O pojmovima sile, momenta i ravnoteže

O pojmovima sile, momenta i ravnotežeV. S. & K. F.Jesi li o njemu doznao nešto više?””” Samo da je bio osamljen,” odgovorih. Bez žene i bez djece. Čak i bez prijatelja.””Nikad nije našao ravnotežu.””” Ravnotežu?”” Tako je tata govorio,” reče moj otac. To je točka gdje stvari izgledaju onoliko”dobro koliko to ikad mogu postati. Gdje ništa ne preteže na krivu stranu. To jeono što moramo tražiti, govorio je, tu ravnotežu.”T. H. Cook: Into the WebSila je fizikalna veličina kojom se opisuje uzajamno djelovanje tijelâ. Pod silom seprema Lagrangeu [Analitička mehanika, 1788.] ”razumije općenito uzrok koji priopćava iliteži priopćiti gibanje tijelima na koja, pretpostavlja se, djeluje; štoviše, priopćena količinagibanja, ili količina gibanja koja se može priopćiti, ono je čime silu treba prikazati. Ustanju ravnoteže sila nema stvaran učinak; ona samo namiče težnju gibanju. Ali se uvijekmože mjeriti učinkom koji bi stvorila kad ne bi bila zapriječena.”Zametci pojma sile potječu iz predznanstvenoga iskustva—proizlaze vjerojatno iz osjeta naporamišića, primjerice pri dizanju ili guranju tereta. Tek se kasnije predodžba mogućnosti djelovanjajednoga tijela na drugo prenijela i na nežive stvari. Drugo, možda važnije i plodonosnije,ali ujedno i vrlo prijeporno poopćenje bila je zamisao da sile mogu djelovati i bez neposrednogadodira tijelâ, na daljinu. Fizička stvarnost i priroda sile —pitanja što je zapravo sila, posebnoona koja djeluje na daljinu, i postoji li uopće ili je tek pogodni matematički simbol za ”vrstu činiteljâokultne ili metafizičke naravi” [Saint–Venant] —izazivali su tijekom povijesti fizike brojnenesporazume i dugotrajne raspre. U Matematičkim načelima prirodne filozofije (1687.) Newtondefinira nekoliko vrsta sila:Definicija III. — Vis insita ili prirodena sila tvari je moć odupiranja kojom se svako tijelo. .. trudi održati u stanju u kojem jest, neovisno je li to mirovanje ili jednoliko gibanjepo pravcu.Ta je sila uvijek razmjerna tijelu kojem pripada i ne razlikuje se od tromosti mase osimpo načinu na koji je pojmimo. Tijelo se, po tromoj prirodi tvari, teško može izbaciti izstanja mirovanja ili gibanja. Na temelju toga, ta se vis insita može najprimjerenije nazvatisilom tromosti ili vis inertiæ. [. ..]Definicija IV. — Utisnuta sila (vis impressa) je djelovanje izvršeno na tijelu kako bi sepromijenilo njegovo stanje mirovanja ili jednolika gibanja po pravcu.Ta je sila sadržana samo u djelovanju i ne ostaje u tijelu po njegovu svršetku. Jer tijelozadržava svako novo stanje koje stekne samo svojom vis inertiæ. Utisnute su sile različitapodrijetla, poput udara, pritiska, centripetalne sile.1

Definicija V. — Centripetalna sila je ona kojom su tijela vučena ili tjerana ili kojom na bilokoji način teže prema točki kao prema središtu.Te su vrste gravitacija, zbog koje tijela teže prema središtu Zemlje; magnetizam, zbogkojeg željezo teži magnetu; i sila, što god da jest, zbog koje su planeti vječno odvlačeni odpravocrtnih gibanja u gibanja zakrivljenim putanjama.Te su definicije fenomenološke —opisuju načine na koje sile opažamo i pojmimo. Bit i zbiljnostnjihova postojanja, medutim, ne objašnjavaju. Mnogi su, medu njima i Saint–Venant, Mach,Hertz i Poincaré, postavljali pitanje: ako postoji gravitacijsko privlačenje izmedu Sunca i