Numerická matematika, poznámky k přednáškám 1.

Numerická matematikaÚvodní informaceViz http://mat.fs.cvut.cz◮ Kontakt: Petr Sváček, KN:D 201

Soustavy rovnic, souvislost s praxí◮ Těleso nahradíme diskrétními body, hledáme neznáméfyzikální veličiny v těchto bodech.◮ Užijeme fyzikální vztahy, získáme soustavunelineárních/lineárních rovnic.◮ Hledáme řešení této soustavy: n - počet neznámých.

Přímé metody řešeníAx = bPřímé metody jsou takové metody, které vedou k nalezení přesnéhořešení v předem známém počtu kroků.Výhody: Vždy vedou k výsledku.Nevýhody: Rychle rostoucí výpočetní a pamět’ová náročnost operací≈ n 3 , pamět’ ≈ n 2 .◮ Gaussova eliminace.◮ Inverzní matice.◮ Cramerovo pravidlo.◮ LU rozklad.

LU rozkladPostup řešení◮ Uvažujme soustavu s maticí A = LU typu n × nLUx = b◮ Řešíme soustavu ≈ n 2 .Ly = b◮ Řešíme soustavu ≈ n 2 .Ux = y◮ Jak získat LU rozklad? (2 možnosti, viz cvičení)

Shrnutí: Přímé metody řešeníPřímé metody řešení Ax = b◮ Zaručeno, že dosáhnou výsledku.◮ Rostoucí výpočetní resp. pamět’ová náročnost s n 3 resp. n 2 .Efektivnější řešení?◮ Stačí přibližné řešení, hledáme vhodný předpisX (k+1) = F (X (k) , . . . )◮ viz posloupnostx n+1 = 1 2 ( 2 x n+ x n )

PříkladSoustavuje možné přepsat jakoAx = bx = Ux + V ,Zvoĺıme X (0) , spočítáme X (0) , X (1) , X (2) , ...Pokud konverguje nezávisle na X (0) , říkáme, že odpovídajícímetoda je konvergentní.Jak měřit vzdálenost X (k) od X ∗ ? Norma.Je-li V = 0, pak X (n) závisí na velikosti U (normě)X (n) = U n X (0)

Prostá iterační metodaJe-li soustava tvaruIterační metodax = Ux + V ,X (k+1) = UX (k) + V ,Pokud konverguje, konverguje k řešení.Konvergence závisí na vlastnostech matice U, případně navlastnostech matice A, z které vznikla.

Velikost vektoru. Norma⎛x = ⎝Norma ‖x‖ =?, ‖e‖ =?3−40⎛⎞⎠ , e =⎜⎝Norma vektoru ‖ · ‖ : R n → R, α ∈ R‖αu‖ ≤ |α|‖u‖‖u + v‖ ≤ ‖u‖ + ‖v‖‖u‖ = 0 ⇔ u = 00.03−0.040.03−0.01−0.01⎞⎟⎠Norma matice lze definovat pomocí normy vektoru‖A‖ =‖Ax‖sup ‖Ax‖ = supx,‖x‖=1x≠0 ‖x‖

Norma matice a vektoru◮Řádková norma‖A‖ m = maxi◮ Sloupcová norma‖A‖ l = maxjn∑j=1|a i,j | ‖⃗x‖ m = max |x i |im∑|a i,j | ‖⃗x‖ l =i=1◮ Frobeniova/Euklidovská norma(∑ m n∑) 1‖A‖ F = |a i,j | 2 2i=1 j=1n∑|x i |i=1( n∑‖⃗x‖ E =i=1◮ Spektrum a spektrální poloměr. Pozn. spektrální normamatice ‖A‖ 2 .◮ Vztah normy matice a vektoru‖Ax‖ ≤ ‖A‖‖x‖◮ Vztah normy a spektrálního poloměru.|x i | 2 ) 12

Vlastnosti maticeMatice A je◮ diagonálně dominantní (DD), pokud ∀i|a ii | ≥ ∑ j≠i|a ij |◮ ostře diagonálně dominantní (ODD), pokud ∀i|a ii | > ∑ j≠i|a ij |◮ pozitivně semidefinitní pokud pro libovolný vektor platíx T Ax =n∑x i a ij x j ≥ 0i,j=1◮ pozitivně definitní - ostrá nerovnost pro nenulový vektor◮ symetrická pozitivně definitní (SPD)◮ Symetrické pozitivně definitní matice ⇔ kladná vlastní číslanebo kladné hlavní minory.

Vlastnosti maticeMatice A je◮ reducibilní/rozložitelná, pokud ∃ P permutační matice tak, že( )P T B CAP =0 D◮ ireducibilní/nerozložitelná, pokud není rozložitelná/reducibilní.◮ Graf matice: uzly 1, . . . , n, orientované hrany od i k j pro a ij ≠ 0◮ Graf - silně souvislý, od libovolného i se dostanu k libovolnému j.Nerozložitelná matice má silně souvislý graf.◮ je ireducibilně/nerozložitelně diagonálně dominantní (IDD),pokud(i) je diagonálně dominantní,(ii) ∃i|a ii | > ∑ |a ij |j≠i(iii) je ireducibilní,◮ Souvislost s regularitou matice.

Prostá iterační metodaJe-li soustava tvarux = Ux + V ,Iterační metodaX (k+1) = UX (k) + V ,Platí◮ Nutná a postačující podmínka: Prostá iterační metoda jekonvergentní právě tehdy, když ρ(U) < 1.◮ Postačující podmínka: ‖‖ - maticova norma. Je-li ‖U‖ < 1,pak prostá iterační metoda je konvergentní.◮ Odhad chyby:‖x (k) − x ∗ ‖ ≤‖x (k) − x ∗ ‖ ≤‖U‖1 − ‖U‖ ‖x (k) − x (k−1) ‖,‖U‖k1 − ‖U‖ ‖x (1) − x (0) ‖,

Prostá iterační metoda: Příklad.Př. 1. Určete všechna p ∈ R, pro která konverguje prostá iteračnímetoda pro soustavu tvaru X = UX + V , kde V = (−1, 2, 0.5) T ,⎛−0.8 p 2 ⎞0U = ⎝ 1 0.8 0 ⎠ ,1 −1 pPro p = 0.2, X (0) = V určete X (1) touto metodou.Př. 2. Je dána soustava rovnic ⃗x = R⃗x + ⃗s, kde ⃗s = (1.7, −1.8, 0.5) T⎛R = ⎝0.1 t + 1 −0.30.4 −0.3 0.10.6 0.1 t + 0.5Určete všechna t ∈ R, pro něž je splněna postačující podmínkakonvergence prosté iterační metody pro danou soustavu. Pro t = −0.5určete ⃗x (2) touto metodou při volbě ⃗x (0) = ⃗0. Vypočtěte ‖⃗x (2) − ⃗x (1) ‖ m .Odhadněte chybu.⎞⎠

Přednáška č. 2◮ Jacobiho iterační metoda, postup výpočtu, kritériakonvergence.◮ Gauss-Seidelova iterační metoda, postup výpočtu, kritériakonvergence.◮ Super-relaxační metoda (SOR).

Opakování◮ Norma matice - řádková, sloupcová, Euklidovská.◮ PD, SPD, DD, nerozložitelně/ireducibilně diagonálnědominantní (IDD), ODD (řádky nebo sloupce), regularitamatice◮ Prostá iterační metoda.◮ Souvislost pojmů◮ Doplníme číslo podmíněnnosti.

Číslo podmíněnosti a špatně podmíněnná maticeDoplnění pojmů◮ Je-li det A → 0, nemusí být soustava ještě špatně řešitelná.◮ Vadí tzv. špatně podmíněná matice (tj. velké κ(A))◮ Číslo podmíněnosti κ(A) Vezmeme řešení x ∗ a ˜x pro bĺızkoupravou stranu ˜b,Ukážeme, že platíAx ∗ = b‖(x ∗ − ˜x)‖‖x ∗ ‖Pro SPD matice platíPř.A =( 1 11 0.99999A˜x = ˜b≤ ‖A −1 ‖b − ˜b‖‖‖A‖} {{ } ‖b‖κ(A)κ 2 (A) = λ MAX /λ MIN), b = (2, 1.99999) T , ˜b = (2, 1.999999) T .

Prostá iterační metodaSoustava tvaruIterační metodax = Ux + V,X (k+1) = UX (k) + V,Platí◮ Nutná a postačující podmínka: Prostá iterační metoda jekonvergentní právě tehdy, když ρ(U) < 1.◮ Postačující podmínka: Je-li ‖U‖ < 1, pak prostá iteračnímetoda je konvergentní. Navíc platí‖X (k) − x ∗ ‖ ≤‖X (k) − x ∗ ‖ ≤‖U‖1 − ‖U‖ ‖X(k) − X (k−1) ‖,‖U‖k1 − ‖U‖ ‖X(1) − X (0) ‖,

Prostá iterační metoda: Příklad.Př. 1. Určete všechna p ∈ R, pro která konverguje prostá iteračnímetoda pro soustavu tvaru X = UX + V , kde V = (−1, 2, 0.5) T ,⎛−0.8 p 2 ⎞0U = ⎝ 1 0.8 0 ⎠ ,1 −1 pPro p = 0.2, X (0) = V určete X (1) touto metodou.Př. 2. Je dána soustava rovnic ⃗x = R⃗x + ⃗s, kde ⃗s = (1.7, −1.8, 0.5) T⎛R = ⎝0.1 t + 1 −0.30.4 −0.3 0.10.6 0.1 t + 0.5Určete všechna t ∈ R, pro něž je splněna postačující podmínkakonvergence prosté iterační metody pro danou soustavu. Pro t = −0.5určete ⃗x (2) touto metodou při volbě ⃗x (0) = ⃗0. Vypočtěte ‖⃗x (2) − ⃗x (1) ‖ m .Odhadněte chybu.⎞⎠

Jak z matice A získám matici U?Odvození klasických iteračních metodVezmeme postupně rovnici i = 1, 2, 3, . . . , n a z té nalezneme x i :∑a ij x j + a ii x i + ∑ a ij x j = b ijiVyjádříme x i⎛⎞x i = 1 ⎝b i − ∑ a ij x j − ∑ a ij x j⎠a iijiPozn. lze též v maticovém zápise A = L + D + P, doplníme iteracex (k+1)i, x (k/k+1)j(Jacobi, Gauss-Seidel).

