značajne parametre prave kupe i njene mreže (sl. 135, 135a).U slučaju kose kupe stvari su osetno drugačije. Kontura omotača nije više segment kruga, već je upitanju složena kriva smeštena između graničnih izvodnica. Kao i kod većine zadataka gde je teškopronaći egzaktno rešenje, pribegava se diskretizaciji problema. Taj postupak se u matematici odnosina numeričke metode, u geodeziji na triaKGulaciju prostora, kod proračuna čvrstoće na metodukonačnih elemanata. Suštinski, nepoznata ili teško opisiva forma usitnjava se na skup susednih ipovezanih diskretnih elemenata koji su po obliku, veličini i svojstvima potpuno definisani.Povezivanjem i uklapanjem ovih elemenata zida se konačna forma koja možda neće biti idealnooblikovana, ali će biti komponovana od detaljno proučenih gradivnih jedinica.Shodno opisanoj ideji diskretizacije izvešće se deoba obodne kružnice osnove kose kupe na dvanaestjednakih segmenata (sl. 136). Broj segmenata može se slobodno izabrati, ali je poželjno da to budejednostavno izvodiv zahvat, sa dovoljno malim korakom, koji će garantovati bolje približenjeegzaktnoj formi. Iz svake od tačaka osnove polazi jedna izvodnica, čija se PV dobija rotacijom doparalelnog položaja F ravni (sl. 136). Redoslednim i pojedinačnim povlačenjem PV izvodnica iz vrhamreže (sl. 136a) i njihovim sukcesivnim presecanjem sa segmentima osnove formiraće se kompletanomotač. Mrežu upotpunjuje i pridodata kružna osnova.Algoritamski opis razvijanja mreže kose kupe nalazi se u prilogu (sl. 137).CILINDAR1. Segmentacija kružneosnove u 12 jednakih delovai numeracija2. Definicija PV izvodnica1 ... 12, rotacijom3. Formiranje obodnekonture omotača presecanjemsukcesivnih izvodnica isegmenta osnove4. Docrtavanje osnovesl. 137 Algoritamski opis razvijanja mreže kose kupeSmatrajući da je mreža pravog cilindra suviše elementaran problem da bi se posebno razmatrao, prećićemo na razvijanje površine kosog cilindra. Kod rešavanja ovog zadatka kombinovaćemo znanja iiskustva stečena razvijanjem kose prizme, odnosno kose kupe.Pošto se radi o kružnoj osnovi, prvo ćemo izvesti diskretizaciju obodne konture u 12 jednakihsegmenata. Potom će se postaviti pomoćna ravan 1 paralelno izvodnicama i transformisati lik figure uravan 1 (sl. 138). Sledeća pomoćna ravan 2 biće upravna na izvodnice 1 ... 12, i u njoj će se pojavitiZP cilindra. Segmentacija u ZP otkriće međusobno rastojanje paralelnih izvodnica, koje će se pojaviti iu mreži (sl. 138a). Udaljenost diskretnih tačaka gornje osnove od referentne ravni 2 (l , l , ...),1 2definisaće obodnu konturu omotača smeštenu između graničnih izvodnica. Mreža se kompletiradocrtavanjem donje i gornje kružne osnove.Algoritamski opis postupka nalazi se na sledećoj slici (sl. 139):

106 Vizuelne komunikacije1. Segmentacija osnove u12 jednakih delova i numeracija2. Pom. r. 1 // O O3. Transf. →4. Pom. r. 2 ⊥ O O 15. Transf. →6. Formiranje mreže izelemenata i(ZP )sl. 139 Algoritamski opis razvijanja mreže kosog cilindraUsložnjavanje opisanog zadatka moguće je izvesti zarubljivanjem posmatranog kosog cilindradodatnom kosom ravni 4. Postupak rešavanja mreže zarubljenog kosog cilindra tekao bi identično, stim što bi eliptična forma gornje osnove povezivala prodorne tačke izvodnica kroz KR 4, a omotač bibio definisan setom izvodnica (1 ... 12) nejednake dužine (11, 2 2 , ...).Index