planetâ,kako se i čime to privlačenje ostvaruje bez opipljive” fizičke veze? Što su ili tko su ” ” tadvojbena bića [. ..] što nisu ni tvar ni duh nego slijepi i nemisleći stvorovi koji ipak moraju bitiobdareni čudesnom sposobnošću procjenjivanja udaljenostî i izračunavanja razmjernih im snaga”[Saint–Venant]? I sam je Newton pisao: Nepojmljivo je da bi beživotna gruba tvar bez posredovanjanečega drugog, što nije materijalno, mogla djelovati na drugu tvar i utjecati na nju bez”medusobna dodira. Da bi gravitacija mogla biti urodena i bitna značajka tvari, tako da jednotijelo može djelovati na drugo na razmaku kroz prazninu, bez posredovanja ičega drugog čimeili kroz što se njihova djelovanja i sile mogu prenijeti s jednoga na drugo, to je za mene takovelik nesmisao da vjerujem da mu ni jedan čovjek, koji o filozofskim pitanjima može mjerodavnorazmišljati, neće nikad povjerovati. Gravitacija mora imati uzročnika koji neprekidno djelujeprema stanovitim zakonima; no je li taj uzročnik tvaran ili ne, ostavljam čitateljima do razmotre.”U Načelima je, medutim, naglasio: Ali do sada nisam uspio iz pojava razotkriti uzrok”tih svojstava gravitacije, a ja ne stvaram pretpostavke. Jer sve što nije izvedeno iz pojava trebanazvati hipotezom; a hipotezi, metafizičkoj ili fizičkoj, s okultnim ili mehaničkim vrijednostima,nije mjesto u eksperimentalnoj filozofiji. U toj se filozofiji odredene tvrdnje izvode iz pojava, apotom poopćuju indukcijom. [...] I dovoljno nam je da gravitacija stvarno postoji i da djelujeprema zakonima koje smo objasnili i da bude dostatnim uzrokom gibanja svih nebeskih tijelai našeg Sunca.” Za Newtona je, dakle, važno i dovoljno to da pojam sile omogućava izgradnjusmislenoga teorijskog opisa svijeta u kojem živimo, kao i proračune i predvidanja koja u velikojmjeri potvrduju opažanja i pokusi.Opća teorija relativnosti odgovor traži u područjima geometrije i kinematike: masa zakrivljuječetverodimenzionalni prostorno–vremenski kontinuum tako da tijela padaju jedna premadrugima kao da izmedu njih postoje gravitacijske sile. Prema ”standardnom modelu” kvantnemehanike ostale tri temeljne sile prenose elementarne čestice–glasnici: elektromagnetsku fotoni,slabu nuklearnu obitelj Z 0 i W¨bozona, a jaku nuklearnu obitelj gluona; postojanje je tih česticai eksperimentalno potvrdeno. Razni pokušaji ujedinjenja opće teorije relativnosti i kvantnemehanike u konačnu teoriju, Teoriju Svega, često pretpostavljaju da postoje i gravitoni, glasnicigravitacijske sile.U gradevnoj statici, a i u statici općenito, proučavaju se djelovanja sila na tijela kojamiruju i koja pod djelovanjem sila ostaju u stanju mirovanja. (Prema klasičnom Galilejevunačelu relativnosti, tijelo koje naizgled miruje može se, zapravo, gibati jednoliko po pravcuzajedno s koordinatnim sustavom u odnosu na koji ga promatramo. Takav sustav, koji neubrzava po pravcu i ne rotira, jednoliko ili ubrzano, naziva se inercijalnim koordinatnim2