Jacobiho iterační metodaPro A = L + D + P. Dostávámea Jacobiho iterační metodaPlatíDx (k+1) = −(L + P)x (k) + b,x (k+1) = −D −1 (L + P) x (k) + D} {{ } } {{ −1 b}.U V JJ◮ Je-li matice A ODD(IDD), pak Jacobiho iterační metoda jekonvergentní.◮ Jacobiho iterační metoda je konvergentní právě tehdy, kdyžρ(U J ) < 1.◮ Vlastní čísla matice U J jsou kořeny rovnicedet(L + λD + P) = 0

Jacobiho iterační metoda: Příklad.Př. 3. Je dána soustava Ax = b, kde⎛1 p 0⎞ ⎛A = ⎝ −1 2 −1 ⎠ , b = ⎝0 p 4104⎞⎠a) Pro jaké hodnoty parametru p ∈ R je matice A ODD (IDD,SPD)? Zdůvodněte!b) Určete všechny hodnoty parametru p ∈ R, pro které jeJacobiho iterační metoda pro danou soustavu konvergentní.c) Volte p = −1 a X (0) = (1, −2, 1) T . Spočtěte Jacobihoiterační metodou X (1) .

Kde se používali/jí iterační metody?Výstavba přehrady Orĺık, 1954-1961.Betonová hráz 450 m dlouhá, výška 91 m.

Složkový zápis klasických iteračních metod◮ Jacobiho iterační metoda⎛x (k+1) i = 1 ⎝b i − ∑ a ij x (k)j− ∑ a iijia ij x (k) ⎠j⎞◮ Gauss-Seidelova iterační metoda⎛x (k+1) i = 1 ⎝b i − ∑ a ij x (k+1)ja iiji⎞a ij x (k) ⎠j

Gauss-Seidelova iterační metodaPro Ax = b zapíšeme A = L + D + P. Dostávámea tedy iterační metoduPlatí(D + L)x (k+1) = −Px (k) + b,x (k+1) = −(D + L) −1 P x (k) + (D + L) −1 b .} {{ } } {{ }U GSV GS◮ Je-li matice A ODD (IDD), pak je GS iterační metodakonvergentní.◮ Je-li matice A SPD, pak je GS iterační metoda konvergentní.◮ GS iterační metoda je konvergentní právě tehdy, kdyžρ(U GS ) < 1.◮ Vlastní čísla matice U GS jsou kořeny rovnicedet(λL + λD + P) = 0

Iterační metody: Příklad.Př. 4. Dána soustava lineárních rovnic AX = B, kde⎛A = ⎝ 2 0 ⎞ ⎛5120 4 1 ⎠ , B = ⎝ pp 1 5−2a) Určete všechny hodnoty parametru p ∈ R, pro které je splněna některáz postačujících podmínek konvergence Gauss-Seidelovy iterační metody.b) Určete všechny hodnoty parametru p ∈ R, pro něž je splněna nutná apostačující podmínka Gauss-Seidelovy iterační metody.c) Volte p = 0 a spočtěte X (1) pokud X (0) = B.Př. 5. Dána soustava ⎛⎝5 1 p1 2 02 0 1⎞⎛⎠ · X = ⎝2p−2a) Určete všechna p ∈ R, pro něž je splněna některá z postačujícíchpodmínek (pro matici A, ne U G ) GS iterační metody.b) Určete všechna p ∈ R, pro něž je splněna nutná a postačujícípodmínka GS iterační metody.c) Volte p = 0 a spočtěte X (1) pokud X (0) = B.⎞⎠ ,⎞⎠ ,

Superrelaxační metoda (SOR)◮ SOR (ω - relaxační parameter)x i (k+1) = x (k)i⎛+ ω ⎝b i − ∑ a ij x (k+1)j− ∑ a iij

Superrelaxační metoda (SOR)2 -1 0 0 0 0 0 0-1 2 -1 0 0 0 0 00 -1 2 -1 0 0 0 00 0 -1 2 -1 0 0 00 0 0 -1 2 -1 0 00 0 0 0 -1 2 -1 00 0 0 0 0 -1 2 -10 0 0 0 0 0 -1 2Optimální parameter (za určitých předpokladů, ρ = ρ(U GS ))ω opt =21 + √ 1 − ρ 2Pro daný obrázek:20 iterací GS (ω = 1) 0.92 20 ≈ 0.1820 iterací SOR (ω = 1.6) 0.6 20 ≈ 3.6 × 10 −5

Příklad. SORPř. 6. Je dána soustava Ax = b, kde⎛1 p 0⎞ ⎛A = ⎝ −1 2 −1 ⎠ , b = ⎝0 p 4104⎞⎠a) Pro jaké hodnoty parametru p ∈ R je matice A SPD?Zdůvodněte!b) Volte p = −1 a X (0) = (1, −2, 1) T . Volte ω = 1.5 a spočtěteSOR iterační metodou X (1) .c) Je pro tento případ SOR konvergentní? Zdůvodněte.

Přednáška č. 3◮ Gradientní metody, metoda největšího spádu, použití nasoustavy s SPD maticí.◮ Metoda sdružených gradientů.◮ Uvažujeme kvadratickou funkcig(x 1 , x 2 ) = 2x 2 1 − x 1 x 2 + 4x 2 2

Gradientní metoda◮ Předpoklady: Matice A symetrická a pozitivně definitní.Hledáme minimum funkce:F (x) = 1 2 xT Ax − x T b

Jak volit lépe směr?Metoda sdružených (konjugovaných) gradientů◮ Předpoklady: Matice A symetrická a pozitivně definitní.x (k+1) = x (0) +◮ Označme chybu e j = x j − x ∗ .◮ Optimální krok lze zapsatk∑α j p jj=0α j = − p j · (Ae 0 )p j · (Ap j )◮ Tedy: Jsou-li směry A-ortogonální, pak platí:p i · (Ae k+1 ) = 0pro i ≤ k◮ Důsledek?

Shrnutí - soustavy lineárních rovnicPříklady k zamyšlení◮ Jednoduché ukázat:I. ρ(A) ≤ ‖A‖, ‖A‖ 2 ≤ ‖A‖ FII. ‖U‖ < 1 pak PIM konvergentní. Ukázat odhad chyby.III. Výpočet vlastních čísel UJ a UGS,IV. ODD v řádcích, pak Jacobi konvergentní (jednoduché),V. SPD pak a ii > 0 a vlastní čísla jsou reálná kladnáVI. ODD ve sloupcích, pak Jacobi konvergentní,

Shrnutí - soustavy lineárních rovnicPříklady k zamyšlení◮ Jednoduché ukázat:I. ρ(A) ≤ ‖A‖, ‖A‖ 2 ≤ ‖A‖ FII. ‖U‖ < 1 pak PIM konvergentní. Ukázat odhad chyby.III. Výpočet vlastních čísel UJ a UGS,IV. ODD v řádcích, pak Jacobi konvergentní (jednoduché),V. SPD pak a ii > 0 a vlastní čísla jsou reálná kladnáVI. ODD ve sloupcích, pak Jacobi konvergentní,◮ Obtížnější:◮ ‖ρ(U)‖ < 1 pak PIM konvergentní (Jordanův tvar),◮ ODD ve sloupcích/řádcích, pak GS je konvergentní,◮ IDD pak Jacobi/GS je konvergentní, (viz Gerschgorin)◮ ODD/IDD, pak SOR konvergentní pro ω ∈ (0, 1〉,◮ SPD pak GS je konvergentní,◮ SPD, pak SOR je konvergentní pro ω ∈ (0, 2),

Přednáška č. 4◮ Soustavy nelineárních rovnic◮ Problémy existence a jednoznačnosti řešení.◮ Iterační metody: metoda prosté iterace, Newtonovametoda.

Soustavy nelineárních algebraických rovnicSystém n-rovnic o n-neznámýchf 1 (x 1 , . . . , x n ) = 0.f n (x 1 , . . . , x n ) = 0◮ speciální volba → soustava lineárních rovnic◮ není zaručena existence ani jednoznačnost řešení

Prostá iterační metodaSoustava rovnic ve tvaruF 1 (x 1 , . . . , x n ) = x 1Prostá iterační metoda. nebo-li x = F(x)F n (x 1 , . . . , x n ) = x nX (k+1) = F(X (k) ),Kontraktivní zobrazení: F : M → M, c ∈ [0, 1) tak, žePlatí‖F (x) − F (y)‖ ≤ c‖x − y‖◮ Je-li F kontraktivní, pak existuje x ∗ = F (x ∗ ) (pevný bod,Banachova věta).◮ 1D: |F ′ (x)| < 1,◮ R n : ‖F ′ (x)‖ < 1.

