Teorie a příklady, 6. konzultace.

NMA - 6. konzultace.Dirichletova úloha pro Laplacovu rovnici.• Dirichletova úloha pro Laplacovu rovnici.△u = f(x, y), v Ω ⊂ R 2 , u(x, y) = u D (x, y), pro [x, y] ∈ ∂Ω.• Náhrada v regulárním uzlu.4U ij − U i−1j − U i+1j − U ij−1 − U ij+1 = −h 2 f ij• Náhrada v neregulárním uzlu.(1 + δ)U N − δU R = ϕ(Q)35.a) Odvod’te diferenční schema pro řešení Poissonovy rovnice metodou sítí v regulárních uzlechb) Ukažte, že pro dostatečně hladkou funkci y = y(x) je výraz 1 h(y 2 i+1 − 2y i + y i−1 ) aproximací y ′′ (x i ) 2.řádupřesnosti36. a) Zapište maticově soustavu sít’ových rovnic, která vznikne při řešení rovnice ∆u = 0 na čtyřúhelníku [−1; 0],[1.5; 0], [0; 1.5], [−1; 1.5] s krokem h = 0.5. Na hranici je u(x, y) = yb) Ověřte, že danou soustavu lze řešit Jacobiho iterační37. a) Nakreslete oblast Ω čtyřúhelník s vrcholy [0; 0], [2; 0], [1.5; 1.5], [0; 1.5]. Nakreslete síť s krokem h = 0, zakresletevšechny síťové přímky a všechny síťové uzly, které leži v oblasti Ω.b) V obrázku označte regulární uzly, hraniční uzly a neregulární uzly.c) Odvod’te tvar sít’ové rovnice v neregulárním uzlu pomocí lineární interpolace a ukažte, že je aproximací 2.řádupřesnosti metodou38. a) Je dána Dirichletova úloha ∆u = 4 v oblasti Ω tvořené čtyřúhelníkem s vrcholy [0; 0], [2; 0], [0; 1.8], [1.4; 1.8] sokrajovou podmínkou u(x, y) = x 2 na hranici Γ = ∂Ωb) Načrtněte obrázek s číslováním uzlů pro h = 0.6c) Sestavte sít’ové rovnice v uzlech sítě ležících na přímce y = 1.2 tak, aby metoda byla 2.řádu přesnosti39. a) Je dána Dirichletova úloha ∆u = x(y + 1) v oblasti Ω tvořené čtyřúhelníkem s vrcholy [0; 0], [1.8; 0], [0; 1.5] a[1.5; 1.5]. s okrajovou podmínkou u(x, y) = x + y na hraniciΓ.(a) Volte h = 0.5, nakreslete obrázek oblasti, zobrazte všechny síťové čáry, síťové uzly uvnitř oblasti, regulárníneregulární a hraniční uzly, číslování uzlů.(b) Sestavte sít’ové rovnice, v neregulárních uzlech užijte lineární interpolace.

Parabolické rovnice. Rovnice vedení tepla.• Rovnice:∂u∂t = up∂2 + f(x, t),∂x2 σ• Explicitní schéma (podmínka stability: σ ≤ 1/2)= pτh 2• Implicitní schéma (podmínka stability: σ ≥ 0):U k+1i = (1 − 2σ)U k i + σ(U k i−1 + U k i+1) + τf k i−σU k+1i+1+ (1 + 2σ)Uk+1i − σU k+1i−1 = U k i + τf k+1i40.a) Je dána smíšená úloha pro rovnici vedení tepla∂u∂t = up∂2 ∂x 2u(x, 0) = ϕ(x) pro x ∈ 〈0; l〉u(0, t) = α(t), u(l, t) = β(t), pro t ≥ 0b) Zapište podmínky souhlasuc) Pomocí Taylorova rozvoje ukažte, že výraz 1 τO(τ) pro u ∈ C (2) (¯Ω)(U(k+1)id) Pomocí Taylorova rozvoje ukažte, že výraz 1 h(U (k) (k)2 i+1 − 2U ipro u ∈ C (2) (¯Ω).41.a) Je dána smíšená úlohab) Ověřte splnění podmínek souhlasu− U (k)i ) je aproximací ∂u∂t+ U (k)i−1 ) je aproximací ∂2 u∂x 2∂u∂t = u0.3∂2 + x + 2t v oblasti Ω = {[x; t] : x ∈ (0; 1); t > 0}∂x2 u(x, 0) = x 2 pro x ∈ 〈0; 1〉u(0, t) = arctg(t), u(1, t) = 12t + 1pro t ≥ 0(k+1)v uzlu P i resp. P (k)i řáduv uzlu P (k)i řádu O(h 2 )c) Určete τ a minimální krok h tak, aby při jejím řešení stabilní explicitní metodou ležel bod P = [0.25; 0.1] v prvéčasové vrstvěd) Pro hodnoty τ a h z bodu (b) určete přibližnou hodnotu řešení v bodě P užitím explicitní metodye) Při h = τ = 0.25 sestavte soustavu sít’ových rovnic pro první časovou vrstvu užitím implicitní formule42.a) Je dána rovniceb) Př zadaných podmínkách∂u∂t = u2.5∂2 ∂x 2 v oblasti Ω = {[x; t] : x ∈ (0; 2); t > 0}u(x, 0) = x(2 − x) pro x ∈ 〈0; 2〉u(0, t) = 30t pro t ≥ 0u(2, t) = 0 pro t ≥ 0sestavte soustavu sít’ových rovnic pro první časovou vrstvu pomocí implicitního schematu.τ = 0.1Volte h = 0.5 ac) Rozhodněte, zda lze volit časový krok τ = 0.01, resp. τ = 1.0 aby pro daný krok v ose x bylo užité schemastabilní