sustavom.) Djeluje li na nepomično tijelo jedna sila, ono će se pokrenuti: promjena količinegibanja tijela prema drugom je Newtonovu zakonu razmjerna sili, a odvija se po pravcunjezina djelovanja. (Newton pritom prešutno uzima da sila djeluje u težištu tijela te seono može smatrati materijalnom točkom.) Djeluje li, medutim, na tijelo više sila, ta sedjelovanja mogu medusobno poništiti. Za sustav sila koji djeluje na tijelo tako da onoostaje u stanju mirovanja u odnosu na neki inercijalni koordinatni sustav, kažemo daje uravnotežen; mirovati pritom mora ne samo tijelo kao cjelina, već i svaki njegov dio.Tijekom nanošenja tih sila tijelo doduše mijenja oblik, ali u statici promatramo konačnukonfiguraciju ili te promjene zanemarujemo.Za potpuniji i stroži iskaz uvjeta ravnoteže moramo objasniti značenje izraza ”poništavanjedjelovanja sila”, za što pak treba uvesti postupak sastavljanja sila i pojam momenta.a. b.Slika 1. Crteži iz Načela statike Simona StevinaGodine 1586. Simon Stevin je u djelu Načela statike 1 , istražujući ravnotežu tijela na kosini(slika 1.a.), izveo pravilo paralelograma za rastavljanje sile u dvije komponente na zadanimpravcima koji prolaze njezinim hvatištem (slika 1.b.): ”Neka je stupac AB, s težištem C,obješen u točkama D, E o niti na pravcima CD, CE i neka je izmedu CD i CF povučena crta HIusporedno sa CE. Izravno dizanje stupca odnosi se prema kosom dizanju kao CI prema CH.Ali izravno je dizanje CI jednako težini stupca. Stoga se težina cijelog stupca odnosi prematežini koja se javlja u D kao CI prema CH. Na isti način, težina koja se javlja u E naći će setako da se povuče crta IK iz I usporedno sa DC do CE; težina stupca prema težini u E bit ćekao izravno dizanje CI prema kosom dizanju CK.” Govoreći o ”težinama u D i E”, Stevin mislina sile u nitima CD i CE. Drugim riječima, sile u nitima na pravcima CD i CE, s intezitetimakoji su proporcionalni duljinama stranica CH i CK paralelograma konstruiranog na opisaninačin, mogu zamijeniti silu u niti CF, čiji je intenzitet proporcionalan duljini dijagonale CItog paralelograma. Dakle, ako silu F rastavimo na dvije komponente F 1 i F 2 na zadanim1 S. Stevin: De Beghinselen der Weeghconst, latinski prijevod Tomus quartus mathematicorum hypomnematumde statica, 1605., The Archimedes Project, http://nausikaa2.mpiwg-berlin.mpg.de/cgi-bin/toc/toc.x.cgi?dir=stevi stati 527 la 1605.3

F 1F 2FF 1F 2Fa.b.F 1c.F 1F 2F 3F 4Fd.F 2F 3F 4FSlika 2.pravcima, tada je ta sila dijagonala paralelograma čije su dvije susjedne stranice F 1 i F 2(slika 2.a.). Treba naglasiti da je zadaća rješiva samo ako sila koju rastavljamo i pravcikomponenti leže u istoj ravnini; u ranim raspravama o statici to se podrazumijevalo jer surješavane samo ravninske zadaće.Očito je da možemo reći i da je, obratno, sila F nastala sastavljanjem ili zbrajanjemsila F 1 i F 2 : zbroj F sila F 1 i F 2 dijagonala je paralelograma koji razapinju sile F 1 i F 2(ista slika, naravno). Zbrajanje dviju sila može se grafički prikazati i u obliku trokuta sila(slika 2.b.). Neposredno proširenje tog postupka na veći broj sila daje opći poligon sila:zbroj silâ F i je sila F čiji se početak ( ”rep”) poklapa s početkom prve sile, a kraj ( ” šiljak”ili ”vršak”) s krajem zadnje sile. Sile pritom ne moraju ležati u jednoj ravnini; leže li,poligon je ravninski (slika 2.c.), a ako ne leže, poligon će biti prostoran (slika 2.d.).Dok je poligonom sila zbroj niza sila jednoznačno odreden neovisno o broju sila, sila seu ravnini može jednoznačno rastaviti na dvije komponente, a u prostoru na tri.Prešutno smo do sada uzimali da sile djeluju u točkama—Stevin je tako, primjerice,pretpostavljao da je težina stupca AB zgusnuta u njegovu težištu C. Takve sile