Příklad. Prostá iterace pro nelineární rovnicePř. Je dána rovnice x = F(x), kde vektorová funkce F má složkyF 1 (x 1 , x 2 ) = 1 2 ( 2x 1 + x 2+ x 1 )F 2 (x 1 , x 2 ) = 1 2 ( 3x 1 + x 2+ x 2 )a) Určete Jacobiho matici funkce F a ověřte, zda v bodě [1, 1] jejejí norma menší než jedna.b) Volte X (0) = (1; 1) T a stanovte aproximaci X (1) = (x (1) , y (1) )jednoho z řešení rovnice pomocí prosté iterační metody.

Soustavy nelineárních algebraických rovnicNewtonova metoda pro případ 1dV bodě x k užijeme Taylorův polynom0 = f (x) = f(x k ) + f ′ (x k )(x − x k ) + R 2 (x)Zanedbáním dostaneme vzorec pro x ≈ x k+1( −1x k+1 = x k − f ′ (x )) k f (x k ).Obecný vzorec pro soustavu F (x) = 0. Co je F ′ (x) ?( −1x k+1 = x k − F ′ (x )) k F (x k ).

Newtonova metoda - odvozeníOdvození pro 2 nelineární rovnice o 2 neznámýchOznačme k−té přibĺıžení jako A = [x (k) , y (k) ]0 = f (x ∗ , y ∗ ) = f (A) + f x (A) (x ∗ − x (k) ) + f y (A) (y ∗ − y (k) ) + . . .0 = g(x ∗ , y ∗ ) = g(A) + g x (A) (x ∗ − x (k) ) + g y (A) (y ∗ − y (k) ) + . . .Zanedbáme-li další členy Taylorova rozvojef x (A)∆ x + f y (A)∆ y + f (A) = 0,g x (A)∆ x + g y (A)∆ y + g(A) = 0,dostáváme soustavu lineárních rovnic pro∆ x = x (k+1) − x (k) , ∆ y = y (k+1 ) − y (k) .

Newtonova iterační metoda1. Zvoĺıme počáteční přibĺıžení [x 0 , y 0 ].2. Postupně pro k = 0, 1, . . .a) Sestavíme soustavu rovnic v bodě A = [x (k) , y (k) ],f x (A)∆ x + f y (A)∆ y + f (A) = 0g x (A)∆ x + g y (A)∆ y + g(A) = 0b) Najdeme řešení této soustavy ∆ x , ∆ yc) Spočteme nové přibĺıžení( ) ( ) ( )x(k+1) x(k) ∆xy (k+1) =y (k) +∆ yNení zaručena konvergence k řešení.Metoda může selhat (viz b))Konvergence závisí na počátečním přibĺıžení.

Soustavy nelineárních algebraických rovnicProblémy existence a jednoznačnosti řešeníPř. 9. Je dána soustava rovnicx 24 + y 2 = 1 y = 2 cos(πx)a) Graficky znázorněte přibližný počet a polohu kořenů této soustavynelineárních rovnic.b) Volte ⃗x (0) = (−0.5; −1) T a vypočtěte ⃗x (1) Newtonovou metodouc) Určete ‖⃗x (1) − ⃗x (0) ‖ lPř. 10. Je dána soustava rovnic12x − y = 0 x 2 + 4y 2 = 4a) Graficky znázorněte přibližný počet a polohu kořenů této soustavynelineárních rovnic.b) Volte ⃗x (0) = (1; 0) T a vypočtěte ⃗x (1) Newtonovou metodouc) Určete ‖⃗x (1) − ⃗x (0) ‖ m

Taylorův polynom, náhrada derivace◮ Taylorův polynomf (x + h) = T n (h) + R n+1 (h) =n∑k=0f (k) (x)h k + R n+1 (h)k!◮ Je-li f dostatečně hladká, pak |R n+1 (h)| ≤ Ch n+1 = O(h n+1 )◮ Využijeme k náhradě derivací.f (x + h) − f (x) = . . .f (x − h) − f (x) = . . .f (x + h) − f (x − h) = . . .◮ Druhá derivace f ′′ (x), přesnější náhrada f ′ (x) z hodnot vx, x − h, x − 2h.

Přednáška č. 5Numerické řešení ODR.◮ Taylorův polynom a odvození diferenčních náhrad.◮ ODR, Cauchyova úloha: Matematický popis fyzikálních jevů.◮ Obecná jednokroková metoda. Explicitní a implicitní Eulerovametoda.

Obyčejná diferenciální rovnice, Cauchyova úloha◮ Cauchyova úloha pro ODR 1. řáduy ′ = f (x, y), y(x 0 ) = y 0◮ Cauchyova úloha pro soustavu rovnic⃗y ′ = ⃗ f (x,⃗y), ⃗y(x 0 ) = ⃗y 0 .◮ Cauchyova úloha pro rovnici n-tého řáduy (n) = G(x, y, y ′ , . . . , y (n−1) ),y(x 0 ) = y 0 , . . . y (n−1) (y 0 ) = y 0 ,◮ Post. podmínky pro existenci a jednoznačnost řešení: MA3.

Taylorův polynom, náhrada derivace◮ Taylorův polynomf (x + h) = T n (h) + R n+1 (h) =n∑k=0f (k) (x)h k + R n+1 (h)k!◮ Je-li f dostatečně hladká, pak |R n+1 (h)| ≤ Ch n+1 = O(h n+1 )◮ Využijeme k náhradě derivací.f (x + h) − f (x) = . . .f (x − h) − f (x) = . . .f (x + h) − f (x − h) = . . .◮ Druhá derivace f ′′ (x), přesnější náhrada f ′ (x) z hodnot vx, x − h, x − 2h.

Diferenční náhrady◮ dopředná diferencef (x 0 + h) − f (x 0 )= f ′ (x 0 ) + O(h),h◮ zpětná diferencef (x 0 ) − f (x 0 − h)= f ′ (x 0 ) + O(h),h◮ 1. centrální diferencef (x 0 + h) − f (x 0 − h)= f ′ (x 0 ) + O(h 2 ),2h◮ 2. centrální diferencef (x 0 + h) − 2f (x) + f (x 0 − h)h 2 = f ′′ (x 0 ) + O(h 2 ).◮ 2. zpětná diference (2. řádu), A, B, C dopočítámeAf (x 0 ) + Bf (x 0 − h) + Cf (x 0 − 2h)2h= f ′ (x 0 ) + O(h 2 ),

Princip numerického řešeníy3[x , Y ]3[x , y(x )]3 3y=y(x)x x x x x0 1 2 3 4x◮ Přesné řešení: y = y(x) pro x ∈ 〈a, b〉.◮ Přibližné řešení Y i : krok h = (b − a)/n,x i = a + ih, Y i ≈ y(x i )◮ Užijeme diferenční náhrady: Eulerova metoda (explicitníresp. implicitní)y ′ (x n ) ≈ Y n+1 − Y n, y ′ (x n+1 ) ≈ Y n+1 − Y nhh

Explicitní a implicitní Eulerova metoda.◮ Explicitní Eulerova metodaY n+1 − Y n= f (x n , Y n ), Y n+1 = Y n + hf (x n , Y n ),h◮ Implicitní Eulerova metodaY n+1 − Y nh= f (x n+1 , Y n+1 ), Y n+1 −hf (x n+1 , Y n+1 ) = Y n◮ Stabilita: Řešíme úlohu (λ ∈ C)y ′ = λy, y(0) = 1,kde známe analytické řešení. Jak se chová numerické řešení?◮ Globální chyba metody: O(h).

Eulerova explicitní metoda - srovnání s přesným řešenímRovnice ẍ + x = 0◮ Konvergence k řešení pro h = 2π/20, 2π/40, , 2π/80, 2π/160.

Eulerova explicitní metoda - chyba v závislosti na hRovnice ẍ + x = 0◮ Konvergence k řešení pro h = 2π/20, 2π/40, , 2π/80, 2π/160.

Zobecnění Eulerovy explicitní metodyJednokrokové metodyy3[x , Y ]3[x , y(x )]3 3y=y(x)x x x x x0 1 2 3 4x◮ Přesné řešení: y = y(x) pro x ∈ 〈a, b〉.◮ Přibližné řešení Y i : krok h = (b − a)/n,◮ Jednokrokové metody:x i = a + ih, Y i ≈ y(x i )Y i+1 = Y i + hΦ(x i , Y i , h)◮ Přírůstková funkce Φ = Φ(x, y, h), přesný relativní přírůstek∆(x, y, h).◮ Lokální diskretizační chyba: δ = Φ − ∆◮ Globální (akumulovaná) chyba: e(x i ) = Y i − y(x i )◮ Konvergence, řád metody, stabilita.

Př. Eulerova metodaPříklad22. Je dána Cauchyova úlohay ′ (y − 4) = x + 3√ 1 − y, y(3) = 2,a) S krokem h = 0.5 určete přibližnou hodnotu y(2) pomocíEulerovy metody.

Př. Eulerova metodaPříklad22. Je dána úlohaẍ + 2ẋ + 26x = (1 − t) + , x(0) = 0.001, x(0) = 0,a) Volte krok a vypočítejte přibližné řešení v intervalu [0,4].b) Zjistěte maximum numerického řešení a zkuste odhadnoutjeho chybu (řešte na počítači).

Eulerova metodaPříklad20. Je dána Cauchyova úloha⎛⃗y ′ = ⎝y 1 tgx + y 3 − 2y 1 + y 2 ln (x + 1)y 1 + 2y 2 − 1x−2 y 3⎞⎠⎛⃗y(1) = ⎝−112⎞⎠a) Ověřte, že Cauchyova úloha má právě jedno řešeníb) Zapište interval I jejího maximálního řešeníc) S krokem h = 0.2 určete přibližnou hodnotu ⃗y(1.2) pomocíEulerovy metody

Přednáška č. 6◮ Princip jednokrokových metod typu Runge-Kutty.◮ Collatzova metoda (E1), RK4. Konvergence metod.◮ Praktické užití metod.

