Základní informace

30. 9. 2013Matematika 5, akad. rok 2013/14Plán přednášek, požadavky ke zkoušce, literatura1. (MA1) Vlastní čísla a vlastní vektory čtvercové matice, geometrický význam. Charakteristická rovnicečtvercové matice. Nalezení vlastních čísel a vlastních vektorů konkrétní matice pro n = 2, n = 3.Kvadratická forma a její definitnost. Sylvestrovo kritérium.2. (MA1, MA3) Aproximace funkce f Taylorovým polynomem stupně n v bodě x 0 .Taylorova věta, Lagrangeův tvar zbytku. Odhad chyby pomocí Lagrangeova tvaru zbytku. Rozvojfunkce do Taylorovy řady, konvergence. Odhad chyby konvergentní alternující mocninné řady.3. (MA2) Funkce více proměnných (parciální derivace, gradient, totální diferenciál, derivace ve směru,geometrický význam). Lokální a globální (absolutní) extrémy funkce více proměnných.Vázané extrémy (řešené bez Lagrangeovy funkce).4. (MA2) Potenciální pole v E 2 , v E 3 . Nezávislost křivkového integrálu vektorové funkce na cestě.Nutná podmínka a postačující podmínky, aby vektorové pole bylo potenciální v dané oblasti v E 2 ,resp v E 3 . Výpočet potenciálu. Křivkový integrál v potenciálním poli.5. (MA3) Diferenciální rovnice 1. řádu. Postačující podmínky existence a jednoznačnosti maximálníhořešení Cauchyovy úlohy. Obecné a partikulární řešení exaktní rovnice.6. (MA3) Autonomní nelineární soustavy. Postačující podmínky existence a jednoznačnosti maximálníhořešení Cauchyovy úlohy. Body rovnováhy. Trajektorie soustav 2. řádu (n=2) a první integrály.7. (MA3) Lineární diferenciální rovnice 2. řádu s konstantními koeficienty. Fyzikální interpretace (vlastnía vynucené kmity). Určení fundamentálního systému řešení homogenní rovnice. Metoda odhadu tvarupartikulárního řešení rovnice se speciální pravou stranou. Obecné řešení rovnice homogenní i nehomogenní.Maximální řešení Caychovy úlohy.8. (MA3) Fourierovy trigonometrické řady. Periodické funkce a periodické prodloužení funkce definovanéna omezeném intervalu. Fourierovy koeficienty. Konvergence a součet Fourierovy řady. Věta o rozvojiperiodické funkce ve Fourierovu řadu. Trigonometrické Fourierovy rozvoje sudých a lichých funkcí.Kosinové a sinové Fourierovy řady.9. (NMA) Cauchyova úloha pro soustavu obyčejných diferenciálních rovnic v normálním tvaru. Existencea jednoznačnost řešení. Princip numerického řešení jednokrokovými metodami. Runge-Kuttovymetody. Konvergence metody. Chyby metody.10. (NMA) Formulace okrajové úlohy pro obyčejnou lineární diferenciální rovnici 2. řádu, existence ajednoznačnost řešení, převod na samoadjungovaný tvar. Numerické řešení Dirichletovy úlohy metodousítí. Odvození a vlastnosti soustavy sít’ových rovnic. Chyby diskretizace, konvergence metody.11. (NMA) Klasifikace lineárních parciálních diferenciálních rovnic 2. řádu dvou nezávisle proměnných.Formulace základních úloh pro Poissonovu rovnici, pro rovnici vedení tepla a pro vlnovou rovnici.Řešení Dirichletovy úlohy pro Poissonovu rovnici metodou sítí. Možnosti náhrady okrajové podmínky.Chyby diskretizace, konvergence metody.12. (NMA) Řešení smíšené úlohy pro rovnici vedení tepla a vlnovou rovnici metodou sítí. Různé typydiferenčních schémat (explicitní, implicitní). Chyby diskretizace, stabilita, konvergence.

Zkouška je písemná, předpokládá se však znalost pojmů a porozumění jejich vzájemným souvislostem.Součástí zkoušky je ověření znalosti potřebných vět (včetně předpokladů) a schopnost jejich aplikace přiřešení jednoduchých úloh, včetně ověření platnosti předpokladů.Požadavky ke zkoušce se tematicky shodují s plánem přednášek.Zkouška se koná písemnou formou a trvá 80 minut. Zkouškový test obsahuje čtyři úlohy: jednu úlohu zNumerické matematiky A, která je hodnocena 24 body a dále tři úlohy z předmětů Matematika IA, IIA aIIIA, každá z nich je hodnocena 16ti body. Pro úspěšné vykonání je nutno získat alespoň 33 bodů.Studentům doporučujeme, aby sami průběžně řešili vybrané úlohy ze zkoušek z dřívějších let, kteréjsou dostupné na webových stránkách ÚTM pod odkazy jednotlivých předmmětů.Na stejných stránkách jsou k dispozici ukázkové zkouškové testy pro zkoušku A z jednotlivých předmmětů.Literatura[1] Neustupa, J.: Matematika I. Skriptum Strojní fakulty. Vydavatelství ČVUT, Praha 2010 (též staršívydání)[2] Kračmar, S., Mráz, F., Neustupa, J.: Sbírka příkladů z Matematiky I. Skriptum Strojní fakulty.Vydavatelství ČVUT, Praha 2013.[3] Neustupa, J.: Matematika II. Skriptum Strojní fakulty. Vydavatelství ČVUT, Praha 2003 a později.(Základní skriptum k předmětu Matematika II.)[4] Brožíková, E., Kittlerová, M.: Sbírka řešených příkladů z Matematiky II. Skriptum Strojní fakulty.Vydavatelství ČVUT, Praha 2003, dotisk 2007.[5] Herrmann, L.: Obyčejné diferenciální rovnice – řady. Komentované přednášky pro předmět MatematikaIII. Nakladatelství ČVUT 2006.[6] Herrmann, L.:Fourierovy řady. Nakladatelství ČVUT 2006.[7] Čipera, S.: Řešené příklady z Matematiky 3. Nakladatelství ČVUT 2008.[8] Benda, J., Černá, R.: Numerická matematika. Doplňkové skriptum. ES ČVUT, Praha 1994.Další doporučená literatura:Brožíková, E., Kittlerová, M.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. Řešené příklady. SkriptumStrojní fakulty. Vydavatelství ČVUT, Praha 2004.Vybrané úlohy ze zkoušek z dřívějších let. Webové stránky ÚTM pod odkazy jednotlivých předmětů.Ukázkové zkouškové testy pro zkoušky úrovně A (Alfa). Webové stránky ÚTM pod odkazy jednotlivýchpředmětů.