nazivamokoncentriranim silama. Koncentrirana sila ima intenzitet, pravac djelovanja i orijentaciju(ili smisao) na njemu te hvatište. Intenzitet sile je, po definiciji, kao i duljina dužine,pozitivna veličina. Ako je na pravcu njezina djelovanja dogovorno utvrdena pozitivnaorijentacija, smisao sile možemo s pomoću predznaka priključiti intenzitetu te ćemo govoritio brojčanoj vrijednosti ili, kraće, o vrijednosti sile: sila, kojoj je smisao suprotan odpozitivnoga, imat će negativnu vrijednost.Pravilo paralelograma vrijedi i za sastavljanje ili za rastavljanje drugih fizikalnih veličinaodredenih intenzitetom te pravcem i smislom, poput pomaka, brzine i ubrzanja. Prepoznavanjezajedničkih svojstava tih veličina posredno je, pružajući bogatstvo primjera primjene4

u fizici, pridonijelo razvoju apstraktnoga matematičkog pojma vektora u drugoj polovinidevetnaestog stoljeća. 2 Matematička teorija vektora usavršila se, neovisno o mogućim fizikalniminterpretacijama, do visoke razine istančanosti i formalizacije. Uvodenje vektorâu mehaniku i poistovjećivanje sila, pomakâ itd. s vektorima pruža nam, osim zornogageometrijskog prikaza 3 , mogućnost primjene svih postupaka linearne algebre i vektorskeanalize.Za algebarsko baratanje silama najpogodnije je rastaviti ih na medusobno okomitekomponente, usporedne s osima Kartezijeva koordinatnog sustava; u vektorskom zapisu:ØFØF xØF yØF zF xØı F yØj F zØk. (1)Brojeve F x , F y , F z , kojima su odredene vrijednosti—dakle, intenziteti i smisao—vektorskihkomponenti, zvat ćemo skalarnim komponentama.Pomoću skalarnih komponenti možemo izračunati intenzitet sile:FÐØFÐF x 2 Fy 2 Fz 2 ,i kutove koje (orijentirani) pravac na kojem djeluje zatvara s koordinatnim osima:ϕ xarccos F xF ,ϕ yarccos F yF ,ϕ zarccos F zF .No, ti su kutovi zajednički svim pravcima pramena paralelnih pravaca; hvatište ili, umnogim slučajevima, barem pravac djelovanja (konkretni pravac iz pramena) treba posebnozadati.Razlikujemo, naime, tri vrste vektora: 1. vektore u točki ili vektore s hvatištima, 2. vektorena pravcu ili klizne vektore i 3. slobodne ili nevezane vektore. Koncentrirana sila se unekim slučajevima, primjerice pri uravnoteženju tijela kao cjeline, može smatrati kliznimvektorom—njezin se utjecaj, u našem primjeru doprinos uvjetima ravnoteže, ne mijenjapomaknemo li je po pravcu djelovanja do nekog drugog hvatišta, pa i izvan tijela na kojedjeluje; no, taj je utjecaj, kao što ćemo uskoro vidjeti, bitno drugačiji djeluje li na nekomdrugom, makar i usporednom pravcu. S druge strane, odredujemo li unutarnje sile u tijelu,češto treba uvažiti i hvatišta sila.Medusobno okomite komponente vektora, pa i kad nisu usporedne s koordinatnimosima, zvat ćemo pravokutnim komponentama. One su uvijek jednake ortogonalnim projekcijamavektora na pravce na kojima te komponente leže. (KomponenteØF x ,ØF y ,ØF z jednake2Teoriju vektora neovisno su začeli W. R. Hamilton i H. Grassmann. Nazive ”skalar” i ”vektor” uveoje Hamilton; korijen je riječi ”vektor” u latinskom vehere—prenositi, dok naziv ”skalar” slijedi iz linearneskale/ljestvice izražavanja neke veličine. Današnji pojam vektora uveli su i razvili I. W. Gibbs i O. Heavesidete sustavnim prikazom i izlaganjem teorije, uz uvodenje pogodnih oznaka, potaknuli šire primjene umatematici i fizici.3 Na crtežima u Stevinovoj Statici sile su prikazane tek dužinama. Prikaz sila strelicama, kao na slici 2.,razmjerno je kasan, dvadesetostoljetni izum.5