Explicitní a implicitní Eulerova metoda.◮ Explicitní Eulerova metodaY n+1 − Y n= f (x n , Y n ), Y n+1 = Y n + hf (x n , Y n ),h◮ Implicitní Eulerova metodaY n+1 − Y nh= f (x n+1 , Y n+1 ), Y n+1 −hf (x n+1 , Y n+1 ) = Y n◮ Stabilita: Řešíme úlohu (λ ∈ C)y ′ = λy, y(0) = 1,kde známe analytické řešení. Jak se chová numerické řešení?◮ Globální chyba metody: O(h).

Eulerova expl. metoda a přesné řešeníRovnice ẍ + x = 0◮ Konvergence k řešení pro h = 2π/20, 2π/40, , 2π/80, 2π/160.

Eulerova expl. metoda, chybaRovnice ẍ + x = 0◮ Konvergence k řešení pro h = 2π/20, 2π/40, , 2π/80, 2π/160.

Zobecnění Eulerovy explicitní metodyJednokrokové metodyy3[x , Y ]3[x , y(x )]3 3y=y(x)x x x x x0 1 2 3 4x◮ Přesné řešení: y = y(x), x ∈ 〈a, b〉.◮ Přibližné řešení Y i :◮ Jednokroková metodax i = a + ih, Y i ≈ y(x i )Y i+1 = Y i + hΦ(x i , Y i , h)◮ Přírůstková funkce Φ, přesný relativní přírůstek ∆.◮ Lokální diskretizační chyba δ n , konzistentní metoda.◮ Globální chyba (akumulovaná diskretizační chyba):e i = Y i − y(x i )◮ Konvergence, řád metody, stabilita.

Zobecnění Eulerovy explicitní metodyMetody vyššího řáduy3[x , Y ]3[x , y(x )]3 3y=y(x)x x x x x0 1 2 3 4x◮ Cauchyova úloha y ′ = f (x, y), y(x 0 ) = y 0◮ Metody Taylorova rozvojey(x 0 + h) = y(x 0 ) + y ′ (x 0 )h + 1 2 y ′′ (x 0 )h 2 + O(h 3 )◮ Zderivováním dostanemeTedyy ′′ (x) = d dx (f (x, y(x))) = f x(x, y(x)) + f y (x, y(x))y ′ (x)˜Φ(x, y, h) = f (x, y) + hf x (x, y) + hf y (x, y)f (x, y)

Princip jednokrokových metod typu Runge-Kutta: n = 2.◮ Metoda RK2Y i+1 = Y i + h(ω 1 k 1 + ω 2 k 2 )◮k 1 = f (x i , Y i )k 2 = f (x i + α 2 h, Y i + hβ 21 k 1 )◮ Srovnáme Φ s ˜Φ, 4 koeficienty: ω 1 , ω 2 , α 2 , β 21 .◮ Jejich volbou dosáhneme 2. řád přesnosti (srovnáním smetodou Taylorova rozvoje)

Princip jednokrokových metod typu Runge-Kutty.Collatzova metoda:Y i+1 = Y i + hk 2k 2 = f (x i + h 2 , Y i + h 2 k 1),k 1 = f (x i , Y i ),◮ grafické znázornění,◮ řád metody: O(h 2 ).

Collatzova metoda - srovnání s přesným řešenímRovnice ẍ + x = 0◮ Konvergence k řešení pro h = 2π/20, 2π/40, , 2π/80.

Collatzova metoda - chyby v závislosti na kroku hRovnice ẍ + x = 0◮ Konvergence k řešení pro h = 2π/20, 2π/40, , 2π/80.

Princip jednokrokových metod typu Runge-Kutta◮ Jednokroková metoda n-tého stupně:Y i+1 = Y i + hΦ(x i , Y i , h)◮ Metody RK: Speciální volba přírůstkové funkce Φ(x i , Y i , h)Φ(x i , Y i , h) =n∑ω i k ii=1◮ kde∑i−1k i = f (x i + α i h, Y i + h β ij k i )◮ Volba koeficientů: co nejvyššího řád konvergence, závisí na n.j=1

Metoda Runge-Kutty 4. řádu.Runge-Kutta 4. řádu:Y i+1 = Y i + h 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ),k 1 = f (x i , Y i ),k 2 = f (x i + h, Y i 2+ hk 2 1),k 3 = f (x i + h, Y i 2+ hk 2 2),k 4 = f (x i + h, Y i + hk 3 ),Řád metody: O(h 4 ).

Řád konvergence metod typu Runge-Kutty.◮Y i+1 = Y i + h( n∑i=1ω i k i),◮ kde∑i−1k i = f (x i + α i h, Y i + β ij k i )j=1◮Řád konvergence:n p1 12 23 34 45 46 5◮ Pozn. Volba kroku: h lze volit i záporné, lze použít i volbah > 1 - souvislost s O(h p )!

Příklady - Cauchyova úloha.21. Je dána Cauchyova úloha(⃗y ′ 2x − y2= √ 2 + y 1 + 14 − y1 − 2x)( 0⃗y(0) =1)a) Zapište oblast G v níž jsou splněny postačujícípodmínky existence ajednoznačnosti řešení Cauchyovy úlohy.b) Užitím Collatzovy metody (1.modifikace Eulerovy metody) s krokemh = 1 určete přibližně hodnotu řešení v bodě x = 2.c) Necht’ y i označuje hodnotu numerického řešení v bodě x i získaného Collatzovou metodou a y ∗ihodnotupřesného řešení. Zapište pomocí těchto hodnot globální chybu ε i . Zapište jaká je závislost ε i na kroku h aurčete jakého řádu je Collatzova metoda. Odhadněte, jak se změní globální chyba v bodě x při změněkroku z h na h/4 u Collatzovy metody.22. Je dána Cauchyova úlohay ′′′ − yy ′′ + y ′y ln x =xx 2 − 1 , y(3) = −1, y ′ (3) = 0, y ′′ (3) = 0.Určete s krokem h = 0, 4 pomocí Collatzovy metody přibližnouhodnotu řešení y ′′ (3.4).

Přednáška č. 7◮ Metoda sítí (konečných diferencí) v 1 a 2D.◮ Okrajová úloha pro obyčejnou lineární diferenciální rovnici 2.řádu. Existence a jednoznačnost řešení.◮ Samoadjungovaný tvar rovnice. Sturmovy okrajové podmínky.

Metoda sítí 1Daxib◮ Řešení hledáme na I = 〈a, b〉◮ Voĺıme h = (b − a)/n, sít’ x i = a + ih◮Řešení aproximujeme y(x i ) ≈ Y i◮ Derivace nahradíme diferencemi, řešíme soustavuA h ( ⃗ Y ) = F h

Metoda sítí 2DΩyx◮ Aproximujeme u(x, y), [x, y] ∈ Ω ⊂ R 2 : voĺıme h > 0,◮ označíme x i = x 0 + ih, sít’ové čáry x = x i

Metoda sítí 2DΩyx◮ Aproximujeme u(x, y), [x, y] ∈ Ω ⊂ R 2 : voĺıme h > 0,◮ označíme x i = x 0 + ih, sít’ové čáry x = x i◮ označíme y j = y 0 + jh, sít’ové čáry y = y j

Metoda sítí 2DΩyx◮ Aproximujeme u(x, y), [x, y] ∈ Ω ⊂ R 2 : voĺıme h > 0,◮ označíme x i = x 0 + ih, sít’ové čáry x = x i◮ označíme y j = y 0 + jh, sít’ové čáry y = y j◮ označíme P i,j = [x i , y j ] průsečíky sít’ových čar v Ω◮ u(P i,j ) ≈ U i,j , derivace → diference, dostaneme⃗G h ( ⃗ U h ) = ⃗ F h

Okrajová úloha pro diferenciální rovnici 2. řáduMotivace: proč řešíme?◮ Cauchyova úloha:my ′′ = F (x, y, y ′ ),y(a) = A, y ′ (a) = K◮ Fyzikálně: např. hmotný bod [a, A], má danou rychlost,?trajektorie?◮ Okrajová úloha:my ′′ = F (x, y, y ′ ),y(a) = A, y(b) = B◮ Fyzikálně: jak se z [a, A] dostat do [b, B] ?

Okrajová úloha pro lineární diferenciální rovnici 2. řáduFormulace◮ Lineární diferenciální rovnici 2. řáduy ′′ + f 1 (x)y ′ + f 2 (x)y = g(x),pro x ∈ (a, b),◮ Okrajové podmínky (Sturmovy okrajové podmínky),|α 1 | + |α 2 | ≠ 0, |β 1 | + |β 2 | ≠ 0,α 1 y ′ (a) + α 2 y(a) = α 3 , β 1 y ′ (b) + β 2 y(b) = β 3 .◮ Speciální volby: Okrajové podmínkyNeumannovy y ′ (a) = α, y ′ (b) = β,Dirichletovy y(a) = α, y(b) = β,y(a) = α, y ′ (b) = β.◮ Kdy existuje jednoznačné řešení y(x)?pro okrajovou úlohu mnohem komplikovanější

Existence řešení pro okrajovou úlohuLineární diferenciální rovnice 2. řádu◮ Úloha A:y ′′ (x) = sin(x), y(0) = 2, y(π) = −2.◮ Úloha B:◮ Úloha C:◮ Úloha D:◮ Úloha E:y ′′ + y = 0, y(0) = 0, y(π) = 1.y ′′ + y = 0, y(0) = 0, y(π/2) = 1.y ′′ + y = 0, y(0) = 0, y(π) = 0.−y ′′ + y = 0, y(0) = 0, y(π) = 0.Ve všech případech: hladká data.Existenci a jednoznačnost řešení lze zaručit jen pro úlohy vespeciálním tvaru.

Existence řešení pro okrajovou úlohuTvar rovnice v technických úloháchV technických úlohách má diferenciální rovnice často tvar−(py ′ ) ′ + qy = f ,◮ p, q - materiálové konstanty, kladné/nezáporné.◮ pro neizotropní materiál - p, q jako nezáporné funkcep = p(x),q = q(x).Samoadjungovaný tvar rovnice:−(p(x)y ′ ) ′ + q(x)y = f (x),

Existence a jednoznačnost řešení pro úlohy vsamoadjungovaném tvaruJe dána okrajová úloha:a okrajové podmínkyNecht’ platí−(p(x)y ′ ) ′ + q(x)y = f (x),α 1 y ′ (a) + α 2 y(a) = α 3 , β 1 y ′ (b) + β 2 y(b) = β 3 .(i) p(x), p ′ (x), q(x), f (x) - spojité funkce na 〈a, b〉(ii) p(x) > 0, q(x) ≥ 0 pro x ∈ 〈a, b〉Pak existuje právě jedno řešení (s výjimkou případuα 2 = β 2 = 0 ≡ q(x)).

Převod na samoadjungovaný tvarUvažujeme rovniciy ′′ + f 1 (x)y ′ + f 2 (x)y = g(x),pro x ∈ (a, b),přenásobíme −p(x) (neznámá funkce)−p(x)y ′′ −p(x)f 1 (x)y ′ −p(x)f 2 (x)y = −p(x)g(x),samoadjungovaný tvarDostáváme:−p(x)y ′′ −p ′ (x)y ′ +q(x)y = f (x),} {{ }−(py ′ ) ′−p ′ (x) = −p(x)f 1 (x),q(x) = −p(x)f 2 (x),diferenciální rovnice pro p(x)f (x) = −p(x)g(x).

Převod na samoadjungovaný tvar. Příklady.23. Formulujte Dirichletovu úlohu pro obyčejnou lineární diferenciální rovnici 2.řádu v samoadjungovaném tvarua) Uved’te podmínky pro jednoznačnou řešitelnost úlohy (a)b) Zdůvodněte, zda jsou postačující podmínky splněny pro úlohu−(xy ′ ) ′ + 3 − xy = − ln(2 + x)xy(1) = 0, y(2) = −424. Je dána Dirichletova úlohay ′′ − 2 x y ′ + (c − x)y + x 2 = 0 y(2) = −1, y(4) = 3a) Danou rovnici převed’te na samoadjungovaný tvarb) Určete všechny hodnoty parametru c ∈ R, pro něž jsou splněny postačující podmínky jednoznačnéřešitelnosti Dirichletovy úlohy25. Je dána Dirichletova úlohay ′′ − 4x 2 − 4 y = 1y(3) = 0, y(5) = −1a) Ověřte, že úloha má právě jedno řešeníb) Odvod’te soustavu sít’ových rovnic, která vznikne při řešení dané úlohy metodou sítí s krokem h = 0.526. Je dána rovnicey ′′ + 2 x y ′ −x2 + x y = 1x − 3a) Určete intervaly maximálního řešení Cauchyovy úlohy pro danou rovnicib) Ověřte, že jsou splněny postačující podmínky jednoznačné řešitelnosti Dirichletovy úlohy pro danou rovnicis okrajovými podmínkami y(−5) = −2, y(−3) = 0

Princip numerického řešení−(p(x)y ′ ) ′ + q(x)y = f (x),+ okrajové podmínkyaxib◮ Označme přesné řešení y = y(x) pro x ∈ I = 〈a, b〉.◮ Interval I rozděĺıme ekvidistantně s krokem hx i = a + i h, označme q i = q(x i ), f i = f (x i ), p i = p(x i )◮ Budeme hledat přibližné řešeníY i ≈ y(x i )◮ Rovnici −(py ′ ) ′ + qy = f nahradíme v bodech x iqy| xi≈ q i Y if | xi= f i− ( py ′) ′ ≈ dvojím užitím 1. centrální diference

Diferenční náhrada v uzlu x i−(py ′ ) ′ + qy = f , y(a) = A, y(b) = B,xi−1xi−1/2xx xi i+1/2 i+1◮ 1. centrální diference s krokem h/2(py ′ ) ′ | xi ≈ p i+ 1 2y ′ (x i+1 ) ≈ Y i+1 − Y i2 h◮ tedy dostanemey ′ (x i+12(py′ ) ′ |xi ≈ p i− 1 2Y i−1 − (p i+12) − p i−12hy ′ (x i−12),, y ′ (x i−1 ) ≈ Y i − Y i−12 h+ p i−12h 2)Y i + p i+1 Y i+12

Princip numerického řešení◮ Označme přesné řešení y = y(x) pro x ∈ I = 〈a, b〉.◮ Interval I rozděĺıme ekvidistantně s krokem hx i = a + i h, označme q i = q(x i ), f i = f (x i ), p i = p(x i )◮ Budeme hledat přibližné řešeníY i ≈ y(x i )◮ Rovnici −(py ′ ) ′ + qy = f nahradíme v bodech x iqy| xi≈ q i Y if | xi= f i− ( py ′) ′ ≈−p i−1/2 Y i−1 + (p i+1/2 + p i−1/2 )Y i − p i+1/2 Y i+1h 2◮ Jaká je lokální diskretizační chyba a globální chyba?

Přednáška č. 8◮ Numerické řešení okrajové úlohy pro ODR.◮ Aproximace Dirichletových a Neumannových okrajovýchpodmínek,◮Řešení vzniklé soustavy lineárních rovnic.

Princip numerického řešení−(p(x)y ′ ) ′ + q(x)y = f (x),+ okrajové podmínkyaxib◮ Označme přesné řešení y = y(x) pro x ∈ I = 〈a, b〉.◮ Interval I rozděĺıme ekvidistantně s krokem hx i = a + i h, označme q i = q(x i ), f i = f (x i ), p i = p(x i )◮ Budeme hledat přibližné řešeníY i ≈ y(x i )◮ Rovnici −(py ′ ) ′ + qy = f nahradíme v bodech x iqy| xi≈ q i Y if | xi = f i(py′ ) ′ ≈ dvojím užitím 1. centrální diference s krokem h/2

Diferenční náhrada v uzlu x i−(py ′ ) ′ + qy = f , y(a) = A, y(b) = B,xi−1xi−1/2xx xi i+1/2 i+1◮ 1. centrální diference s krokem h/2(py ′ ) ′ | xi ≈ p i+ 1 2y ′ (x i+1 ) ≈ Y i+1 − Y i2 h◮ tedy dostanemey ′ (x i+12(py′ ) ′ |xi ≈ p i− 1 2Y i−1 − (p i+12) − p i−12hy ′ (x i−12),, y ′ (x i−1 ) ≈ Y i − Y i−12 h+ p i−12h 2)Y i + p i+1 Y i+12

Diferenční schéma pro Dirichletovu úlohuVlastnosti soustavy rovnicAproximovali jsme Dirichletovu úlohu− (py ′ ) ′ + qy = f , y(a) = A, y(b) = B, (1)soustavou rovnic pro i = 1, . . . , n − 1−p i−1 Y i−1 + (p2i+1 + p2 i−12kde dosadíme za Y 0 = A, Y n = B.Vlastnosti soustavy rovnic:+ h 2 q i )Y i − p i+1 Y i+1 = h 2 f i2◮ Matice soustavy je symetrická, třídiagonální.◮ Matice soustavy je diagonálně dominantní (p > 0, q ≥ 0).◮ Je-li q > 0 pak matice soustavy je ODD. Vždy je IDD.◮ Matice soustavy je pozitivně definitní (p > 0, q ≥ 0).

Náhrada Neumannovy okrajové podmínkyVlastnosti soustavy rovnicAproxinujeme úlohu− (py ′ ) ′ + qy = f , y(a) = A, y ′ (b) = B, (2)◮ diference 1. řádu (řád chyby!)Y n − Y n−1= Bh◮ 1. centrální diference (ghost cell, přidáme x n+1 = b + h)Y n+1 − Y n−12h= B−p n− 12 Y n−1 + (p n+ 12 + p n− 1 2 + h2 q n )Y n − p n+ 12 Y n+1 = h 2 f n◮ 3. bodová diference z x n , x n−1 , x n−2 (nevhodné: porušíme DDi symetrii),◮ v uzlu x = b postupujeme obdobně.