nôi1ØF inôi1ØF i,xnôi1ØF i,ynôi1ØF i,zFF ⊥ 2FF 2F 1a.b.F ⊥ 1Slika 3.su, dakle, ortogonalnim projekcijama sileØF na koordinatne osi.) Rastavimo li pak siluna komponente koje nisu medusobno okomite, te će se komponente, nazvane kosokutnima(slika 3.a.), razlikovati od ortogonalnih projekcija na pripadne pravce (slika 3.b.).Ortogonalnu projekciju sile ili, općenitije, bilo kojega vektora na neki pravac p možemoodrediti s pomoću skalarnoga produkta. Ako su A, B dvije točke tog pravca, aØr A ,Ør B njihoviradijvektori, tada jeØeÔØr pprema B. Ortogonalna projekcija sileØF na pravac p dana je izrazomØF ØF¤Øe¨Øe.B¡Ør AÕßÐØr B¡Ør AÐjedinični vektor na njemu, orijentiran od ATa je projekcija jedina vrsta projekcije koju ćemo upotrebljavati pa ćemo je najčešće nazivatijednostavno projekcijom.Budući da smo uvodenjem vektoraØe zadali orijentaciju na pravcu p, skalarnim produktomF pØF¤Øe utvrdeni su i intenzitet i smisao projekcije. Drugim riječima, tim jebrojem projekcija na zadani orijentirani pravac potpuno odredena pa je možemo smatratii skalarnom veličinom. No, naglašavamo, da bi ta projekcija bila potpuno i jednoznačnoprikazana samo skalarom, na pravcu na koji projiciramo mora biti zadana orijentacija. (Izkonteksta ili iz upotrijebljenih oznaka bit će vidljivo mislimo li pod projekcijom na vektorili skalar.)Niz silaØF i´nzbrajamo zbrajajući njihove komponente; posebno:i1Øınôi1F i,x Øjnôi1F i,yØknôi1F i,z .(2)Ako je, u grafičkom prikazu, poligon sila zatvoren, njihov zbroj iščezava. I obratno: akozbroj sila iščezava, tada je poligon zatvoren— šiljak posljednje sile pada u početak prve6

F 1a.F 1F 2F 3F 4F 5b.F 2F 3F 4F 5Slika 4.(slika 4.). To znači da, algebarski, zbroj sila iščezava ako i samo ako je jednak nulvektoru:nôi1ØF iØ0. (3)Kako suØı,Øj,Øk linearno nezavisni vektori, to je moguće ako i samo ako su istodobnoF i,x0,nôi1F i,y0,nôi1nôi1F i,z0. (4)Iščezavanje zbroja sila nuždan je, ali ne i dovoljan uvjet za ravnotežu tijela na kojedjeluju. Jedino sijeku li se pravci tih sila u jednoj točki u konačnosti (pa i izvan tijela), bitće iščezavanje zbroja dovoljno za poništavanje njihovih djelovanja na to tijelo. Djeluje li,medutim, na tijelo primjerice spreg—par sila na usporednim pravcima, jednakih intenziteta,ali suprotnih orijentacija—njihov zbroj iščezava, ali će se tijelo (za)vrtjeti. U obzirstoga treba uzeti i medusobni prostorni odnos sila. Fizikalne veličine kojima se izražavautjecaj položaja sila na uvjete ravnoteže (i, u dinamici, na zakone gibanja) nazivaju se momentimasila. Momentni je uvjet ravnoteže izveden iz brojnih, ponajviše misaonih, pokusas polugama, započetih u Arhimedovoj raspravi O ravnoteži likova ili o težištima likova, 4 anastavljenih i razvijanih kroz cijelo skolastičko razdoblje pa sve do Stevinova djela.Prema definiciji, vektorMØFßA momenta M FßA sile F u odnosu na točku A je vektorskiprodukt geometrijskoga vektoraØr AØF, koji počinje u toj točki i završava bilo gdje na pravcudjelovanja sile, i vektoraØF sile F:AØF¢ØF∣ ∣ ∣∣∣∣∣Øı Øj Øk ∣∣∣∣∣MØFßAØr x AØF y AØF z AØF . (5)F x F y F z4 Poluga se doduše spominje i ranije, u Problemima mehanike, spisu koji se pripisuje Aristotelu, ali tajje odlomak teško nazvati znanstvenim: Netko tko ne bi mogao pokrenuti teret bez poluge, lako će ga”pomaknuti primijeni li je na nj. Temeljni je uzrok svih tih pojava u prirodi kružnice. I to je prirodno,jer nije nimalo neobično da nešto iznimno može slijediti iz nečeg što je još iznimnije, a najiznimnija ječinjenica slaganje suprotnosti jednih s drugima. Kružnica je sačinjena iz takvih suprotnosti. Jer, načinjenaje od nečega što se giba i nečeg što je nepokretno u čvrstoj točki.”7