Diferenční náhrada dif. rovniceVěta: Pro p ∈ C 3 (I ), y ∈ C 4 (I ) platí(py ′ ) ′ ∣ ∣∣x=xi = p i+ 1 2y i+1 −y iyh− p i −y i−1i− 12 hh+ O(h 2 )

Diferenční náhrada dif. rovniceVěta: Pro p ∈ C 3 (I ), y ∈ C 4 (I ) platí(py ′ ) ′ ∣ ∣∣x=xi = p i+ 1 2y i+1 −y iyh− p i −y i−1i− 12 hh+ O(h 2 )Dk.∣(py ′ ) ′ ∣∣x=xi= p i+ 1 y ′ (x2 i+ 1 ) − p 2 i− 1 y ′ (x2 i− 1 )2+ O(h 2 ),hy ′ (x i+ 12) = y i+1 − y ihnebot’ platí+ O(h 3 ) − h224 y ′′′ (x i+1/2 ), y ′ (x i− 1 ) = y i − y i−12 h+ O(h 3 ) − h224 y ′′′ (x i−1/2 ),z(x 0 + h/2) − z(x 0 − h/2) = z ′ (x 0 )h + 2 h 33! 8 z′′′ (x 0 ) + O(h 4 ),z(x 0 + h/2) = z(x 0 ) + z ′ (x 0 ) h 2 + 1 2 z′′ (x 0 ) h24 + 1 3! z′′′ (x 0 ) h38 + O(h4 )z(x 0 − h/2) = z(x 0 ) − z ′ (x 0 ) h 2 + 1 2 z′′ (x 0 ) h24 − 1 3! z′′′ (x 0 ) h38 + O(h4 )

Lokální diskretizační chyba, globální chybaDirichletova úlohaVíme: Přesné řešení Dirichletovy úlohy y(x) splňuje− (py ′ ) ′ + qy = f , y(a) = A, y(b) = B, (3)pro y ∈ C 4 (I ) a ⃗y hodnoty řešení y(x) v uzlech sítě x i platí,Přibližné řešení ⃗ Y splňujeA h ⃗y = F h + ⃗η h , η h,i = O(h 2 )A ⃗ Y = FLokální diskretizační chyba je O(h 2 ).Lze něco říct o globální chybě chybě e = ⃗y − ⃗ Y ?

Stabilita pro spec. rovnici◮ Úloha −y ′′ = f (x), y(a) = 0, y(b) = 0.◮ Vede na soustavu rovnic s maticí A2 -1 0 0 0 0 0 0-1 2 -1 0 0 0 0 00 -1 2 -1 0 0 0 00 0 -1 2 -1 0 0 00 0 0 -1 2 -1 0 00 0 0 0 -1 2 -1 00 0 0 0 0 -1 2 -10 0 0 0 0 0 -1 2◮ Ukážeme Au = λu, kde pro k = 1, . . . , n − 1u = (u j ) n−1j=1 , u j = exp(±iπkj/n), λ = 2−2 cos(πk/n)◮ Symetrická poz. definitní matice:‖A −1 ‖ 2 = 1/λ MIN = 1/(2 − 2 cos(π/n)) ≈ n 2 /π 2 = 1/(π 2 h 2 )

Numerické řešení vybraného problému−y ′′ = 4 π 2 cos(pi x), y(−1) = y(1) = 02Známe analytické řešení.

Numerická řešení, konvergence−y ′′ = 4 π 2 cos(pi x), y(−1) = y(1) = 02Numerické řešení, krok h = 1 4 , h = 1 8 , h = 116 , h = 132

Numerická řešení, chyba−y ′′ = 4 π 2 cos(pi x), y(−1) = y(1) = 02Chyba numerického řešení(log), krok h = 1 4 , h = 1 8 , h = 116 , h = 132

Numerická řešeníKonvergence závisí na úloze−(x 2 y ′ ) ′ = 1, y(0) = y(1) = 0Numerické řešení, krok h = 1 4 , h = 1 8 , h = 116 , h = 132

Příklady.Metoda sítí pro Dirichletovu úlohu v samoadjungovaném tvaru27. Je dána Dirichletova úlohay ′′ − 2 x y ′ + (c − x)y + x 2 = 0 y(2) = −1, y(4) = 3a) Danou rovnici převed’te na samoadjungovaný tvarb) Určete všechny hodnoty parametru c ∈ R, pro něž jsou splněny postačující podmínky jednoznačnéřešitelnosti Dirichletovy úlohyc) Napište první dvě rovnice soustavy sít’ových rovnic která vznikne při řešení dané úlohy metodou sítí skrokem h = 0.2 pro c = 128. Je dána Dirichletova úlohay ′′ − 4x 2 − 4 y = 1y(3) = 0, y(5) = −1a) Ověřte, že úloha má právě jedno řešeníb) Odvod’te soustavu sít’ových rovnic, která vznikne při řešení dané úlohy metodou sítí s krokem h = 0.529. Je dána rovnicey ′′ + 2 x y ′ −x2 + x y = 1x − 3a) Určete intervaly maximálního řešení Cauchyovy úlohy pro danou rovnicib) Ověřte, že jsou splněny postačující podmínky jednoznačné řešitelnosti Dirichletovy úlohy pro danou rovnicis okrajovými podmínkami y(−5) = −2, y(−3) = 0c) Napište první dvě rovnice soustavy sít’ových rovnic která vznikne při řešení dané úlohy metodou sítí skrokem h = 0.4

Přednáška č. 9◮ Klasifikace lineárních parciálních diferenciálních rovnic 2.řádudvou nezávisle proměnných.◮ Numerické řešení Dirichletovy úlohy pro Poissonovu rovnici.

Klasifikace parciálních diferenciálních rovnic(PDR)Příklady PDR◮ Eliptická rovnice: Poissonova rovnice (△u = f )nebo∂ 2 u∂x 2 + ∂2 u∂y 2 = f ,−∇ · ∇u = f ,◮ Parabolická rovnice: Rovnice vedení tepla (p > 0)∂u∂t = p ∂2 u∂x 2 + f ,◮ Hyperbolická rovnice: Vlnová rovnice (c > 0)∂ 2 u∂ 2 t = c2 ∂2 u∂x 2 + f ,

Dirichletova úloha pro Poissonovu rovniciExistence řešení?◮ Hledáme u ∈ C 2 (Ω) ∪ C 1 (Ω) takové, že△u = f v Ω, u = ϕ na ∂Ω◮ Existence (klasického) řešení závisí na vlastnostech f , ϕ a Ω.◮ Věta: Ω oblast s hladkou hranicí (C 2 ), ϕ ∈ C(Ω), f ∈ C 1 (Ω),pak existuje právě jedno řešení u ∈ C 2 (Ω).◮ Věta: Ω konvexní, Lipschitzovsky spojitá hranice, ϕ ∈ C(Ω),f ≡ 0, pak existuje právě jedno řešení u ∈ C 2 (Ω).

Metoda sítí 2DΩyx◮ Aproximujeme u(x, y), [x, y] ∈ Ω ⊂ R 2 : voĺıme h > 0,◮ označíme x i = x 0 + ih, sít’ové čáry x = x i◮ označíme y j = y 0 + jh, sít’ové čáry y = y j◮ označíme P i,j = [x i , y j ] průsečíky sít’ových čar v Ω◮ u(P i,j ) ≈ U i,j , derivace → diference, dostaneme⃗G h ( ⃗ U h ) = ⃗ F h

Diferenční náhrady parciální derivacehP i,j+1P i−1,jPPhi,ji,j−1Pi+1,j◮ 2. centrální diferencef (x 0 + h) − 2f (x) + f (x 0 − h)h 2 = f ′′ (x 0 ) + O(h 2 ).◮ Užijeme 2. centrální diferenci ve směru x resp. y, chyba O(h 2 )◮ nahradíme∂ 2 u∂x 2 (x i, y j ) ≈ U i−1,j − 2U i,j + U i+1,jh 2 ,∂ 2 u∂y 2 (x i, y j ) ≈ U i,j−1 − 2U i,j + U i,j+1h 2 ,

Diferenční náhrady 2. parciální derivacehP i,j+1P i−1,jPPhi,ji,j−1Pi+1,j◮∂ 2 u∂x 2 (x i, y j ) ≈ U i−1,j − 2U i,j + U i+1,jh 2 ,∂ 2 u∂y 2 (x i, y j ) ≈ U i,j−1 − 2U i,j + U i,j+1h 2 ,◮ Náhrada rovnice △u = f v bodě P i,j−U i,j−1 − U i−1,j + 4U i,j − U i,j+1 − U i+1,j = −h 2 f i,j◮ jen pro P i,j , který ”má všechny sousedy“, takový uzelnazýváme regulární.

Hraniční a neregulární uzlyΩyx◮ Aproximujeme řešení u(P i,j ) ≈ U i,j◮ Označíme hraniční, regulární a neregulární uzly.◮ v hraničních uzlech Q - užijeme Dirichletovy okrajovépodmínkyU Q = ϕ(Q)◮ v neregulárních uzlech P N - chceme zachovat řádaproximace!

Náhrada v neregulárním uzluuRhNδhQsitova primka◮ Hodnotu v neregulárním uzlu - lineární interpolace◮ tedyU R − U Nh= U N − U Qδh(1 + δ)U N − δU R = U Q◮ Pro hladké řešení je tato náhrada 2. řádu přesnosti, tj. chybaO(h 2 ). Dle Taylorova rozvoje v P N :u(x + δh) = u(x) + δhu ′ (x) + O(h 2 )u(x − h) = u(x) − hu ′ (x) + O(h 2 )

Vlastnosti soustavy rovnic. Řád aproximace◮ Výsledná soustava rovnic je lineární soustava rovnic (n o nneznámých).◮ Matice soustavy je symetrická (?, pozor, neregulární uzly)◮ Matice soustavy je DD (ne však ODD), většinou IDD.◮ Matice soustavy je pozitivně definitní.◮ Lokální chyba aproximace O(h 2 ). Co platí pro globální chybu?e h = u − U h◮ Je e h = O(h 2 )?A h U h = F hA h u = F h + η h , η h = O(h 2 )

Poissonova rovnicePříklad33. Je dána Dirichletova úloha ∆u = 4 v oblasti Ω tvořenéčtyřúhelníkem s vrcholy [0; 0], [2; 0], [0; 1.8], [1.4; 1.8] sokrajovou podmínkou u(x, y) = x 2 na hranici Γ = ∂Ωb) Načrtněte obrázek s číslováním uzlů pro h = 0.6c) Sestavte sít’ové rovnice v uzlech tak, aby metoda byla 2.řádupřesnosti34. a) Je dána Dirichletova úloha ∆u = x(y + 1) v oblasti Ω tvořenéčtyřúhelníkem s vrcholy [0; 0], [1.8; 0], [0; 1.5] a [1.5; 1.5]. sokrajovou podmínkou u(x, y) = x + y na hraniciΓ.(a) Volte h = 0.5, nakreslete obrázek oblasti, zobrazte všechnysít’ové čáry, sít’ové uzly uvnitř oblasti, regulární neregulární ahraniční uzly, číslování uzlů.(b) Sestavte sít’ové rovnice, v neregulárních uzlech užijte lineárníinterpolace.