Kao vektorski produkt, vektorMØFßA okomit je na ravninu razapetu vektorimaØr AØF iØF, anjegova je orijentacija odredena takozvanim pravilom desne ruke ili pravilom desnoga vijka.Njegove komponenteMØFßA, x ,MØFßA, y ,MØFßA, zmomenti su oko tri osî kroz točku A kojeMØFßp MØFßB¤Øe¨Øesu usporedne s koordinatnim osima.Øe¤MØFßB¨ØeØe¤VektorMØFßp momenta M Fßp sile F oko osi p, koja u općem slučaju može, ali ne morabiti usporedna s nekom koordinatnom osi, jednak je ortogonalnoj projekciji momentnogavektoraMØFßB na tu os:BØF¢ØF¨Øe∣ ∣ ∣∣∣∣∣ e x e y e zØr x AØF y AØF z AØF∣∣∣∣∣Øe , (6)F x F y F zMØFßpØe¤pri čemu je B bilo koja točka na p, dok jeØe jedinični vektor na p. Budući da se momentoko osi definira kao ortogonalna projekcija na tu os, možemo ga smatrati i skalarnomveličinom koja je jednaka mješovitom produktu jediničnog vektora osi (kojim je na njojzadana orijentacija), geometrijskog vektora i vektora sile: Ør BØF¢ØF¨.Ukupni moment niza silaF i´ni1 pojedinih sila u odnosu na tu točku; vektorski:u odnosu na točku A jednak je zbroju momenataMØØF Ør i¢ØF iÙßAnôi1MØF AØF ißAnôi1i¨. (7)Na sličan način možemo izračunati i moment niza sila oko zadane osi.Očito je da se momenti sile, a time i momenti niza sila, u odnosu na različite točkerazlikuju. Medutim, u posebnom slučaju sprega sila čiji su vektoriØF i¡ØF lako je pokazatida njegov moment ne ovisi o točki u odnosu na koju ga izračunavamo:M SØr 1¢ØF Ør 2¢Ô¡ØFÕØr 1¢ØF¡Ør 2¢ØFÔØr 2 ØrÕ¢ØF¡Ør 2¢ØFØr¢ØF,gdje suØr 1 iØr 2 vektori od neke po volji odabrane točke do po volji odabranih točaka napravcima sila spregaØF i¡ØF, aØrØr 1¡Ør 2 . Dakle, vektorM S momenta sprega silaØFi¡ØF jednak je vektorskom produktu vektoraØr od bilo koje točke na pravcu sile¡ØF dobilo koje točke na pravcu sileØF i vektora sileØF; taj je vektor okomit na ravninu spregakoju odreduju pravci vektoraØF i¡ØF.Pretpostavimo li da je razmak izmedu pravaca djelovanja sila sprega neizmjerno malen ida je intenzitet tih sila neizmjerno velik, ali da je intenzitet momenta sprega konačan broj,dolazimo do pojma koncentriranoga momenta M koji je odreden sàmo, ali i jednoznačno,vektoromM. Taj se vektor u nekim slučajevima, kao što je uravnoteženje tijela, možesmatrati slobodnim vektorom.Ortogonalne projekcije momenata spregova i koncentriranih momenata na zadane ositakoder ćemo zvati momentima oko osi.8

Sada napokon možemo izreći uvjete ravnoteže tijela na koje djeluju koncentrirane sileF i´ni koncentrirani momentiM i1 j´m. Prvi uvjet ravnoteže—iščezavanje zbroja sila—j1 izražen je jednadžbom (3) na stranici 7. Drugii¨je uvjet iščezavanje zbroja svih momenata:momenata sila oko bilo koje točke—odabrat ćemo ishodište—i koncentriranih momenata:môj1M jØ0; (8)nôi1 Ør i¢ØFsaØr i označili smo radijvektore po volji odabranih točaka na pravcima silaØF i . Čak i kadnema koncentriranih momenata, pri provjeri ravnoteže ili pri uravnoteženju tijela uvažititreba i