Přednáška č. 10Rovnice vedení tepla◮ Metoda sítí pro rovnici vedení tepla.◮ Explicitní a implicitní schéma.◮ Konvergence a stabilita schémat.

Rovnice vedení tepla◮Úloha:◮ počáteční podmínka∂u∂t = p ∂2 u∂x 2 + f ,u(x, 0) = u 0 (x),x ∈ 〈a, b〉,◮ okrajové podmínkyu(a, t) = α(t), u(b, t) = β(t), t ≥ 0.

Metoda sítí a aproximace řešení◮ Rovnice:∂u∂t = p ∂2 u∂x 2 + f ,◮ Sít’: Voĺıme krok h = (b − a)/n a krok τ > 0.x i = a + ih,t k = kτ,◮ Sít’ové uzly P k ia aproximace řešení U k i◮ Postup řešení:P k i = [x i , t k ], U k i ≈ u(x i , t k ).{U 0 i } → {U 1 i } → {U 2 i } → {U 3 i } . . .

Rovnice vedení teplaExplicitní schémaP k + 1iτP kih◮ Rovnice:∂u∂t = p ∂2 u∂x 2 + f ,◮ Náhrada v uzlu P k i, chyba O(h 2 + τ)∂ 2 u∂x 2 (Pk i ) ≈ Uk i−1 − 2Uk i+ Ui+1kh 2∂u∂t (Pk i ) ≈ Uk+1 i− Uikτ

Rovnice vedení teplaExplicitní schémaP k + 1iτP ki◮ Rovnice:∂u∂t = p ∂2 u∂x 2 + f ,◮ Náhrada v uzlu Pi k , chyba O(h 2 + τ)U k+1i− Uikτ◮ násobíme τ, označíme σ = pτh 2◮ Stabilita:h= p Uk i−1 − 2Uk i+ U k i+1h 2+ f ki ,U k+1i= σU k i−1 + (1 − 2σ)U k i + σU k i+1 + τf ki ,σ = pτh 2 ≤ 1 2 .

Rovnice vedení teplaExplicitní schéma - stabilita◮ Schéma:U k+1i= σU k i−1 + (1 − 2σ)U k i + σU k i+1 + τf ki ,◮ Je chyba ”malá”, je-li h a τ ”malé”?voĺıme h = 0.01, τ = 0.001, σ = τ h 2 = 10u t = u xx , u(x, 0) = (100x) 2 , u(0, t) = 0, u(0.05, t) = 25t x 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050 0 1 4 9 16 250.001 0 21 24 29 36 250.002 0 -159 44 49 -144 250.003 0 3461 -1936 . . . . . . 4 25

Rovnice vedení teplaExplicitní schéma - stabilita◮ Schéma:U k+1i= σU k i−1 + (1 − 2σ)U k i + σU k i+1 + τf ki ,◮ Je chyba ”malá”, je-li h a τ ”malé”?voĺıme h = 0.01, τ = 0.00005, σ = τ h 2 = 0.5u t = u xx , u(x, 0) = (100x) 2 , u(0, t) = 0, u(0.05, t) = 25t x 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.050 0 1 4 9 16 250.0005 0 2 5 10 17 250.0010 0 2.5 6 11 17.5 250.0015 0 3 6.75 12.25 18 250.0020 0 3.375 7.625 12.375 18.625 25

Rovnice vedení teplaExplicitní schémaP k + 1iτP kih◮ Schéma:U k+1i= σU k i−1 + (1 − 2σ)U k i + σU k i+1 + τf ki ,◮ Chyba aproximace:◮ StabilitaO(h 2 + τ),σ = pτh 2 ≤ 1 2 .

Rovnice vedení teplaImplicitní schémaτhP k+1i◮ Rovnice:∂u∂t = p ∂2 u∂x 2 + f ,◮ Náhrada v uzlu P k+1i, chyba O(h 2 + τ)∂ 2 u∂x 2 (Pk+1 i∂u) ≈ Uk+1 i−1 − 2Uk+1 i+ U k+1i+1h 2∂t (Pk+1 i) ≈ Uk+1 i− Uikτ

Rovnice vedení teplaImplicitní schémaτhP k+1i◮ Rovnice:∂u∂t = p ∂2 u∂x 2 + f ,◮ Náhrada v uzlu P k+1i, chyba O(h 2 + τ)U k+1i− Uikτ= p Uk+1 i−1 − 2Uk+1 i+ U k+1i+1h 2 + f k+1i,◮ násobíme τ, označíme σ = pτh 2 , dostáváme−σU k+1i−1+ (1 + 2σ)Uk+1i− σU k+1i= Ui k + τf k+1i,

Rovnice vedení teplaSrovnání explicitní a implicitní schéma◮ Explicitní schéma:τP k + 1iP kihτhP k+1iU k+1i= σU k i−1 + (1 − 2σ)U k i + σU k i+1 + τf ki ,◮ Chyba aproximace: O(h 2 + τ),◮ Stabilita: σ = pτh 2 ≤ 1 2◮ Implicitní schéma:−σU k+1i−1◮ Chyba aproximace: O(h 2 + τ),◮ Stabilita: Vždy.+ (1 + 2σ)Uk+1i− σU k+1i= Ui k + τf k+1i,

Rovnice vedení teplaSrovnání explicitní a implicitní schéma◮ Explicitní schéma:τP k + 1iP kihτhP k+1iU k+1i= σU k i−1 + (1 − 2σ)U k i + σU k i+1 + τf ki ,◮ Chyba aproximace: O(h 2 + τ),◮ Stabilita: σ = pτh 2 ≤ 1 2◮ Implicitní schéma:−σU k+1i−1+ (1 + 2σ)Uk+1i− σU k+1i= Ui k + τf k+1i,◮ Chyba aproximace: O(h 2 + τ),◮ Stabilita: Vždy.◮ Lze Crank-Nicholson: Chyba aproximace: O(h 2 + τ 2 ),stabilita vždy.

Rovnice vedení teplaPříklad35.a)Je dána smíšená úloha∂u∂t = 0.3 ∂2 u+ x + 2t v oblasti Ω = {[x; t] : x ∈ (0; 1); t > 0}∂x2 u(x, 0) = x 2 pro x ∈ 〈0; 1〉1u(0, t) = arctg(t), u(1, t) =2t + 1pro t ≥ 0b) Ověřte splnění podmínek souhlasuc) Určete τ a minimální krok h tak, aby při jejím řešení stabilní explicitní metodou ležel bod P = [0.25; 0.1] vprvé časové vrstvěd) Pro hodnoty τ a h z bodu (b) určete přibližnou hodnotu řešení v bodě P užitím explicitní metodye) Při h = τ = 0.25 sestavte soustavu sít’ových rovnic pro první časovou vrstvu užitím implicitní formule36. Je dána rovniceb) Při zadaných podmínkách∂u∂t = 2.5 ∂2 u∂x 2 v oblasti Ω = {[x; t] : x ∈ (0; 2); t > 0}u(x, 0) = x(2 − x), u(0, t) = 30t, u(2, t) = 0, pro x ∈ 〈0; 2〉, t ≥ 0,sestavte soustavu sít’ových rovnic pro první časovou vrstvu pomocí implicitního schematu. Volte h = 0.5 aτ = 0.1c) Rozhodněte, zda lze volit časový krok τ = 0.01, resp. τ = 1 aby pro daný krok v ose x bylo užité schemastabilní

Přednáška č. 11◮ Metoda sítí pro vlnovou rovnici.◮ Explicitní a implicitní schéma.◮ Konvergence a stabilita schémat.

Formulace smíšené úlohy pro vlnovou rovnici◮ Vlnová rovnice (c > 0)◮ počáteční podmínky∂ 2 u∂ 2 t = c2 ∂2 u∂x 2 + f ,u(x, 0) = ϕ(x),∂u(x, 0) = ψ(x),∂t◮ okrajové podmínkyx ∈ 〈a, b〉,x ∈ 〈a, b〉,u(a, t) = α(t), u(b, t) = β(t), t ≥ 0.◮ Jsou splněny podmínky souhlasu.

Explicitní schemak+1P iikP P Pi−1i i+1kkPk−1◮ Aproximace derivací∂ 2 u∂ 2 t = c2 ∂2 u∂x 2 + f ,◮ Sít’: Voĺıme krok h = (b − a)/n a krok τ > 0.x i = a + ih,t k = kτ,

Explicitní schémaNáhrada v regulárním uzluk+1P iikP P Pi−1i i+1kkPk−1◮ Rovnice:◮ Náhrada v uzlu P k i:∂ 2 u∂ 2 t = c2 ∂2 u∂x 2 + f ,U k+1i− 2U k i+ U k−1i= c 2 Uk i+1 − 2Uk i+ U k i−1 + f k

Explicitní schémaNáhrada v regulárním uzluk+1P iikP P Pi−1i i+1kkPk−1◮ Náhrada v uzlu P k i, explicitní schémaU k+1i= σ 2 Ui+1 k + 2(1 − σ 2 )Ui k + σ 2 Ui−1 k − U k−1i+ τ 2 fik◮ Stabilita:σ = cτ h ≤ 1.