prostorne odnose sila s pomoću momentne jednadžbeØrnôi1 i¢ØF i¨Ø0.Prolaze li pravci svih sila istom točkom, lako je vidjeti [kako?] da će ta jednadžba bitizadovoljena ako zbroj sila iščezava, pa je u tom slučaju dovoljan prvi uvjet. Izdvojimojednostavan, ali važan slučaj dviju sila: dvije će sile biti u ravnoteži ako i samo ako ležena istom pravcu i ako su jednakih intenziteta, a suprotnih orijentacija.Vektorske jednadžbe (3) i (8) daju šest skalarnih ili algebarskih uvjeta ravnoteže. Znamoda je jednadžba (3) ekvivalentna jednadžbama (4): zbroj sila iščezava ako i samo akoiščezavaju sva tri zbroja njihovih skalarnih komponenti. Slično tome, zbroj koncentriranihmomenata i momenata sila u odnosu na ishodište iščezava ako i samo ako iščezavajuzbrojevi momenata oko tri koordinatne osi:nôi1Ôy i F i,z¡z i F i,yÕmôj1M j,x0,nôi1Ô¡x i F i,z z i F i,xÕ M j,y0,môj1(9)nôi1Ôx i F i,y¡y i F i,xÕmôj1M j,z0.Ishodište i koordinatne osi nisu ni po čemu povlašteni. Sile možemo projicirati na trigotovo po volji odabrana pravca—jedini je uvjet da ti pravci nisu usporedni s jednomravninom. Za osi momenata možemo odabrati bilo koja tri pravca koja zadovoljavajuisti uvjet. Možemo, osim toga, postaviti četiri, pet ili šest momentnih uvjeta uz dva,jedan ili nijedan uvjet sila; medusobni prostorni odnosi osî momenata i pravaca na koje seprojiciraju sile moraju pritom zadovoljiti stanovite uvjete. 55 Ti su uvjeti obradeni u Mehanici I.; prolistajte skripta prof. Wernera.9

Za probleme u ravnini skalarni sustav sadrži tri jednadžbe: iščezavanje dva zbrojaskalarnih komponenti sila i iščezavanje zbroja koncentriranih momenata i momenata okoishodišta ravninskog koordinatnog sustava. (U ravninskim je problemima moment u odnosuna neku točku u stvari moment oko osi okomite na tu ravninu. I zadani koncentriranimomenti moraju biti okomiti na ravninu. Momenti su stoga jednoznačno odredeni samosvojim brojčanim vrijednostima pa ih možemo smatrati skalarima.) Skalarne jednadžberavnoteže u ravnini xz su:F i,x0,nôi1F i,z0,nôi1nôi1Ô¡x i F i,z z i F i,xÕ M j0.môj1(10)Često je u ravnini pogodnije postaviti dva momentna uvjeta uz jedan uvjet sila, pričemu spojnica točaka u odnosu na koje se računaju momenti sila ne smije biti okomitana pravac na koji se projiciraju sile, ili tri uvjeta momenata, pri čemu točke oko kojih semomenti računaju ne smiju ležati na jednom pravcu.Koncentrirana je sila tek matematička idealizacija: svako djelovanje dodirom—nazvanosilom kratkoga dometa—raspodijeljeno je po većoj ili manjoj površini, a djelovanja dalekogdometa, poput gravitacijskoga privlačenja, raspodijeljena su po obujmu tijela; koncentriranesile rezultante su takvih distribuiranih djelovanja. I koncentrirani su momentiidealizacija. Ovisno o kontekstu, pod pojmom sile podrazumijevaju se samo koncentriranesile ili pak i koncentrirane i distribuirane sile zajedno. Koncentrirane sile i koncentriranimomenti nazivaju se često poopćenim silama, a da terminološka zbrka bude potpuna, katkadse, sažetosti radi, pojmovima sile ili poopćene sile obuhvaćaju i koncentrirane sile ikoncentrirani momenti i distribuirana opterećenja.Dok se koncentrirane sile prikazuju (pojedinačnim) vektorima, distribuirane se sile prikazujuvektorskim funkcijama—funkcijama koje svakoj točki nekog linijskog, plošnog iliprostornog područja pridružuju vektor.10