Náhrada na 1. časové vrstvěNáhrada s chybou O(τ 2 )◮ Náhrada s chybou O(τ):◮ nebo-li∂u∂t (x i, 0) = u(x i, τ) − u(x i , 0)+ O(τ) ≈ U1 i− Ui0ττU 1 i≈ u(x i , τ) = u(x i , 0) + τ ∂u∂t (x i, 0) + O(τ 2 )

Vlnová rovnice, explicitní schéma◮ Lokální chyba aproximace - 2. centrální diference (vizPřednáška 7)O(h 2 + τ 2 )◮ Důležitá stabilita: σ ≤ 1◮ Lze užít implicitního schématu, tj. aby byla zaručenastabilita pro libovolné σ ≥ 0?

Implicitní schémaNáhrada v regulárním uzlu◮ Rovnice:◮ Náhrada v uzlu P k i:∂ 2 u∂ 2 t = c2 ∂2 u∂x 2 + f ,∂ 2 u∂ 2 t (Pk i ) ≈ Uk+1 i− 2Ui k + U k−1iτ 2∂ 2 u∂x 2 (Pk i ) ≈ 1 U k+1i+1 − 2Uk+1 i+ U k+1i−12 h 2 + 1 2◮ Dosadíme do rovnice, násobíme τ 2 ,◮ označímeσ 2 = c2 τ 2h 2◮ vyjádříme soustavu pro U k+1i− 1 2 σ2 U k+1i−1 + (1 + σ2 )U k+1i − 1 2 σ2 U k+1i+1 = 1 2 σ2 U k−1i−1 − (1 + σ2 )U k−1iU k−1i+1 − 2Uk−1 i+ U k−1i−1h 2+ 1 2 σ2 U k−1i+1 + 2Uk i + τ 2 f ki

Vlnová rovnicePříklad37. Je dána smíšená úloha∂ 2 u∂t 2= 4 ∂2 u∂x 2 + x sin tu(x, 0) = x 2 ∂u,∂t (x, 0) = 1 − x2 pro x ∈ 〈−1; 1〉u(−1, t) = 1 , u(1, t) = cos t pro t ∈ 〈0; ∞)Ověřte splnění podmínek souhlasu (pro polohu a rychlost)b) Určete maximální krok τ tak, aby byla splněna podmínka stability pro explicitní metodu s prostorovýmkrokem h = 0.2c) Odvod’te sít’ové rovnice pro první časovou vrstvu při náhradě ∂u (x, 0) s chybou O(τ)∂td) Stanovte přibližnou hodnotu řešení v bodě A = [0.2; 0.2]. Užijte výsledky z bodů (b) a (c).38.a)Je dána smíšená úloha∂ 2 u∂t 2= 4 ∂2 u∂x 2 + x∂uu(x, 0) = x(x − 1) ,∂t (x, 0) = (1 − x)2 pro x ∈ 〈0; 1〉u(0, t) = sin t , u(1, t) = 0 pro t ∈ 〈0; ∞)Ověřte splnění podmínek souhlasu.b) Pro explicitní metodu volte h = 0.2. Určete τ tak, aby byla splněna podmínka stability a bodA = [0.4; 0.2] byl uzlem sítěc) Stanovte přibližnou hodnotu řešení v bodě A. Pro první časovou vrstvu užijte náhradu s chybou O(τ).

Přednáška č. 12◮ Aproximace metodou nejmenších čtverců

Aproximace pomocí metody nejmenších čtverců10.50-0.5-1-1.5-2-2.50 0.5 1 1.5 2◮ Úloha: Chceme najít závislost v naměřených datech -obsahují nepřesnosti,◮ Princip aproximace: Hledáme takovou funkci v dané(m)množině(prostoru), která minimalizuje odchylku.

◮ Volba funkce: Např. polynom stupně nAproximace pomocí metody nejmenších čtverců10.50-0.5-1-1.5-2-2.50 0.5 1 1.5 2◮ Princip: Minimalizace kvadratické odchyklkyδ 2 (p(x)) = ∑ (p(x i ) − y i ) 2i

Aproximace pomocí metody nejmenších čtverců◮ Princip: Minimalizace kvadratické odchyklkyδ 2 (p(x)) = ∑ i(p(x i ) − y i ) 2◮ dána tabulka dat [x i , y i ], minimalizujeme kvadratickouodchylkuG(a 0 , a 1 ) := δ 2 (p(x)) = ∑ i(p(x i ) − y i ) 2◮ odvození normálních rovnic ∂G/∂a k = 0 pro k = 0, 1.◮ soustava normálních rovnica 0 ( ∑ i1) + a 1 ( ∑ ix i ) = ∑ iy i ,a 0 ( ∑ ix i ) + a 1 ( ∑ ix 2 i ) = ∑ ix i y i ,

Aproximace pomocí metody nejmenších čtverců13.a) Vysvětlete princip metody nejmenších čtverců při aproximaci tabulkyhodnot (x i , y i ) pro i = 1, . . . , n polynomem nejvýše 1. stupně.b) Odvod’te obecně soustavu normálních rovnic pro případ (a).c) Určete polynom p1 ∗ nejvýše 1. stupně, který ve smyslu metodynejmenších čtverců nejlépe aproximuje danou tabulku hodnot:x i -1 -1 0 1 1 2y i 0.5 -0.4 0.7 0.5 0.5 -0.414.a) Vysvětlete princip metody nejmenších čtverců při aproximaci tabulkyhodnot (x i , y i ) pro i = 1, . . . , n polynomem nejvýše 2. stupně.b) Odvod’te obecně soustavu normálních rovnic pro případ (a).c) Určete polynom p1 ∗ nejvýše 2. stupně, který ve smyslu metodynejmenších čtverců nejlépe aproximuje danou tabulku hodnot.Určete odpovídající kvadratickou odchylku.x i -2 -1 -1 0 0 1 1 2y i 9.9 4 4.1 0.1 0.2 -2 -2.5 -1.8

Opakování◮ Příklady.

Písemka (1., 2.)1. Je dána tabulka hodnotx i −2 −1 −1 0 0 0 1 1 2y i 0.8 −0.58 −0.62 −1.2 −0.5 −1.3 0 −0.8 1.2a) Zapište podmínku, kterou má splňovat polynom nejvýše 2. stupně, který aproximuje tabulkuhodnot x i y i metodou nejmenších čtverců. Odvod’te soustavu normálních rovnic pro tento případ.[8b]b) Sestavte soustavu normálních rovnic pro zadanou tabulku hodnot a pro aproximaci polynomemp2 ∗ (x) nejvýše 2. stupně. Proved’te LU rozklad matice soustavy a užitím LU rozkladu vypočtětepřesné řešení soustavy. [10b]c) Určete polynom p2 ∗ (x) nejvýše 2. stupně, který danou tabulku hodnot aproximuje nejlépe vesmyslu metody nejmenších čtverců. [7b]2. Je dána Cauchyova úloha(⃗y ′ 2x − y2= √ 2 + y 1 + 14 − y1 − 2x)(0⃗y(0) =1)a) Zapište oblast G v níž jsou splněny postačujícípodmínky existence a jednoznačnosti řešeníCauchyovy úlohy [5b]b) Užitím Collatzovy metody (1.modifikace Eulerovy metody) s krokem h = 1 určete přibližněhodnotu řešení v bodě x = 2. [10b]c) Necht’ y i označuje hodnotu numerického řešení v bodě x i získaného Collatzovou metodou a y ∗ihodnotu přesného řešení. Zapište pomocí těchto hodnot globální chybu ε i . Zapište jaká je závislostε i na kroku h a určete jakého řádu je Collatzova metoda. Odhadněte, jak se změní globální chybav bodě x při změně kroku z h na h/4 u Collatzovy metody. [10b]

Písemka (3., 4.)3. Je dána Dirichletova okrajová úlohay ′′ + 12x y ′ − 4y = − 2 , y(1) = 1, y(5) = 0xa) Danou rovnici převedte na samoadjungovaný tvar. Zapište postačující podmínky pro existenci ajednoznačnost řešení okrajové úlohy. Ověřte zda jsou splněny. [8b]b) Ukažte, že výraz y(x+h)−y(x−h) je aproximací y ′ (x) pro dostatečně hladkou funkci y(x). Užitím2htohoto vztahu odvod’te tvar sít’ových rovnic pro diskretizaci úlohy v samoadjungovaném tvarumetodou sítí s krokem h. [8b]c) Volte h = 1 a sestavte sít’ové rovnice pro Dirichletovu úlohu v samoadjungovaném tvaru získanouv a). Je pro tuto soustavu rovnic Gauss-Seidelova iterační metoda konvergentní? Zdůvodněte. [9b]4. Dána smíšená úloha∂u∂t = 2 ∂2 u∂x 2 +2xt + 1 ,u(x, 0) = ax + b pro x ∈< 0, 4 >,u(0, t) = 2 + t u(4, t) = −2 pro t ∈ 〈0, 10〉a) Určete, pro které hodnoty a, b ∈ R jsou splněny podmínky souhlasu a odvod’te sít’ovou rovnici vregulárním uzlu (k + 1)-ní časové vrstvy při řešení dané úlohy implicitní metodou. Zapištepodmínku stability pro implicitní metodu. [10b]b) Volte krok h a τ maximální tak, aby bod A = [1;2 1 ] byl uzlem sítě implicitní metoda byla stabilní.Sestavte rovnice implicitního schematu na první časové vrstvě. [9b]c) Pro získanou soustavu rovnic z b) proved’te jeden krok Jacobiho iterační metody, počáteční iteracivolte jako nulový vektor (tj. X (0) = ⃗0). [6b]